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Full text of "Lehrbuch der Mineralogie"

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wmxvmut 

343 



LEHRBUCH 

DER 



MINERALOGIE 



■ MAX BAUER. 



ZWEITE, 
VÖLLIG NEUBEARBEITETE AUFLAGE. 



MIT 670 nOUREN. 



STUTTGART. 

E. SCHWEIZERBART'SCBE VERLAOSHANDLUNQ (E. NÄGELE). 

1904. 



Zur Beachtung. 



Verfasser und Verleger behalten »ich alle Rechte vor. 



Vorrede zur ersten Auflage. 



i 
L 



Das vorliegende Lehrbuch soll dazu dienen, den Leser in das 
wissenschaftliche Studium der Mineralogie nach ihrem neuesten Stand- 
punkt einzuführen. Dasselbe kann zum Studium neben einer minera- 
logischen Vorlesung benutzt werden, aber auch ohne eine solche zum 
Selbststudium, wobei allerdings vorausgesetzt werden muß, daß eine, 
wenngleich nicht notwendig umfangreiche, Sammlung der wichtigsten 
^ Mineralien, Krystallmodelle, Präparate und Instrumente zur Verfügung 

^ steht, ohne deren sachgemäße Benutzung ein tieferes Eindringen in 

^ die Mineralogie unmöglich ist. 

Dem Zweck des Buches entsprechend ist der allgemeine und ein- 
leitende Teil desselben ziemlich ausfuhrlich behandelt. 

Zunächst sind darin die Lehren der Erystallographie eingehend 
dargestellt Der Verfasser hat sich dabei nicht auf eine Beschreibung 
der Krystallformen beschränkt, sondern er hat sich bemüht, den Leser 
zu einem wirklichen Verständnis derselben gelangen zu lassen, soweit 
dies ohne umfangreiche mathematische Behandlung möglich ist. 

Den physikalischen ^Eigenschaften der Mineralien wird heutzutage 
eine ganz besondere Wichtigkeit beigelegt. In dem Abschnitt über 
Mineralphysik wurde im allgemeinen die Kenntnis der Physik, soweit 
sie etwa in einer guten Universitätsvorlesung über Experimental- 
physik dem Zuhörer übermittelt wird, als bekannt vorausgesetzt. 
Nur diejenigen physikalischen Lehren sind etwas ausführlicher be- 
handelt worden, welche für die speziellen Zwecke der Mineralogie 
besondere Bedeutung haben und welche zuweilen in den Lehrbüchern 
der Physik nicht in der für den Mineralogen wünschenswerten Aus- 
führlichkeit dargestellt werden, wie z. B. die Farbenerscheinungen 
in den Erystallen im polarisierten Licht etc. Als bekannt voraus- 
zusetzende Gegenstände wurden nur insoweit kurz berührt, daß der 
ganze Abschnitt über Mineralphysik an einem fortlaufenden Faden 
dargestellt werden konnte. Größere theoretische Ausführungen, wie 
z. B. die Erklärung der Interferenzerscheinungen in Krystallen und 

1 ^> ■: o '"> Q 









IV Vorrede. 

ähnliches wurde vermieden. In bezug hierauf und überhaupt in bezug 
auf die einschlägigen physikalischen Lehren sei auf die ausfuhrlicheren 
Lehr- und Handbücher der Physik verwiesen. 

In dem Abschnitt über Mineralchemie wurden die Lehren der 
Chemie, besonders der unorganischen als bekannt vorausgesetzt und 
es wurde im allgemeinen Teil hauptsächlich nur die chemische Zu- 
sammensetzung der Mineralien im allgemeinen, ihr Verhalten vor dem 
Lötrohr, sowie gegen Wasser, Säuren und andere Lösungsmittel, end- 
lich namentlich die Lehren des Isomorphismus und Dimorphismus ein- 
gehender behandelt. Die Zusammensetzung der Mineralien wurde 
durch die empirischen Formeln, sowie nicht selten durch die älteren 
gruppierenden Formeln dargestellt. Dabei wurden die zwei Metall- 
atome in den Sesquioxyden (und entsprechend in den empirischen 
Formeln) in bekannter Weise mittels durchstrichener Buchstaben 
bezeichnet, zur leichteren Unterscheidung der Metallatome in den 
Monoxyden derselben Metalle, besonders beim Eisen. 

Bei der Betrachtung der chemischen Verhältnisse der Mineralien 
im allgemeinen wurde schließlich auch gebührende Eücksicht ge- 
nommen auf die Art und Weise, wie die Mineralien entstehen, wie 
sie unter den verschiedenartigen von außen auf sie einwirkenden 
natürlichen Einflüssen umgewandelt und wie sie endlich unter Um- 
ständen auch ganz zerstört werden, um anderen Mineralien zur Ent- 
stehung Veranlassung zu geben. Dabei durfte die Art und Weise 
des natürlichen Vorkommens der Mineralien in der Erdkruste nicht 
übergangen werden, das nicht nur an sich wichtig und interessant, 
sondern auch zur Beurteilung der Entstehung der Mineralien von 
größter Bedeutung ist. Es wurden daher in dem die Mineralien be- 
handelnden Abschnitt des einleitenden Teiles einige Paragraphen über 
die allgemeinen Verhältnisse des Vorkommens der Mineralien ein- 
gefügt. 

In allen Abschnitten wurde die Betrachtung nach Möglichkeit 
auf das Tatsächliche und das Beobachtete beschränkt und die Herein- 
ziehung des rein Hypothetischen tunlichst vermieden. 

Die weniger wichtigen Abschnitte des allgemeinen Teils sind von 
den wichtigeren durch kleineren Druck unterschieden ; klein gedruckt 
sind auch Beispiele zu allgemeineren Sätzen, längere Beschreibungen 
von Instrumenten und ähnliches. Der Anfönger wird sich zunächst 
mit dem genaueren Studium des Großgedi'uckten begnügen können. 
Im speziellen Teil sind die Beschreibungen der wichtigen und häufigen 
Mineralien groß, die der unwichtigeren und selteneren ebenfalls klein 
gedruckt. Der Anfänger kann die letzteren überschlagen. Eine An- 
zahl solcher unwichtigen Mineralien ist nur mit wenigen Worten im 
Text erwähnt, eine Anzahl anderer ist wenigstens in dem ausführlich 



Vorrede. V 

gehaltenen alphabetischen Mineralverzeichnis am Schluß mit einem 
kurzen erläuternden Zusatz aufgeführt. Das Buch kann daher auch 
bis zu einem gewissen Grade als Nachschlagebuch benutzt werden. 

Die Mineralien organischen Ursprungs sind mehr anhangsweise 
und auch kurz behandelt, sowie durchaus mit kleinen Lettern gedruckt 
Daß der Bernstein etwas ausführlicher beschrieben worden ist, wird 
in einem Buche, das zum allergrößten Teil in der Hauptstadt des 
Bemsteinlandes, in Königsberg i/Pr., entstanden ist, nicht auffallend 
erscheinen. 

Das Register zerfallt in zwei getrennte Hälften, eine für die 
allgemeinen einleitenden Abschnitte und eine zweite, ein Mineralien- 
register, für den speziellen, beschreibenden Teil des Buches. 

Im § 3 findet man eine Übersicht über die wichtigsten selb- 
ständig erschienenen Werke der mineralogischen Literatur. Dieselben 
sind nach Fächern und innerhalb jedes Faches chronologisch geordnet. 
Es wurde dabei bis zum Anfang dieses Jahrhunderts zurückgegangen. 
Absolute Vollständigkeit wurde nicht erstrebt. Ebensowenig ist dies 
der Fall mit den Literaturnachweisen, namentlich aus Zeitschriften, 
welche den einzelnen Paragraphen und Mineralbeschreibungen an- 
gehängt sind. Bezüglich dieser war anfänglich größere Vollständig- 
keit geplant und auch z. T. ausgeführt Die Durchfuhrung dieser 
Absicht hätte aber zu viel Raum beansprucht, und so fand später 
eine Beschränkung auf das Wichtigste statt Infolge davon sind die 
Literaturangaben bei den einzelnen Paragraphen und Mineralien etwas 
ungleichförmig, die größere Ausführlichkeit in einzelnen Punkten wird 
aber dem Buch wohl nicht zum Schaden gereichen. Im allgemeinen 
ist das Prinzip verfolgt, daß aus der zitierten Literatur jedes Gregen- 
standes die andere nicht zitierte möglichst vollständig ersehen werden 
kann ; zu diesem Zweck sind mehrfach an sich unbedeutende Arbeiten 
angeffthrt worden, wenn in ihnen die ältere Literatur in hervor- 
ragender Weise berücksichtigt worden ist Aus den Literaturangaben 
sind auch die Namen derjenigen Forscher zu entnehmen, welche sich 
mit den betreffenden Gegenständen vorzugsweise eingehend beschäftigt 
haben. Im Texte selbst sind deren Namen nur ausnahmsweise ge- 
nannt 

Die 588 Figuren sind mit geringen Ausnahmen neu konstruiert; 
nur eine kleine Zahl ist aus anderen Werken kopiert, so z. B. die 
Abbildungen einiger Instrumente aus dem: „Bericht über die wissen- 
schaftlichen Instrumente auf der Berliner Oewerbeausstellung im 
Jahi-e 1879". 

Die sehr mühsame Korrektur ist mit der dankenswerten Unter- 
stützung des Herrn Dr. R. Brauns hier ausgeführt worden, welcher 
auch das Register für den allgemeinen Teil angefertigt hat Einige 



VI Vorrede. 

stehengebliebene sinnstörende Druckfehler wolle man vor der Be- 
nutzung des Buches verbessern. 

Die Fertigstellung des Buches hat, durch mannigfache Hinder- 
nisse unterbrochen, sehr lange Zeit in Anspruch genommen. Es 
konnten daher manche wichtige in den letzten Jahren erschienene 
Arbeiten teils gar nicht mehr, teils nur in ungenügender Weise bei 
der Korrektur benutzt werden. 

Möge es dem Verfasser trotzdem gelungen sein, ein Werk zu 
schaffen, welches den eingangs angegebenen Zweck zu erfüllen im 
Stande ist. 

Besonderen Dank würde derselbe denjenigen Fachgenossen ent- 
gegenbringen, welche ihn auf die beim Gebrauche des Buchs sich 
ergebenden Mängel und Irrtümer aufmerksam machen wollten. 



Marburg, Neujahr 1886. 



Max Bauer. 



Vorrede zur zweiten Auflage. 



Daß diese zweite Auflage yollkommen nenbearbeitet werden 
mnßte, geht ohne weiteres aus der langen Zeit hervor, die seit dem 
Erscheinen der ersten Auflage verflossen ist. Zweck und Anlage des 
Buches sind die gleichen geblieben, aber der Umfang ist gewachsen, 
stärker als dem Verfasser lieb ist. In völlig neuem Gewände er- 
scheint die Erystallographie, die ganz den jetzigen Anschauungen 
gemäß in einer für Anfänger möglichst geeigneten, anschaulichen 
Weise entwickelt ist. Ein erheblicher Teil des Zuwachses beruht 
hierauf, außerdem auf einer beträchtlichen Steigerung der Figuren- 
zahl und endlich auf einem größeren und weiteren und infolgedessen 
viel übersichtlicheren Druck, sowie darauf, daß der Text durchweg 
in ausfuhrlichen Sätzen mit fast gänzlicher Vermeidung abkürzender 
Zeichen dargestellt wurde. Größere Übersichtlichkeit wurde dabei 
namentlich dadurch erzielt, daß auch die Beschreibung der mit kleinen 
Lettern dargestellten, weniger wichtigen Mineralien fast durchweg 
mit einer neuen Zeile beginnt. Außerdem wurden die verbreiteteren 
unter diesen dadurch hervorgehoben, daß ihre Namen wie bei den 
großgedruckten Mineralien für sich auf einer Zeile stehen. Der in 
dieser zweiten Auflage enthaltene Lehrstoff ist demnach keineswegs 
in dem Maße angeschwollen, als es die erhöhte Seitenzahl vielleicht 
vermuten lassen könnte. Doch ist jeder größeren Mineralgruppe eine 
ausführlichere Einleitung vorangesteUt, was wohl ebenfalls den Über- 
blick erleichtert und die Darstellung einheitlicher gestaltet. 

Den Herren Professor C. Busz in Münster, sowie Dr. A. Schwantke 
und Fr. Otto Groos hier bin ich fttr Beihilfe bei der mühsamen Korrektur, 
den Herren R. Brauns in Gießen, H. Rosenbusch in Heidelberg und 
G. Tschermak in Wien für die Erlaubnis zur Benutzung einiger Ab- 
bildungen aus ihren bekannten Werken zum Danke verpflichtet. 



Marburg, Herbst 1903. 



Max Bauer. 



Inhaltsübersicht. 



flinleitniiif. 1. Mineralien. 2. Mineralogie. 3. Literatur. 

Allgemeiner Teil. 

I. Abschnitt. firystallogTaplile. 

A. Be^ir des KrystallB. 

4. KrjBtallisiert, amorph. 5. Individnnm. 6. Krystall, derb. 

B. Begr^^ninnST^^l^m^nte. 

a) Flächen. 7. Flächenparallelismus. 8. Flächenbeschaffeuheit. 9. Einfache 
Erystallformen, Kombinationen. 10. Offene, g^eschlossene Formen. 

b) Kanten. 11. Allgemeines. 12. Flächenwinkel. 13. Anlegegoniometer. 
14. Seüexionsgoniometer (Prinzip). 16. Wollastonsches Goniometer. 16. Go- 
niometer mit horizontalem Kreis. 17. Theodolithgoniometer. 18. Gleiche 
Kanten. 

c) Ecken. 19. Ecken. 

C. Gesetxey nach denen die Begreniunggelemente der Krystalle 

angeordnet sind. 

a) Gesetz der Winkelkonstanz nud der Flächengrnppiernng. 
20. Winkelkonstanz. 21. Winkel yerschiedener Substanzen. 22. Konstanz 
der Flächengruppiemng. 28. Parallelyerschiebnng der Flächen. 24. Ideale 
Krystallfonneu. 

b) Gesetz der rationalen Kantenschnitte. 25. Kantenschnitte. 
26. Rationale Kantenschnitte. 27. Andere Fassung des Gesetzes der ratio- 
nalen Kantenschnitte. 28. Mögliche Krystallflächen. Krystallreihe. 29. Bei- 
spiel. 30. Achsen. 31. Parameter. Flächenansdmck. 32. Achsenlängen, 
Ableitnngszahlen. 33. Wahl der Achsen. 34. Gesetz der rationalen Achsen- 
schnitte. 36. Spezielle Betrachtang der ableitnngszahlen. 36. Spe- 
zielle Flächenansdrttcke. 37. Parallele Gegenflächen. 38. Achsensystem. 
39. Weiss'sche Flächenbezeichnnng. 40. Indices. 41. Miller'sche Flächen- 
bezeichnung. 42. Umwandlung Weiss^scher Symbole in MiUer^sche und um- 
gekehrt. 43. Beispiel. 

c) Zonenge setz. 44. Zone. 46. Ausdruck der Zone. 46. Zonengleichung. 
47. Fläche in zwei Zonen. 48. Deduktion. 49. Zonengesetz. 60. Beispiele. 
61. Praktischer Wert der Zonen. 



X Inhaltsübersicht. 

d) Sjmmetrieverhältnisse. 52. Symmetrie. 53. Symmetrieebeuen. 54. Bei- 
spiele. 55. Symmetrieachsen. 56. Beispiele. 57. Symmetriezentnim. 58. Grad 
der Symmetrie. 59. Krystallklassen. 60, 61. Beziehung der Symmetrie zum 
Eanteuschnittgesetz. 62. 32 Krystallklassen. 63. Holoedrie. Meroedrie. 
Hemiedrie. 64. Korrelate hemiedrische Flächen. 65. Charakter der Hemi- 
edrie. 66. Kongruente und enantiomorphe Hemieder. 67. Tetartoedrie. 
Ogdoedrie. 68. Hemimorphismus. 69. Symmetrie hemiedrischer Formen. 
70. Haüy'sches Symmetriegesetz. 71. Symmetrieverhältnisse der hemiedri- 
schen Formen nach dem Haüy^sche Symmetriesatz. 72. Symmetrieverhält- 
nisse der tetartoedrischen Formen. 73. (besetz der Hemiedrie etc. 74. Ab- 
leitung mehrerer hemiedrischer Formen aus derselben vollflächigen. 75. 
Hemiedrie ohne Formveränderung. 76. Auftreten derselben Formen in 
mehreren Krystallklassen. 77. Holoedrische und hemiedrische Krystallklassen. 
78. Krystallsysteme. 79. Übersicht tlber die Krystallsysteme. 80. Grenz- 
formen. 81. Übersicht über die 32 Krystallklassen. 82. Krystallographische 
Achsen. 83. Voll- und teilflächige Krystallformen an den Achsen. 84. Ab- 
leitung der krystallographischen Achsensysteme. 85. Krystallographische 
Achsensysteme für die einzelnen Krystallsysteme. 86. Achsenelemente. 
87. Oktanten, Dodekanten. 88. Gruppierung der Flächen um die Achsen. 

89. Ableitung der einfachen Formen aus den krystallographischen Achsen. 

90. Beispiele. 91. Gleichliegende, gleichnamige Flächen. 92. Kombinationen. 
93. Modifikationen der Kanten und Ecken. 94. Gesetz der Kombinations- 
bildung. 95. Symmetrieverhältnisse der Kombinationen. 96. Bildung der 
Kombinationen. 97. Beispiele. 98. Haüyscbes Symmetriegesetz bei der 
Kombinationsbildung. 99. Beispiele. 100. Ableitung der Kombinationen 
nach dem Haüy^schen Symmetriegesetz. Beispiele. 101. Umkehrung des 
HaÜyVhen Symmetriesatzes. 

D. KrystaHsysteme. 

102—112. Reguläres System. 113-130. Hexagonales System. 131—137. Qua- 
dratisches System. 138—143. Bhombisches System. 144—150. Monokliues System. 
151—153. Triklines System. 

E. Gesetzm&ßige Yerwaehsang der Krystalle. 

154. Parallel Verwachsung. 155—170. ZwiUiugsverwachsung. 171. Mimesie. 
172. Nachahmende G^estalten. 173. Verwachsung ungleichartiger Krystalle. 

F. Beschaffenheit und Ausbildiuig der Krystalle. 

174. Habitus. 175. Krystallflächen. 176. Vicinale Flächen. 177. KrysUll- 
skelette. 178. Krystallschalen. 179. Sanduhrstruktur. 180—183. Einschlüsse. 184. Aus- 
bildung der Krystalle. 185. Eingewachsene Krystalle. 186. Aufgewachsene Krystalle. 
187. Derbe Aggregate. 188. Formen der amorphen Mineralien. 

U. Abschnitt. Mineralphysik. 

189. Hauptgesetz der Krystallphysik. 190. Spezifisches Gewicht. 191. Kohäsion. 
192. Elastizität. 193. Bruch 194. Blätterbruch. 195. Gleitflächen. 196. Kömerprobe. 
197. Härte. 198. Zersprengbarkeit. 199. Tenazität. 200. Atzfiguren. 200 a. Ver- 
witterung. Verstäubung. 201. Isotrop. Anisotrop. 202. Welle. Strahl. 203—211. 
Isotrope Medien, und zwar: 203. Fortpflanzungsgeschwindigkeit. 204. B>eflexion. 
205. Refraktion. 206. Dispersion. 207. Polarisation. 208. Planparallele Platte. 
209. Prisma. 210. Totalreflexion. 211. Brechungskoeffizienten. 212—214. Anisotrope 



Inhaltsttbersicht. XI 

Medien, und zwar: 212. Schwingnng^richtnngen. 213. Doppelbrechung. 214. Op- 
tische Achsen. 215 — 220. Einachsige ErystaUe: 216. Allgemeine Eigenschaften. 
216. WeUenfläche (Strahlenfläche). 217. Charakter der Doppelbrechung. 218. Doppel- 
brechung im Kalkspat. 219. Nicoisches Prisma. Turmalinplatte. 220. Brechungs- 
koeffizienten. 221—229. Zweiachsige Erystalle : 221. ElastizitätseUipsoid. 222. Schwin- 
gungsrichtungen. 223. Wellenfläche. 224. Optische Achsen. 225. Achsenwinkel. 
226. Dispersion der optischen Achsen. 227. Dispersion der Elastizitätsachseu. 228. 
Optische Konstanten. 229. Brechungskoeffizienteu. 230—236. Polarisationsinstm- 
mente : 230. Zweck des Polarisationsinstruments. 231. Polarisation für konvergentes 
Licht. 232. Polarisationsinstrument für paralleles Licht. 233. Wirkung des Polari- 
sationsinstruments. 234. Auslöschungsschiefe. 235. Stauroskop. 236. Mikroskop mit 
Polarisation. 237—254. Verhalten der Mineralien im Polarisationsinstrument : 237. Iso- 
trope Mineralien. 238—254. Anisotrope Mineralien : 238. Erscheinungen im Polarisatious- 
instrument für paralleles Licht. 239. Interferenzfarben. 240. Quarzkeil. 241. Kompen- 
sation. 242. Bestimmung der Interferenzfarbeu. 243. Unterscheidung der beiden 
Schwingungsrichtungen in der Platte. 244 — ^248. Einachsige Krystalle. 249—254. Zwei- 
achsige Krystalle. 255. Einfluß der Temperatur auf die optischen Eigenschaften. 
256. ZwUlinge. 257. Optische Anomalien. 258. Glanz. 259. Pelluzidität. 260. Farbe. 
261. Strich. 262. Pleochroismus. 263. Phosphoreszenz. Fluoreszenz. 264. Besondere 
Farbenerscheinungen. 265. Thermische Eigenschaften. 266. Wärmestrahlung. 
267. Wärmeleitung. 268. Ausdehnung. 269. Änderung des Aggregatzustandes. 
270. Elektrizität. Pyroelektrizität. 271. Thermoelektrizität. 272. Magnetismus. 

IIL Almehnltt. Mineralchemle. 

273. Zusammensetzung. 274. Analyse. 275. Wassergehalt. 276. Chemische 
Charakteristik. 277. Verhalten vor dem Lötrohr. 278, 279. Mikrochemische Analyse. 
280. Verhalten gegen Lösungsmittel. 281. Beziehung zwischen chemischer Zusammen- 
setzung und Krystallform. 282. Polymorphismus. 283. Isomorphismus. 284. Chemi- 
sches Verhalten isomorpher Körper. 285. Krystallographisches Verhalten isomorpher 
Korper. 286. Physikalisches Verhalten isomorpher Körper. 287. Isodimorphismus. 
288. Isomorphe Fortwachsung. 289. Isomorphe Mischungen. 290. Krystallographisches 
und physikalisches Verhalten isomorpher Mischungen. 

IT. Abselmltt. Torkommen, Entstehung nnd XJmwandlang 

der Mineralien. 

291. Entstehung der Mineralien. 292. Verbreitung der Mineralien. 293. Vor- 
kommen der Mineralien. 294. Gesteinsbestandteüe. 295. Struktur der G^teine. 
296. Lagerung der Gesteine. 297. Material nnd Entstehung der Gesteine. 298. Trttm- 
mergesteine. 299. Mineralien auf Hohlräumen. 300. Mineralien auf geschlossenen 
Hohlräumen. 301. Mineralien auf Spalten. 302. Kontaktbildungen. 303. Paragenesis. 
304. Mineralbildungsprozesse. 305. Abscheidung aus Wasser. 306. Organische Mine- 
ralbildungen. 307. Erstarrung aus dem Schmelzfluß. 308. Sublimation. 309. Um- 
wandlung der Mineralien. 310. Beispiele für Umwandlungsprozesse. 311. Pseudo- 
morphosen. 312, pag. 409. Intemationale Atomgewichte von 1903. 

Spezieller Teil. 

313. Mineralspezies. 314. Varietät. 315. Mineralsystem. 

Sodann folgt die Beschreibung der einzelnen Mineralspezies und zwar in der 
folgenden Anordnung: 



Xn Inhaltflttberfioht. 

1. SJiaMe. Elemente, a) Metalloide pag. 416 

b) Metalle „423 

2. „ Haloidverbindungen, a) Einfache „ 433 

b) Zusammengesetzte „ 442 

3. ,, Schwefelverbiudnngen, a) Einfache „ 448 

b) Zusammengesetzte .... „ 484 

4. „ Oxyde, a) Wasserfreie „ 606 

b) Hydroxyde und Hydrate „ 561 

5. „ Borate, a) Wasserfreie „ 573 

b) Wasserhaltige „ 576 

6. „ Karbonate und Nitrate, a) Wasserfreie „ 577 

b) Wasserhaltige »604 

7. „ Silikate, pag. 608, a) Wasserfreie , . „ 609 

b) Wasserhaltige »773 

8. „ Titanate, Zirkoniate, Thorate und Stannate . . „ 792 

9. „ Tantalate und Niobate „ 797 

10. „ Phosphate, Arseniate, Antimoniate, Yanadinate, 

a) Wasserfreie „ 800 

b) Wasserhaltige »812 

11. „ Wolframiate und Molybdate „ 828 

12. „ Chromate, Tellurate und Jodate „ 834 

13. „ Sulfate, a) Wasserfreie »835 

b) Wasserhaltige »848 

14. „ Mineralsubstanzen organischen Ursprungs ... „ 870 



Register zum allgemeinen Teil „ 883 

Register zum speziellen Teil „ 895 



Einleitung. 



1. Mineralien. Mineralogie oder OryUognosie ist derj^ige Teil der 
Naturgeschichte, der sich mit der wissenschaftlichen Erforschung der 
Mineralien nach allen ihren Eigenschaften und Beziehungen beschäftigt 

Mineralien sind die homogenen, starren oder tropfbarflüssigen un- 
oi^nischen Naturprodukte von bestimmter, durch eine Formel aus- 
drfickbarer chemischer Konstitution, welche die feste Kruste der Erde 
und anderer Himmelskörper zusammensetzen. 

Alle Mineralien sind homogen, d. h. durch und durch gleichartig, so daO ein 
Teilchen ganz genau ehenso beschaffen ist, wie jedes andere Teilchen desselben 
Stücks. Dadurch unterscheiden sich die Mineralien u. a. von gewissen in der festen 
Erdkruste in großer Ausdehnung und großen Quantitäten an vielen Orten in ganz 
gleicher Weise yorkonmienden Massen, wie Granit, Gneis etc., welche als Gebirg»- 
arten oder Gesteine nicht der Mineralogie, sondern der Fetrographie angehören. Es 
sind dies Mineralgemenge, deren einzelne Bestandteile homogen sind und Gegen- 
stftnde der Mineralogie bilden. 

Die aUerm eisten Mineralien sind fest, nur Quecksilber, Wasser und Petroleum 
sind flüssig. 

Die Mineralien sind femer unorganisch, d.h. nicht durch den Lebensprozeß 
von Pflanzen xind Tieren gebildet, und stehen insofern jenen organischen, aus 
ZeUen zusammengesetzten Naturk($rpern gegenüber, welche letztere oder ihre Be- 
standteile selbst dann nicht zu den Gegenständen der Mineralogie gehören, wenn 
sie im sog. fossilen oder yersteinerten Zustande sich als Versteinerungen, Fossilien 
oder Petrefakten in der Erdkruste finden. So sind also namentlich Muschelschalen, 
Korallenstücke und ähnliches, sodann aber auch die im Tier- und Pflanzenkörper 
vielfach gebildeten Erystalle etc. vom Mineralreich ausgeschlossen. Dasselbe ist streng 
genommen mit den fossilen Kohlen der Fall (Stein- und Braunkohlen etc., welche über- 
dies auch weit davon entfernt sind, homogen zu sein), mit Harzen, wie Bernstein, und 
mit ähnlichem, weil alle diese Körper organischen Ursprungs sind, mehr oder 
weniger weit vorgeschrittene Umwandlungsstadien von Pflanzenmassen verschiedener 
Art Aber einem alten Gebrauch zufolge werden diese letzteren Substanzen trotzdem 
in der Mineralogie mit behandelt. 

Nur solche Substanzen heißen Mineralien, die eine bestimmte und feste, durch 
eine Formel darstellbare chemische Konstitution besitzen. Es sind die in der 
Natur vorkommenden Elemente und deren chemische Verbindungen. Im Gegensatz 
hierzu gibt es eine Anzahl sonst wie Mineralien sich verhaltender Körper, glas- 
artig erstarrte Gesteinsmassen, wie Obsidian, Pechstein etc., die aber eine schwan- 
kende Zusammensetzung haben und daher nicht zu den Mineralien zählen. Sie 
gehören zu den Objekten der Petrographie. 

Die Mineralien, als auf vollkommen natürlichem Weg ohne Zutun des Menschen 
Baaer, Mineralogie. ^ 



2 Mineralien. Mineralogie. 

entstandene sog. Naturprodukte, stehen den sog. Knnstprodukten der chemischen 
Fabriken nnd Laboratorien gegenüber, zu deren Entstehung der Mensch Veran- 
lassung gegeben hat, z. B. EiseuTitriol, Alaun etc. In allen Eigenschaften der 
Homogenität, der konstanten chemischen Zusammensetzung und der unorganischen 
Struktur und Entstehung stimmen diese künstlich dargestellten Körper mit den 
Mineralien durchaus überein, aber die Mineralien haben gerade wegen ihrer vom 
Menschen ganz unabhängigen Entstehung in der festen Erdkruste, welche von ihnen 
zum größten Teil zusammengesetzt wird, eine selbständige eigentümliche Be- 
deutung, und es ist daher geboten, sie als die Grundbestandteile der Erdkruste für 
sich und abgesondert Ton den künstlich dargestellten Substanzen zu betrachten. 

Stücke anderer Himmelskörper gelangen zuweilen als sog. Meteoriten auf die 
Erde. Sie werden von Minerdien gebildet, die zum größten Teil mit irdischen 
völlig identisch, zum Teil allerdings auch von allen solchen verschieden, jedoch in 
sämtlichen wesentlichen Beziehungen mit ihnen analog sind. 

2. Mineralogie. Die wissenschaftliche Untersuchung und Be- 
schreibung der Mineralien bildet das Gebiet der Mineralogie. Sie hat 
sich mit allen Eigenschaften, mit dem Gesamtverhalten der Mineral - 
körper, zu beschäftigen. 

Das erste, was sich hierbei darbietet, ist die chemische Zusammen- 
setzimg. Man muß vor allem wissen, was ein vorliegendes Mineral 
in stoflElicher Beziehung ist, ehe man zur Erforschung weiterer Eigen- 
schaften übergehen kann. Die Chemie ist also eine erste wichtige 
Hilfswissenschaft für die Mineralogie. Sie ermittelt auch zugleich 
das Verhalten der Mineralien gegen Säuren und Basen, gegen Wasser, 
Sauerstoff, Kohlensäure und andere Agentien, spielt bei der Frage 
nach der Entstehung der Mineralien eine wesentliche Bolle und dient 
neben den anderen Eigenschaften bei der Erkennung und Bestimmung 
der Mineralspecies als ein wichtiges Hilfsmittel. 

Das zweite ist die Erforschung der Krystallform^ die Kenntnis 
der regelmäßig polyedrischen Begrenzung, welche die meisten Mine- 
ralien zeigen, und welche einmal an sich, sodann aber auch in ihren 
wichtigen Beziehungen zur chemischen Zusammensetzung untersucht 
wird (Isomorphismus, Dimorphismus). Die Kryställographie ist also eine 
zweite wichtige Hilfswissenschaft. 

Sodann sind die physikalischen Eigenschaften der Mineralien ins 
Auge zu fassen, das Verhalten derselben gegen Wärme, Elektrizität, 
Magnetismus, die Verhältnisse der Kohäsion, der Elastizität, der Härte 
u. s. w., das spezifische Gewicht und vor allem ihr Verhalten gegen 
das Licht, alles dies sowohl an sich, als auch in Beziehung zu der 
Krystallform und zu der chemischen Zusammensetzung. Diese Unter- 
suchungen setzen als Hilfswissenschaft die Physik voraus. 

Auf Grund der chemischen, krystallographischen und physikalischen 
Eigenschaften werden die Mineralien sodann in ein System gebracht, 
das eine möglichst leichte und bequeme Übersicht über das Gesamt- 
gebiet zum Zwecke hat. 



Mineralogie. Literatur. 3 

Da die Mineralien Teile der festen Erdkruste sind, so ist femer 
.von wesentlichstem Interesse die Kenntnis ihres Vorkommens in der- 
selben, der Art und Weise, wie sie mit anderen Mineralien zusammen 
den Aufbau der Erdkruste bewirken, wie sie in ilir entstanden sind, 
wie sie sich unter dem Einfluß der in der Erde stets wirksamen 
chemischen und physikalischen Kräfte verhalten, wie sie durch diese 
umgeändert und häufig ganz zerstört werden und wie sie dabei 
zur Bildung neuer Mineralien Veranlassung geben. In diesen Fragen 
steht die Mineralogie zur Geologie in einer nahen Beziehung, so daß 
beide sich vielfach gegenseitig als Stutze und Ergänzung dienen. 
Sie ist in diesem Sinne nichts anderes als der unorganische Teil 
der Geologie. 

Nach allem dem kann man also schließlich die Aufgabe der Mine- 
ralogie zusammenfassen als die Anwendung der Lehren der Chemie, 
Krystallographie und Physik auf die Kenntnis der Mineralien unter 
gleichzeitiger besonderer Berücksichtigung der Art und Weise ihres 
Vorkommens in der Natur, ihres Anteils an dem Aufbau der festen 
Erdkruste, ihrer Entstehung, ihrer Umwandlung und ihres Vergehens 
unter dem Einfluß der in der Erde stets wirksamen chemischen und 
physikalischen Kräfte. 

Manchmal werden die Mineralien anch nnr als die auf natürlichem Wege ent- 
standenen chemischen Substanzen aufgefaßt. Man sieht von ihrem Vorkommen in 
der festen Erdkruste und Ton ihrer Bedeutung als Bausteine derselben gänzlich ab 
und betrachtet sie, im Verein mit den ja in allen wesentlichen Eigenschaften mit 
ihnen analogen künstlichen Substanzen der chemischen Laboratorien und Fabriken, 
nur hinsichtlich ihres chemischen, krystaUographischen und physikalischen Verhaltens. 
Diese Zusammenfassung ist vom chemischen, krystallographischen und physikalischen 
Standpunkte aus yöllig berechtigt, es ist aber nicht das, was von alters her stets 
als Mineralogie bezeichnet worden ist. Man hat dafür in neuerer Zeit den Namen 
Anorganoffraphie eingeführt. 

3. Literatur. Im folgenden ist eine Anzahl von selbständig 
erschienenen Werken angegeben, die für die Entwicklung unserer 
Wissenschaft von Bedeutung gewesen sind, geordnet nach den ver- 
schiedenen Zweigen der Mineralogie und weiterhin nach den Jahren 
ihres Erscheinens. Literaturangaben für die einzelnen speziellen 
Gegenstände, auch solche aus Zeitschriften, finden sich an den be- 
treffenden Stellen im Tezt 

A. Lehr- und Handbüoher der llüneralogie. 

1794. Widenmaiin« Handbuch des oryktognostischen Theils der Mineralogie. 
1801—05. Beuss. Lehrbuch der Mineralogie. 3 Bde. 

1811 — 17. Hoftatann» Handbuch der Mineralogie (beendigt Ton Breithaupt). 4 Bde. 
1811—24. Steffens. Vollständiges Handbuch der Oryktognosie. 4 Bde. u. 1 Supplement. 
1820. Jameson« A System of mineralogy. 3 Bde. 3. Aufl. 
1822. Hafty. Trait^ de min6ralogie. 2. Aufl. 4 Bde. 
— CleTeland. Treatise on mineralogy and geology. 2 Bde. 

1* 



4 Literatur. 

1822—24. Mohs. Gmndriss der Mineralogie. 2 Bde. 

1826. Von Haidillger mit ZoBätzen fibersetzt unter dem Titel : Treatise of mineralogy. 

1826. C. C. T. Leonliard. Handbuch der Oryktognosie. 2. Anfl, 

1828. Hanmann. Lehrbuch der Mineralogie. 1 Bd. mit Atlas. 

— Hartraann. Handwörterbuch der Mineralogie und Geologie. 
1828—47. HanBmaim. Vollständiges Handbuch der Mineralogie. 2 Theüe. 

1829. Haidinger. Anfangsgründe der Mineralogie. 
1830—31. T. Kobell. Charakteristik der Mineralien. 2 Theile. 
1830—32. Bendant. Trait6 616mentaire de min6ralogie. 2. Aufl. 2 Theile. 

1831. €(locker. Handbuch der Mineralogie. 2. Aufl. 

1832. Breithanpt. Vollständige Charakteristik des Mineralsystems. 3. Aufl. 

1834. Allan« Manuel of mineralogy. 

1835. Necker. Le r^gne min6rale. 2 Bde. 

1836. Thomson« Outlines of mineralogy, geology and mineral analyses. 2 Bde. 
1886 — 39. Moh«. Leichtfassliche Anfangsgründe der Naturgeschichte des Mineral- 
reichs. 2. Aufl. 2 Bde. (Der 2. Bd. bearbeitet von Zippe.) 

1836—47. Breithanpt. Vollständiges Handbuch der Mineralogie. 3 Bde. 

1838. T. Kobell. Grundzüge der Mineralogie. 

1839. Olocker. Orundrisa der Mineralogie. 

1842. Fnehs, Joh. Nep«, Naturgeschichte des Mineralreichs. 

1843. Hartmann. Handbuch der Mineralogie. 2 Bde. mit Nachtrag. 1860. 
1849. Niool. Manuel of mineralogy. 

1861. Haidinger. Handbuch der bestimmenden Mineralogie. 2. Aufl. 

1862. Phillips. Elementary introduction in mineralogy. Neue (5.) Aufl. Heraus- 
gegeben von Brooke und Miller. 

1862—67. Shepard. Treatise on mineralogy. 2. Bde. 3. Aufl. 

1866. Erdmann. Lärobok i Mineralogien. 

1866—69. DnMnoy. Trait6 de min^ralogie. 4 Bde. mit Atlas. 2. Aufl. 

1868—60. Deiafosse. Nouveau cours de min6ralogie. 2 Bde. und Atlas. 

1869. Zippe. Lehrbuch der Mineralogie mit naturhistorischer Grundlage. 

1860. Gm Leonhard. Grundzüge der Mineralogie. 2. Aufl. 

— Pfair. Grundriss der Mineralogie. 
1862. Oirard. Handbuch der Mineralogie. 

1862—93. Des Cloizeanx. Traitd de nün^ralogie. 2 Bde. Unvollständig. 

1864. Andrft. Lehrbuch der gesammten Mineralogie. 

1869. Senft. Lehrbuch der Mineralien- und Felsartenkunde. 

1873—76. Bombicei. Corso di mineralogia. 2. Aufl. 2 Bde. 

1874. Blnm. Lehrbuch der Mineralogie. 4. Aufl. 

1876. Senft. Mineralogie (Leunis, Synopsis der drei Naturreiche. 2. Aufl. 3. Bd. 

1. Abthlg.; 1. Aufl. von Fr. Ad. Eoemer). 
1876. Pisani. Trait^ ^lementaire de min^ralogie. 
1876. !Knop. System der Anorganographie. 
1880. Kenngott. Lehrbuch der Mineralogie. 6. Aufl. 
1883—86. Kenngott, t. Lasaulx und Bolle. Handwörterbuch der Mineralogie, 

Geologie und Paläontologie. 3 Bde. 
1884. Banmlianer. Kurzes Lehrbuch der Mineralogie. 

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1889. Hintze. Handbuch der Mineralogie. 2 Bde. (Noch nicht Tollständig.) 

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1897. Tschermak. Lehrbuch der Mineralogie. 6. Aufl. 



Literatur. 5 

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— HomBteiii* Kleines Lehrbuch der Mineralogie. 5. Anfl. 

1899. T* Kobell. Lehrbuch der Mineralogie in leicht faBslicher Darstellong. 6. Anfl. 
bearbeitet von Oebbeke nnd Weinschenk. 

1899. de Lapparent. Conrs de min^ralogie. 3. Anfl. 

1900. KloeknuMtn« Lehrbuch der Mineralogie. 2. Aufl. 

— Itenard und Stdber. Notions de min^ralogie. 

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1902. Mienu Mineralogy, an introduction to the scientiflc study of minerals. 

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1822. Hafty. Traite de cristallographie. 2 Bde. 

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1825. Naumann« Orundriss der Krystallographie. 

1829. Orassmann« Zur physischen Erystallonomie und geometrischen Combinations- 
lehre. 

1830. Naumann« Lehrbuch der reinen und angewandten Erystallographie. 2 Bde. 

1831. Kupffer« Handbuch der rechnenden Erystallonomie. 

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Gehlen^s phys. Handwörterbuch, auch Ostwald's Classiker Nr. 88. 89.) 

1835. Frankenheim« Lehre von der Cohftsion. 

1839. Miller« A treatise on crystallography. (Uebersetzt und bearbeitet von Grailich. 
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1842. Frankenheim« System der Erystalle. 

1846. Kenngott« Lehrbuch der reinen Erystallographie. 

1851. Schröder« Elemente der rechnenden Erystallographie. 

1862. Sammeisberg« Lehrbuch der Erystallkunde. 

1853. Pfair« Gnindriss der mathematischen Verhältnisse der Erystalle. 

1854. Naumann« Anfangsgründe der Erystallographie. 2. Aufl. 

1855. Kenngott« Synonymik der Erystallogi*aphie. 

— Schabus« Bestimmung der Erystallgestalten in chemischen Laboratorien er- 
zeugter Producte. 

1856. Grailleh, vergl. 1839 MiUer« 

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1861. Karsten« Lehrbuch der Erystallographie. 

— Bes Cloiieaux« Lebens de cristallographie. 

1862. Kopp« Einleitung in die Erystallographie. 2. Aufl. 

1863. Miller« A tract on crystallography (übersetzt Ton Jörres, 1864). 

1865. T. Kokaeharow« Vorlesungen über Mineralogie. (Allgemeiner Theil.) 
1865—78. Schranf« Atlas der Erystallformen des Mineralreiches. Unvollständig. 

1866. T« T« Lang« Lehrbuch der Erystallographie. 

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6 Literatur. 

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1867. €(• Werner. Leitfaden zum Studium der Erystallographie. 

— Knop« Molekularconstitution und Wachsthum der Erjstalle. 

— Des Cloizeaux. Nouvelles recherches sur les propri6t48 optiques des cristaux. 
1869. Frankenheim« Zur Erystallkunde. I. Charakteristik der Krystalle. 

1871. Oadolin« Memoire sur la d6duction d'un seul principe de tous les syst^es 

crystallographiques et de leurs subdivisions (Ostwald, Classiker Nro. 7ö). 
1873. Qnenstedt« Grundriss der bestimmenden und rechnenden Erystallographie. 

— 0. Böse. Elemente der Erystallographie. 3. Aufl. bearbeitet von Sadebeck. 
1876. Sadebeck« Angewandte Erystallographie. (2. Bd. zu G. Böse, Elemente.) 

— Klein« Einleitung in die Erystallbereohnung. 

1879 — 84. Mallard. Trait6 de cristallographie g§ometrique et physique. 2 Bde. 

— Sohnke* Entwickelung einer Theorie der Erystallstructur. 
1881. Liebisoh* Geometrische Erystallographie. 

— Bauerman. Textbook of systematic mineralogy. 

1883. Bammelsberg. Elemente der Erystallographie für Chemiker. 

— Brezina. Methodik der Erystallbestimmung. 

1886. Henrich. Lehrbuch der Erystallbereohnung. 

— Websky. Anwendung der Linearprojection zur Berechnung der Erystalle. 
(3. Bd. zu G. Rose, Elemente 1873). 

1886—91. Goldschmidt. Index der Erystallformen des Mineralreichs. 3 Bde. 

1887. KreJM. Elemente der mathematischen Erystallographie. 

— C^oldschmidt. Erystallographische Projectionsbilder. 

1888. Wyronboff. Manuel pratique de cristallographie. 
1888—89. Lehmann. Molekularphysik. 2 Bde. 

1890. Williams. Elements of crystallography. 

1891. Liebisch. Physikalische Erystallographie. 

— Schönfliess. Erystallsysteme und Erystallstructur. 

1898. Hecht* Anleitung zur Erystallbereohnung. 

— Soret. Elements de cristallographie physique. 

— Friedel. Cours de mineralogie. I. Mineralogie g6n6rale. 
1896. Groth. Physikalische Erystallographie. 3. Aufl. 

— Nies. Allgemeine Erystallbeschreibung auf Grund einer yereinfachten Methode 
des Erystallzeichnens. 

— Story-Maskelyne. Crystallography, a treatise on the morphology of crystals. 

1896. Linok. Grundriss der Erystallographie. 

— Yoigt. Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Erystalle. 

— Liebisoh. Grundriss der physikalischen Erystallographie. 

1897. Goldschmidt. Erystallographische Winkeltabellen. 

1899. Lewis. A treatise on crystallography. 

— Moses. The characters of crystals. 

— Leiss. Die optischen Instrumente der Firma B. Fuess. 

1900. Binne. Das Mikroskop im chemischen Laboratorium. 
1902. Bmhns. Elemente der Erystallographie. 

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1868. Fischer. Chronologische Uebersicht über die Einführung des Mikroskops in 
die Mineralogie. 

1869—76. Fischer. Eritische mikroskopisch-mineralogische Studien mit 2 Fortsetzungen. 
1873. Zirkel. Die mikroskopische Beschaffenheit der Mineralien und Gesteine. 
1876. Dölter. Die Bestimmung der petrographisch wichtigeren Mineralien durch 
das Mikroskop. 



Literatur. 7 

1879. Fonqii^ und Mlehel-L^Ty« Mineralogie micrographiqne. 

1881. ZirkeL Die EinfUhrnng des Mikroskops in das mineralogisch-geologische 

Studium. 
1881—83. Cohen. Sammlnng von Mikrophotographien znr Yeranschanlichnng der 

mikroskopischen Stmctnr der Mineralien nnd Gesteine (später eine dritte, 

nnveränderte Ausgabe). 
1888. Tsohemak« Die mikroskopische Beschaffenheit der Meteoriten. 

1885. Hnssak* Anleitung znr Bestimmung der gesteinsbüdenden Mineralien. 

1888. Bosenbnseh« Hälfstabellen zur mikroskopischen Mineralbestimmung. 

— Mieliel-L^Ty und Laeroix* Les mineraux des roches. 

1889. j9 99 99 Tableau des mineraux des roches. 

1892—96. Bosenbaseh« Mikroskopische Physiographie der Mineralien und Gesteine. 

2 Bde. 3. Aufl. 
1893—94. ZirkeL Lehrbuch der Petrographie. 2. Aufl. 

1900. Luquer« Minerals in rock sections. 

— SehrOder yan der Kolk. Tabellen zur mikroskopischen Bestimmung der 
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1901. Welttgehenk. Anleitung zum Gebrauch des Polarisationsmikroskops. 

— 99 Die gesteinsbildenden Mineralien. 

D. Chemisohe Verhältnisse der Mineralien. 

(Vergl. auch die speziellen chemischen Werke von Berzelius, Fresenius, H. Böse, 
Wähler, Claus, Bammelsbergi de Eoninck etc., sowie betre& des Lötrohrverhaltens etc. 

Abt. F. dieses Abschnittes.) 

1795—1805. Haprotk. Beiträge zur chemischen Eenntniss der Mineralkörper. 6 Bde. 

1808—16. John. Chemische Untersuchung der Mineralkörper. 

1822. Stromejer. Untersuchungen über die Mischung der Mineralkörper. 

1841—53. Bammelsberg. Handwörterbuch des chemischen Theils der Mineralogie 
mit 5 Supplementen. 

1843. Belesse. Thöse sur Temploi de l'analjse chimique dans les recherches 
de min^ralogie. 

1854. Yolger. Studien zur Entwickelungsgeschichte der Mineralien. 

1861. Wöhler. Die Mineralanalyse in Beispielen. 

1863—66. Bisehof. Lehrbuch der chemischen und physikalischen Geologie. 2. Aufl. 
mit einem Supplement 1871. (1. Aufl. 1847—54.) 

1873. Snop. Studien über Stoffwandlungen im Mineralreich. 

1875. Bammelsberg. Handbuch der Mineralchemie. 2. Aufl. Mit 2 Ergänzungs- 
heften 1886 und 1895. 

1875. Hanshofer. Die Constitution der natürlichen Silicate nach den neuesten An- 
sichten der Chemie. 

1879—90. Both. Allgemeine und chemische Geologie. 3 Bde. 

1886. Bammelsberg. Die chemische Natur der Mineralien. 
1888. Fock« Einleitung in die chemische Erystallographie. 

1890. Bdlter. Allgemeine chemische Mineralogie. 

1893. Anrani. Physikalische Chemie der Erystalle. (Aus Graham-Otto, Lehrb. 
d. Chemie. 1. Bd. 3. Abschnitt) 

— Ostwald« Grundriss der allgemeinen Chemie. 

1896. Brauns. Chemische Mineralogie. 

1897. Clarke aad HlUebrand. Analyses of rocks and analytical methods. Deutsch 
von Zschimmer unter dem Titel: Praktische Anleitung zur Analyse der Sili* 
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1860—59. Hausmann. Beiträge zur metallurgischen KrystaUknnde. 

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1858. €• €• T. Leonhard. Hüttenerzengnisse nnd andere auf künstlichem Wege 
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1872. Fuehs. Die künstlich dargestellten Mineralien. 

1879. Danbr^e« Etudes synth^tiques de g^ologie exp6rimentale. (Deutsch Yon 

Gurlt 18Ö0.) 
1882. Fonqu^ und Michel-L^Tj« Synthese des minSraux et des roches. 

1884. Bourgeois« B,eproduction artificielle des min^raux. 

1891. Meunier. Les m^thodes de synth^se en min^ralogie. 

1892. Yogt« Beiträge zur Kenntniss der Gesetze der Mineralbildung in Schmelz- 
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F. Untersuchung und Bestimmung der Mineralien, 

(Siehe zum Teil auch D.) 

1844. Berzelius. Die Anwendung des Löthrohrs, deutsch von H. B^e. 4. Aufl. 

1848. Zimmermann« Handbuch zum Bestimmen der Mineralien. 

1857. Scheerer« Löthrohrbuch. 2. Aufl. 

1862. KerL Leitladen zu qualitativen u. quantitativen Löthrohruntersuchungen. 2.Aufl. 

1864. Fiseher. Clavis der Silicate. 

1866. Blum. Die Mineralien, nach den Erystallsystemen geordnet. 

1872. Birnbaum. Löthrohrbuch. 

1874. Helmhacker. Tafeln zur Bestimmung häufig vorkommender Mineralien. 

— Senft. Analytische Tabellen zur Bestimmung der Mineralien. 

1875. Hirschwald. Löthrohrtabellen. 

1877. Boricky. Elemente einer neuen chemisch-mineralogischen Gesteinsuntersuchung. 

1879. Laube. Hülfstafeln zur Bestimmung der Mineralien. 2. Aufl. 

1880. Bunsen. Flammenreactionen. 

— Chapman. Blowpipe practice. 

1881. Laudauer. Die Löthrohranalyse. 2. Aufl. 

— Behrens. Mikrochemische Methoden zur Mineralanalyse. 

1882. Comwall. Manuel of blowpipe-analysis. 

1885. Haushofer. Mikroskopische Beactionen. 

1886. Klement und Benard. Eeactions microchimiques. 

1889. Boss. Das Löthrohr in der Chemie und Mineralogie. 2. Aufl. Uebersetzt 
von Eosmann. 

1891. Hirsohwald. Anleitung zur systematischen Löthrohranalyse. 

1892. Haushofer. Leitfaden der Mineralbestimmung. 

— Endlieh. Manuel of qualitative blowpipe-analysis. 

1896. Cohen. Zusammenstellung petrographischer Untersuchungsmethoden nebst 
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Literatur 9 

1900. Xoses und Parsone, Siehe bei A. 

1901. T« Kobell. Tafeln ziir Bestimmmig der Mineralien mittelst einfacher che- 
nuBcher Yersnche. 14. Aufl. von Oebbeke. 

Gh. Vorkommen der Mineralieiu 

1805 — 09. €• C. T. Leonliard« Handbuch einer allgemeinen topographischen Minera- 
logie. 

1810—19. H^ron de Tillefosse. De la richesse min^rale. 3 Bde. nnd Atlas. 

1814. üllwann, SjstematiBch-tabellarische üebersicht der chemisch-einfachen Fos- 
silien. 

1825. Montioelll e Coyelli« Prodrome della mineralogia yesnyiana. 

1826. Hlstnger« Versuch einer mineralogischen Geographie yon Schweden. Deutsch 
yon Wöhler nach der Handschrift zur 2. Aufl. 

1887 — 42. G* Kose. Mineralogisch-geognostische Reise nach dem Ural etc. 2 Bde. 

1842. L« €• Beck. Report of the mineralogy of the State of New-Tork. 

1843. Gm Leonliard* Handwörterbuch der topographischen Mineralogie. 
1849. Breithanpt. Die Paragenesis der Mineralien. 

1863. Sartorius yon Waltershausen. Die ynlkanischen Gesteine yon Sicilien und 

Island. 
1863—92. y. Kokseharow. Materialien zur Mineralogie Rasslands. 10 Bde. u. 1 AÜas. 
1866—56. Borat* Trait6 du gisement et de Texploitation des mineraux utiles. 

2 Bde. 3. Aufl. 

1865. Haidinger. Geologische Üebersicht der Bergbaue der Oesterreichischen Mo- 
narchie. 

1856. Sella. Stndi sulla mineralogia sarda. 

1867. J. Roth. Der Yesuy und die Umgebung yon Neapel. 

— Yogi. Gangyerhältnisse und Mineralreichthum Joachimsthals. 

1868. Greg and Lettsom. Manuel of the mineralogy of Great Britain and Ireland. 
1868—93. y. Zepharoyieh. Mineralogisches Lexikon des Eaiserthums Oesterreich. 

3 Bde. (3. Bd. von F. Becke.) 

1869—61. y. Cotta. Die Lehre yon den Erzlagerstätten. 
1863. Fiedler. Die Mineralien Schlesiens. 

— A. Nordenskiöld. Beskrifning üfyer de i Finland funna mineralier. 2. Aufl. 

1866. Kenngott. Mineralien der Schweiz. 

1868. Banbr^e. Substances minSrales. Extrait des rapports du Jury international 
de Texposition uniyerselle de 1867. 

— Senft. Die krystallinischen Erdgemengtheile nach ihren mineralischen Eigen- 
schaften. 

1869. Grimm. Die Lagerstätten der nutzbaren Mineralien. 

1870. Landgrebe. Mineralogie der Vulkane. 

— Höfer. Die Mineralien Kärntens. 

1873. y. Deohen. Die nutzbaren Mineralien und Gebirgsarten im Deutschen Reiche. 

— d'Achiardi. Mineralogia della Toscana. 2 Bde. 

1874. Frensel. Mineralogisches Lexikon für das Königreich Sachsen. 

1875. Genth. Report on the mineralogy of Pensylyania. Mit Nachtrag 1876. 

— Gonnard. Mineralogie du departement du Puy-de-Döme. 

— Hofr. Mineralogy of Noya Scotia. 

1876. G. Leonhard. Die Mineralien Badens nach ihrem Vorkommen. 3. Aufl. 

1878. Fngger. Die Mineralien des Erzherzogthums Salzburg. 

— Gieseeke. Mineralogische Reise nach Grönland (ed. Johnstrup). 

— Balmondi. Mineraux du P^rou. Aus dem Spanischen yon Martinet. 

1879. y. Groddeek. Die Lehre yon den Lagerstätten der Erze. 



10 Literatur. 

1879. Domejko. Mineralojia (besonders die Mineralien von Chile, Bolivia, Pera und 
Argentinien behandelnd). 3. Aufl. Snppl. 1871. 

— Brakebnsoh. Las Especies minerales de la Eepnblica argentina. 

1880. Wenkenbaeh. üebersicht über die in Nassau anfgefondenen einfachen Mineralien. 

1881. Ball« Manuel of the geologj of India. Part JH. Economic geology. 

1882. Liyeraidge. The minerals of New South- Wales. 2. Aufl. 

1884. Brunlechner. Die Minerale des Herzogthums Kärnten. 

1885. Hatle* Die Mineralien des Herzogthums Steiermark. 

1886. Selwyn« Descriptiye Catalogue of a collection of the economic minerals of 
Canada. 

1887. Mallet« A manuel of the geology of India. Part IV. Mineralogy (mainly 
non-economic). 

1888. Tranbe* Die Minerale Schlesiens. 

1890. Brögger« Die Mineralien der Syenitpegmatitgänge der südnorwegischen Augit- 
und Nephelinsyenite. 

1891. Oenth« The minerals of North-Oarolina. 

1893—1902. Lacroix. Mineralogie de la France et de ses colonies. 2 Bde. Noch 
unvollendet. 

1894. Cohen. Meteoritenkunde. 1. Heft. Untersuchungsmethoden und Charakte- 
ristik der Bestandtheile. 

— Orelm« Die Mineralien des Grossherzogthums Hessen. 
1896. Lnedeeke* Die Minerale des Harzes. 

1900. R, Beek, Lehre von den Erzlagerstätten. 

1901. Heddle« The mineralogy of Scotland, herausgegeben von 6K)odchild. 2 Bde. 

1902. Tenne und Calderon. Die Mineralfundstätten der iberischen Halbinsel. 

(Siehe außerdem die verschiedenen Werke über Petrographie von Zirkel, Bosenbusch, 
Ealkowsky, v. Lasaulx u. a.) 

H. Sammelwerke, Zeitschriften eto. 

1806—18. Hisinger und Berzelius. Afhandlingar i Fisik, Kemi och Mineralogi. 

6 Bde. 
1807—24. C. C* V« Leonhard. Taschenbuch für die gesammte Mineralogie. 18 Bde. 
1811—33. Sohweigger. Journal für Physik und Chemie. 69 Bde. 
1829—55. Karsten und v« Deehen. Archiv für Mineralogie, Geognosie etc. 26 Bde. 
1849. Kenngott« Mineralogische Untersuchungen. 
1853 — 92. V« Kokseharow* Siehe unter G. 

1853. V. Kobell. Die Mineralnamen und die mineralogische Nomenclatur. 
1854—75. Hessenberg, Mineralogische Notizen. 12 Hefte. Li den Abhandlungen 

der Senckenbergischen Gesellschaft von Bd. 1—10. 
1865—78. Sohrauf« AÜas der Erystallformen des Mineralreichs. (Unvollständig.) 

1866. Breithanpt« Mineralogische Studien. 

1867. Des Cloizeaux. Nouvelles recherches sur les propri^t^s optiques des cristaux. 

Zeitschriften, in welchen gegenwärtig mineralogische Arbeiten 

publiziert werden, sind n. a.: 

Neues Jahrbuch für Mineralogie, Geologie und Paläontologie von Bauer, Koken und 
Liebisch, gegründet von Leonhard und Bronn, seit 1830. 

Mineralogische und petrographische Mittheilungen von Tschermak, seit 1871; fort- 
gesetzt von Becke. 

Zeitschrift für Erystallographie und Mineralogie von Groth, seit 1877. 

Zeitschrift der Deutschen Geologischen G^esellschaft, seit 1849. 



Literatur. XI 

Annaleii der Physik und Chemie (früher yon Wiedemann, Poggendorff und von 
Gübert), seit 1799. 

Zeitschrift für praktische Geologie, seit 1893. 

Berg- und hüttenmännische Zeitnng, seit 1842. 

Verhandlungen der russisch-kaiserlichen mineralogischen Gesellschaft zu St. Peters- 
burg. 

Annales de chimie et de physique, seit 1816. 

Bulletin de la soci6t6 min^ralogique de France, seit 1878; von 1886 ab unter dem 
Titel: Bulletin de la societ6 frangaise de min^ralogie. 

Bulletin de la soci6t4 g^ologique de France, seit 1836. 

Annales des mines, seit 1816. 

The mineralogical magazine, seit 1877. 

American Journal of science and arts yon SiUiman, seit 1818. 

(Außerdem kommen mineralogische Arbeiten in den zahlreichen Schriften der Aka- 
demien und naturwissenschaftlichen Vereine etc. aller Länder zur Veröffent- 
lichung, sowie vereinzelt in fast sämtlichen der Chemie und Physik gewid- 
meten Zeitschriften.) 

J. JahreBberiohte über den Stand und den Fortschritt der 

Wisaensohaft. 

1822—48. BerzeliuB. Jahresbericht über die Fortschritte der physischen Wissen- 
schaften. Deutsch von Gmelin. 

1835—37. Gloeker. Mineralogische Jahreshefte. 6 Bde. 

1845. Haidingen üebersicht der Resultate mineralogischer Forschungen im 
Jahr 1843. 

1852—68. Kenngott« Üebersicht der Besultate mineralogischer Forschungen in den 
Jahren 1844—1865. 17 Theüe. 

1847—. liebig und Kopp« Jahresbericht über die Fortschritte der reinen etc. 
Chemie, Physik, Mineralogie und Geologie, nebst Fortsetzungen, welche unter 
yerschiedenen Herausgebern bis heutzutage erscheinen ; berücksichtigt neuerer 
Zeit die Mineralogie nicht mehr. 

K. Überslohten über das System. 

1808. Karsten. Mineralogische Tabellen. 2. Aufl. 

1809. Hafty. Tableau comparatif des r^sultats de la cristallographie et de Tanalyse 
chimique. 

1817. A. B* Werner. Letztes Mineralsystem (in Hoffmann, Handbuch der Minera- 
logie 1811—17, Bd. IV). 

1830. Breithaupt. üebersicht des Mineralsystems. 

1847. Berzeliug' neues chemisches Mineralsystem nebst einer Zusammenstellung seiner 
älteren hierauf bezüglichen Arbeiten, herausgegeben von C. Rammelsberg. 

— C^loeker. Generum et specierum mineralium etc. Synopsis. 

— HSmes. Uebersichtliche Darstellung des Mohs'schen Systems. 
1849. Nordenskiöld. Ueber das atomistisch-chemische Mineralsystem. 
1852. G. Rose. Das krystallo-chemische Mineralsystem. 

1853—54. Kenngott. Das Mohs'sche Mineralsystem mit Supplement. 
1860. Hermann. Heteromeres Mineralsystem. 2. Aufl. 
1886. Toula. Mineralogische und petrographische Tabellen. 

1897. A« Weisbaeh. Synopsis mineralogica. 3. Aufl. 

1898. C^rotli. Tabellarische Üebersicht der Mineralien. 4. Aufl. 

1899. A. Weisbaeh. Characteres mineralogici. 2. Aufl. 



12 Literatar. 

L. Beschreibuxig von Mineraliensainmltuigen« 

1804. Mohs« Des Herrn J. F. van der Nnll's Mineralieiicabinet. 

1817. Bonmon. Catalog^e de la collectioii min^ralogiqne speciale du Boi (Paris).. 

1834. Kayser« Beschreibung der Mineraliensammlung des Medidnalraths Bergemann 

in Berlin. 

1837. Ujj* Description d'une collection de min^raux formee par M. Heuland. 

1843. Haidinger. Bericht über die Mineraliensammlung der k. k. Hofkammer. 

1878. €(roth. Die Mineraliensammlung der Eaiser-Wilhelms-Üniyersität Strassbnrg» 

1885. Hirsehwald. Das mineralogische Museum der k. technischen Hochschule Berlin. 
1899. Yisohniakoff« Allgemeine Beschreibung der Mineraliensammlung von Rudolf 

Hermann (Moskau). 

M. Fraküsohe Benatzimg der Mineralien (Lithurgik eto.)* 

1803. Leonliardi« Oekonomische und technische Naturgeschichte des Mineralreichs. 
1803—04. Sohmieden Versuch einer Lithurgik oder ökonomischen Mineralogie. 2 Bde. 

1805. Yölker. Handbuch der ökonomisch-technischen Mineralogie. 2 Bde. 

1821. Brard. Mineralogie appliqu^e aux arts. 3 Bde. 

1822. Blomhof« Lehrbuch der Lithurgik. 
1826. Nanmann. Entwurf der Lithurgik. 

1829. Walehner« Handbuch der Mineralogie in technischer Beziehung. 2 Bde. 

1833. Caire« La science des pierres pr^cieuses appliquee aux arts. 2. Aufl. 

1840. Blnm. Lithurgik. 

1843. Chapman. Practical mineralogj. 

1866. Bnrat« Trait^ du gisement et de Texploitation des min^rauz utiles. 
1868. Barbot. Trait6 complet des pierres pr^cieuses. 

1860. Kluge. Edelsteinkunde. 
1864. Burat. Mineralogie appliquee. 

1867. King. The natural history of precious stones etc. 

1868. Seliranf. Handbuch der Edelsteinkunde. 
1870. Bambosson, Les pierres precieuses. 

1881. Jannettaz, Tanderheym eto. Diamant et pierres precieuses. 

1886. Jagnanx« Traite de mineralogie appliquee aux arts etc. 

1887. Blum. Taschenbuch der Edelsteinkunde. 3. Aufl. 

— Oroth. Grundriss der Edelsteinkunde. 

1890. Kunz. Gems and precious stones of North-America. 

1893. Dölten Edelsteinkunde. 

— Malaise« Manuel de mineralogie pratique. 3. Aufl. 

1896. Bauer* Edelsteinkunde. 

1897. Barrlnger« A description of mineraJs of commercial yalue. 

1899. Gürieh. Das Mineralreich. 

— Streeter« Precious stones and gems. 6. Aufl. 

1900. Charpentier. Geologie et mineralogie appliquees; les mineraux utiles et 
leurs gisements. 

N. Geschichte der Mineralogie. 

1826. Marx. Geschichte der Krystallkunde. 

1839. WheweU. Geschichte der inductiven Wissenschaften. (Deutsch von Littrow.) 

1861. Lenz. Die Mineralogie der alten Griechen und Bömer. 
1866. T. Kobell. (beschichte der Mineralogie. 



Allgemeiner Teil 



L Abschnitt 

Erystallographia 

Die Krystallographie umfaßt die Gesetzm&ßigkeiten, ' welche die regelmäßig^ poly- 
ednsche Begrenzung der krystaUisierten Körper beherrschen. Sie sind hei natürlich 
gehildeten Sahstanzen dieser Art (Mineralien) and bei künstlichen genaa dieselben. 



A. Begriff des S[rystall8. 

4. Krystallislert^ amorph. Die allermeisten homogenen Sub- 
stanzen von bestimmter chemischer Konstitution besitzen die Eigen- 
schaft, bei ihrer Entstehung und Festwerdung lediglich durch die ihnen 
von Natur innewohnenden Kräfte ohne alles äußere Zutun eine regel- 
mäßig ebenflächige, polyedrische Begrenzung anzunehmen, wie z. B. 
der Quarz, Feldspat, Alaun etc., während andere nie etwas solches 
wahrnehmen lassen, wie z. B. Glas, Opal etc. Die ersteren Substanzen 
nannte man hyställisiert, die letzteren amorph, (joh. Nep. Fachs , Amor- 

phismos im Gegensatze zu Erjstallisation. Schweiggers Joamal 47. 1833 a. Pogg. 
Ann. 31. 1834. 577.) 

Der Unterschied zwischen dem krystallisierten und amorphen Zu- 
stande haftet aber, wie man später gefunden hat, nicht bloß an der 
Gestaltung der Oberfläche, sondern er ist ein tiefgehender, das Ge- 
samtverhalten der Substanz umfassender, und auch in den inneren 
physikalischen Eigenschaften der Körper begründeter, so daß es nach 
diesen letzteren möglich ist, einen krystallisierten Körper auch dann 
von einem amorphen zu unterscheiden, wenn der erstere seine regel- 
mäßige Begrenzung, z. B. infolge von mechanischer Entfernung der 
äußeren Schicht, nicht erkennen läßt. 

Man findet nämlich bei der Untersuchung amorpher homogener 
Substanzen, daß dieselben nach allen Eichtungen sich physikalisch 



14 Ej7stallisiert. Amorph. 

vollkommen gleich yerhalten, und daü ganz besonders alle diejenigen 
physikalischen Eigenschaften, welche mit der Kohäsion zusammen- 
hängen, in ihnen nach allen Bichtungen yollkommen gleich sind. 
Namentlich ist dies mit der Elastizität, gemessen durch den Elastizitäts- 
koeffizienten, der Fall. Diesen letzteren findet man an einem amorphen 
Körper stets gleich, man mag das zur Messung dienende Stäbchen 
aus demselben herausschneiden, in welcher Eichtung man will. Er 
ist Yon der Richtung yöUig unabhängig. 

Dem gegenüber sind die krystallisierten Körper dadurch charak- 
terisiert, daß in ihnen die physikalischen Eigenschaften sich im allge- 
meinen mit der Richtung ändern. Dies ist bei allen Krystallen ohne 
Ausnahme besonders mit der Kohäsion und den damit zusammen- 
hängenden Eigenschaften der Fall. In den meisten Krystallen sind 
so große Kohäsiousunterschiede vorhanden, daß sie sich in gewissen 
Bichtungen besonders geringer Kohärenz leicht nach ganz ebenen 
Flächen zerspalten lassen (194), während dies in anderen Bichtungen, 
wo die kleinsten Teilchen fester zusammenhalten, nicht möglich ist. 
Die Existenz solcher Flächen besonders geringer Kohäsion, also be- 
sonders leichter Trennung der kleinsten Teilchen, sog. Spaltungs- 
flächen oder Blätterbrtiche, ist ein sicheres Kennzeichen für Krystalli- 
sation. Sie finden sich nie an amorphen Körpern, allerdings auch 
nicht an allen krystallisierten gleich deutlich. 

Besonders wichtig ist aber auch hier wie bei den amorphen 
Körpern die Elastizität, weil man diese nach allen Bichtungen hin 
besonders genau untersuchen kann. Man findet, daß in jedem krystalli- 
sierten Körper zwar in allen parallelen Lagen der Elastizitätskoeffizient 
stets derselbe ist, daß er aber in abweichenden Bichtungen im allge- 
meinen einen anderen Wert besitzt, daß er sich also mit der Bich- 
tung ändert Damit ist nicht gesagt, daß in jeder anderen Bichtung 
ausnahmslos auch ein anderer Elastizitätskoefflzient erhalten wird, im 
Gegenteil gibt es in den meisten Krystallen mehrere Bichtungen 
gleicher Elastizität, aber jede Bichtung verhält sich in Bezug auf die 
Elastizität stets anders als alle unmittelbar benachbarten (192). 

Danach kann man amorphe und krystallisierte Mineralien folgender- 
maßen definieren: 

Amorphe Substanzen sind solche, bei denen die physikalische Be- 
schaffenheit, besonders die Kohäsion und alle damit in Zusammenhang 
stehenden physikalischen Eigenschaften nach allen Bichtungen gleich, 
also von der Bichtung unabhängig sind. Keine Bichtung ist von den 
anderen irgendwie physikalisch verschieden. 

Krystallisierte Substanzen sind diejenigen homogenen festen Körper, 
bei denen das physikalische Gtesamtverhalten, vor allem die Kohäsion 
und alle damit zusammenhängenden Eigenschaften, besonders die 



Individuum. 15 

Elastizität, sich mit der Richtung stetig ändern, sofern diese Änderung 
nicht durch äaißere Einflüsse hervorgebracht ist, sondern dem Wesen 
der Substanz entspricht. 

Verschiedene Elastizität etc. in yerschiedenen Richtungen hahen z. B. anch 
Holz, Elfenhein und andere ähnliche Körper. Diese sind aher nicht homogen, faUen 
also nicht nnter die ohige Definition. Ebensowenig fallen darunter gepreOte oder 
gekohlte Gläser nnd ähnliche Substanzen, die zwar homogen sind, bei denen aber 
die Verschiedenheit der Elastizität in yerschiedenen Sichtungen durch äuüere Ein- 
flösse, wie Pressung, rasche EUhlung etc. heryorgebracht worden ist, während Glas 
wie alle anderen amorphen Körper im ungepreßten etc., also im natürlichen Zustande, 
nach allen Richtungen dieselbe Elastizität zeigt, im Gegensatz beispielsweise zum 
krystallisierten Quarz, der im yollkommen normalen natürlichen Zustande jene Unter- 
schiede erkennen läßt, und der vielleicht durch äußere Einflüsse, wie Pressung, in 
einen Zustand der allseitigen Gleichheit der Elastizität künstlich versetzt werden 
könnte, ohne daß er deshalh aufhörte, ein krystallisierter Körper zu sein. 

Einzelne physikalische Eigenschaften sind allerdings in gewissen Krystallen 
nach allen Richtungen die gleichen. So pflanzt sich z. B. das Licht in allen 
Krystallen des regulären Systems allseitig mit der nämlichen Geschwindigkeit fort. 
Bei dem Unterschied zwischen krystallisierten und amorphen Substanzen handelt es 
sich aher nicht um einzelne physikalische Eigenschaften, sondern um alle zusammen, 
um das physikalische Geaamtverhalien. 

5. IndiTidamn. Ist eine zusammenhängende Masse eines 
krystallisierten Minerals so beschaffen, daß die von allen Punkten o 
(Fig. 1) (und zwar nicht nur in einer Ebene) ausgehenden parallelen 

Sichtungen a^ Oj, a^ a^, a* a^ ; femer: b^ 6|, b^ 6„ 6g ftg ; 

etc. sich untereinander auf ihrer ganzen Erstreckung durch die Masse 
hindurch in jeder Beziehung physikalisch gleich verhalten, dann ist 
diese Masse einheitlich gebaut ; sie bUdet ein Individuimij einen nicht 
nur chemisch, sondern auch physikalisch homogenen, durchaus gleich- 
artig beschaffenen Körper. Wenn man dagegen durch eine solche 
Masse hindurch Eichtungen legen kann, welche nicht auf ihrer ganzen 
Erstrecknng von einem Ende bis zum an- 
deren physikalisch gleich sind, sondern 
nur bis zu einem gewissen Punkt, z. B. 
auf der Strecke ab oder cd bis zu b oder 
d (Fig. 2), von wo ab sie dann in ihrer 

Fortsetzung, also auf der Strecke 66^ mgTlT Fig, 2 

und ddl, eine andere physikalische Be- 
schaffenheit annehmen, so daß man sich in b in die Richtung bb^, 
und in d in die Richtung dä^ herumdrehen muß, um die erste Be- 
schaffenheit in den Richtungen ab resp. cd wiederzufinden, wie dies 
die gleich resp. verschieden gezeichneten Linien andeuten, dann ist 
diese Masse nicht einheitlich gebaut, sondern ein aus zwei (oder 
mehreren) verschieden orientierten Individuen verwachsenes Aggregat. 
Die Individuen stoßen stets nach einer ganz scharfen Grenzfläche mn 





16 Erystall. Derb. 

zusammen , welche von allen den Punkten 6, d etc. gebildet wird , in 
welchen die physikalische Beschaffenheit der hindurchgelegten geraden 
Bichtungen sich ändert Ein solches Aggregat gleicher Individuen, d« h. 
Individuen derselben Substanz, aber von verschiedener Orientierung, 
ist dann zwar noch chemisch, aber nicht mehr physikalisch homogen. 

Wie lineare Bichttmgen yerhalten sich auch Ebenen, die man dnrch die 
Masse hindnrcblegt. So gehen Blätterbrüche (Spaltungsflächen) dorch ein Mineral- 
individnnm, z. B. von Kalkspat, yoUkommen gleichmäßig und nnonterbrochen von 
einem Ende bis zum anderen hindurch; dagegen gehen sie bei einer ans zwei oder 
mehr Individuen yerwachsenen Masse nur bis zur Grenze zweier Individuen in einer 
bestimmten Richtung, von dort an aber in den anstoßenden Individuen in einer 
anderen Richtung weiter, während sie in der ursprünglichen Richtung genau an der 
Grenze aufhören. Hieran lassen sich häufig einzelne Individuen von Verwachsungen 
mehrerer Individuen (Aggregaten) leicht unterscheiden. 

Zwei getrennte Individuen derselben Substanz, welche so liegen, 
dafi die Richtungen im einen allen parallelen Bichtungen im anderen 
Individuum physikalisch in jeder Hinsicht gleich sind, heißen pardUd, 
sie befinden sich in ParäUdstellung. Individuen, welche so stehen, daß 
die Bichtungen im einen von parallelen Bichtungen im anderen, wenn 
auch nur zum Teil, physikalisch verschieden sind, sind nicht parallel, 
sie sind verschieden orientiert. 

6. Krystall, derb. Ein krystallisierter Körper, welcher nach 
außen durch eine regelmäßige und ebenflächige polyedrische Be- 
grenzung abgeschlossen wird, heißt ein Kryställ, sofern diese äußere Be- 
grenzung sogleich ursprünglich bei der Festwerdung des Körpers und 
zwar lediglich durch die inneren Kräfte desselben und ohne Beein- 
flussung von außen sich gebildet hat, und somit der Substanz des- 
selben wesentlich ist. Krystallisierte Massen, welche eine solche regel- 
mäßige Begrenzung nicht besitzen, heißen Jerystallinisch oder derb. 
Sie unterscheiden sich bezüglich der inneren Beschafienheit in nichts 
von den Krystallen, nur fehlt ihnen die regelmäßige äußere Begrenzung. 
Wie die Krystalle bilden auch sie Individuen (5). Aus mehreren 
derben Individuen verwachsene Mineralmassen heißen hrystallinische 
oder derbe Aggregate, Durch die Verwachsung mehrerer Krystalle ent- 
steht eine KrystoHgruppe. 

Zu dieser Definition des Begriffs Krystall ist folgendes zu hemerken: 

Aus vielen krystallisierten Substanzen lassen sich, wenn in ihnen nach mindestens 
drei geeigneten Bichtungen leichte Spaltbarkeit herrscht (4. 194), ringsum ebenflächig 
begrenzte Stücke herausspalten. Die Spaltbarkeit ist im Wesen der Substanz be- 
gründet, sie verhält sich in allen Stücken derselben Substanz völlig gleich, die 
einzelneu Spaltungsflächen sind stets in derselben Zahl vorhanden und machen stets 
dieselben Winkel miteinander, wenn man sie an verschiedenen Stücken derselben 
Substanz darstellt; sie sind aber nicht ursprünglich, sondern erst nachträglich her- 
gestellt. Solche regelmäßig polyedrischen Stücke sind also keine echten Krystalle, 
trotzdem ihre Form auf den inneren Kräften der Substanz beruht und ihr daher 



Begrenxungselemente. Flftchen. 17 

wesentlich ist. Man nennt sie Spaliungsaiücke. Solche lassen sich z. B. in aii4geieich- 
neter Weise am Kalkspat herstellen (194). 

Ebensowenig liegen echte Krystalle yor, wenn eine Substanz durch irgend einen 
äußeren Umstand eine regelmäßige Form erhält, welche für die Krystalle dner 
anderen Substanz charakteristisch ist, wenn z. B. ein Krystall einer Substanz eine so 
langsame und allmähliche chemische Umwandlung erlitt, daß zwar die ursprüngliche 
Substanz einer anderen Platz machte, aber unter yöUiger Erhaltung der ursprüng- 
lichen Form. In diesem Fall ist die Krystallform zwar ursprtLnglich, jedoch nicht 
durch die inneren Kohäsionskräf te der Substanz dieser aufgeprägt, sondern mehr durch 
ZufaU entstanden, sie ist der Substanz nicht wesentlich. Derartige häufig yorkommende 
kiystallähnUche Bildungen heißen AfterkryntaUe oder Psettdomorphoaen (311). 

Ein von regelmäßigen, den genannten Anforderungen entsprechen- 
den Flächen begrenztes Individuum wird ein einfacher Krystall genannt 
(im Gegensatz zu den Zwillingen (155 ff.); einfache Krystalle sind nicht 
zu verwechseln mit einfachen Krystallformen (9)). 



B. Begrenzungselemente. 

Die Flächen y Kanten und Ecken, welche die ErystaUe umschließen, 
heißen die Begrenzungselemente derselben. Ist ihre Anzahl an einem 
KrystaUe beziehungsweise = Fy K und E, so besteht die Beziehung : F-^E==K'\-2, 

a. FMcheiu 

7. Fl&chenparallellsmns. Die Flächen, welche die Krystalle 
hegrenzen, treten nicht einzeln, sondern stets paarweise in der Art 
auf, daß zu jeder Fläche eine zweite ihr parallele vorhanden ist 
Diese zwei Flächen gehören notwendig zusammen, so daß man streng 
genommen nicht von Erystallflächen , sondern von Flächenpaaren zu 
reden hätte. Wenn von einer Fläche gesprochen wird, so ist im allge- 
meinen die ihr parallele Gegenfläche mit verstanden. 

Ausnahmen von der Erscheinung des Flächenparallelismus büden nur gewisse 
hemimorphe und hemiedrische Krystalle ((68. 63) z. B. Fig. 23 und 39 a u. c). 

8. FliclienbeschaifeDheit. Die Begrenzungsflächen der ErystaUe 
fdnd meist ziemlich eben, doch auch nicht selten stark gekrümmt, wie 
z. B. beim Diamant und bei manchen Gipskrystallen. Aber auch die 
ebenen Flächen sind meist nicht völlig glatt, sondern sie zeigen häufig 
kleine Erhabenheiten und Vertiefungen von verschiedener Form und 
Große, regelmäjßig geradlinige Streifung etc. Manche Flächen zeigen 
starken Olanz, andere sind matt und rauh; manche sind härter als 
andere desselben Erystalls; manchen geht ein Blätterbruch parallel, 
manchen anderen nicht etc. Dadurch erhalten die Erystallflächen einen 
^urch die Gesamtheit ihrer Eigenschaften bestimmten physikalischen 

Bauer, Ui&enklogle. ^ 



18 



EiDfache KrjBtallfonnen. Eombiitatioiieu. 



(iDorphologischen oder krystallographischen) Charakter (175). Diejenigen 
Flächen eines Krystalls {und nur auf die Flächen eines und desselben 
Krystalls bezieht sich das Nachfolgende), welche denselben physi- 
kalischen Charakter haben, welche in physikalischer Hinsicht in jeder 
Beziehung gleich sind, sind auch krystallographisch gleichwertig, sie 
heißen kurzweg ^gleich" ; physikalisch verschiedene Flächen sind auch 
krystallographisch verschieden. Dabei ist ganz abzusehen von der rela- 
tiven Größe und Gestalt derselben; krystallographisch gleiche Flächen 
eines Krystalls siud häufig in Form und Größe sehr voneinander ver* 
schieden, umgekehrt sind krystallographisch verschiedene Flächen nicht 
selten gleichgestaltet. Parallele Gegenflächen sind stets einuLder gleich 
(ausgenommen bei Hemiedrie (63) und Hemimorphie (68)). 

Weit an yollEtfindigren Eryatallen zn jeder Fl&che eine ihr 
g^leiche parallele Oegenfläche vorhanden int, so kann man Krystalt- 
brnchatflcke sich leicht zn vollatfindigen Krystollen ergänzt denken. 
In Fig. 3 wird das in ausgezogenen Linien abgebildete Erystallbmch- 
stflck darcb den in gestrichelten Linien (nnten in der Fignr) darge- 
stellten Teil zn einem ToUstllndigen Indifidanm ergtnst. Er;stftll- 
fragmente genDgen also, wenn sie nicht zn mdimentAr sind, zur Fes(> 
Stellung krystallogrtiphischer OesetzmäBigkeiten. 
Fig, 3. Zur Erleichtemng der KryatallbeBchreibnng pflegt mau aof Ab- 

bildungen nnd Modellen alle gleichen FlSchen eines Krystalls mit 
demselben Buchstaben zq hefeicbnen (zu signieren). So bedeutet der gleiche Bnch- 
stabe h anf den Flächen des Krystalls Fig. 5, daß sie alle einander gleich sind; 
die BachBtaben h nnd o in der Erystallform Fig. 7, daQ alle Flächen h resp. o ein- 
ander gleich, die Flächen h aber von den Flächen o yerscbieden sind. 

9. Elnfaehe Erystallformen, Kombinationen. Untersncht man 
die in der Katur vorkommenden Krystalle, so findet man, daß es 
einmal solche gibt, deren Begrenzungsfläcben alle einander gleich 
sind, sodann solche, welche von krystallographisch verschiedenen Flächen 
umgrenzt werden. Hierbei ist, wie auch im folgenden immer, Gleichheit 
und Verschiedenheit im Sinne von (8) zu verstehen. 

Die Begrenzungen von Krystallen der ersten Art — mit lauter 
gleichen Flächen — heißen einfache Krystallformen. Solche sind z. B. 
die oktaedrischen Formen, welche 
man häufig beim Magneteisen 
findet (Fig. 4). die würfeligen Ge- 
stalten des Flnßspates (Fig. 5) 
Q. a. m. Man findet aber, daß 
eine solche Form nicht aasschließ- 
lich nur bei einem einzigen Mine* 
ral vorkommt, sondern bei meh- 
~'° ~ "'° reren. So trifft man die okta- 

edrischen Formen des Magneteisens gleicherweise als einfache Formen 
wieder beim Glold, Bleiglanz, ebenfalls beim Flußspat, der außer 




Eombinatioiien. 19 

den wOrfeligeo aoch oktaedrische Erystalle bildet, beim Alaun etc. 
Die wflrfeligen Gestalten des Flußspats treten ebenso wieder beim 
Steinsalz, Schwefelkies, g'Ieichfalls beim Bleiglanz etc. anf. 

Die Formen mit voneinander verschiedenen Begrenzangsflächen 
beiden Konännaüonen. Eine solche Kombination, an einem Flußspat- 
krystaU beobachtet, ist in Fig. 7 abgebildet. Der Krystall ist nm- 
grenzt von den 8 dreieckigen Flächen o, welche alle glatt nnd glänzend 
sind, parallel mit welchen die Krystalle sich sehr leicht spalten lassen, 
nnd die sich überhaapt in jeder Beziehung gleich verhalten ; sodann 
von den 6 viereckigen Flächen h, welche rauh nnd matt sind, in 
deren Bichtong Spaltung nnmSglich ist, nnd die sich ebenfalls als 
untereinander in jeder Beziehung gleich, aber von den Flächen o ver- 
schieden erweisen. 

Denkt man sich nun die sämtlichen Flächen o bis zur gegen- 
seitigen Durchdringung ausgedehnt, bei gleichzeitigem Verschwinden 
der Flächen h, nnd faßt sie in dieser Weise zn einer einfachen 
Erystallform zusammen, so entsteht, wie Fig. 6 zeigt, dieselbe okta- 
edrische Gestalt, welche für sich allein beim Flußspat etc. auftritt 
(Fig. 4). Denkt man sich dagegen in gleicher Weise die Flächen A 
ausgedehnt und o verschwunden (Fig. 8), so entsteht dadurch die 
wOrfelige Form, welche beim Flatlspat eta vorkommt (Fig. 5). An 




Fig. 6. Fig. 7. Fig. 8. 



dem in Fig. 7 dargestellten Krystall sind also das Oktaeder und der 
Würfel gleichzeitig nebeneinander vorhanden; er ist eine Kombination 
dieser beiden einfachen Formen. Ebenso kann im allgemeinen jede 
andere Erystallform mit angleichen Flächen als eine Yereinigong 
mehrerer, meist auch isoliert vorkommender einfacher Formen aufge- 
faßt werden, wobei immer die zu einer einfachen Form gehörigen 
Flächen einander gleich nnd von den anderen Flächen verschieden 
sind (vei^l. 10). 

Diese einfachen Formen lassen sich somit als die Elemente be- 
trachten, ans denen man den ganzen Keichtum der ErystaUgestalten 
ZDsammensetzen kann. Sie sind in nur geringer Zahl vorhanden und 
jede kehrfc bei einer mehr oder weniger großen Zahl von Mineralien 
-wieder, entweder isoliert für sich, wie das oben tär Oktaeder nnd 



20 



Offene und geschlossene Formen. Kanten. 



Würfel gezeigt wurde, oder mit anderen Formen zusammen, in Kom- 
binationen, die ebenfalls sich bei verschiedenen Mineralien in der- 
selben Weise wiederholen können. So kommt die Form Fig. 7 außer 
beim Fluißspat z. B. auch beim Bleiglanz etc. vor. 

Kombinationen, m welchen 2, 3, 4 . . . einfache Formen vereinig sind, heißen 
2, 3, 4 . . . gäfUig. Die Flächen einer einfachen Form sind häufig an GrOfie über- 
wiegend; diese heißt der Träger der Kombination, wie z. B. in Fig. 98 etc. 

10. Offene, geschlossene Formen. Eine besondere Art einfacher 
Formen lehrt folgendes Beispiel kennen. In Fig. 9 (Mitte) ist ein 
von den Flächen b und p begrenzter Ealkspatkrystall abgebildet 
Alle 6 Flächen p sind gleich, aber von den 2 Flächen b verschieden« 
Erstere sind glasartig glänzend, letztere milchig trübe und matt. Die 
Flächen p bilden also eine einfache Eiystallform und ebenso die 
Flächen b eine andere. 

Die Flächen p schneiden sich in 6 parallelen Kanten. Sie bilden 
offenbar das in Fig. 9 (rechts) abgebildete sechsseitige Prisma, das 

den Baum nicht mehr allseitig be- 
grenzt, sondern ihn nach oben und 
unten offen läßt. Die von den beiden 
Flächen b gebildete einfache Form be- 
grenzt dagegen den ßaum nur nach 
oben und unten (Fig. 9, links), läißt 
ihn dagegen nach allen anderen Bich- 
tungen hin ringsum offen. Man unterscheidet danach von den ge- 
schhssenen einfachen Krystallformen, wie z. B. Oktaeder und Würfel, 
die offenen. Von diesen werden solche, welche den Baum nur in zwei 
entgegengesetzten Bichtungen offen lassen, wie jenes sechsseitige 
Prisma p, ganz allgemein JMsmen genannl^ während die nur von 
Fläche und Gegenfläche b begrenzten Formen, die den Baum nur nach 
zwei entgegengesetzten Bichtungen abschließen, Pinakoide heißen. 

Offene Formen (Prismen nnd Pinakoide] können natürlich isoliert oder, wie man 
ea sagen pflegt, selbständig nicht yorkommen, sondern nnr in Kombination mit 
anderen (offenen oder geschlossenen) Formen. Die Zahl der ans den EombinationeB 
ableitbaren (9) einfachen Formen ist also nm die sämtlichen offenen Formen größer 
als die der selbständig vorkommenden. Übrigens sind anch noch nicht aUe in 
Kombinationen sich findenden geschlossenen einfachen Formen isoliert bekannt ge- 
worden. Hier liegt jedoch keine physische Unmöglichkeit yor, sondern es ist zu er- 
warten oder doch möglich, daß sie mit fortschreitender Kenntnis der Ejrystallwelt 
auch selbständig noch gefunden werden. 




iP 



Fig. 9. 



b. Kanten. 

11. Allgemeines. Die Flächen schneiden sich in Kanten, welche 
gerade verlaufen, wenn die Flächen eben sind ; im anderen Falle sind 
sie krumm, wie z. B. beim Diamant (8). 



Flfichenwinkel. Goniometer. 21 

Da die Flächen mit ihren parallelen Gegenflächen, also paar- 
weise auftreten, so sind die Kanten in einer Anzahl von mindestens 
vier untereinander parallelen vorhanden (oder würden vorhanden sein, 
wenn die Flächen weit genug ausgedehnt wären). 

Die Kante zweier Flächen P und M wird mit P/M bezeichnet (signiert). Kanten, 
in welchen sich an einer Kombination zwei nicht derselben einfachen Krystallform 
angehGrige Flüchen schneiden, heißen Kombinationakanteny z. B. die Kanten kjo 
m Fig. 7. 

12. FläehenwinkeL In den Kanten stoßen die Flächen unter 
sehr verschieden großen Winkeln zusammen, welche aber stets bei 
vollkommen regelmäßig ausgebildeten und einheitlich gebauten ein-* 
fachen Krystallen (6) ausspringend, also im Innern desKrystalls <[180^ 
sind. Die vollkommen regelmäßig ausgebildeten und begrenzten Krystall- 
individuen sind somit stets hmvexe Polyeder (vergl. einspringende 
Winkel der Zwillinge (155 ff.) ; ebenso (154) bei parallel verwachsenen 
Individuen). 

Die absolute Größe der Flächenwinkel, d. h. der Winkel, unter 
welchen zwei Flächen in einer Kante zusammenstoßen, ist das, was 
man unter der Gröfk der Kante versteht. Deren Länge ist dabei ebenso 
gleichgültig, wie die Gestalt der Krystallflächen (8). Man pflegt zu 
sagen, eine Kante ist = 100®, d. h. die beiden Flächen stoßen in ihr 
unter 100® zusammen. Die Größe der Kanten, d. h. der Flächen- 
winkel, ist für die Kenntnis der Krystalle höchst wichtig, und man 
hat daher den größten Wert auf eine möglichst genaue Messung 
derselben zu legen. Diese geschieht mit Hilfe der Goniometer, welche 
als die wichtigsten Instrumente des Krystallographen anzusehen sind. 
In Gebrauch ist hauptsächlich das Anlegegoniometer von Garangeot 
und das Reflexionsgoniometer von WoUaston, vielfach mit den Ver- 
besserungen von Mitscherlich, Babinet und anderen. Dieses letztere 
gibt, wenn Krystalle mit gut spiegelnden Flächen vorliegen, auf wenige 
Minuten, ja Sekunden genaue Resultate, auch wenn die Flächen klein 
sind. Das erstere setzt große Krystalle mit glatten, wenn auch matten 
Flächen voraus, gibt aber auch unter den günstigsten Umständen 
nur auf V4* — V2^ richtige Näherungsresultate. Es ist sehr viel ein- 
facher gebaut und leichter zu handhaben als das Reflexionsgonio- 
meter. 

Die ebenen Winkel der Kanten (Xantemvinkel) in den einzelnen Flächen lassen 
sich nicht so genan messen, wie die Flächen winkel. Sie können aber ans den 
Flächenwinkeln leicht durch Rechnung ermittelt werden. Nur in seltenen Fällen ist 
man in der Lage, sie direkt bestimmen zu müssen. Die dazu dienenden besonderen 
Methoden sollen aber hier nicht weiter berücksichtigt werden. 

13. Anlegegoniometer. Das Anlegegoniometer ist 1783 von dem 
Pariser Mechaniker Carangeot erfunden und später von dem Mineralogen 



22 



Anlegegoniometer. fieflexionsgoniometer. 




Fig. 10. 



Haüy verbessert worden. Es besteht aus dem in Grade etc. geteilten 

Halbkreis hgi (Fig. 10), dessen Mittelpunkt in c 
sich befindet. Durch c gehen zwei Schienen, deren 
eine de um c drehbar ist, die andere Tn nicht 
Der untere Rand der Schiene hi ist dem Durch- 
b^ messer 0*^ bis 180® des Ej*eises parallel und hl 
geht verlängert durch c und durch den Anfangs- 
punkt 0® der Teilung, sowie durch den Punkt 
180^ Der Rand de der beweglichen Schiene 
geht dem bei jedem Azimuth derselben durch 
den Mittelpunkt c sich fortsetzenden Rande ß parallel. Die 
Messung geschieht, indem man den Erystall so zwischen die beiden 
Schienen de und hi bringt, wie das den Krystall darstellende ge- 
strichelte Parallelogramm andeutet. Die zwei Flächen, deren Winkel 
gemessen werden soll, liegen den äußeren Rändern beider Schienen 
genau an, was durch Drehung der beweglichen Schiene de um c be- 
werkstelligt werden kann. Auch muß die Ebene des Teilkreises auf 
der zu messenden Kante möglichst genau senkrecht stehen. Der Rand 
fk der beweglichen Schiene de bezeichnet am Teilkreis die für den 
gesuchten Winkel abzulesende Zahl a. 

um auch an in Hohlräumen sitzenden Erystalleu Winkel messen zn können, 
hat das Instrument yielfach die Einiichtung, daß sich die eine Hälfte des Kreises 
um ein bei g befindliches Chamier nach hinten umklappen läßt. Die beiden Schienen 
dt und hi kann man meist in den an ihnen angebrachten Schlitzen paraUel mit sich 
selbst verschieben, so daß sie nach Bedarf nur mit zwei kleinen Spitzen über c 
hinausragen. Auch lassen sich bei fast allen Instrumenten dieser Art die beiden 
Schienen zusammen aus dem Teilkreis herausnehmen und wieder einsetzen. Noch 
etwas andere Konstruktionen sind ebenfalls schon yersucht worden, die aber yon der 
obigen nicht wesentlich abweichen. 

14. Beflexionsgoniometer. Prineip, Das Beflexionsgoniometer be- 
ruht auf folgendem Prinzip (Fig. 11): Gemessen soll werden der Winkel 
der beiden Flächen ac und hc in der Kante c (kurz die Kante c). Auf 
der einen Fläche ac wird bei c das Bild eines leuchtenden Punktes p, 
des Signals, nach dem bei o befindlichen Auge reflektiert, und somit in 

der Richtung ocgi gesehen. Diese Richtung kann 
durch eine in der Verlängerung von oc bei gt 
angebrachte Marke ein fdr allemal fest bestimmt 
werden. Das Auge bleibt dabei stets in o und 
der leuchtende Punkt in jp. Der Krystall 
ach sei so orientiert, daß o und p in einer zur 
Kante c senkrechten Ebene liegen (welche die 
Zeichnungsebene sein soll). Dann bewegt sich 
das auf der ersten Fläche ac reflektierte Bild 




Fig. 11. 



von p allmählich über das Sehfeld hin, wenn man den Krystall um 



Wollastonsches Groniometer. 23 

die Kante c als Achse von a gegen a^ dreht, und verschwindet end- 
lich ganz. Dabei nähert sich die zweite Fläche bc in ihrer Lage 
immer mehr der ursprünglichen Lage der Fläche ac resp. deren 
Erweiterung. Wenn so bc allmählich ungefähr in die erste Position 
von ac, also in die Nähe von cb^ gelangt ist, erscheint das nun auf 
bc reflektierte Bild von p wieder von der anderen Seite her im Sehfeld, 
bewegt sich darin bei weiterem Drehen vorwärts und wird in dem 
Augenblick wieder genau in der durch die Marke q fest bestimmten 
Sichtung acq gesehen, in welchem ob nach cb^ in die Verlängerung 
von ac fällt. Man erkennt den Moment, in dem die Fläche cb nach 
d>^ in die Erweiterung der Fläche ac gefallen ist, eben gerade daran, 
daß man das Keflexbild des Signals p auf der zweiten Fläche cb^ 
wieder genau in der Richtung ocq sieht. Der Winkel, um den man 
bis dahin drehen muß, ist der Winkel bd)^, den die zweite Fläche 
in ihrer ersten Lage cb mit ihrer zweiten Lage cb^ macht ; es ist der 
Nebenwinkel des eigentlich zu messenden Winkels acb. Letzteren er- 
hält man, wenn man den ersteren von 180® abzieht. Der Winkel oc6 
heißt der innere, der Winkel bcb^ der äußere Winkel der beiden 
Flächen ac und bc. Die Messung des Winkels bcb^ kann geschehen, 
wenn der Krystall so an einem drehbaren Teilkreis befestigt wird, 
dass die zu messende Kante c mit dessen Drehachse zusammen resp. 
in deren Verlängerung fällt 

Der gemessene äußere Winkel bcb^ ist offenbar gleich dem Winkel der Normalen der 
beiden Flächen ac und bc. Man findet diesen direkt gemessenen, auch als „Normalen- 
winkel" bezeichneten Winkel vielfach statt des eigentlichen inneren Flächenwinkels 
in den ExystaUbeschreibungen angegeben. Jeder dieser beiden Winkel ergänzt den 
anderen zu 180^ und es ist namentlich: ac5 = 180^ — bcb\ 

15. Wollastonsches Goniometer. Das ursprüngliche, zuerst von 
WoUashn 1809 nach diesem Prinzip konstruierte Eeflexionsgoniometer 
in seiner einfachsten Gestalt ist in Fig. 12 abgebildet (wo man sich 
zunächst aber den Spiegel s und das Femrohr e auf dem Stativ l, die 
spätere Zutaten sind, wegzudenken hat). 

Auf der runden Grundplatte ist das oblonge MessingstQck q befestigt, auf 
welchem sich zwei dicke nach oben konvergierende Messingftlße erheben. Dieselben 
vereinigen sich (hinter dem Teilkreis) zu einer dicken Messingplatte, welche cylindnsch 
durchbohrt ist, und in dieser Durchbohrung dreht sich die Achse, welche, vorn gegen 
den Beschauer gerichtet, den Teilkreis trägt. Dieser ist senkrecht zu der Drehachse; 
letztere ist horizontal, der Kreis selbst vertikal. Die Drehung dieser Achse mit dem 
Teilkreis geschieht mittels des an ihrem hinteren Ende angebrachten großen runden 
Knopfes, welcher im Bild am Rande der Scheibe links sichtbar wird. Diese Achse ist 
auch ihrerseits centrisch durchbohrt und in ihr dreht sich koncentrisch eine zweite 
d&nnere Achse mittels des kleineren Knopfes, welcher unmittelbar links von dem ge- 
nannten größeren zu sehen ist. Die Einrichtung ist so getrofien, daß beim Drehen 
am kleinen Knopf nur die innere Achse bewegt wird, während die äußere mit dem 
Teilkreis unbeweglich bleibt, daß aber beim Drehen der dickeren äußeren Achse am 
großen Knopf die innere Achse von selbst der Drehung folgt. 



24 Wollutoiuchefl Goniometer. 

Am Torderen Ende der inneren Achse ist der Erystallträger »ythk befestigt. Der- 
selbe läQt sich zunächst zwischen ewei p&r&llelen Schienen ( in radialer Richtong 
aber den Endpunkt der Drehachse hin TerEchiel)en, Das zwischen den beiden Schienen 
veTBcbiebhare Stück ist senkrecht nrng-ehogen; der zum Teilkreis senkrechte Ann 
tr&gt bei j/ einen dem Kreis parallelen Stift, um welchen sieh das bei ( rechtwinklig 
nmgebogene Stück drehen laßt. An diesem ist senkrecht m dem Stift« bei y die 
Hülse h befestigt, in welcher der Stift k geradlinig verschoben nnd anch gedreht werden 
kann. Dieser Stift k hat vom einen SchlitE, in welchem ein Tiereckiges Mesäng- 
pl&ttchen b stecht, an das der zn messende Krjstall mittels Wachs angeklebt wird. 
Dieser mnli so befestigt sein, daG die zn messende Kant« der Drehachse des Teil- 
kreises parallel wird nnd in ihre Yerlftngeinng fillt. Je genauer dies der Fall ist, 
desto genaner wild aach cet psr. die Messang des Winkels. 



Fig. 12. 

Diese Stellung erhält der Erystaü zunächst so gnt als mOglich nach dem Angen- 
maQ, wobei der Stift k dem Teilkreis parallel gestellt wird. Um die Kante ge- 
nauer in die bezeichnete Lage zn bringen, benutzt man die beiden zueinander senk- 
rechten Drehachsen y nnd k. Darch successive Drehung nm dieselben kann dem Erjstall, 
also anch der i>etr. Kante jede beliebige Richtung gegeben werden, also auch diejenige, 
welche hier erforderlich ist. Zu diesem Zweck stellt man jetzt das Instrument gerade 
Tor einem Fenster so anf, daQ der Teilkreis senkrecht zn demselben gerichtet ist; 
je temer das als gespiegeltes Objekt p {Fig. U) benutzte Fenster yom Krjslall ist, 
desto genauer wird die Messung. Han bring't, wie Uberhanpt immer bei diesen 
Messungen, das Auge so nahe als möglich an den Krystall und läQt nun das Fenster 
anf der einen Erjstaliflttche spiegeln, indem man sie durch Drehung am kleinen 
Knopf in die hierzu geeignete Lage bringt. Das Bild des Fensters wird man dabei im 
allgemeine» schief stehen sehen; durch eine Drehung des ErjstalltrSgers um den 



Wollastonsches Goniometer. 25 

Stift y wird man es aber leicht dahin bringen können, daß das anf der Fläche ge- 
spiegelte Bild dea Fensters gerade steht, d. h. daO die horizontalen Sprossen des 
Fensterkreuzes ebenfalls horizontale Bilder geben nnd daß die Bilder der vertikalen 
Sprossen mit den direkt gesehenen zusammenfallen. In dieser Lage ist die erste 
Flftche der Drehachse parallel; durch Drehung des Krystalls um die letztere wird an 
dieser Stellung der ersten Fläche nichts geändert Dreht man nun den Krystall so, 
daß das Fenster anf der anderen Fläche, deren Winkel zu jener ersten gemessen 
weirden soll, gespiegelt wird, so wird dieses zweite Spiegelbild im allgemeinen eben- 
falla schief stehen. Dasselbe kann nun durch Drehung des Stiftes k in der Hülse h 
gerade gestellt werden ; die zweite Fläche wird dann der Drehachse parallel. Dadurch 
ist aber die erste Fläche aus ihrer richtigen Lage wieder etwas herausgerückt worden. 
Man muß sie also durch Drehung um y von neuem in derselben Weise einstellen, 
wie oben gezeigt wurde, indem man auf ihr zum zweitenmal das Fenster spiegeln 
läßt; dann wieder die zweite Fläche durch Drehung yon k etc. Dabei ist streng 
darauf zu sehen, daß jede der beiden Flächen stets um dieselbe Achse, y oder fc, ge- 
dreht wird. Nach wenigen Wiederholungen, bei denen die Abweichongen immer 
kleiner und kleiner werden, sind beide Flächen, also auch deren Kante, sowie sämt- 
liche andere in derselben Zone liegenden Flächen der Drehachse des Instruments 
parallel, man sagt, der Krystall ist justiert; die Spiegelbilder des Fensters auf beiden 
Flächen gehen dann bei einer vollen Drehung des Krystalls bei unveränderter Stel- 
lung des Auges ganz gerade über das Sehfeld hin. Um nun die der Drehachse parallele 
Kante auch genau in die Verlängerung von jener zu bringen, die Kante zu ceiitHeren, 
ist zuweilen die innere Drehachse noch einmal centrisch durchbohrt und es geht ein 
nmder Stift hindurch, der vom eine scharfe Schneide hat, welche genau in die Achse 
Mit. Der Krystallträger wird nun in dem Schlitten s und senkrecht dazu der Stift 
k längs der Hülse h ohne Drehung verschoben, bis die zu messende Kante genau 
an der Schneide anliegt, was mittels dieser beiden Bewegungen stets möglich ist. 
Fehlt der Stift, so wird dos Centrieren nur nach dem Augenmaß bewerkstelligt. 
Jedenfalls aber ist zu kontrollieren, ob dabei nicht die Flächen aus ihrer richtigen 
Lage gekommen sind, eventuell ist die Justierang zu korrigieren. 

Die Messung selbst geschieht dann dadurch, daß man eine bestimmte horizontale 
Sprosse an dem Fenster ins Auge faßt und den Krystall durch Drehen an dem 
kleinen Knopf so stellt, daß das Spiegelbild dieser Sprosse auf der ersten Fläche in 
geeigneter Richtung mit einer direkt gesehenen Marke, welche man vor dem In- 
strument ebenfalls in möglichst großer Entfernung wählt, zusammenfällt. Dann 
dreht man am großen Knopf, bis dasselbe mit dem Spiegelbild der nämlichen Fenster- 
sprosse auf der zweiten Fläche der Fall ist. Die vor und nach der letzteren Drehung 
abgelesenen Winkel geben die Positionen der beiden Flächen. Wenn man sie von 
einander subtrahiert, erhält man den Normalenwinkel (den äußeren Winkel) der 
beiden Flächen. Die Messung wird durch Repetition genauer: man dreht an dem 
kleinen Knopf den Krystall so, daß die erste Fläche wieder in die ursprüngliche 
Lage kommt, und dreht wieder am großen Knopf, bis dasselbe auch mit der zweiten 
Fläche abermals der Fall ist etc. Abzulesen ist ev. nur vor und nach dem Beginn der 
Messung nötig; der ganze ermittelte Winkel ist ein Multiphim des gesuchten, den 
man durch Division mit der Anzahl der Einstellungen der zweiten Fläche erhält 
als arithmetisches Mittel aus allen Einzeleinstellungen des Winkels. 

Eine Verbesserung dieses einfachsten Instruments ist der Spiegel 5, der um eine 
der Drehachse des Instruments parallele Achse r drehbar ist. Das Fenster wird gleich- 
zeitig auf der Krystallfläche und dem Spiegel reflektiert. Das auf dem Spiegel reflek- 
tierte Bild des Fensters bleibt bei der Drehung des Krystalls unverändert stehen, 
kann also anstatt der direkt gesehenen Marke q (Fig. 11) benützt werden. Diese 
beiden Reflexbilder sind oft viel bequemer gleichzeitig zu beobachten als das Spiegel- 



26 WoUastonsches Goniometer. 

bild auf der Krystallfläche und eine möglichst ferne Marke q ; die Messung ist daher 
mit diesem Spiegel vielfach leichter und auch genauer als ohne ihn. 

Eine FehlerqueUe liegt bei der bisher betrachteten einfachen Einrichtung des 
Instruments darin, daß das Auge des Beobachters unwillkürlich während der Messung 
seine Lage etwas ändert; dadurch ändert sich aber auch die Visierrichtung ocq 
(Fig. 11] entsprechend. Damit immer genau in derselben Richtung visiert wird, ist 
daher weiter auf dem Stativ l (Fig. 12) das um die mit der Drehachse des Instru- 
ments gleich gerichtete horizontale Achse d in einer zum Teilkreis parallelen Ebene 
drehbare, mit einem Fadenkreuz versehene Fernrohr e angebracht worden, das genau 
auf die Drehachse gerichtet wird. Vor der Objektivlinse desselben kann eine weitere 
Linse eingeschaltet werden, die sich durch Drehung um einen Stift f vor der vorderen 
Öf&iung des Fernrohrs anbringen und wieder entfernen läßt. Mit dieser Linse 
wirkt das Femrohr als Lupe, in der man den Krystall deutlich sieht, und mittels 
welcher das Centrieren mit größerer Genauigkeit vorgenommen werden kann: man 
schiebt den Krystall so, daß die zu messende Kante in das Fadenkreuz des Fem- 
rohrs fällt. Das Femrohr ist mit seinem Stativ längs der Platte mn in der Rich- 
tung der Drehachse des Instruments etwas verschiebbar, damit man stets das Faden- 
kreuz auf die Krystalle richten kann, welche nicht immer genau in derselben Ent- 
femung von dem Teilkreis aufgeklebt sind. Bei der Beobachtung der Reflexe zur 
Justierung und Messung muß die Linse wieder zurückgeschlagen werden. 

Natürlich kann statt des als gespiegeltes Objekt benützten Fensters auch etwas 
anderes angewendet werden, namentlich wenn man das Fernrohr e gebraucht In 
diesem Fall nimmt man zweckmäßig eine kleine, möglichst entfernte Lichtflamme, 
welche in der durch das Femrohr gegebenen Yertikalebene liegen muß. Man kon- 
trolliert dies, indem man das Licht direkt mit dem Femrohr anvisiert, das man zu 
diesem Zweck um die horizontale Achse d nach oben dreht. Das Licht muß dann 
in das Fadenkreuz fallen, und wenn dies nicht der Fall ist, muß das Instrument 
auf seiner Unterlage so lange gedreht werden, bis diese Koincidenz eintritt; dann 
hat das Instmment gegen das Licht die richtige Stellung. 

Das vorstehend beschriebene Instrument gibt die Winkel guter 
Flächen auf eine Minute genau. Noch genauere Messungen erfordern 
einen Krystallträger von größerer Vollkommenheit als den eben be- 
schriebenen, der nur eine annähernde Einstellung der Krystallkante 
gestattet. Ein solcher verbesserter Centrier- und Justierapparat, der 
an dem soeben beschriebenen Instrument leicht mit dem vertikalen 
Kreis verbunden werden kann, ist in (16) beschrieben. Ein mit einer 
derartigen Einrichtung versehenes vollkommeneres Instrument hat zu- 
erst Mit^cherlich konstruiert, der auch zuerst mit dem Wollastonschen 
Instrument das erwähnte Fernrohr verband und ebenso noch ein 
zweites Femrohr, dem ersten gegenüber auf der anderen Seite des 
Kiystallträgers stehend, beide Femrohre in derselben zur Drehachse 
senkrechten Vertikalebene gelegen. Auch dieses zweite Fernrohr, das 
Eollimatorrohr, ist mit dem einen Ende auf die Drehachse gerichtet 
und kehrt das andere Ende nach oben und außen, dem Okular des 
ersten, des Beobachtungsfernrohres, entgegengesetzt. Es dient dazu, 
die Richtung des einfallenden Lichts genau zu fixieren. Seine Ein- 
richtung ist wie die des Beleuchtungsfernrohrs C in Fig. 13 und 
gleichfalls aus (16) zu ersehen. 



Goniometer mit horizontalem Kreis. 27 

Yollkommenere Instrumente dieser Art siehe: Y. v. Lang^ Denkschr. Wiener 
Ak. 1875; Brezina, Jahrb. k. k. geol. Eeichsanstalt, 1884, pag. 321, vergl. anch (3) 
B. 1883; Klein, Krystallo^raphie (siehe (3) B. 1876); Liebisch, siehe (16). Die ersten 
Beflexionsgoniometer : WoUastony Gilb. Ann. Bd. 37, 1811, pag. 367 xmd Mitscherlichj 
Abh. Berl. Akad. 1843, pag. 189. 

16. Goniometer mit horizontalem Kreis« Keflexionsgoniometer, nament- 
lich vollkommenere mit einem größeren Teilkreis versehene, werden heutzutage 
vielfach nicht mehr mit vertikalem Kreis konstruiert. Dieser wird nach dem Vor- 
schlage von Malus und Bahinet besser horizontal gelegt ; die Drehachse sowie die zu 
messenden Krystallkanteu stehen dann vertikal. Der Vorteil davon ist, daß man 
auch große Krjstalle messen kann, welche sich bei horizontaler Achse wegen zu be- 
deutenden Gewichts kaum stabil am Krystallträger befestigen lassen. Femer werden 
bei dieser Anordnung die drehenden Teile des Instruments weniger und nicht ein- 
seitig abgenützt. Im übrigen ist die Einrichtung eines derartigen Instruments, wie 
es in Fig. 13 im Durchschnitt, Fig. 14 in etwas anderer Form in seiner äußeren 
Ansicht abgebildet ist, von einem solchen mit Vertikalkreis nicht wesentlich ver- 
schieden. 

Ein messingener Dreifuß mit Stellschrauben trägt das an das eine Bein fest 
angeschraubte Beleuchtungsfemrohr C (Fig. 13), sowie eine horizontale dicke Messing- 
platte, welche centrisch bei o eine nach unten sich verjüngende konische Durch- 
bohrung hat. Darin steckt eine erste hohle Achse &, welche den Nonienkreis d trägt 
und an der zum Drehen unten eine Scheibe c befestigt ist, au welcher die bei a 
befindliche Klemm- und Einstell Vorrichtung angreift. An den Nonienkreis ist das 
auf dem Stativ B befindliche Beobachtungsfemrohr festgeschraubt. In der Achse b 
steckt die zweite konisch-hohle Achse e, an welcher der Limbus mit der Teilung bei f 
normal, also horizontal befestigt ist; diese Achse e hat unten den Knopf g und die 
Klemm- und Einstellvorrichtung ß. In dieser Achse e steckt eine dritte konische Achse A, 
welche innen cylindrisch durchbohrt ist und die den Stahlcylinder s aufnimmt, an 
dem oben der Ej-ystallträger befestigt ist. Unten trägt sie einen Knopf i, der von 
der sog. Centralschraube k durchbohrt ist, mittels welcher sich der Gylinder s nebst 
dem Krystallträger höher und niedriger stellen läßt Die Schraube l dient dazu, 
eine feste Verbindung zwischen den Achsen h und e herzustellen, so daß sie sich nur 
zusammen drehen können ; nach Lösung der Schraube { dreht sich jede Achse selbst- 
ständig. Eine Klemmschraube bei p erlaubt eine feste Verbindung zwischen s und h 
herzusteUen oder zu lösen. 

Auf der Säule s ist der Krystallträger befestigt, der aus der Gentrier- und 
Justiervorrichtung besteht. Die Justiervorrichtung wird gebildet von zwei Halb- 
cylindem, von denen einer bei t sichtbar ist; au demselben ist unten ein Teil eines 
kreisförmigen Zahnrades befestigt, in dessen Zähne die Schraube ohne Ende x ein- 
greift und den Gylinderschlitten um eine zu s und zu x senkrechte Achse in der 
hohlen Gylinderschale r dreht. Eine zweite genau gleiche nur etwas kleinere Vor- 
richtung ist auf die erstere bei y angesetzt. Hier dreht sich der zweite Halb- 
cylinder f mittels einer zu x und auf der Zeichuungsebene senkrechten Schraube 
ohne Ende y, die in der Zeichnung nur als kleiner Kreis über y zu sehen ist, senk- 
recht zum ersten Gylinder t in der hohlen Gylinderschale r*. Dieser zweite Gylinder 
f trägt oben das mit der Schraube v zu befestigende Plättchen u, auf dem der zu 
messende Krystall befestigt wird. Durch Drehung der die beiden Gylinder in Be- 
wegung setzenden aufeinander senkrechten Schrauben x und y kann dann der Kante 
des Krystalls jede beliebige Neigung gegeben werden. 

Die Centriervorrichtung mm besteht aus zwei ebenen Schlitten, welche normal 
zur Stange s in zwei zueinander senkrechten Richtungen verschoben werden können. 



28 Goniometer mit horizontalem Kreis, 

Eine Schraube a bewegt den unteren Schlitten m aber n veg Ton rechts nach links; 
eine dazu senkrechte in a sich projizierende Schranbe bewegt den zweiten Schlitten 
m' flher die «nf m befestigte Schiene n weg von vorn nach hinten. Der zweit« 
ebene Schlitten m' trägt seinerseits den oben beachriehenen Jiiatierapparat, man kann 
also den jastierten KrjstalL ohne Andernug seiner Neigung mittels der beiden ebenen 
Schlitten ins Centmm bringen. Der Erystall selbst wird mit der zu messenden 
Kante anfrecht mittels Wachs an! dos Plättchen u geklebt, welches dnrch die 
Schranbe v fest mit der Jnstiervorrichtnng verbunden werden kann. 

Das Bei euch tnogsfemrohr (Kollimator) C trägt nach innen ein achromatisches 
Objektiv and nach anQen im Brennpunkt des letzteren einen Spalt mit geraden oder 



Fig. 13. 

in der Hitte sich verjüngenden Wänden, oder eine anders gestaltete ÖfTnnng ''das 
Signal). Diese wird intensiv belenchtet, das Licht fSIlt von hier auf die Linse, tritt 
parallel ans der Röhre heraus und zwar, da der Kollimator genau anf die Drehachse 
gerichtet ist, in der Eichtnng anf letztere hin, in deren Fortsetzung der Krystall 
zunächst nach dem AngenraaG möglichst genau centricrt und justiert auf das Plättchen h 
aufgesetzt ist. Auch das Beobachtongsfemrohr B ist genau auf die Drehachse ge- 
richtet; es vergrößert nicht oder nur sehr wenig. Durch Vorstecken einer Linse 
kann es in eine Lupe verwandelt werden, mittels welcher man den bei u befindlichen 
Krjstall deutlich sieht. 

Der Krystall wird nun zunächst centrierl, indem man die beiden ebenen Schlitten 
m und m' mittels der Schrauben a und a hewegt, bis bei einer vollen Umdrehung 
des Knopfes i (bei loser Schranbe {) der Krystall im Fadenkreuz des in eine Lupe 



Goniometer mit horiBOQtalem Ereig. 29 

Terwandelten Femrohra unrerrfickt Bteheo bleibt. Diuin wird die Jaatieriuig^ bewirkt, 
indem mftn dtis Signal des Beleoclititngsfemrohra zneret anf der einen, dann aut der 
anderen der zn meuenden Flächen reflektieren IfiQt nnd jedesmal an den Schrauben x nud y 
des JoBtierapparatR den Krjstall bo lange dreht, bis das Spiegelbild des Signals mit 
dem vertikalen Ereaztaden im Beobachtnngsfemrohr koiniidiert. SchlieBlicta wird die 
■n messende KaDte noch einmal fein centriert. Die Hessnng selbst ei^bt sich dann 
nach dem beim Wollastonscheu Instrument Angegebenen (lö) leicht von selbst 

[Whisky, Zeitschr. fürErfst. IV. 1860. 54ö; weitere Literatur Über Ooniometer 
siehe: Liäiitch, Ber. Über die wissenscb. Instrumente der Berl. Qewerbeaosstellnng, 



1860, pag. 321 nnd EaudwOrterbnch fUr Chemie, Artikel Erystallographie, pag. 160ff.). 
J!>i«s, liehe Literator (3) B. 18»9. 

17. TheodoUthgonioKeter, Die KeSeiionsgoniometer mit horiaontalem und 
rertikaiem Teilkreis haben im Laufe der Zeit sehr Tersohiedenartige Formen er- 
halten, die hier nm so weniger berücksichtigt zra werden branchen, als sie das Wesen 
der Sache nuberllhrt lieQen. Nenestens hat man nnn auch Instramente dieser Art 
mit cwei Teilkreisen, einem horizontalen nnd einem vertikalen, konstruiert, die dem- 
nach als zvieikrätige Goniometer oder auch als Theodolithgoniometer bezeichnet werden. 
Sie bieten für die Vesanng nnd Berechnung der Erystalle gewisse Tortmle, sind 
aber trotsdem noch nicht sefar verbreitet Ihre Einrichtung ist im Detail bu dea 



30 Gleiche Kanten. Ecken. 

verschiedenen Modellen etwas verschieden, im wesentlichen aher immer dieselbe. 
(7. Goldschmidt, Zeit«chr. f. Kryst. 21. 1893. 210 u. 29. 1898. 339; v. Fedoraw, ibid. 
21. 1893. 603; icw«, N. Jahrb. f. Mineralogie etc. 1897. I. 78, 1898. If. 64, Beilage- 
band 10. 1896. 180: Czapski, Zeitschr. f. Instrnmentenk. 13. 1893. 242; Viola, Zeitschr. 
f. Kryst. 30. 1899.' 417 ; Stöher, ibid. 29. 1898. 26). 

Sogar Apparate mit 3 Teilkreisen sind schon gebant worden. 

Die meisten besseren Eeflexionsgoniometer sind anch znr Bestimmung von 
Brechungskoeffizienten und zu anderen optischen Untersuchungen eingerichtet, von 
denen unten noch eingehend die Bede sein wird. Ein für alle in der Mineralogie 
gewöhnlich vorkommenden krystallographischen und krystalloptischen Arbeiten gleich- 
zeitig geeignetes Instrument ist das Krystallpolymete^' (C. Klein, Sitzgsber. Berlin. 
Akad. 1900. 248). 

Einige eigenartige, auf anderen Prinzipien beruhende Goniometer seien hier 
noch wenigstens dem Namen nach erwähnt, und zwar Hirsch walds Mikroskop- 
goniometer (N. Jahrb. f. Mineralogie etc. 1879. 301 u. 539. ibid. 1880. 156; Zeitschr. 
f. Kryst. 8. 1884. 16) sowie Fuess' Fühlhebelgoniometer (Zeitschr. f. Kryst. 8. 1884. 1), 

18. Gleiche Kanten. Gleiche Kanten eines Krystalls sind, ganz 
unabhängig von ihrer Länge, solche, in welchen sich beziehungsweise 
gleiche Flächen unter gleichen Winkeln schneiden. Hat man z. B. 
ein oblonges Prisma (Fig. 15) dessen zwei ungleiche Flächenpaare a 

und b sich rechtwinklig schnei- 
den, so sind alle vier Kanten 
K einander gleich, denn jede ist 
von zwei unter 90® zusammen- 
stoßenden Flächen a und b ge- 
Fig. 16. bildet Ist dagegen das Prisma 

ein rhombisches (Fig. 16), d. h. 
gebildet von zwei gleichen, aber schiefwinklig sich schneidenden 
Flächenpaaren (also vier gleichen Flächen) a, so sind zwar je 
zwei gegenüberliegende Kanten K (resp. E}) gleich, da sie gebildet 
sind von den gleichen Flächen a, welche unter den gleichen Winkeln 
a (resp. a^) zusammenstoßen. Aber K ist von K^ trotz der Gleich- 
heit der Flächen a an beiden Kanten verschieden, da der Winkel 
das eine Mal a, das andere Mal a^= 180® — « ist. Stets ist eine Kante 
gleich der ihr diametral gegenüberliegenden parallelen Gegenkante. 
Gleiche Kanten eines Krystalls können sehr verschiedene Längen be- 
sitzen, ebenso wie gleiche Flächen sehr verschiedene Größen und Umrisse. 

In dem Staurolithkrystall (Fig. 17, pag. 32) sind die Kanten mjo rechts und links ein- 
ander gleich, weil auf beiden Seiten m und o sich unter gleichen Winkeln von 115^ 17' 
schneiden; ebenso sind die Kanten mjr rechts und links von r oben und unten am 
E^rystaU gleich, da alle diese ^ m/r = 137^ 68', also einander gleich und von den- 
selben Flächen m und r gebildet sind. 

c Ecken. 

19. Ecken. Die Ecken entstehen dadurch, daß 3, 4,....n Flächen 
und Kanten in einem Punkt zusammenstoßen. Man nennt eine Ecke 





Gesetz der Winkelkonstanz. 3X 

z. B. 4 kantig oder 4 flächig, wenn sie von 4 gleichen Kanten resp. 
Flächen gebildet wird, 2 + 2kantig resp. -flächig, wenn in ihr je 
2 nnd 2 gleiche Kanten resp. Flächen zusammenstoßen etc. 

Glddie Ecken eines Krystalls sind solche, in denen gleich viele 
einander beziehungsweise gleiche Flächen und Kanten in der gleichen 
Ordnung aufeinander folgen, wobei diese Reihenfolge im gleichen Sinne 
oder im entgegengesetzten Sinne stattfinden kann. 

Der Staurolithkrjstall (Fig. 17, pag. 32) hat z. B. oben und unten an der vertikalen 
Kante mjm zwei gleiche Ecken mrm, beide gebildet von den drei Flächen m, m, r; 
femer von der Kante mjm und den beiden gleichen Kanten mjr^ rjm, welche an 
beiden Ecken in der angegebenen Reihe aufeinander folgen. Die beiden oberen 
Ecken mrp rechts und links von r sind ebenfaUs einander gleich; an beiden folgen 
sich die drei Flächen mrp in der von den Buchstaben angegebenen Beihe, bei der 
einen rechts-, bei der anderen linksherum und ebenso bei beiden die Kanten mlr^ rjp, pim. 
In beiden Ecken folgen sich also in der Tat dieselben Flächen und Kanten in der- 
selben Beihenfolge, aber im entgegengesetzten Sinne. Die beiden Ecken mrp an der 
unteren Fläche r sind den beiden genannten ebenfaUs gleich. 

Jede Ecke ist der ihr diametral gegenüberliegenden Ecke (der 
Gegenecke) gleich. 



C. Gesetze, nach denen die Begrenzungselemente der 

Erystalle angeordnet sind. 

a. Gesetz der Winkelkonstanz und der Fläeliengrappierang. 

20. Winkelkonstanz. Untersucht man alle gleichbegrenzten 
Erystalle derselben Substanz, so findet man, daß die entsprechenden 
Flächen sich in gleichliegenden Kanten stets unter denselben Winkeln 
schneiden. Bei fernerer Untersuchung findet man, daß dieselben 
Winkel auch dann wiederkehren, wenn man sie an Krystallen mißt, 
an denen außer jenen Flächen noch andere vorhanden sind, oder an 
denen auch einige von ihnen fehlen. Kurz, es ist ein ausnahmslos 
durch die Erfahrung festgestelltes Gesetz: An sämtlichen Krystallen 
derselben Sübstana schneiden sich entsprechende Flächen in gleich liegenden 
Kanten stets unter gleichen Winkeln, Dies ist das Gesetz der konstanten 
Flächenwinkel oder, weil aus ihm von selbst auch die Gleichheit gleich- 
liegender Eantenwlnkel folgt, allgemein das Gesete der Winkelkonstam. 

Dabei ist aber abzusehen von der Temperatur, von unvermeidlichen kleinen 
MessTmgsfehlem und von kleinen Unregelmäßigkeiten in der Aosbildnng der ErystaUe, 
welche geringe Abweichungen zur Folge haben. 

Mißt man die Winkel der Flächen an den oktaedrischen Krystallen des 
Magneteisens (Fig. 4), so findet man an allen Kanten stets 109^ 28', und zwar 
auch dann, wenn, wie es häufig vorkommt, statt der Kanten andere Flächen vor- 



vT" 



-^£^ 



32 Winket TerBchiedener Sabstatuen. Flftchengmppienuig. 

handen sind, wie in Fig. 78, oder wenn noch andere Modifikationen des oktaedrischen 

Körpers eingetreten sind (Fig. 98). Unter den- 

y , ■-,_,.-' -y, selben Winkeln schneiden sich stets die Flächen o 

'-•'~~, — - L / der FloBspatkrystalJe, nährend sich die Flächen 

k Btets unter 90* schneiden nnd zwar ebensowohl 
in den Fig. 5, wie Fig. 7 abgebildeten Krjst&llen; 
die Fl&chen o und h machen stet« 125" 16'. Bis 
beiden prismatischen Spaltnngsfläcben der Hom- 
hlende schneiden sich in allen Erjstallen unter 
Yig. 17, Fig. 18. 124*' 28'; die Flächen, denen im Kalkspat die 

BlätterbrQche parallel gehen, nnter 105" Ö'. Btim 
Stanrolith findet man au allen Krjgtsllen von der Form Fig. 17 oder 18: .2fm/i» = 
129» 86 ; aUe ^ m/r = 137" 68'; aUe -^C m'o = 115" IT; alle ^ m/p = 90" nnd 
o/p ^90" etc. Dieselben Winkel m/m, nt/r etc. findet man aber auch an Krystallen, 
an welchen die Fl&chen r fehlen, oder wo zn den angegebenen Flttchen noch weitere 
himcngetreten sind. 

21. Winkel Terschledener Substanzen. Die an äen Terscfaiedenen 
Erystalleo derselben Substanz stets wiederkehrenden Winkel findet 
man im allg:enieiQen nicht an Krystallen anderer Substanzen. Die 
Winkel, welche die Flächen der Krystalle einer Suistanx miteinander 
machen, sind für diese Substanz charakteristisch ; man kann letztere daran 
wiedei'erkennen and von anderen Substanzen unterscheiden, auch wenn 
die Kiystalle der verschiedenen Substanzen sonst außerordentlich 
ähnlich sind. So gibt es z. B. sog. Rhomboeder (Fig. 171) von Kalk- 
spat, deren Flächen sich unter 105" 5' schneiden; äußerlich häufig 
nuanterscheidbar davon sind die Ehomboeder des Magnesit, wenn man 
nicht die Winkel mißt, die hier 107" 28' betragen. Nur die Formen 
des regnlären Systems (102 ff.) und einige wenige andere sind fär alle 
Krystalle ohne Ausnahme stets dieselben. 

22. Konstanz der Il&ehengrnpplemng. Untersucht man die 
Krystalle einer nnd derselben Substanz in Beziehung anf die Be- 
scbafienheit ihrer Flächen, so findet man, daß an solchen die gleich, 
d. h. von gleich vielen in gleicher Weise gegeneinander liegenden 
Flächen begrenzt sind, die Zahl und die gegenseitige Lage, d. h. die 
Gruppierung der gleichen Flächen stets die nämliche ist. Diese bei allen 
Krystallen derselben Substanz wiederkehrende Anordnung der gleichen 
resp. der ungleichen Flächen kann als das Gesetz der hmstanten Flachen- 
grvppierung bezeichnet werden. 

So sind an den oktaedrischen Krjetallen des Flußspats (Fig. 4) stets alle 
8 Fl&chen einander gleich, ebenso anch an den oktaedrischen Krystallen des Magnet- 
eisens, des Goldes etc. Dasselbe ist der Fall bei den 6 Flächen der wDrfeUOmiigen 
Kijstalle des FlnOspatcs (Fig. b), des Steinsalzes etc. An den yon 14 Fl&chen be- 
grenzten Kristallen des FlnQspata (Fig. TJ sind stets die 8 dreieckigen FlSchen 
nnd ebenso die 6 viereckigen Fl&chen je nnter sich gleich nnd von den anderen ver- 
schieden, nnd ebenso verhalten sich die in deraelben Weise begrenzten Krystalle de« 
Bleiglanzes. Von den Fig. 9 abgebildeten Krjstallen des Kalkspates sind immer 



ParallelYerschiebniigf der Flächen. 33 

ff, 

die 6 PrismenflSchen p untereinander gleich nnd von den beiden ebenfiJls einander 
gleichen Pinakoidflächen b verschieden etc. 

Hieraus in Verbindnng mit (9) und (10) folgt, dafi an den yer- 
schiedenen Erystallen einer nnd derselben Substanz stets dieselben 
einfachen Formen, aber allerdings nicht immer in derselben Anzahl 
wiederkehren , die jedesmal von den sämtlichen je untereinander 
gleichen Flächen des betreffenden Krystalls gebildet werden. 

23. ParallelTerschiebniig der FlScheB. Nach (20) und (22) ist 
bei gleich begrenzten Krystallen derselben Substanz die Flächen- 
gruppierung stets dieselbe, und die entsprechenden Flächen schneiden 
sich in gleichliegenden Kanten stets unter denselben Winkeln. Diese 
Verhältnisse sind also konstant und daher für die Krystalle wesentlich 
und wichtig. Nicht konstant und an den gleichbegrenzten Krystallen 
derselben Substanz verschieden sind dagegen die Gröfie und die 
Gestalt der gleichen Flächen und die Länge der gleichen Kanten 
und somit die geometrische Form der ganzen Krystalle. Diese ist also, 
weil wechselnd, für die Krystalle unwichtig und unwesentlich. Die 
verschieden gestalteten von gleich vielen gleichliegenden Flächen be- 
grenzten Krystalle einer und derselben Substanz lassen sich auch sehr 
leicht ineinander überführen, indem man die Flächen in geeigneter 
Weise parallel mit sich verschiebt. Einige Beispiele werden dies 
näher erläutern. 

Wenn man sämtliche oktaedrischen Krystalle von Magneteisen 
vergleicht, deren acht gleiche Flächen sich unter dem stets wieder- 
kehrenden Winkel von 109* 28' (resp. dessen Supplement von 70** 320 
schneiden, so haben sie z. T. die Form Fig. 4; andere haben aber 
die etwas abweichende Form Fig. 19 oder Fig. 20, und noch viele 
andere ähnliche Gestalten dieser achtflächig begrenzten Krystalle 
kommen vor. Sie alle müssen für krystallographisch gleich gehalten 
werden trotz ihrer großen geometrischen Verschiedenheit, denn in 
jeder schneidet sich eine gleich große Anzahl (acht) untereinander 
gleicher Flächen in gleichliegenden Kanten unter gleichen Winkeln, 
so daß sich alle diese Formen bezüglich der Flächengruppierung und 
4er Flächenwinkel vollkommen yfr—\ 

gleichen und sich nur durch die yj \\ \ yT'\ \ 

Gestalt^ den Umfang und die ^:qr::.;h-:f>^\\ y^/ \\'\\ 

Oröße der Begrenzungsflächen, \^s ( /^ >^ ^ L..x. — ^.M. \ 
^so in der geometrischenForm y \ / / \ \ / yf X 
unterscheiden, welche ja aber \ i/ \ \^/V 1 / 

krystallographisch ganz un- Yig, 19. Fig. 20. 

wesentlich ist. Es ist nun 

aber leicht einzusehen, daß man die eine dieser Formen z. B. Fig. 20 
aus den anderen z. B. Fig. 4 dadurch entstanden denken kann, daß 

Bauer, Mineralogie. ^ 



34 Ideale ErjstaUformen. 

f. 

zwei Flächen parallel mit sich selbst um einen entsprechenden Betrage 
nach außen rücken; dadurch wird ja weder an der physikalischen Be- 
schaffenheit derselben, noch an den Flächenwinkeln das Mindeste ge- 
ändert. Umgekehrt entsteht die Form Fig. 4 aus der Fig. 20, wenn 
man sich die beiden Flächen rechts soweit nach links verschoben 
denkt, daß sie durch die beiden Ecken oben und unten hindurch- 
gehen. In Fig. 20 ist dies durch die gestrichelten Linien angedeutet. 
Ebenso kann durch Parallelverschiebung der Flächen die Form Fig. 4 
in die Form Fig. 19 übergeführt werden und umgekehrt, wie auch 
hier die gestrichelten Linien zeigen. Ferner findet man häufig von 
den oben (20) erwähnten Flächen begrenzte Staurolithkrystalle, die 
aber nicht die Form Fig. 17, sondern die Form Fig. 18 haben. Beide 
Formen lassen sich ohne Änderung der krystallographisch allein in 
Betracht kommenden Winkel und der Flächenbeschaffenheit inein- 
ander überführen, wenn man bei Fig. 17 die Flächen o parallel mit 
sich etwas nach innen, resp. bei Fig. 18 nach außen schiebt 

Aus allem diesem folgt, daß man sich die Erystallflächen nicht 
als starr und unbeweglich vorstellen darf, wie die Begrenzungsebenen 
geometrischer Körper, sondern sie müssen parallel mit sich beweglich 
gedacht werden, und man hat den Satz: Jede Krystcd/fläche kann in 
beliebiger Weise parallel mit sich selbst verschoben werden, ohne daß an 
der betr. Krystallform dadurch etwas Wesentliches geändert wird. Die 
Bichtungen der Erystallflächen können durch ihre Normalen dargestellt 
werden; längs diesen können die Flächen hin- und hergieiten, ohne 
in ihrer Richtung und in ihrer Beschaffenheit irgend eine Änderung 
zu erleiden. 

Ans der ParaUelverschiebbarkeit der Flächen folgt anch, daß die Qi^Qe der 
KrystaUe eine nnwesentliche Sache sein mnß. In der Tat findet man auch von 
derselben Substanz Erjstalle von krystallographisch gleicher Form in der ver- 
schiedensten Größe, so z. B. QuarzkrystaUe von mikroskopischer Kleinheit bis zu 
mehreren Centnem Gewicht. 

24. Ideale Hrygtallformen. Denkt man sich sämtliche Flächen 
eines Krystalls parallel mit sich so verschoben, daß je alle gleichen 
Flächen (8) von einem beliebigen Punkt im Innern des KrystaUs, dem 
sog. Mittelpunkt desselben gleich weit entfernt sind, so schneiden sich 
diese Flächen, die nun gleiche Centraldistanz haben, wegen ihrer 
regelmäßig - symmetrischen Verteilung um den Krystallmittelpunkt 
(52 ff.) immer so, daß alle krystallographisch gleichen Flächen auch 
gleiche Form und Größe erhalten, also kongruent werden. Solche Formen^ 
bei denen die krystallographisch gleichen Flächen gleiche Central- 
distanz haben und daher auch geometrisch gleich sind, heißen idede 
KrystaUformen , man sagt, ihre Flächen seien im Glüchgewicht. Sie 
unterscheiden sich aber krystallographisch nicht wesentlich von den 



Kantenschnitte. 35 

anderen FonneD, bei welchen die gleichen Flächen ungleiche Gestalten 
nnd Umrisse haben und welche durch paralleles Verschieben der 
Flächen aus ihnen abgeleitet werden können. Diese letzteren, deren 
Flächen verschiedene Centraldistanzen zukommen, nennt man zuweiten 
unzutreffend vereenrte Formen oder Verzerrungen. Eine ideale Form 
ist z. B. das in Fig. 4 dargestellte Oktaeder; verzerrte Oktaeder 
stellen Fig. 19 und 20 dar. Ideale Formen kommen in voUkommener 
Ausbildung wohl niemals in der Natur vor, stets sind die Krystalle 
mehr oder weniger „verzerrt". Nicht selten geht die „Verzerrung" 
so weit, daß von der idealen Gestalt sehr bedeutend abweichende, 
davon scheinbar ganz verschiedene Formen entstehen, welche auf 
jene oft nur mit Hilfe von Winkelmessungen zurückgeführt werden 
können, indem man aus der Gleichheit gewisser Winkel in beiden 
S^rystallen, umgekehrt wie in (20), die respektive Gleichheit der be- 
treffenden, den Winkel einschließenden Flächen an denselben folgert. 

Hätte man z. B. an einem „verzerrten" StanroUthkrystaU einen Winkel von 
129*^ 26' gemessen, so würde man daraus mit Sicherheit schließen, daß die be- 
treffenden Flächen diejenigen des Prismas m sind etc. 

Diese idealen Formen werden gewählt, wenn man die Krystalle plastisch als 
Modelle darstellen oder wenn man sie zeichnen will. Man ersieht dann aus den Um- 
rissen die Gleichheit nnd Znsammengehörigkeit der Flächen, resp. die Verschiedenheit 
derselben. An den idealen Gestalten ist die Übersicht tlber die einzelnen Flächen nnd 
einfachen Formen am leichtesten nnd bequemsten. Daher wird nicht selten die ganze 
Krystallographie auf denselben aufgebaut, was aber den Anfänger leicht zu der 
falschen Meinung führen kann, als seien die idealen Formen etwas krystallographisch 
Vollkommeneres, als die „Verzerrungen". Dies ist aber durchaus nicht der FaU, sie 
sind im Gegenteil Abstraktionen, welche in absoluter Vollkommenheit in der Natur 
wohl nie vorkommen. 

b. Gesetz der rationalen Kantenschnitte. 

25. EaBtenschnitte. Es seien XOY, YOZ, ZOX drei beUebige 
Flächen eines Krystalls (Fig. 21), welche sich in dem Punkt und 
in den drei Kanten OX, OY, OZ schneiden oder ge- 
nügend ausgedehnt schneiden würden, wenn etwa da- 
zwischenliegende Flächen wegfallend gedacht werden. 
Eine vierte Fläche ABC treffe diese drei Kanten in 
A, jB, (7, so ist diese letztere in ihrer Lage gegen die 
drei ersten Flächen vollkommen unzweideutig bestimmt, 
wenn man die drei Abschnitte (Kantenschnitte) OA, 
OB, OC kennt. Verschiebt man nun die Fläche ABC 
parallel mit sich nach A^B^C\ so ist diese neue Lage der Fläche 
durch die Kantenabschnitte 0A\ 0B\ OC^ gegeben und zwar ist 

offenbar : 

OA:OA^ = OB:OB^ = OC:OC^ oder 

OA : OB : OC = OA' : OB^ : OC^ 

3* 




36 Gesetz der rationalen Eantenschnitte. 

Wenn also bei dieser Parallelyerschiebnng auch die absoluten 
Werte der Kantenschnitte der vierten Fläche sich ändern, so bleibt 
doch das Verhältnis derselben stets das nämliche. Da nun die beiden 
parallelen Flächen ABC und A^ B^ G^ als krystallographisch ident, 
als eine und dieselbe Erystallfläche zu betrachten sind (23), so ist 
diese Fläche offenbar krystallographisch in ihrer Lage gegen jene 
drei Flächen und Kanten yollkommen bestimmt durch das allen den 
verschiedenen Parallellagen derselben gemeinsame Verhältnis der Ab- 
schnitte : OA : OB : 0(7, während die absolute Größe dieser letzteren 
gleichgültig ist. 

Setzt man nun 

OA^=::r.OA, so ist OB^ = r.OB', OC^ = r.OG, 
da nur so das Verhältnis OA : OB : OC erhalten bleibt. Man kann 
daher auch sagen: Die drei Ka/rUenschnüte einer Fläche lassen sich mit 
emer helidngen Zahl multiplieieren {oder dividieren), ohne daß die durch 
die neuen Abschnitte dargestellte Fläche krystallographisch eine andere 
wird. Die Fläche mit den neuen Abschnitten ist von der ersten krystallo- 
graphisch nicht verschieden, sie ist durch Parallelverschiebung aus 
dieser entstanden und die Multiplikation (oder Division) ist der 
algebraische Ausdruck der Parallelverschiebung. 

Ist die Fläche einer oder zwei von den drei Kanten parallel, so 
sind die auf diese Kanten bezüglichen Abschnitte = oo. 

Das Verhältnis der Eantenabschnitte OA : OB : OC ergibt sich anf folgende 
Weise : Aus den mit dem Goniometer zn messenden V^inkeln, welche die drei Flächen 
XOY, YOZ, ZOX in den drei Kanten OX, OY, OZ miteinander einschließen, können 
zunächst die Neigungen dieser drei Kanten gegeneinander, also die Winkel XOY, 
YOZj ZOX berechnet werden. Aus zwei von den gleichfalls mit dem Goniometer 
zu ermittelnden Winkeln der vierten Fläche ABC zu jenen drei ersten erhält man 
dann das Verhältnis OA : OB : OC oder, wenn man einen dieser Abschnitte z. B. 
OC = 1 setzt, die beiden anderen, OA und OB^ ausgedrückt in OC als Einheit. 
Dieses Verhältnis ist nur abhängig von jenen fünf Winkeln und ändert sich mit 
diesen; ebenso ist natürlich das Umgekehrte der Fall. 

26. Bationale KanteBSchnitte. Wählt man unter den sämt- 
lichen Begrenzungsflächen eines Krystalls drei beliebige XOY, YOZ, 

ZOX, welche sich in drei von dem Punkt ausgehen- 
den Kanten OX, OY, OZ schneiden (Fig. 22), so ist 
irgend eine ebenso beliebige vierte Fläche ABC, welche 
die drei Kanten in A, B, C trifft, durch das Ver- 
hältnis der Abschnitte OA : OB :0C ^= a : b : c in 
ihrer Lage, gegen die Kanten OA, OB, OC und damit 
auch in ihrer Neigung gegen jene drei Flächen krystallo- 
graphisch unzweideutig gegeben. Ebenso ist dies der 
Fall für eine beliebige fünfte Fläche MNP durch 
das Verhältnis der Abschnitte : OM : ON :OP=m:n:p. Bildet man 




Gesetz der rationalen E^tenschnitte. 37 

nun die Quotienten je der auf dieselbe Kaute bezüglichen beiden 

Abschnitte: — , 7-, — , so kann man setzen: 

a' 6' c' 

: "tT" : — — ft i K i V» 
a c 

Nach einer bei allen bisher untersuchten Erystallen ohne Aus- 
nahme gemachten Erfahrung sind nun die Erystallflächen stets so 
gruppiert, d. h. ihre gegenseitigen Neigungen, die Winkel, die sie mit- 
einander einschließen, sind so, daß diese Zahlen A, %, l rationale^ d. h. 
durch ganze Zahlen völlig exakt ausdrückbare Größen, also entweder 
direkt ganze Zahlen (inkl. 00) oder auch echte oder unechte Brüche sind, 

m. a. W. jene drei Quotienten — , ^, — verhalten sich stets wie ratio- 
nale Größen (00 eingeschlossen). Die Erfahrung lehrt gleichzeitig, daß 
bei geeigneter Wahl der ersten vier Flächen die rationalen Zahlen 
meist auch Meine, einfache Werte haben, die selten 10 erreichen oder 
noch seltener übersteigen (ausgenommen der Wert 00). So findet man 
also z. B. häufig: 

— :^:— =1:2:3 oder = -^:>, :-rOder = 2:3:i^oder = oo:l:letc. 
a h c 2 3 4 3 

in welch letzterem Falle die betreffende Fläche mit der Kante OX 
parallel ist. Ungewöhnlich, wenn schon nicht unmöglich, sind Ver- 
hältnisse, wie: 

— : 1 : — = 9 : 11 : 17 oder = tö ^ t^ • ^-0 etc. 
a c 13 15 18 

Dagegen sind Verhältnisse wie: 

J:J:^ = log2:log3:log5 oder =/2:/3:/5 

als irrational durchweg ausgeschlossen. Solche konnten niemals fest- 
gestellt werden, man muß sie daher nach allen unseren Erfahrungen 
als krystallographisch unmöglich betrachten. 

Da man ein Verhältnis von Brüchen stets in ein solches von 
ganzen Zahlen umwandeln kann, also z. B. : 

so kann man auch ebenso allgemein sagen, die Flächen aller Krystalle 
sind so gruppiert, daß h, k, l stets ganae Zahlen sind, daß sich 

also jene drei Quotienten — , -r-, — wie ganze Zahlen verhalten. Dabei 

m n p i^ 

sind die Längen a, ft, c ; m, n, p und ebenso die Quotienten — , -r ' T ^ 

a c 

sich betrachtet im allgemeinen irrational, nur die Verhältnisse der 
letzteren sind rational (ganz). 



38 Gesetz der ratiojiale& Kantenschnitte. 

Wie die fünfte Fläche MNP verhält sich dann jede weitere 
sechste, siebente etc. Fläche. Dasselbe, was für die Abschnitte der 
fünften Fläche in Beziehung zu denen der vierten gilt, gilt auch 
für die Abschnitte aller ferneren Flächen desselben Krystalls. 

Dies ist das Gesetz der rationalen Kantenschnitte, das wohl auch 
als das Gesetz der einfachen rationalen Eantenschnitte bezeichnet wird. 
Es kann unter Zugrundelegung der obigen Auseinandersetzungen so 
ausgesprochen werden: Die Flächen aller KrystaUe liegen so gegenein- 
ander {schneiden sich unter solchen Winkeln), daß die drei Quotienten je 
der beiden Stücke, welche moei beüebige Flächen auf jeder der drei von 
einem Punkt ausgehenden tmd von drei beliebigen anderen Flächen des- 
selben Krystalls geinldeten Kanten abschneiden, sich stets tvie rationale 
(ganze) Zahlen (oo eingeschlossen) verhalten. 

Dieses Gesetz der rationalen Kantenschnitte ist das Hauptgesetz 
der Krystallographie, das (in Verbindung mit den unten zu betrach- 
tenden Symmetriegesetzen) die ganze Krystallwelt beherrscht. Alle 
die zahllosen Krystallformen, die bisher untersucht worden sind, folgen 
ihm und unterscheiden sich dadurch auf das Wesentlichste von anderen 
geometrisch denkbaren Polyedern, bei denen das Gesetz nicht zutrifft 
und die daher als krystallographisch unmöglich bezeichnet werden 
müssen, wie z. B. das von regulären Fünfecken begrenzte Dodekaeder 
(Pentagondodekaeder), das Ikosaeder und andere. 

27. Andere Fassung des Gesetzes der rationalen Eanten- 
sclmitte. Das Gesetz der rationalen Eantenschnitte läßt sich noch 
etwas anders fassen. Wenn 

a c 
ist, so kann man ganz allgemein setzen: 

m = ha, dann wird : w = ä6 und p = lc 
wo h, k, l wieder rationale (ganze) Zahlen sind. 

Die Abschnitte m, n, p der fünften Fläche MNP können somit als 
rationale Vielfache der Abschnitte a, b, c der vierten Fläche ABC je 
auf derselben Kante dargestellt werden, d. h. als solche, wobei die 
Koeffizienten h, k, l von a, b, c stets rationale (ganze) Zahlen sind 
(oo eingeschlossen). Ebenso können die Abschnitte m^, w,, p^ einer 
sechsten Fläche MiN^P^ in den Abschnitten a, b, c ausgedrückt 
werden : 

nii = h^a, Hi = kj>, p^ = l^c, 
wo Äj, kj^, li wieder rationale (ganze) Zahlen sind. In gleicher Weise 
ist dies für jede andere Fläche möglich und stets sind die Koeffizienten 
h, k, l, etc. der Abschnitte a, b, c der vierten Fläche rationale (ganze) 
Zahlen. Das Gesetz der rationalen Kantenschnitte kann also auch 



Gesetz der rationalen Eantenschnitte. S9 

aasgesprochen werden : Die Abst^nMe, welche die Flächen eines KrystoRs 
auf drei van drei anderen Flächen desselben Knystails gebildeten Karlen 
machen, können als rationale (ganee) Vielfache der Abschnitte ausgedrikM 
werden, die eine beliebige vierte Fläche des Krystaüs von jenen drei 
Kanten cibschneidet. 

Femer: Wenn eine Fläche MiN^P^ anf den drei Kanten OK, 
OY, OZ die Stücke m^n^p^ abschneidet und wenn weitere Flächen 
M^N^P^, M^N^P^, . . . durch die Abschnitte m^n^p^, ^a^sPsy • • • be- 
stimmt sind, dann ist nach dem Vorhergehenden unter Benutzung der 
dortigen Bezeichnungen: 

m^ =^ h^ a üj = ij 6 p^ = l^ c 

fitg «= Aj a n, = *2 6 p^ = ^^ c 

m^ = h^a nj = ia 6 Ps = h c 

Hieraus ergeben sich ohne weiteres die Verhältnisse : 

fit t : 7/ia : nt^ : ■ • • • — — ri^ : nq • /!» : • • • • 

Wi • Wo • Wo • • • • ■ -^— /vj • /va . K^ • « • B « 

Vi • Po • Pa « • • • • ■ - " V\ » (fa m va « • . . • 

WO wieder h^kj^, etc. rationale (ganze) Zahlen sind. Nach dem G€set0 
der rationalen Kantenschnitte liegen also die Flächen der KrystaUe so 
gegeneinander, daß die Abschnitte, die sie auf jeder der drei Kanten 
OX, OYj OZ machen, in rationalen Verhältnissen zueinander stehen. 
Diese letztere Fassung läßt sich nun noch etwas modifizieren. 

Denkt man sich (Fig. 22) jene fünfte Fläche MNP, welche von 
den drei Kanten OA^ OB, OC Stücke in dem Verhältnis : m:n\p = 
haiJcbilc abschneidet , parallel mit sich durch einen der drei Punkte 
A, B, (7, also hier z. B. durch C gelegt, in welchem die vierte Fläche 
ABC die Kante OZ trifft, so daß MNP nun die Lage WN^C hat, 
so schneidet sie von dieser Kante ein Stück OC ^=^ c ab und von den 
Kanten OX und OFdie Stücke: 

OJir = mi=^ = Äia und ON' =n^ = jb = k'b, 

h k 

wo &' = y und k^ = Y' Eine weitere durch den Punkt (7 gehende Fläche 

M*N*C ist unzweideutig gegeben durch die Abschnitte : m* = A*a und 
n^^^k^b und so jede andere Fläche des Ejystalls, die man durch C 
hindurchgelegt denkt. Die Abschnitte dieser Flächen auf den Kanten 
OX und OY sind nun: 

m^ = h^a; m^ = h^a\ m^=^h^a; 

es verhält sich daher wie vorhin: 

m^ : m* : w^ : . . . . = Ä^ : Ä* : Ä* : . . . . 

Da nun h, k, l etc. rationale (ganze) Zahlen sind, so müssen h^, k^ etc. 



40 Mögliche Ejrygtallfonnen. Erystallreihe. 

ebenfalls rational sein nnd man kann das Gesetz der rationalen Eanten- 

schnitte anch so aussprechen : Denkt man sich aile Flächen eines Krystalls 

durch denselben Punkt der einen der drei Kanten gelegt, so schneiden sie 

auf jeder der beiden anderen Ka»Uen Stücke ab, welche zueinander in 

rationalen Verhältnissen stehen (vergL das Beispiel (29)). 

Es läßt sich anf mathematischem Wege zeigen, daß, wenn für eine Krystallform 
nnter Zagnmdelegung von vier heliehigen Flächen derselhen das Gesetz der rationalen 
Eantenschnitte gilt, es unter allen Umständen notwendigerweise auch unter Zu- 
grundelegung irgend heliehiger Tier anderer Flächen dieser Form gelten muß. Es 
genügt also, die Bationalität der E^tenschnitte für eine einzige Gruppe von vier 
Flächen nachzuweisen. 

28. Mogliehe KrystallflSelieii. Krystallreihe. An jedem Erystall 
findet sich natürlich nur eine bestimmte endliche und zwar meist 
nicht sehr große Zahl von Flächen ausgebildet, und diese sind alle 
nach dem oben genannten Gesetze gruppiert. Man muß hieraus schließen, 
daß, wenn an dem Kr3rstall (oder einem anderen sonst ganz gleichen 
derselben Substanz) noch eine weitere Fläche ausgebildet wäre, diese 
ebenfalls auf jeder der drei Kanten Stücke abschneiden würde, welche 
mit den anderen dort von den sonstigen Flächen abgeschnittenen 
Stücken in rationalen Verhältnissen stehen. Es ist kein Grund vor- 
handen, warum irgend eine der durch dieses Verhalten charakterisierten 
Flächen nicht sollte an einem Krystall derselben Substanz vorkommen 
können. In der Tat beobachtet man an neu aufgefundenen Erystallen 
der verschiedenen Substanzen tagtäglich neue Flächen, welche alle 
nach diesem Gesetz angeordnet und nach ihm mit den anderen schon 
früher bekannt gewesenen Flächen verbunden sind. Man kann daher 
sagen : An den KrystaUen einer bestimmten Substanis können alle Flächen 
möglicherweise vorkommen {sind edle Flächen möglich), deren Abschnitte 
auf drei beliMgen Kanten in rationalen Verhaltnissen zueinander stelwn, 
die also dem Gesetz der rationalen Kantenschnitte folgen. 

Die Gesamtheit aller der unendlich vielen an einem Erystall 
möglichen Flächen, resp. die Gesamtheit aller von diesen Flächen 
begrenzten einfachen Krystallformen bildet die Krystallreihe oder Formen- 
reihe der beti*eflFenden Substanz. Sie ist implicite bekannt, wenn man 
nur vier beliebige Flächen des letzteren und ihre gegenseitigen Nei- 
gungen kennt, wenn diese vier Flächen so gegeneinander liegen, 
wie die oben (26, 27) betrachteten. Alle anderen lassen sich aus diesen 
vieren ableiten, wie wir unten noch eingehender sehen werden. Es 
ist dabei ganz gleichgültig, von welcher Gruppe von vier solcher 
Flächen man ausgeht, stets erhält man denselben durch die Neigungs- 
winkel charakterisierten Flächenkomplex, d. h. eben die Formenreihe 
der betreffenden Substanz. 

Für unmöglich an einem Erystall müssen dagegen solche Flächen 
gehalten werden, deren Abschnitte auf jeder der drei in einem Punkt 



Beispiel. 



41 



sich schneidenden Kanten mit den entsprechenden Abschnitten der 
anderen Flächen nicht in rationalen Verhältnissen stehen; solche 
Flächen, welche jenem Gesetz nicht folgen, sind noch nie beobachtet 
worden. 

Welche von den möglichen Flächen an einem Krystall tatsächlich znr Aos- 
bildnng gelang sind, hängt von den speziellen Verhältnissen ab, unter denen dieser 
Krystall entstanden ist. Unter anderen Bildnngsbedingangen entstehende Krystalle 
derselben Substanz umgeben sich auch mit anderen Flächen, die aber alle der näm- 
lichen Krystallreihe angehören. 

Mögliche Kanten eines Erystalls sind Linien, in denen sich mögliche 
Flächen desselben schneiden. 





29. BeispieL An einem KrystaU von Kiesekinkerz sind die in Fig. 23 dar- 
gesteUten Flächen vorhanden, welche sich unter den für dieses Mineral charakteristi- 
schen Winkeln (21) schneiden. Wählt 
man unter diesen Flächen drei be- 
liebige z. B. a, b, c aus, so schneiden 
sie sich, gehörig erweitert, in einem 
Punkt O, von dem die drei Kanten 
hjc = OXy cla =OYxaiäalh = OZ 
ausgehen, wie dies in Fig. 24 be- 
sonders gezeichnet ist. Eine Messung 
der drei Winkel a/6, 6/c, 6/a er- 
gibt, daß sie alle = 90® sind. 
Wählt man nun unter den übrigen Flächen noch eine vierte, z. B. z ganz be- 
liebig aus, so schneidet diese die Kanten OX, OY^ OZ in A\ B^ C, und die 
Winkelmessung ergibt, daß: ^ zja = 137« 52* und ^ zjh = 106« 46'. Setzt 
man OC = 1, so findet man aus den erwähnten Winkeln : OA' = 0,817 ; OB' = 
2,099. (25, Schluß). Nimmt man nun die Fläche s, so erhält man für diese : ^Bja = 
113» 54' und ^ ajb = 129" 7'; und wenn 8 ebenfalls durch C geht und OX und 
Or in ^" und B' schneidet, so ist: OA" = 1,633 und OB" = 1,049. Die Verhält- 

OA" 1 633 
nisse der auf denselben Achsen OX resp. Y abgeschnittenen Stücke : -jfp- = Jo.« =2 

1,049 



Fig. 23. 



Fig. 24. 



und: 



OB" 
OB 



orkQQ =0- 8Üid dann in der Tat rational, wie es das Gresetz der 

rationalen Kantenschnitte verlangt. In derselben Weise würde sich jede weitere 
Fläche des E^rystalls verhalten, und zum gleichen Resultat würde man kommen, wenn 
man irgend drei andere Flächen statt a, &, c, und eine andere statt z gewählt hätte. 
Eine Fläche, welche gegen a und h unter Winkeln = 105<^ 53' und 148^ 25' ge- 
neigt ist, würde, wenn auch sie durch den Punkt C ginge, auf OX und Y Stücke ab- 

schneiden: 0^4'"= 0A"= 1,633 und 05"'=0,525unddieVerhältnis3e^;V = n q??-=2 

{JA. U,ol I 

^"^^ ~07i'~ "^ 2 nqQ ^^ T wären auch hier rational. Man könnte erwarten, daß eine 

unter den angegebenen Winkeln gegen a und b geneigte Fläche an irgend einem 
anderen Kieselziukerzkrystall, als dem vorliegenden, dem sie fehlt, vorkommt. In 
der Tat kennt man auch Krystalle dieses Minerals, an welchen sich eine Fläche mit 
solchen Neigungen gegen a und b findet. Wäre dies nicht der Fall, so müßte man 
es doch für nicht ausgeschlossen halten, daß man noch einmal einen Kieselziukerz- 
krystall mit einer solchen Fläche fände; es wäre eine mögliche Fläche des Kiesel- 
zinkerzes, eine solche, die der Krystallreihe des Kieselzinkerzes augehört. 



42 Achsen. 

Dagegen mÜOte man eine Fläche, welche gegen a nnd b unter 120^ und 190* 
geneigt ist und also, darch C gebend, von OX und OY Stücke = 1,161 und 0,903 

1 161 
abschneidet, am Eieselzinkerz für unmöglich halten, da die Verhältnisse: ((öyr'^ 

0903 
1,421 . . . und ötyqö" = 0,430 . . . irrational sind. In der Tat ist auch eine Fläche 

mit solchen Neigungen gegen a und b noch nie beobachtet worden. 

30. Achsen. Um eine leichte und bequeme Übersicht über sämt- 
liche Flächen eines Krystalls zu erhalten, bezieht man dieselben in ganz 
ähnlicher Weise auf Achsen, wie dies in der analytischen Geometrie 
geschieht. Man denkt sich durch einen beliebigen Punkt im Innern 
des Krystalls, den AchsenmittelpunM oder Krystallmittelpunkt drei nicht 
in einer Ebene liegende Gerade OX, OY, OZ als Achsen gezogen, die 
das Achsensystem des Krystalls bilden (Fig. 25). Auf ihnen ist je ein 

positiver und ein negativer Ast zu unterscheiden. Sie 
werden stets in ganz bestimmter Weise aufgestellt 
gedacht und benannt. Die eine Achse denkt man sich 
aufrecht stehend; sie heißt die Vertikalachse und wird 
mit c bezeichnet ; der positive Ast + c geht nach oben, 
der negative — c nach unten. Die zweite, die Qt^erachse 
ft, geht von rechts (+ i) nach links ( — b). Die dritte, 
Fig. 25. die Längsachse a, geht von vom (+ «) »ach hinten (— a). 

Durch je zwei Achsen, OX und OY, OY und OZ, OZ 
und OX, wird eine Ebene, Achsenebene, bestimmt. Die drei Achsen- 
ebenen XOY, YOZ, ZOX teilen den Baum in acht Eaumabschnitte, 
OUanten. In diesen liegen die den Krystall begrenzenden Flächen 
rings um den Achsenmittelpunkt herum. Wenn man die Lage jeder 
einzelnen Fläche des Krystalls an den Achsen kennt, so kennt man 
auch die Lage sämtlicher Flächen desselben gegeneinander, ihre An- 
ordnung in der Krystallform, und damit ist dann diese selbst mathe- 
matisch bestimmt. Wir werden im folgenden die Verwendung der 
Achsen zum Studium der Krystalle speziell und eingehend zu betrachten 
haben. 

(Chr. S. Weiss. De indagando formamm crystallinamm cbaractere geometrico 
principali. Diss. Leipzig 1809.) 

31. Parameter. FlSehenausdrnck. Jede Krystallfläche z. B. abc 
(Fig. 26) ist in ihrer Lage an den Achsen unzweideutig gegeben durch 
die drei Stücke Oa = a, Oft «= ft, Oc = c, die sie von jenen ab- 
schneidet, und die man die Parameter der Fläche nennt Sie sind je 
nach der Lage der Fläche, je nachdem diese die Achsen auf der 
positiven oder negativen Seite schneidet, -\- oder — . Da die Flächen 
parallel mit sich beliebig verschoben werden können, so kommt es, 
wie bei den Kantenschnitten (25), nicht auf die absoluten Längen 




Parameter. Fl&chenaasdrnck. 43 

dieser Stücke an; auch hier ist nnr ihr Verhältnis, das Parameter- 
Verhältnis der Fläche: 

Oa :0b :0c oder a:b:c 
maßgebend. Schon hierdurch ist die Fläche in ihrer Lage an den 
Achsen (dem Achsensystem) unzweidentig krystallographisch bestimmt. 
Man kann daher die drei Parameter einer Fläche ebenfalls mit der- 
selben beliebigen Zahl r multiplizieren oder dividieren, ohne daß die 
Fläche dadurch eine andere krystallographische Bedeutung erlangt. 
Das Verhältnis a:b:c geht dann über in : 

, ^ a b c 

ra:rb : rc oder — : — : — 

r r r 

Alle diese Verhältnisse sind aber identisch und stellen dieselbe 

Erystallfläche dar, nur in verschiedenen Parallellagen mit jeweilig 

anderer Centraldistanz. Die Multiplikation oder Division ist, wie wir 

ebenfalls schon bei der Betrachtung der Eantenschnitte gesehen haben, 

nichts anderes, als der analytische Ausdruck der Parallelverschiebung : 

bei der Multiplikation nach außen (vom Achsenmittelpunkt weg), bei 

der Division nach innen (gegen den Achsenmittelpunkt hin). 

Die Fläche abc liegt in dem Oktanten zwischen den drei positiven 
Achsenästen und hat daher das Parameterverhältnis : -|- a : + ^ * + ^ 
oder kurz : a:b:c. Läge sie in dem daran nach unten anstoßenden 
Oktanten, so wäre der Schnitt auf der Achse c negativ und das Para- 
meterverhältnis wäre : a : 6 : — c. Geht eine Fläche mit einer Achse 
z. B. der Achse OZ parallel und schneidet sie auf den beiden Achsen -f-^ 
und -|- r Stucke a und b ab, so gilt für sie das Parameterverhältnis : 
a : 6 : oo, resp. in den links anstoßenden Oktanten : a: — b :oo etc. Ist 
eine Fläche zwei Achsen, z. B. OX und F parallel und schneidet sie 
die dritte Achse OZ in der Entfernung p von 0, so wäre für sie jenes 
Verhältnis = oo : oo : |) resp. c« : oo : — p. Eine solche Fläche würde 
der Achsenebene XO Y pai*allel gehen ; ihr Parameterverhältnis könnte 
auch, nach Division aller drei Parameter mit p, in der Form : oo : oo : 1 
resp. oo:oo: — 1 geschrieben werden. 

Das Verhältnis der drei Parameter einer Fläche unter Berück- 
sichtigung der +- und — Vorzeichen der Achsenschnitte nennt man den 
Ächsenausdruck, den Ausdrtk^ oder das Symbol der Fläche, kurz den 
FläehenausdriAcJc, Das Symbol, der Ausdruck, der Fläche abc wäre 
danach: a:b:c, die Symbole der anderen oben erwähnten Flächen 
wären: a : b : — c; a : 6:oo; a: — 6 :oo; oo: oo: p oder oo: oo: 1 resp. 
oo : oo : — 1. 

Für die weitere Fläche def (Fig. 25) mit den Achsenschnitten (Para- 
metern) Od = d, Oc = c, Of = f wäre: d:e:f der Ausdruck u. s. w. 
In allen diesen Symbolen beziehen sich die drei Parameter der Reihe 
nach auf die drei Achsen OX, OY, OZ, 




44 Achsenlftngen. Ableitnngszahlen. 

32. AchsenlSngeii. Ableitangszahlen. Zweckmäßig ist es, wenn 

man in den Flächensymbolen die Parameter nicht 
direkt dnrch die Werte d, c, f etc. ausdrückt, son- 
dern wenn man auf den drei Achsen drei Stücke a, b, c 
annimmt, und sie als gemeinsames Maß für die 
Parameter aller Flächen des Krystalls je auf der be- 
treffenden Achse benutzt (Fig. 26). Jeder Parameter 
wird dann dadurch ausgedrückt, daß man angibt, 
wieviel länger er ist, als das betreffende Stück a, b 
oder c. Die Parameter d, e, f erhalten dann die Form : 
d = ma] e = n6; f = pc 
und ebenso die Parameter anderer Flächen d^e^f^, d^e^f^ etc.: 

dg = m^a\ e^ = n^b\ f^=p^c etc. 

Die so als gemeinschaftliche Einheitsmaße für die Parameter 
aller Flächen des Krystalls auftretenden Stücke a, 6, c, die in gleicher 
Weise in den Parametern aller Flächen wiederkehren, heißen die 
Achsenlängen oder Achseneinheiten, Die von einer Fläche zur anderen 
wechselnden Zahlen w, w, p etc., die angeben, wieviel mal die Para- 
meter größer sind als die Achsenlängen, werden die AbleitungsmUen 
der betreffenden Fläche genannt. Wenn die Achsenlängen in einem 
Achsensystem ein für allemal fest bestimmt sind, ist jede Fläche durch 
ihre drei Ableitungszahlen ihrer Lage nach unzweideutig gegeben. Die 
Achsenlängen a, i, c sind absolute positive Werte. Die Ableitungszahlen 
sind je nach der Lage der Fläche + oder — ; eine von ihnen oder 
auch zwei können = oo sein, wenn die Fläche der einen Achse oder 
zweien derselben (d. h. der von ihnen bestimmten Achsenebene) 
parallel ist. 

Sind die Parameter in den Achsenlängen und den Ableitungszahlen 
ausgedrückt, dann erhalten wir, entsprechend den Auseinandersetzungen 
des vorigen Paragraphen, Flächensymbole von folgender Form: 

d: e :f=^ma\nb :pc 
d : e :oo = ma : nh : ooc 
d : — e : oo = ma : — nb :ooc etc. 
und es sind m, n, p; m, w, oo; m, — w, oo etc. die Ableitungszahlen 
dieser Flächen. 

Da die Parameter einer Fläche stets mit derselben Zahl multi- 
pliziert oder dividiei-t werden können, kann dies selbstverständlich 
auch mit den Ableitungszahlen geschehen. Es handelt sich eben 
bei der Angabe der Lage einer Fläche nicht um die absoluten Werte 
der Ableitungszahlen m, n und p; die Fläche ist schon dui*ch das 
Verhältnis der Ableitungszahlen m :n :p krystallographisch unzwei- 
deutig gegeben. 



Wahl der Achsen. Fnndamentalflächen. 46 

33. Wahl der Achsen. Im allgemeinen ist es völlig gleich- 
gültig, welche Lage die Achsen in dem Erystall haben, stets kann 
man in der angegebenen Weise die Flächen des Erystalls nnd damit 
den Erystall selbst anf das Achsensystem beziehen. Man hat aber ge- 
funden, daß Achsensysteme von bestimmter Beschaffenheit sich durch 
besondere Vorzüge vor allen anderen auszeichnen. Diese sind es da- 
her, die bei der Betrachtung der Erystalle benützt werden. Achsen- 
systeme dieser Art sind solche, die aus den Begrenzungselementen 
der Erystalle selber genommen werden, bei denen die Achsenebenen der 
Sichtung nach Flächen (wirklich vorhandenen oder möglichen), die 
Achsen selbst also Eanten (wirklich vorhandenen oder möglichen) des 
Erystalls entsprechen (26), (28). 

Ein solches Achsensystem erhält man, wenn man drei (wirklich vor- 
handene oder mögliche) Flächen des Erystalls, die nicht alle drei einer 
und derselben Geraden parallel gehen (nicht in einer Zone liegen), 
parallel mit sich durch einen beliebigen Punkt im Innern des Ery- 
stalls verschoben denkt, der dann den Erystall- oder Achsenmittelpunkt 
darstellt. Diese drei Flächen, die die FundamentalfläcJ^m genannt 
werden, haben (Fig. 26) die Lage XOY, YOZ, ZOX. Sie bilden die 
drei Achsenebenen und schneiden sich in den drei Achsen OX, OY^ OZ. 
Diese sind, als Durchschnittslinien von Erystallflächen, der Richtung 
nach Eanten des Erystalls, die nun aber hier nicht an der äußeren 
Begrenzung liegen, sondern durch dessen Mitte hindurchgehen. Eben- 
so sind die 8 Oktanten nichts anderes als dreikantige Ecken des 
Erystalls, die jedoch hier im Achsenmittelpunkt zusammenstoßen. 

Sind nun die so bestimmten Achsen durch den Achsenmittelpunkt 
hindurchgehende Eanten, so gilt für sie alles, was für Erystallkanten 
überhaupt gilt. Namentlich müssen nach dem Gesetz der rationalen 
Eantenschnitte die Abschnitte (Parameter) der übrigen Flächen des 
Erystalls auf jeder Achse in einem rationalen Verhältnis zueinander 
stehen (26, 27). 

Um dies für den Gebrauch der Achsen anwendbar zu machen, wählt 
man irgend eine beliebige weitere vierte Fläche des Erystalls z. B. 
äbc (Fig. 26), deren Lage an den Achsen durch das Verhältnis der 
Parameter (den Flächenausdruck) a\h:c gegeben ist. Diese Para- 
meter a, 6, c benützt man sodann als die Achseneinheiten oder die Achsen- 
längen (32), um in ihnen die Parameter aller weiteren Flächen aus- 
zudrücken. Wegen der Parallelverschiebbarkeit der vierten Fläche 
kommt es nicht auf die absoluten Werte der Achsenlängen an, sondern 
nur auf ihr Verhältnis : a\h:c^ das sog. Achsenverhältnis. Man kann 
auch die drei Achsenlängen mit jeder beliebigen Zahl multiplizieren 
oder dividieren. 

Die vierte Fläche, die auf den Achsenrichtungen die Achseneinheiten 



46 Eiuheitsfläche. Gesetz der rationalen Achsenschnitte. 

a, ft, c abschneidet, wird die Einheit^läche des Achsensystems genannt 
Fnndamentalflächen and Einheitsfläche bestimmen dann miteinander 
das Achsensystem. Sie werden wohl auch zusammen als die Elementar- 
flachen des Krystalls für das betreffende Achsensystem bezeichnet 

Schneidet nun eine fünfte Fläche von den drei Achsen die Para- 
meter d, e, f ab, so müssen nach dem Gesetz der rationalen Kanten- 
schnitte (26, 27) in der Proportion: 

d e f 
a b c 
m, n, p rationale (ganze) Werte haben. Man kann dann auch hier setzen : 

d = ma] e = nb; f = pc 
m, n und p sind alsdann die Ableitungszahlen der fünften Fläche, 
wenn deren Parameter d, e, f in den Achsenlängen a, 6, c (den Para- 
metern der vierten Fläche) ausgedrückt werden, und diese Ableitungs- 
zahlen müssen notwendig rationale (ganze) Zahlen sein. Das Symbol 
der fünften Fläche wird dann (32) : 

d :e :f = ma :nb :pc 
nnd ebenso würde man für alle weiteren Flächen an dem Erystall, 
^1 ^1 /i5 ^« ^a /« ßte., mit den Parametern d^, e^,fi; d^, e^, f^ etc. 
die in den Achseneinheiten ausgedrückten Symbole erhalten können. 
Es wäre dann das Symbol für: 

d^ e^ /*! d^ : e^ : f^ == m^a : n^b : p^c 

dg e» /*a dg : Cj : /*j = m^a : n^b : p^c etc. 

wo wieder die Ableitungszahlen m^, n^, Pi; ^29^1) P^ etc. rationale 
(ganze) Zahlen wären. 

Indem man so die Parameter aller Flächen eines Krystalls in 
denen einer beliebigen einzigen, der Einheitsfläche, d. h. also in den 
Achsenlängen ausdrückt, ist die Lage jeder Fläche durch einige meist 
einfache ganze oder gebrochene rationale Zahlen, die Ableitungszahlen, 
gegeben. Die Begrenzung der Krystalle wird so in sehr einfacher 
und übersichtlicher Weise durch die derartig gestalteten Flächen- 
symbole bestimmt. Dies ist der Grund, warum man die Achsen stets 
auf diese Art aus der Begrenzung der Krystalle wählt und warum 
man die Flächensymbole mit Hilfe der Achsenlängen und der Ab- 
leitungszahlen schreibt Würde man die Parameter direkt und ohne 
Zuhilfenahme der Achsenlängen auszudrücken versuchen, oder würde man 
als Elementarflächen Flächen wählen, die der Begrenzung (der Formen- 
reihe) des Krystalls nicht angehören, so würde dies auf komplizierte 
irrationale Zahlen und auf sehr wenig übersichtliche Flächenausdrücke 
führen, durch die das Studium der Krystalle sehr wesentlich erschwert 
werden müßte. 

34. Gesetz der rationalen Achsenschiiitte. Das Gesetz der ratio- 
nalen Kantenschnitte kann nun nach dem Angeführten auch das Ge- 



SpesieUe Betrachtung: der Ableitnngszahlen. 47 

setz der raüonalen Achsenscknitte {Parameter), oder das Gesetz der ratio- 
nalen Ableitungszahlen genannt nnd so aasgesprochen werden : Die Ab- 
leitungszahien aller Flächen eines KrystaUs sind rational, aber nor anter 
der Voraassetzangy daß die Achsen parallel mit wirklichen oder mög- 
liehen Kanten des KrystaUs sind, and daß die Achsenlängen aaf diesen 
dnrch eine Krystallfläche abgeschnittene Stücke sind. Man kann 
ferner sagen : An einem KrystaU sind äUe solche Flächen möglich, welche 
von derartigen Achsen Stücke mit rationalen Ableitimgszählen abschneiden, 
während Flächen mit irrationalen Ableitungszahlen unmöglich sind. 

Die Neigang and die Länge der Achsen, sowie die Ableitangszahlen, 
welche an diesen Achsen die einzelnen Flächen eines KrystaUs bestimmen, 
haben stets andere Werte, je nachdem man diese oder andere Flächen 
desselben als Einheits- and Fandamentalflächen wählt. Darch eine 
geschickte Wahl dieser letzteren kann man bewirken, daß die Ab- 
leitongszahlen der Flächen sehr kleine Zahlen sind, 1, 2, 3, selten 
mehr, abgesehen von 00; man spricht daher aach von dem Gesetz der 
einfachen rationcUen Ableitungszahlen. 

35. Spezielle BetraGhtBngen der Ableitungszahlen. Einige 
spezielle Verhältnisse der Ableitangszahlen ergeben sich nan aas 
denen der Parameter (31) von selbst, so daß sich das dort Angeführte 
in entsprechender Abändernng hier wiederholt. 

Selbstverständlich kann man wie die Parameter einer Fläche so 

auch deren Ableitangszahlen mit derselben Zahl maltiplizieren oder 

dividieren (32), ohne daß die krystallographische Bedeatang des Aasdracks 

irgendwie geändert wird. Es ist z. B. fftr die Fläche d e f das 

Symbol : 

die : f = ma : nb :pc = r ' ma :r ' nb : r - pc = rm - a : m -b : rp - c 

- ma nb pc m n , p 

oder = — : — :^~~ = — a : — b : ~c. 
r r r r r r 

Beziehen sich die Achsenabschnitte einer Fläche aaf einen positiven 
oder negativen Achsenast, sind also ihre Parameter positiv oder negativ, 
80 wird dies dorch das + oder — Vorzeichen der entsprechenden Ab- 
leitangszahlen zam Aasdrack gebracht, wobei aber + als selbstver- 
ständlich gewöhnlich fortbleibt. Danach hat eine Fläche im oberen, 
vorderen, rechten Oktanten, der von den drei positiven Achsenästen 
gebildet wird , im allgemeinen den Aasdrack : -|- ma : -j- «* ■ + 1^ 
oder karz ma:nb :pc mit den Ableitangszahlen : + m, + w, + 2>- Eine 
Fläche in dem nach nnten anstoßenden Oktanten ist : mainb : — pc 
mit den Ableitangszahlen + w, + w, — p etc. Die Einheitsfläche würde 
den Aasdrack : a:b :c mit den Ableitangszahlen 1, 1, 1 erhalten. Geht 
^e Fläche einer Achse parallel, ist also der za dieser Achse gehörige 
Parameter = 00, so ist aach die entsprechende Ableitangszahl = 00. 
Eine Fläche parallel mit der Achse c würde also, je nachdem sie rechts 



48 Spezielle Flächenansdrücke. Achsenelemente. 

oder links liegt, die Ausdrucke: mainb :ooc oder ma: — nbiooc er- 
halten. Geht eine Fläche zwei Achsen parallel, sind also zwei Para- 
meter derselben = oo, dann ist die Fläche eine Fundamentalfläche. 
Ist sie z. B. den Achsen OX und OY parallel, dann hat sie ganz all- 
gemein den Ausdruck : oo a : oob :pc] wenn man die drei Ableitungs- 
zahlen oo, oo, p mitp dividiert erhält man: ooa : 006 : c als das Symbol 
der Achsenebene (Fundamentalfläche) XOY. 

36. Spezielle Flftchenaasdrttcke. Die an einem Achsensystem anftxetenden 
EryBtallflächen kennen in dreifach verschiedener Weise an diesem liegen. Sie schneiden 
entweder alle drei Achsen, oder sie schneiden nnr zwei nnd sind der dritten paraUel, 
oder endlich sie schneiden nnr eine einzige Achse nnd sind parallel den heiden anderen. 
Flächen der ersten Art, hei denen alle drei Ahleitnngszahlen endliche Werte hahen, 
heißen im allgemeinen Oktaid- oder Pyramiden0chen; hierher gehört vor allem 
anch die Einheitsfläche. Flächen der zweiten Art mit zwei endlichen und einer nn- 
endlichen Ahleitnngszahl werden Dodekaid- oder Prismen- resp. Domenflächen ge- 
nannt. Flächen der dritten Art mit einer endlichen Ahleitnngszahl nnd zwei un- 
endlichen hahen den Namen Hexaid- oder Pinakoidflächen erhalten. Es sind ihrer 
drei, die wir schon als die Fnndamentalflächen mehrfach kennen gelernt haben. 

Beispiele spezieller Flächenansdrücke sind: 

3 
Oktaidflächen: 2a:&:c; a:-^b: — c nnd namentlich die Einheitsfläche: a:b:c. 

Dodekaidflächen : 00 a:Sb : c; 2 aioob : — Sc; — a:&:ooc. 
Hexaidflächen : ai 00 b : 00 c\ 00 a :b :qoc\ ooa:oc&:c, es sind die drei Fnnda- 
mentalflächen. 

37. Parallele Gegenflftehen. Eine Fläche schneidet auf der einen Seite des 
Achsenmittelpnnkts von den Achsen Stücke ah, welche in demselben Verhältnis stehen, 
wie die von der parallelen Gegenfläche anf der anderen Seite des Achsenmittelpnnkts 

abgeschnittenen Stücke (Fig. 27). Aber die von der einen Fläche anf 
der einen Seite abgeschnittenen Stücke haben entgegengesetzte Vorzeichen 
in Beziehung auf die von der Parallelfläche auf der anderen Seite 
abgeschnittenen. Man erhält also den Ausdruck der G^enfläche zu 
einer Krystallfläche mainb ipc^ wenn man deren Ableitungszahlen 
mit — 1 multipliziert. Die Gegenfläche ist also: — ma: — nb : — pc, 
also z. B. — a : — b : — c die Gegenfläche zu a:b : c; 2a: — 6: — c 
zu — 2 a:b : c etc. 

38. Achsensystem. Ein Achsen System ist bestimmt, wenn man kennt : 
1. das Achsen Verhältnis a:b:c\ 2. die drei Achsenwinkel, d. h. die Winkel, 
welche die Achsen miteinander einschließen: a = blc; ß^cja; y = ajb 
(Fig. 26). Das Achsenverhältnis und die Achsenwinkel bilden zusammen 
die Achsenelemente (kurz die Elemente) des betr. Krystalls. Da es bei 
den Achseneinheiten nur auf das Verhältnis, nicht auf die absoluten 
Längen ankommt, kann man sie mit einer beliebigen Zahl dividieren, 
z. B. mit einer der drei Achsenlängen, etwa 6. Man erhält dann: aibic 
= a/6 : 1 : c/ä. Wenn man nun für aß> wieder a, für c/6 wieder c 
setzt, läßt sich das Achsenverhältnis ebenso allgemein auch unter der 
Form : a : 1 : c, ebenso aber auch unter der Form : 1 :b : c oder a:b:l 
schreiben. Die eine der drei Achsen ist dann die Einheit, in der die 




Achsensystem. 49 

beiden anderen aosgedrfickt sind. Mit anderen Worten : Man kann in 
dem Achsenyerhältnis a:b :c eine der drei Achsen = 1 setzen nnd die 
beiden anderen in dieser Einheit ausdrücken, d. h. angeben, wieviel 
mal länger oder kftrzer sie sind als diese. Die Achsenelemente eines 
Erystalls enthalten also nur 5 voneinander unabhängige unbekannte 
Stücke : 2 der Achsen etwa a und c (wenn 5 = 1) (resp. die Verhält- 
nisse: -r ^ -r); sowie die 3 Achsenwinkel a, ß, y. Ihre Bestimmung ist 

am einfachsten, wenn die Winkel der drei Fundamentalflächen zu- 
einander und die der Einheitsfläche zu zwei Fundamentalflächen ge^ 
messen sind. Man verfährt dann ebenso, wie wir bei der Betrachtung 
der Eantenschnitte (25) gesehen haben. Die ersteren drei Winkel 
geben die Achsenwinkel a, ß, y und die zwei anderen die beiden Achsen, 
wenn die dritte = 1 gesetzt wird. Im allgemeinsten Fall sind 5 von 
einander ganz unabhängige Flächenwinkel des ErystaUs nötig, wenn 
die Ausdrücke sämtlicher Flächen an dem betreffenden Achsensystem 
bekannt sind. Diese fünf Winkel, aus denen man das Achsensystem 
berechnet, werden dessen FundamenMimfilcel genannt. In einzelnen 
Spezialfällen, die wir weiter unten kennen lernen werden, nehmen die 
Achsenwinkel a, ß^ y und das Achsenverhältnis a\h\c besondere spezielle 
Werte an, so daß das Achsensystem weniger als 5 voneinander unab- 
hängige unbekannte Größen enthält Dann genügen auch weniger 
als fünf Fundamentalwinkel, und zwar braucht man stets ebensoviele, 
als unbekannte Stücke vorhanden sind, zur Bestimmung derselben. 
Diese letztere bildet eine Aufgabe der rechnenden Erystallographie 
und soll daher hier nicht weiter verfolgt werden. 

•Wie die Neigimgswinkel der Flächen für alle Erystalle derselben Substanz 
cbaraktezistisch sind (20, 21), so sind es demnach ancb die Elemente der den Krystallen 
untergelegten Achsensysteme, welche nnr von jenen Winkeln abhängen nnd aus ihnen 
berechnet werden; nnd wie nnr bei Krystallen einer bestimmten Substanz gewisse 
Flächenwinkel vorkommen, so auch nur gewisse Achsenwinkel und AchsenverhlütnisBe, 
während andere unmöglich sind. Allerdings sind an einem und demselben ErystaU 
viele Achsensysteme möglich, da jede Gruppe von vier in der oben angegebenen Weise 
gegeneinander liegenden Flächen desselben ein solches liefern. Aber alle diese Achsen- 
systeme sind aufeinander zurückführbar und können auseinander abgeleitet werden, 
denn aUe die in Frage kommenden Flächen stehen ja nach dem Gesetz der rationalen 
Kantenschnitte (oder nach dem Zonengesetze (44 ff.)) in einer bestimmten, mathe- 
matisch ausdrückbaren Beziehung zueinander. Die Achsensysteme von Krystallen 
verschiedener Substanzen lassen dagegen keinerlei gesetzmäßigen Zusammenhang 
«rkennen und können daher auch nicht auseinander berechnet und ineinander über- 
geführt werden, ebensowenig wie sich ein gesetzmäßiger Znsammenhang zwischen 
der Anordnung der Flächen bei Krystallen verschiedener Substanzen und den Winkeln, 
die sie miteinander machen, erkennen läßt. 

Die Ausdrücke aller an einem Achsensystem möglichen Flächen, also die Krystall- 
reihe des betreffenden Krystalls (28), erhält man, wenn man für die Ableitungszahlen 
m, n, ^ der Beihe nach alle möglidien rationalen Werte (inkl. 00) in den allgemeinen 
Bauer, Mineralogie. 4 



50 Weißsche FlftchenbezeichnnDg. 

Anedmck : ma :nb :pe einsetzt. Alle die verschiedenen an einem Erystall oder an 
allen Krystallen derselben Substanz möglichen Achsensysteme, die sich durch ihre 
Acfasenwinkel nnd Achsenyerhältnisse voneinander unterscheiden, geben dabei infolge 
des erwähnten gesetzmäßigen Zusammenhangs stets dieselbe Gruppe von Flächen, 
dieselbe Erystallreihe, indem sich die Flächen jedesmal unter denselben Winkeln 
schneiden. Dagegen erhält man aus Achsensystemen, welche von Krystallen ver- 
schiedener Substanzen abgeleitet sind, stets andere Erystallreihen mit anderen 
Flächenneigungen, und zwar mit denjenigen, welche für die betr. Substanz charakte- 
ristisch sind (20, 21). Durch die Achsensysteme resp. durch die Elemente derselben 
sind somit die Erystalle in ihren wesentlichen Gestaltungsverhältnissen bestimmt. 
Die Achsen geben gewissermaßen ein übersichtliches Bild der Erystallisation der ver- 
schiedenen Substanzen, welche sich demnach auch durch ihre Achsenelemente in 
krystallographischer Beziehung charakterisieren und voneinander unterscheiden 
lassen^ ebenso wie durch die Flächenwinkel, &ber weitaus einfacher und übersicht- 
licher, als durch diese. 

39. Weißsche FMclieiibezeiehnuiig. Der Berliner Mineraloge 
Christian Samuel Weiß, der zu Beginn des 19. Jahrhunderte die Achsen 
in die Erystallographie einführte, hat auch zuerst die Flächensymbole 
in der Form: 

ma : nb :pc 
geschrieben, in der die Parameter durch MuttipWcatian der Achsenlängen 
a, h, c mit den Zahlen m, n, p (den Ableitungszahlen) erhsklten werden. 
Diese Form der Achsenausdrücke wird danach die Weißsche Flächen* 
beaeichnung genannt. Bei ihr wird mittels der AbleitungBzahlen an- 
gegeben, wieviel mal größer die Parameter der Flächen sind, als die 
Achsenlängen ; m,n,p werden dabei im allgemeinen als ganze Zahlen, 
seltener als Brüche angenommen. 

40. Indices. Im Gegensatz zu Weiß kann man nun aber die 
Flächensymbole statt mit ganzen Ableitungszahlen auch mit gebrochenen 

schreiben in der Form: 

■ 

1 1, 1 ^ a b c 
T^ : T^ : -rC Oder t- : i- : ^ 
h k l h Je l 

wo h, k, l dann ebenfalls rationale Werte haben müssen und allge- 
mein als gange Zahlen gedacht oder eyentuell in solche umge- 
wandelt werden können ((26) u. (35)). Sie werden die Indices der Fläche 
genannt. Durch diese Indices ist die Lage der Fläche an einem 
Achsensystem ebenso unzweideutig gegeben wie durch die Ableitungs- 
zahlen. Sie geben aber im Gegensatz zu den letzteren an, wieviel 
mal kleiner die Parameter der Fläche sind als die Achsenlängen. 
Man erhält die Parameter, indem man die Achsenlängen durch die In- 
dices dividiert. Eine durch ihre Indices bestimmte Fläche liegt inner- 
halb des durch die Achsenebenen und die Einheitefläche abgegrenzten 
Baumes, während die in Ableitungszahlen ausgedrückte Fläche, wenn 
jene ganze Zahlen sind, außerhalb dieses Raumes liegen muß. Wie 
bei den Ableitungszahlen kommt es auch bei den Indices einer Fläche 



Millersche Flächenbeseichnimg. 51 

nnr auf ihr Verhältnis, nicht anf ihre absoluten Werte an. Man 
kann anch die Indices mit jeder beliebigen Zahl moltiplizieren oder 
dividieren, was hier gleichfalls einer Parallelverschiebnng der Fläche 
entspricht Wie die Ableitongszahlen , so sind auch die Indices + 
oder — , je nachdem sie sich anf einen positiven oder negativen Achsen- 
zweig beziehen. Der Ableitnngszahl oo entspricht selbstverständlich 
der Index 0; er drückt ans, daß die Fläche der betreffenden Achse 
parallel ist. Die mittels der Indices ausgedrückten Flächensymbole 
sind in der rechnenden Krystallographie und besonders auch bei der 
Betrachtung dei* 2iOnenverhältnisse (44 ff.) sehr bequem; sie werden 
daher mit großer Vorliebe benutzt. 

41. Millersche Fläehenbezeiehnung. Der erste, der die Indices 
in den Achsenausdrücken der Erystalle in ausgedehntem Maße ver- 
wendete, war der englische Mineraloge William Hälhws MiUer, Er 
änderte aber die Symbole in ihrer Form und vereinfachte sie, indem 
er die Achsenlängen wegließ und nt*r die Indices schrieb und zwar 
stets in der Form der kleinstmöglichen ganzen Zahlen und in der 
fieihenfolge, in der sie sich auf die drei Achsen a, b, c beziehen. Ist 
ein Index negativ, so wird ein — darüber gesetzt. So sind also 
ganz allgemein nach Miller: 

Die OMaidflächen : 

---:--: — = ÄWund — t: — r' — 7- = ** l 

oder speziell: 

J:|-:c=231;;^:6:c = 311; 

a:h:c^==^ 111 (die Einheitsfläche) etc. 
Da dem Maximalwert 00 hier der Minimalwert entspricht, 
so sind: 

die Dodekaidflächen: 

a :oo6 :c = a:jr-: c=101; o-'h-q -^^ == 230 etc. 

die Heocaidflächm (Fundamentalflächen): 
a : 006 : 00c = 100; 00a : h : 00c = 010; 00a : 006 : c = 001. 

Die ifiUersche Bezeichnniigsweise aoU bei der Beschreibung der Mineralien in 
diesem Buche besonders angewendet werden, daneben die iVaumannsche, die bei der 
Betrachtung der einzelnen Erystallsysteme näher erläutert werden wird. Letztere 
unterscheidet sich von der Millerschen und der Weißschen im Prinzip dadurch, daß 
bei ihr nicht einzelne Flächen, sondern die ganzen einfachen Krystallformen durch 
besondere Zeichen zur Darstellung gelangen, unter Anwendung derselben Achsen auf 
denen auch die Weißschen und die MiUerschen Symbole beruhen. 

42. Umwandlung Weißsoher Symbole in Millersohe und umgekehrt. 
Hftoiig kommt man in die Lage, WelAsche Symbole in Millersche zu verwandeln 

4* 



52 Weißsche und Millersche Symbole. 

und nmgekehrt Dies kann leicht durch Division der Ableitnngszahlen, resp. dnrch 
Hnltiplikation der Indices mit einer geeigneten Zahl bewerkstelligt werden. Es ist 
dies jedesmal die kleinste Zahl, in der die sämtlidien Ableitnngszahlen resp. Indices 
ohne Rest enthalten sind, d. h..der kleinste gemeinschaftliche Faktor aller Ableitnngs- 
zahlen resp. Indices. 

a) TTe^sches Symbol in J&fiZ^ersches verwandelt : 

allgemein : 

, ma nb PC a b c a & c ,,, 

ma : nb :pc= : : — — = — : — :---=^:-5-:-=- = hkl, 

^ mnp min^ mnp np mp mn h k l ' 

speziell z. B. : 

6a:46:3c = ^:32:jg= 2:3:^ = 234, 

b) MUlerBcheB ^yiubol in TTts^ches umgewandelt: 
allgemein: 

,,, a b c hkl hM, hJd 1. ».r «.7 r 

h k l h k l "^ ' 

speziell z. B.: 

312 = |:5:~ = -g-a:66:-2-c = 2a:65:3c 

3 2 

(ev. auch: a : 3 6 : -5- c oder -^a:2b:c etc.) 

021 = -TT-: -5- • c = -Tc-fl: -g- :2c = ooa:b:2c etc. 

48. Beispiel. In dem oben (29) erwähnten Erystall von Kieselzinkerz seien 
a, 5, c als Fundamentalflftchen (Achsenebenen) gewählt. Sie schneiden sich unter 90®, 
also machen auch die von ihnen gebildeten Achsen rechte Winkel miteinander. 
Wählt man noch beliebig eine vierte Fläche als Einheitsfläche z. B. z^ so ist für 
diese Annahme das Achsensystem des Eieselzinkerzes bekannt Die drei Achsenwinkel 
sind: a = y^ = y = 90**; das Achsenverhältnis ist : a: 6 :c=0,817: 2,099:1. Der Aus- 
druck der Einheitsfläche zißt: z = a:b:c = 111. Derjenige der Fläche s wird dann : 

s = 2a:^6:c = 4a:6:2c=:142 und derjenige der Fläche .4'" JB''' C=2a:-rb:c = 

8a : 5 : 4 c = 182. Die Fundamentalflächen sind wie immer: a &= a : oo5 : 00c = 100; 
5 = ooa :6:00c = 010; c = ooa:oo6: c = 001. 

Hätte man dagegen, ohne die Fundamentalflächen zu ändern, 8 als Einheits- 
fläche genommen, dann wären wieder die Achsen winkel : a=/9 = / = 90®, aber das 
Achsenverhältnis würde : a:b:c = 1,633 : 1,049 : 1. Jetzt hätte nicht mehr z^ sondern 
8 den Ausdruck: a:&:c = lll, der sich nun aber auf das neue Achsensystem be- 
zieht. Dagegen hätte z in Beziehung auf dieses neue Achsensystem den Audmck: 

ya:25:c = a:46:2c = 412und A"* B**' C wäre jetzt: a : y 6: c=2a : b : 2c=121. 

Ein ferneres Achsenverhältnis würde die letztere Fläche geben, und ebenso jede andere, 
welche nicht einer Achse parallel ist. Ebenso könnte man auch stets andere Flächen 
zu Fundamentalfiächen nehmen. Daß diese verschiedenen Achsensysteme wirklich unter- 
einander in einer gesetzmäßigen Beziehung stehen und sich auseinander ableiten 

lassen, sieht man hier leicht, denn es ist : as:at = 0,817 : 1,633 = 1 : 2, d. h. a« = -^ a« ; 

femer 65 :&« = 2,099: 1,049 = 2:1, d. h. &« = 2&<; c ist in allen Fällen = 1 ange- 



Zonen. 53 

nommen worden. Komplizierter nnd nnr durch weitläoflgere Bechnnng nachxnweisen 
ist der Zusammenhang derjenigen Achsensysteme desselben Erystalls, bei welchen 
auch die Fnndamentalflächen andere sind. 

Im vorstehenden sind die allgemeinen Beziehnngen der Achsen aller Erystalle 
ohne Ausnahme auseinander gesetzt Je nach den speziellen Verhältnissen (Symme- 
trieverhältnissen) der Krystalle wählt man aber die als Achsen zu benatzenden 
Kanten etc. in yerschiedenen Fällen yerschieden (82). Wir haben aber zuerst noch 
das Zonengesetz kennen zu lernen, das dieselbe Gesetzmäßigkeit darstellt, wie das 
Gesetz der rationalen Kanten- oder Achsenschnittei nur in einer anderen Form. 



c. Das Zonengesetz. 

(Vergl. F. E. Neumann. De lege zonarum. Diss. Berlin 1826; Beiträge zur 
Krystallonomie 1823.) 

44. Zone. Unter Zone versteht man nach dem Vorgang von 
Chr. S. Weiss einen Komplex von Flächen, welche alle einer Geraden 
(Kante), der sog. Zofkenachse^ parallel sind, und welche sich somit alle, 
eventnell in der Erweiterung, in Kanten schneiden, die einander nnd 
der Zonenachse parallel laufen. Jede Zonenachse ist als Schnittlinie 
(parallel der Schnittlinie) zweier Flächen der Richtung nach eine 
mögliche Kante desKrystalls und umgekehrt: jede Kante eine mög- 
liche Zonenrichtung. Flächen, die in einer Zone liegen, heißen tauto- 
ecndl; so sind alle Flächen jedes Prismas, z. B. die Flächen p (Fig. 9), 
tautozonal. Schon durch je zwei Flächen einer Zone ist stets die 
Richtung der Zonenachse (die Zonenrichtung) und damit im wesent- 
lichen die Zone selbst bestimmt. Liegt eine Fläche in einer Zone, 
so liegt die parallele Gegenfläche selbstverständlich ebenfalls darin. 

Ist einKiystall auf einem Reflexionsgoniometer befestigt, so daß die Achse einer Zone 
(eine Kante) mit der Drehachse parallel ist (15), dann müssen die Reflexe eines Licht- 
punkts auf aUen Flächen der Zone der Reihe nach auf dem gleichen Wege durch das 
Sehfeld wandern, wenn man den Krjstall um 360® dreht, und zwar müssen sie sich in 
einer auf der Achse senkrechten Ebene bewegen. Ist das Goniometer mit einem Fem- 
rohr yersehen, so gehen die Reflexe der Reihe nach durch dessen Fadenkreuz. Daran 
kann man erkennen, ob eine Anzahl von Flächen in einer Zone liegt oder nicht, 
und zwar ist diese Probe sehr scharf und besonders dann von Wert, wenn sich die 
Flächen entweder gar nicht oder nur in sehr kurzen Kanten schneiden und wenn 
die KrystaUe sehr klein sind. 

45. Ausdruck der Zone. Sind an dem Achsensystem OXYZ(¥\g, 28) 

die beiden Flächen .iBC = -^:|.:4 = Ä*? und 2)£i?'=x-T--f=W, 

h k l h, Je, l, 

gegeben, so ist deren Durchschnitt GH die Achse der durch die beiden 

Flächen bestimmten Zone. Man denkt sich die Zonenachse GH parallel 

mit sich durch den Achsenmittelpunkt nach OK verlegt und das 

ParallelepipedOJfZfJVöPUS konstruiert, dessen Flächen den drei Achsen- 



54 Zonenansdnick. 

ebenen XOY, YOZ, ZOX parallel sind, und dessen Diagonale OS ist, 

wo S ein ganz beliebiger Punkt der Geraden 

i OK; dann sind OM, ON, OP die Koordinaten 

^^N. von S. Kennt man diese, so kennt man auch 

^ nN. die Zonenachse SO ihrer Richtung nach, da diese 

y^j^--^^p^ ja außer durch S auch durch den Achsenmittel- 

I punkt gehen soll. Die Kenntnis des Punkts 

I S resp. der Koordinaten desselben genügt also, 

jo^ um die Zone der Richtung nach völlig zu be- 

j^LX ^^ stimmen; ja schon das Verhältnis der Koor- 

¥ig. 28. dinaten OM: ON:OP ist hinreichend, da jeder 

beliebige Punkt der Zonenachse OK die Richtung 
derselben angibt. Man findet nun mittels einiger ähnlicher Dreiecke : 
OM:ON:OP = {M, — lk,)a:([h,~hl,)b:{hk,— hh,)c 

= ua:vb:wc. 

Diese Zahlen u=^M, — lh,y v = Vi, — hl,; w=^hk, — M,, welche 
hier als Koeffizienten der Achsenlängen a, 2», c auftreten und welche in 
Verbindung mit diesen die Richtung der Zonenachse bestimmen, heißen 
die Indices der Zone (Kante); in eine eckige Klammer gefaßt: {umD\ 
geben sie den Ausdruck (das Symbol) der Zone (Kante) ; als Differenzen 
von Produkten rationaler (ganzer) Zahlen sind auch die Indices der 
Zonen (Kanten) w, v, w stets rational (ganz). Jeder durch drei ratio- 
nale (ganze) Werte von w, v, w dargestellte Ausdruck gibt eine an 
dem Krystall mögliche Zone oder Kantenrichtung. Zonen (Kanten- 
richtungen), deren Indices irrational sind, können an einem Krystall 
nicht vorkommen. 

u, Vf w lassen sich stets leicht nach dem folgenden Schema ermitteln: 

h k l h k l 

XXX 

hf k, l, h, kf If 

Schreiht man die Indices der heiden Flächen doppelt neben- und übereinander, 
multipliziert die durch nach rechts unten gehende Linien verbundenen Indices und 
ebenso die durch nach links unten gehende Linien verbundenen Indices und zieht 
die im zweiten Fall erhaltenen Produkte von den im ersten FaU erhaltenen ab, so 
daß immer die Produkte von zwei sich schneidenden Linien voneinander subtrahiert 
werden, dann ist die erste Differenz^ über welcher im Schema u steht, der Zonen- 
index u für die Achse a, die zweite und dritte unter v und w sind die Zonenindices 
V und u; für 6 und c. Dabei müssen die Vorzeichen der Flächenindices A, k, l und 
h„ k„ l, streng beachtet werden. Die Zonenindices selbst sind wie die Flächen- 
indices -f- oder — und können wie die der Flächen alle mit einer und derselben 
Zahl multipliziert oder dividiert werden. 

Beispiel. Gegeben die beiden Flächen: 

ABC = 212; DEF ^111, dann ist: [t*tw] = [303] = [101] = [101] ; 
denn die Formeln für die Zonenindices geben nach dem Schema: 



2 1 S 2 1 2 

XXX 
1 1 1 l 1 1 
« = 1.1 — 2.(— 1) = 3; » = 2.1 — 2.1=0; «J = 2.(—l) — 1.1= — 3. 

46. Zonenglelehnng. H&t eine Fläche den Ausdrnck hkl und 
eine Zone den Ausdnick [avw], so ^t, wenn die Fläche in dieser 
Zone liegt, die 8(^. Zonengleichnng:: 

«Ä + vi + tri = 0. 

Die EntwicUnng dieser Oleichnng üt eine Aufgabe der tachneQden Kristallo- 
graphie, die hier nicht Torgeuommen werden kann. Sie wird eehi hSnflg angewendet 
nnd dient d. a. dain, zu nnteraachen, ob eine FlScbe mit bestimmtem Anadmck in 
einer dnrch ihr Symbol bekannten Zone liegt oder nicht. Dies ist der Fall, wenn 
die Indices der FIftcbe nnd der Zone der Zonengleichang genSgen oder nicht Ebenso 
l&ßt sich mit Hilfe dieser Oletcbnng in entsprechender Weise ermitteln, ob drei oder 
mehr Ft&cben derselben Zone ongebSren, oder ob dies nicht der FoU ist. Die folgmden 
Beispiele werden das deutlicher zeigen. 

Ist E. B. die Zone [121) g^eben, so liegt in ihr nach dieser Qleicbnng offtobar 
die Fläche: 111, denn es ist: « = 1, i> = 2, uj = l nnd Ä = — 1, ft = l, I = — 1. Es 
ist dann, also: 

1.(_1}4.2.1 + 1.(—1) = — 1 + 2-1=0, 
die Zonengleichnng ist also etfOllt, 

Dagegen liegt in dieser Zone nicht die Flfidie: lOS, denn es ist: 
l.l + 2.0 + l.(— 3) = 1 — S = — 2, also nicht =0, 
die Zonengleichnng ist nicht erfüllt. 

Diese Fl&cbe liegt dagegen i. B. in der Zone: [311], denn es ist, der Zonen- 
gleichnng entsprechend: 

3.1 + {— 1). + 1. C— 3) = 3—3-^0. 

Soll die ZngehSrigkeit von drei FlSchen ea einer Zone nntersncht werden, so 
verfiUut man in derselben Weise, indem man ans iweien der Flttchen das Zonen- 
s;mbol bestimmt (45) nnd die gefnndenen Indices mit denen der dritten Fläche noch 
der Zonengleichnng kombiniert. Ebenso bei jeder weiteren Fläche dieser Zone. 

17. Flftehe In zwei Zonen. Eine Fläche eines Erystalls liej;^ 
im aJI^meinen nicht nur in einer 2k>ne, sondern in mehreren, in zwei, 
drei etc. gleichzeitig. Dies ist der Fall wenn sie 
gleichzeitig den Achsen aller dieser Zonen parallel ist. 
So liegt z. B. in Fig. 29 die Fläche c gleichzeitig in 
den drei Zonen : [a'a,], [«"a,,], [a"'a„^. Dies sieht man 
an der Parallelität der Kanten cja', a'a,, ajc; c/a", 
a"la„, aJc; cjtf", a"'ja„,, aJc und kann es eventuell „. „ 
mit Hilfe des Goniometers nachweisen (44). 

Da jede Ebene durch zwei Gerade, denen sie parallel geht, der 
Richtung nach vOUig bestimmt ist, so ist auch eine KrTstallfläche 
durch zwei Zonen, in denen sie liegt, Tfillig bestimmt, denn: eine 
Fläche liegt in zwei Zonen heifit ja nichts anderes, als sie geht 
gleichzeitig den Achsen beider Zonen parallel. 



56 Deduktion. 

Sind die beiden Zonen, in denen die Fläche (JiM) liegt, dorch ihre 
Ausdrücke [uvw] und [M,t;,u;J gegeben, so bestehen die beiden Zonen- 
gleichnngen (46): 

hu-{-h)-{-lw = und hu, -^Jcv,-}- Iw, = 0. 

Ans diesen beiden Gleichungen folgt das Verhältnis der Indices 
hj k und l ausgedrückt m u,v,to und u„ v„ w„ und zwar erhält man 
durch Auflösen derselben: 

h:Tc:l^=^ wo, — wv, : um, — uw, : uv, — vu, 
so daß der Ausdruck der gesuchten Fläche, die gleichzeitig in beiden 
Zonen liegt, wird: 

hkl = vw, — uw,, um, — uw,, u/o, — vu,. 

Da u, V, w und u,, v,, w, stets rationale (ganze) Zahlen sind, so 
sind auch die Werte von ä, i, l stets rational (ganz). Eine in ewei 
(oder mäir) Zonen eines KrysUüls liegende Ebene ist demnach stets eine 
mögliche Fläche des KrystaUs. 

Liegt die Fläche gleichzeitig noch in einer dritten Zone, dann erhfilt man noch 
eine dritte Zonengleichung, die mit je einer der beiden obigen dieselben Werte 
von h, kj l liefert, wie jene zwei. 

Die Flftchenindices h, k, l lassen sich genan nach demselben Schema ans den 
Indices der zwei Zonen: u, v, to^ u„ v„ to, unmittelbar ablesen, wie (45) die Zonen- 
indices u, v, w ans denen der beiden Flächen: h, k, l^ h„ k„ l,. 

h k l 

XXX 

worans man, wie oben, erhält: 

h = VW, — fvv, ; k = um, — uw, ; l = iw, — vu,. 

Sind z. B. gegeben die Zonen: [21 IJ und [102], dann erhält man für die Indices 
hkl der in beiden liegenden Fläche hkl: 

Ä = l.(— 2) — 1.0 = — 2; fe==l^l — 2.(-2) = 6; / = 2.0 — 1 .1 = — 1; 

also: ÄW = 251 = — 6a:2ft:— 10c. 
oder für die parallele Gegenfläche (37): 

ÄÄ?= 251 =:5a: — 26:10c. 

48. Deduktion. Sind yier Flächen eines Erystalls A, B, C, D 
durch ihre Ausdrücke an einem Achsensystem bekannt, so ist es mög- 
lich, eine fdnfte Fläche x abzuleiten, welche gleichzeitig in den Zonen 
von je zweien derselben liegt (45 — 47). 

Istz.B.il = 302; JB=111; C = 101; D = 313, und soll » = ÄfcHn den beiden 
Zonen [A,B] und [CyD] liegen, so sind die beiden Zonensjmbole : 

[Ä, B] = [uvw] = [2l3] ; [C, D] = [u,v,w,] = [101] 
nnd hieraas das gesuchte Flächensymbol: ^ 

x = hkl = {uvWj u,v,w,) s= 111 oder = 111. 

Diese Flächen A, B, C, D müssen aber, wenn dies möglich sein 
soll, eine ganz bestimmte allgemeine gegenseitige Lage haben. Sie 
dürfen nicht alle vier in einer Zone liegen, auch nicht drei in einer 



ZonengeBets. 57 

Zone und die vierte außerhalb derselben, sondern es müssen immer 
nur je zwei in einer Zone liegen. Dies tun sie nur, wenn sie mit 
ihren vier parallelen Gegenflächen liegen wie die Flächen eines 
Oktaeders (Fig. 4), wobei jedoch die Winkel der Oktaederflächen gegen- 
einander gleichgültig sind. Dann aber bestimmen solche vier Flächen 
nicht bloß 2, sondern 6 verschiedene 2iOnen [A, B], [Ä, C], [Aj D], 
[Bj C], [By D], [C, D], ans welchen nicht bloß eine, sondern drei nene 
Flächen x abgeleitet werden können. Diese drei Flächen x geben 
miteinander drei neue Zonen, welche mit den ursprünglichen sechs 
Zonen [A^ B] etc. wieder neue Flächen liefern, und so kann man 
durch allmähliches Fortschreiten in dieser Weise aus jenen vier Flächen 
unendlich viele neue ableiten, welche alle miteinander im Zonen- 
zusammenhang stehen. Man nennt diese Operation die DeduMian. 

Die Ausdrücke der deduzierten Flächen für das Achsensystem, auf 
welches die Flächen A bis D bezogen sind, folgen durch fortgesetzte 
Anwendung der Formeln in (45) bis (47) aus den Ausdrücken der 
vier ersten Flächen. Die sämtlichen abgeleiteten Indices sind da- 
her notwendig rational, und die deduzierten Flächen mögliche 
Erystallflächen. Die unendlich vielen so deduzierten Flächen mit ihren 
rationalen Indices sind, wie sich auf mathematischem Wege nach- 
weisen läßt, in ihrer' Gesamtheit nicht verschieden von den unend- 
lich vielen Flächen, deren Ausdrücke man erhält, wenn man direkt 
die Achsenlängen jenes Achsensystems mit allen möglichen rationalen 
Zahlen als Indices kombiniert. Man erhält somit genau denselben 
Flächenkomplex, wenn man, entsprechend dem Gesetz der rationalen 
Kanten- oder Achsenschnitte, an ein Achsensystem unendlich vieleFlächen 
mit rationalen Indices legt, oder wenn man aus vier beliebigen Flächen 
dieses Komplexes, welche die oben angegebene allgemeine Lage gegen- 
einander haben, durch Deduktion aus dem Zonenzusammenhang alle 
ferneren möglichen Flächen ableitet. Dieser Flächenkomplex, den 
man in übereinstimmender Weise auf beiden Wegen erhält, stellt die 
Krystallreihe der betreffenden Substanz dar (28) und die Indices bilden 
die Beihe der rationalen ganzen Zahlen. 

Leicht sieht man ein, daß die vier Flächen, welche man der 
Deduktion zu Grunde legen muß, dieselbe allgemeine Lage gegen 
einander haben, wie die vier Elementarflächen, welche die Achsen- 
elemente bestimmen (32). Durch vier solche Flächen ist also mittels 
beider Methoden die Gesamtheit der möglichen Flächen des betr. 
Krystalls, seine Krystallreihe, gegeben. 

49. Zonengesetz. Man kann danach die erfahrungsmäßig fest- 
gestellte, durch die Neigungswinkel charakterisierte Gruppierung der 
Flächen eines Krystalls aus solchen vier Flächen nicht nur in mehr 



58 Zonen^esets. 

algebraischer Weise durch das Gesetz der rationalen Achsenschnitte 
angeben, sondern ganz ebenso gut in mehr geometrischer Weise, je- 
doch mit dem vorigen vollkommen gleichbedeutend, durch Deduktion 
mit Hilfe des sog. Zofiengesetaes, wie es zuerst von Chr. 8. Weiss und 
J^. E. Neumann ausgesprochen wurde. Dasselbe lautet: AUe Flädien 
eines Krystdlls stehen untereinander im Zoneneusammenha/ng^ d. h. man 
kann stets je vier Flächen aus den sämtlichen an einem Erystall 
möglichen beliebig herausgreifen und alle anderen aus ihnen deduzieren, 
wenn jene vier nur die Lage gegeneinander haben, wie in (48) an- 
gegeben. Welche so gestaltete Gruppe von vier Flächen man aus 
den Flächen eines Krystalls herausgreifen mag, stets erhält man ganz 
genau dieselbe Gruppierung der deduzierten Flächen, d. h. dieselbe 
Krystallreihe, ebenso wie man auch stets dieselbe Krystallreihe be- 
kommt, gleichgültig welche von den Flächen eines Krystalls man als 
Fundamentalflächen und als Einheitsfläche zur Bestimmung eines 
Achsensystems wählt (28, 38). 

Dieser vollkommen ununterbrochene Zonenzusammenhang besteht 
jedoch mit Notwendigkeit nur für die Gesamtheit aller der unendlich 
vielen möglichen Flächen eines Krystalls. An den in der Natur vor- 
kommenden Krystallen ist aber nur eine beschränkte Zahl dieser 
Flächen ausgebildet. Die Folge davon ist, daß man an ihnen keinen 
vollkommen ununterbrochenen Zonenzusammenhang mehr beobachtet, 
d. h. daß sich nicht mehr aus vier ganz beliebigen Flächen, welche 
nur die oben angegebene allgemeine Lage gegeneinander haben, alle 
anderen mittels der Zonen deduzieren lassen. Häufig kann man auch 
an den Krystallen, wie sie die Natur bildet, alle Flächen aus solchen 
vier Flächen deduzieren, denn auch die tatsächlich ausgebildeten 
Flächen der Krystalle sind der Eegel nach in Zonen geordnet. Aber 
man kann dies nur aus vier ganz bestimmten Flächen oder auch ans 
mehreren Gruppen von solchen vier Flächen, die Zahl dieser Gruppen 
ist jedoch stets eine endlich begrenzta 

Häufig gibt es überhaupt keine solche Gruppe von vier Flächen, 
aus denen sich atte anderen tatsächlich vorhandenen Flächen des betr. 
Krystalls deduzieren ließen. Entweder kann man nur eine Anzahl 
dieser Flächen aus den Zonen bestimmen, oder aber auch wohl in 
seltenen Fällen gar keine. Ist der Zonenzusammenhang bei geeigneter 
Wahl der vier zu Grunde gelegten Flächen ununterbrochen, so folgen die 
Ausdrücke aller deduzierten Flächen aus denen der letzteren nach den 
Formeln in (45) und (47), bezogen auf dasselbe Achsensystem, wie jene 
vier. Zur Bestimmung der Ausdrücke von Flächen, die außer dem 
Zonenverband liegen, ist das Messen von Flächenwinkeln und 
Berechnung nach den Methoden der rechnenden Krystallographie 
nötig. 



Zonengeaetz. 



Ö9 




Fig. 90. 



50. Beispiele« fiat man z. B. den Ejystall Fig. 30, bo lassen sich daran 
dnrch parallele Kanten oline weiteres die Zonen: [djiidiht], [h^dihid4]^ Uh^Kd^], 
[hgOid^04]j [d^OihiO^], [AtOi<^Oi]f [oJhoA], [h^Otid^o^] etc. je mit den nach hinten 
liegenden parallelen Gegenflächen erkennen nnd die genauere 
Untersuchong am Goniometer (44) würde noch weitere Zonen 
leicht ergeben, so namentlich: [dtdid^]^ [d^dgä^lf [d^4d^]t [did^d^] 
etc. Aber auch schon jene nnmittelbar erkennbaren Zonen zeigen, 
daß jede Fläche des ELiystalls mindestens in 2 Zonen liegt, so hi 
in [d^OihiOt] nnd [0tAi04(2e]; /'t in [^Oa^^Os] nnd [htOidiO^] etc., 
nnd daß somit jede Fläche dnrch Zonen anderer Flächen be^ 
stimmt ist. Femer sieht man, daß man aus den vier Flächen o, 
welche offenbar die erforderliche allgemeine Lage zueinander haben, alle an- 
deren Flächen deduzieren kann. Zunächst ist Ai bestimmt durch die Zone [oiOt] 
und [0SO4]; h^ durch [OiOt] und [0,04]; h^ durch [0|0,] und [O1O4]; femer die 
Flächen d durch je eine 2^ne [00] und [hh], also z. B. di durch [tho^] und [AA]; d% 
durch [o^Ot] und [hjit]'t d< durch [01O4] und [hih^] etc. 

Für die Flädien 0, welche der Deduktion zu Grunde liegen, kann man beliebige 
Indices wählen, wenn nicht aus irgend welchen Gründen der Symmetrie etc. solche 
Ton Tomherein gegeben oder angedeutet sind. Jeder solchen Wahl entspricht dann 
implidte ein ganz bestimmtes Achsensystem für den Krystall, das für alle anderen 
Ausdrücke jener Tier Flächen ein anderes wird. Die Ausdrücke (Indices) der 
Flächen müssen nur so beschaffen sein, daß nach ihnen nicht z. B. drei der vier 
Flächen in einer Zone liegen würden etc., was mittels der Zonengleichung (46)^ ge- 
prüft wird. Nimmt man z. B. an, daß: Oi = lll, 02 = 111| Os = lll, 04 = 111, so 
findet man, nach (46—47) aus den angegebenen Zonen: Ai = 100, ^ = 010 und h^ 
= 001; femer: (2i»101; ds = 110; (ig = 110 etc., welche Ausdrücke sich stets auf 
dasselbe Achsensystem beziehen, das auch den Ausdrücken der Flächen zu Grunde 
liegt. Eine ähnliche Deduktion wäre noch ans den Tier Flächen di d^ d^ d^, d^d^d^d^ 
etc. möglich, nicht aber aus dihiOid^ etc., trotzdem sie die erforderliche allgemeine 
gegenseitige Lage (49) auch haben, noch weniger aus d^hid^hg, Ton denen die drei 
ersten in derselben 2^ne liegen. 

Ein Flächenkomplex, wie der, welcher den Axinitkrystall Fig. 31 umgrenzt, 
gestattet überhaupt keine ununterbrochene Deduktion. Von den Tier Flächen P^i, 
u, 8 kann man nicht ausgehen, da P, i, u in einer Zone liegen, dagegen ist P, r, u, x 
geeignet. Diese Tier Flächen geben die Fläche s aus den beiden 
Zonen^[r,ii] und [P,»], und zwar ist, wenn man: P= 110; « = 110; 
r = 111 ; x = 111 annimmt, s = 201. Wenn man dagegen die Aus- 
drücke annimmt: P = 001; tt = lll; r==lll; « = 201, so wird 
s = 101. Der Ansdmck für i läßt sich nicht aus dem ZoneuTcr- 
band eimittebi, denn für t ist nur^die eine Zone [P,u] bekannt, nicht 
aber eine zweite. Wenn P » (HO) und u ^ (110), ist der Ans- 
dmck der Zone [P,u] = [001]; hat die Fläche i den allgemeinen 
Ausdmck: äW, dann müssen ihre Indices der Zonengleichung: O.Ä-f-0.fe + l = 
genügen (46), d. h. es muß jedenfalls der dritte Index 2 = sein. Um den Ausdruck 
der Fläche i Tollkommen zu bestimmen, d. h. auch, das Verhältnis h:h der beiden 
anderen Indices zu ermitteln, ist es nun nötig, einen Winkel zu messen, den i 
mit einer anderen Fläche macht, also etwa 3 i/P oder ^ i/s etc. 

Läge eine Fläche in gar keiner Zone bekannter Flächen, so müßte man zwei 
Winkel messen und die Bestimmung des Ausdmcks nach den hier nicht zu erläutern- 
den Methoden der rechnenden Krystallographie ausführen. 

51. Praktiseher Wert der Zonen. Die Kenntnis des Zonenzusammen- 
hangs der an einem Krystall Torhandenen Flächen ist für die praktische Unter- 




Fig. 31. 



60 Symmetrie. 

snchnng nnd Beschreibung von Eiystallen yon größter Wichtigkeit, da man, wie 
schon oben erwähnt, wenn alle Flftchen im ununterbrochenen Zonenverbande stehen, 
die Ausdrucke derselben ohne jede Winkelmessung und umständliche Rechnung nach 
den Formeln in (45 — 47) sehr bequem aus denen yon vier passend gelegenen Flächen 
bestimmen kann. Bei der Untersuchung eines Erystalls wird man also zweckmäßig 
Tor allem die Zonen ermitteln, sei es durch Beobachtung paralleler Kanten oder auf 
dem Goniometer (44). Man braucht dann schließlich, wenn alle Flächen im Zonen- 
zusammenhang stehen, nur so viele Winkel zu messen, als nötig sind, um das Achsen- 
system zu berechnen, und das sind im Maximum die fünf Fundamentalwinkel (38). Alle 
anderen Winkel lassen sich dann mittels der Achsen und der aus den Zonen ermittelten 
Flächenausdrücke berechnen. Würde man keine Zone kennen, so müßte man ebenfalls 
Ton Tier beliebig, aber nach den obigen Prinzipien gelegenen Flächen ausgehen. Man 
könnte diesen wieder beliebige Ausdrücke beilegen, müsste aber dann für jede weitere 
zu bestimmende Fläche zwei Winkel messen, die sie mit anderen Flächen des Erystalls 
macht Dies wäre eine sehr mühevolle und zeitraubende Arbeit, welche außerdem 
vielfach unsichere Resultate geben würde. In vielen praktischen Fällen wird sich 
zwar der Zonenzusammenhang der Flächen eines Erystalls nicht vollkonmien ununter- 
brochen darstellen lassen, und die Unterbrechungen müssen durch Winkelmessungen 
ergänzt und ausgefüllt werden, aber die Zahl der dazu nötigen Winkel ist doch 
immer gering. So kann man also meist mittels weniger gemessener Winkel aus 
dem Zonenverbande die Ausdrücke aller Flächen eines Erystalls, sowie alle anderen 
Flächenwinkel desselben berechnen, im konkreten Fall mißt man aber der Eontrolle 
wegen immer eine größere Zahl von Flächenwiukeln , als die zur Rechnung un- 
mittelbar nötigen Fundamentalwinkel und vergleicht sie mit den durch Rechnung 
erhaltenen. Je genauer die Winkelmessung möglich, d. h. je günstiger die Be- 
schaffenheit der Flächen ist, desto größer wird im allgemeinen ihre Überein- 
stimmung sein. Je größer die letztere ist, desto genauer ist der Erystall in Be- 
ziehung auf seine morphologischen Verhältnisse im allgemeinen bekannt. 

Mittels der Methode der kleinsten Quadrate läßt sich aus der Gesamtheit 
aUer gemessenen Winkel ein Achsensystem berechnen, das ihnen allen gleich gut ent- 
spricht. Selten sind aber die Winkel der ErystaUe.so genau meßbar, daß sich 
diese umständliche Rechnung lohnt. In der überwiegenden Mehrzahl der Fälle kann 
man sich mit den Fundamentalwinkeln begnügen. 

d. Die Symmetriererhältiiisse. 

52. Symmetrie. Die oberflächliche Begrenzung der Krystalle 
ist außer dem Gesetz der rationalen Eantenschnitte (dem Zonengesetz) 
noch einer weiteren Gesetzmäßigkeit unterworfen, die allerdings mit 
jenem im engsten Zusammenhang steht und sich aus ihm ableiten 
läßt. Es ist diejenige Gesetzmäßigkeit, welche die mehr oder weniger 
symmetrische Anordnung der Begrenzungselemente beherrscht, das 
Symmetriegesetz. 

Wenn man die stets dem Zonengesetz entsprechend angeordneten 
Flächen der Krystalle nach ihrer Gruppierung näher untersucht, so 
findet man, daß sie nicht immer vollkommen unabhängig vonein- 
ander auftreten, sondern daß in den meisten Fällen mehrere der- 
selben, aber ebenso auch mehrere Kanten und Ecken von überein- 
stimmender Beschaffenheit vorhanden sind, die symmetrisch zu einer 



Symmetrieebenen. gl 

Ebene (Symmetrieebene), oder rings um eine Achse (Spnmdrieachse) oder 
gegen einen Punkt (Symmetriecenirum) liegen. Diese zwei, die Sym- 
metrieebenen nnd die Symmetrieachsen, die einzeln oder zn mehreren 
auftreten können, bilden zusammen mit dem stets nur einzeln vor- 
handenen Symmetriecentrum die Symmetrieelemente der Krystalle. Wir 
werden zunächst diese Symmetrieelemente getrennt betrachten. 

53. Symmetrieebenen. Symmetiieebene eines Erystalls ist eine 
solche Ebene, die ihn in zwei gleiche, aber entgegengesetzte Hälften 
teilt, sodaB jede dieser Hälften das Spiegelbild der anderen ist Jedem 
Begrenzungselement, jeder Fläche, Kante und Ecke der einen Hälfte 
liegt dann ein gleichwertiges Begrenzungselement, eine gleichwertige 
Fläche (8), Kante (18) und Ecke (19) jenseits der Symmetrieebene 
gegenüber und zwar so, daß die sich symmetrisch entsprechenden 
gleichwertigen Flächen und Kanten gleiche Winkel mit der Sym- 
metrieebene einschlieBen und daß in den idealen Formen symmetrisch 
zusammengehörige Ecken auf Normalen zur Sjrmmetrieebene und in 
gleicher Entfernung von diesei* liegen. 

Eine Symmetrieebene liegt demnach so, daß sie die Winkel der 
zu ihr symmetrisch angeordneten Flächen- und Kantenpaare halbiert. 
Dies setzt voraus, daß sie durch die sämtlichen von den zusammen- 
gehörigen Flächenpaaren direkt oder in ihrer Erweiterung gebildeten 
Kanten hindurch geht, d. h. mit allen Flächenpaaren je in einer Zone 
liegt Jede Sjrmmetrieebene liegt also in mehreren Zonen gleichzeitig 
und ist demnach stets eine mögliche Fläche des betreffenden Krystalls 
(47) und sehr häufig eine an ihm auch wirklich auftretende Fläche. 
Eine der Sjrmmetrieebene parallele Krystallfläche hat selbstverständ- 
lich keine andere symmetrische Gegenfläche als die ihr parallele; sie 
erfallt die Symmetrie in Verbindung mit ihrer parallelen G^genfläche. 
Sämtliche Krystallflächen , die auf der Symmetrieebene senkrecht 
stehen, genügen sogar der Symmetrie füi* sich allein. 

Eine Symmetrieebene wird an der paarweisen Gleichheit sämt- 
licher Flächen und Kanten auf beiden Seiten derselben erkannt. Da- 
bei ist an den Flächen die physikalische Beschaffenheit zu berück- 
sichtigen und die Gleichheit der Kanten durch die Messung der Winkel 
mit dem Goniometer festzustellen. Die Verhältnisse der Ecken ergeben 
sich dann aus denen der Flächen und Kanten von selber. 

Schon wenn der Nachweis geführt ist, daß nur ein einziges Paar 
von Flächen, Kanten oder Ecken eines Krystalls zu einer Ebene 
symmetrisch liegt, kann man schließen, daß diese letztere eine 
Symmetrieebene auch für die anderen Begrenzungselemente, also für 
den Krystall selbst ist 

Zu beobachten ist aber dabei, daß für jedes einzelne Flächen- (und z. T. 
Kanten-) Paar durch die paraUelen Gegenflächen noch eine zweite Symmetrieebene 



32 Symmetrieebenen, 

bestellt, die unter UmBtänden nur Symmetrieebeue für diesaa eine Fläcben- (event. 
Eanten-] Paar ist, während die eratere Sjmmetrieebene dieses FlSchenpaares auch die 
anderen FlSchenpaare and tiberbaopt den ganzen KrystaJl symmetrisch teilt. Die 
zweite Ebene der partiellen Symmetrie ist lediglich eine Folge des Fl&chenparoUelis- 
mns und hat an sich mit der Symmetrie des ErystollB nichts za ton. Sie kann 
nnt«t Umständeu ebenfalls Sytcmetrieebene des ganzen Krystalls sein, miiQ es aber 
nicht. Welche Ton den beiden Symmetrieebenen eines Fläcbeupaares ftlr den ganzen 
KryBtaU gilt, ersieht man gegebenenfalls leicht ans der Flächengmppierang, oder 
ea mnß eventuell dnrch eingehendere üntersnchnng ermittelt werden. 

Es gibt Erystalle, die sich Dach gar keiner Ebene symmetrisch 
teilen lassen, andere haben eine einzige und wieder andere mehrere 
Symmetrieebenen. Im letzteren Falle sind diese entweder alle 
kryatallographisch gleichwertig oder alle ungleichwertig, oder es 
lassen sich einzelne Gruppen von je unter sich gleichwertigen und 
von den anderen verschiedenen Symmetrieebenen unterscheiden. 

U. SyMmctrieebenen. Beispiele. Der Ävffitkryst<^ Fig. 32 hat eine einzige 
Symmetrieebene. Die beiden Flächenpaare « nnd ebenso m sind, wie ihre physi- 
kalische Beschaffenheit ergibt, einander gleich (8). Die beiden Flfichen r nnd I 
treten jede uar einzeln mit paralleler Qegenfläche anf nnd stehen, 
wie man am Goniometer sieht, aufeinander senkrecht. Die einander 
rechts und links gegenflberliegeadeu Kanten mjr reip. m/I haben äeb 
. bei der Messung als gleich ergeben, ebenso die beiden Kanten tfr 
reap. »fl, s;m etc. Der Erystall ist demnach offenbar symmetrisch 
teilbar nach einer Ebene, die durch die Kante s> hindurch und 
senkrecht über die Fliehe r hinweg geht, parallel mit den Kanten 
mir, wie es die dünn angelegte Linie nnd die Schrafßemng zeigt, 
nj 33 Diese Symmetrieebene ist parallel mit der Fläche I nnd liegt, wie 

man ans der Parallelität der Kanten m/r und m/l sieht, in der- 
selben Zone auch mit den beiden Fliehen m, die aber wegen des Vorhandenseiiia 
der Fläche r nicht zum Schnitt gelangen kOnuen. Wurden sie sich, erweitert Über 
r hinweg, schneiden, so müßte ihre Schnittlinie m!m in der Symmetrieebene liegen. 
DkH letetere mit den beiden Flächen s in eine Zone föllt, aeigt die Figur ohne 
weiteres. Ebenso wie der Aogit hat auch der Oipskrystall (Fig. 36) eine Symmetrie- 
ebene, die durch die Kant«n Iß und flf hindurch und der Fläche p parallel geht. 
Sie ist auch hier durch Schrafüernng kenntlich gemacht Eine Ebene, die die Winkel 
an den seitlichen Kanten m'_m Ober l hinweg halbiert, würde das Prisma m ebenfalls 
symmetrisch teilen, aber nnr dieses, nicht den ganzen Krystalj [Fig. 32). 

Die beiden oben betrachteten Krystalle von Äugit nnd von Oips haben nur eine 
einzige Symmetrieebene, sie sind nur nach einer einzigen Bichtong symmetrisch 
teilbar. Ein Beispiel eines Krystalls mit mehreren Symmetrieebenen, der sich also 
nach mehreren Richtungen symmetrisch teilen läßt, ist der Würfel, begrenzt von 
drei gleichen aufeinander Kenkrechten Flächenpaaren, in der idealen Form von sechs 
Quadraten (Fig. 33). Nach jeder seiner Flächen kann der Würfel symmetrisch ge- 
teilt werden. Ks sind somit zunächst drei anfeinsnder senkrechte Symmetrieebenen 
zz und A vorhanden, welche sich in den drei strichpunktierten Iiinien oa im 
Innern des Krystalls schneiden. Diese stehen ebenfalls aufeinander und anch auf 
den Würfelflächen senkrecht. Der Würfel ist aber auch nach den Diagonal- 
ebenen dd symmetrisch teilbar, die dnrch je zwei gegenüberliegende Würfelkanten 
hindnicbgehen und den Winkel der beiden in dieser Kante znsammenstAlIenden 
Flächen halbieren. Sie sind dnrch die gestrichelten Diagonalen dd angegeben. Je 



STmmetrieachgen. 



63 



Ewei solch« diagonalen Sjmiinetrieebenen B schneiden sich unter 90* in derselben 
Linie aa, wie «wei Symmetrieebenen A der ersten Art nnd halbieren deren Winkel 
Solcher diagonaler Symmetdeebeaen mUsaen also sechs vorhanden sein. Nach anderen 
SJchtnngen ist eine symmetrische TeUnue: des Wörfels nicht mtlgUch; diesem 
kommen demnach neun Symmetrieebenen zu. Aber diese sind offenbar nicht alle gleich- 
wertig, wie obne weiteres ans ihrer Lage am WUrtel hervorgeht. Die drei auf- 
einander senkrechten mit den Würfelflächen parallelen Symmetrieebenen A haben 
dieselbe Lage gegen die Begrenzung des Krystalls nnd sind daher gleichwertig 



Hg. 33. 



Fig. 34. 



oder kurz gleich; es sind die sog. Sanpttymmetritebenen. Ebenso sind die sechs 
diagonalen Symmetrieebenen B einander gleich, aber von jenen verschieden. Die 
Gesamtzahl der nenn Symmetrieebenen des Würfels zerfKllt demnach in zwei Gruppen, 
von drei resp. sechs solchen; man sagt, der Würfel hat 3 -|- 6 Symmetrieebenen. 

QanE ebenso wie beim WSrfel verhalten sich die Symmetrieebenen beim 
Oktaeder {V\g. 34). In beiden sind gleich viele gleich Eneinander liegende Sym- 
metrieebenen vorhanden, die hier auch mit denselben Bnchstaben bezeichnet sind. 
Die drei anfeinander senkrechten Hauptsym metrieebenen A gehen beim Oktaeder durch 
je vier Kanten hindorch, die sechs daiwischen liegenden Nebensymmetrieebeuen B 
gehen in der Bichtaug der Höhenlinien Ober die Flächen hinweg. 

Der in Fig. 35 dargestellte Enpfervitriolkry stall läDt 
sich uaclt gar keiner Richtnng symmetrisch teilen. Eben 
verhalt sich der Aiiaitkryatall Fig. 31. \ P 

55. Symmetrieachsen. Symmetrieachsen sind 
Bichtnngen, um welche ein Krystall um einen be- 
stimmten Brachteil ron 360** so gedreht werden 
kann, dafi sämtliche Flächen, Kanten und Ecken 
nach cler Drehung mit gleichwertigen Flächen, 
Kanten und Ecken zusammen fallen, daß der Krystall 
also wieder mit sich selbst vollkommen zur Deckung „ 

gelangt. Wenn dies bei einer Kreisdrehnng n-mal 
geschieht, also jedesmal nach Durchmessung eines Winkels Ton 3607», 




64 



SymmetrieachBen. 



so nennt man die Sjmmetrieaclise n-zählig, wo n stets eine ganze 
Zahl ist. Man spricht so von 2-, 3-, 4-, 6-zähligea SymmetrieachseiL 
Jede Symmetrieachse ist eine mögliche Kante des Krystalls nnd 
meist senkrefM auf einer Symmdriethene, wenn diese nicht infolge von 
Hemiedrie etc. verschwunden ist (63 ff., 68). Die Krystalle haben entweder 
gar keine oder eine oder auch in vielen F&llen mehrere Symmetrie- 
achsen, die aber nicht alle gleichwertig nnd gleichzählig zn sein 
brauchen nnd die in ähnlicher Weise in Gruppen zerfallen können, 
wie wir es bei den Symmetrieebenen gesehen haben. Steht eine 
Symmetrieachse allein nnd ist von allen anderen verschieden, dann wird 
sie eine singulare Achse genannt. Sind diese anderen neben ihr vor- 
handenen nnd von ihr Terschiedenen gruppenweise einander gleich, 
so heifit die singulare Achse eine Haaptachae, die anderen unterein- 
ander gleichen nennt man Ntbenacksen. 

56. SyraetriewliMa. Beispiele. Das Wesen einer SymmetrieachBe Terdent- 
licht Tielleicht am besten ein Bhombns. Eine im DnrchsclmittspuDbt der beiden Diago- 
nalen errichtete Normale ist eine EweicUiIige Symmetrieaclue 
deaselben. Nach einer Drehong am 360*/2 = 180* kommt 
der BhomboB mm eratenmal, nach einer Drehnng nm wei- 
tere 180° noch einmal mit sich Belbst zar Deckong. 

Sine EiyataUf orm mit einer einzigen Sjmmetrieachfle ist 
die de« Oipte» (Fig, 36), begrenzt Ton den gleichen Flilchen- 
pa&ren l nnd f, wozn noch die Fificfaen p treten, die der 
(in der Figur schrafBerteu) Symmetrieebene des Krystalls 
parallel gehen. Dann sind die eSmtlicfaen Kanten ^p, so- 
wie die sämtlichen Kanten fjp einander gleich. In einem 
solchen Erystoll steht eine zweizShlige Symmetrieachse &6 
senkrecht zn der Symmetrieebene p. Dreht man den Krystall 
nm diese Linie nra 360 °/2 =i 180°, dann fallen die vorderen 
Flfichen f anf die ihnen parallelen hinteren, die oberen 
Flächen I anf die unteren nnd umgekehrt. Bntsprediend 
verhalten sich alle gleichnamigen Kanten und Ecken. Der Krystall kommt somit 
nach einer Drehnng nm 180° nm die Achse b wieder vollkommen zai Deckung mit 
sich selbst. Eine weitere Symmetrieachse ist hier nicht vorhanden. 

Betrachten wir dagegen die schon oben beispielsweise angeführte Krystallfonn 
des Kalkspati, wo drei sich nnter gleichen Winkeln von 120° 
schneidende gleiche FlAchenpaare p ein heiagonales Frisma 
bilden, das von einem anders beschaffenen Flfichenpaar g oben 
und nnten senkrecht geschlossen wird (Fig. 37). Wir haben 
hier Ennächst eine sechazShlige Symmetrieachse cc parallel mit 
den Frismenkauten. Um diese am 360° gedreht kommt der 
Krystall sechsmal mit sich selbst znr Deckong. Die sechs- 
zählige Achse ist aber hier nicht die einzige. Es sind aach 
noch sechs zweizShlige Symmetrieachsen aa und bb vor- 
handen, von denen drei auf den FrismenkaJiten nnd drei 
aaf den Prismenflächen senkrecht stehen, um eine Achse a ge- 
dreht, kommt der Krystall, wie man leicht sieht, nach 180' 
mit sich selbst zni Decknng nnd dasselbe ist bei einer Drehnng nm eine der Achsen 6 
' der Fall. Es sind also hier zwei verschiedenwertige Qmppen von je drei gleichen 



Fig. 36. 




Kg. 87. 



Symmetriecentram. g5 

sweizähligen Symmetrieachsen aa nnd bb vorhanden, außerdem eine einzeln stehende 
sechszählige c, die auf jenen sechs senkrecht steht. Auch sieht man leicht, daß 
jede Symmetrieachse zn je einer Symmetrieebene ab, ac nnd hc des Erystalls normal 
gerichtet ist. Die einzelne Symmetrieachse c ist eine singpiläre Symmetrieachse nnd 
zwar eine Hauptachse, da neben ihr mehrere Gruppen von (je drei) untereinander 
gleichen yorhanden sind. Letztere sind Nebenachsen. 

Als weiteres Beispiel sei der Wwrfd (Fig. 33) erwähnt. Hier haben wir, wie 
die Betrachtung eines Modells ohne Schwierigkeit zu erkennen gestattet, sechs gleich» 
wertige zweizählige, vier gleichwertige dreizählige und drei gleichwertige yierzählige 
Symmetrieachsen, die, der Beihe nach, in der Bichtung zz senkrecht durch zwei gegen* 
überliegende Würfelkanten, in der Biditung M durch zwei gegenüberliegende Würfel- 
ecken und in der Bichtung cm senkrecht durch zwei gegenüberliegende Würfel* 
flächen yerlaufen, und die sämtlich durch den ihnen allen gemeinsamen Erystall- 
mittelpunkt hindurchgehen, ^e werden auch als die digonalen, trigonalen und 
tetragonalen Symmetrieachsen des Würfels bezeichnet. 

Genau dieselbe Zahl yon Symmetrieachsen mit der gleichen Lage, Zähligkeit und 
Wertigkeit, wie beim Würfel, treffen wir beim Oktaeder (Fig. 34). Die entsprechen- 
den Achsen sind hier mit denselben Buchstaben bezeichnet, wie bei jenen in Fig. 83. 
Sie gehen hier der Beihe nach senkrecht durch je zwei gegenüberliegende Kanten 
(die digonalen zz\ senkrecht durch je zwei gegenüberliegende Flächen (die trigo- 
nalen d(2), und durch je zwei gegenüberliegende Ecken (die tetragonalen aa), 

57. Symmetrieeentnim. Ein Centram der Symmetrie ist dann 
vorhanden, wenn man durch den Krystallmittelpnnkt gerade Linien 
so ziehen kann, daß von ihnen allen an ihren beiden Enden gleich- 
wertige Begrenzungselemente in derselben Weise getroffen werden. 
Dies ist stets, aber auch nur dann mOglich, wenn zu jeder Fläche die 
parallele Gegenfläche yorhanden ist (7). Es ist daher gleichgültig, 
ob man sagt, ein Erystall hat ein Symmetriecentrum oder er ist 
parallelflächig begrenzt. Selbstverständlich kann ein Erystall niemals 
mehrere Symmetriecentren haben. Es ist aber möglich, daß gar keines 
vorhanden ist; dies ist eben der FaU, wenn die parallelen Gegen- 
flächen fehlen. 

Beispiele für ErystaUe mit Symmetriecentmm sind sonach das Oktaeder (Fig. 34), 
der Würfet (Fig. 33); das sechsseitige Ftisma mit der gerade eingesetzten Endfläche 
(Fig. 37). Eine Form ohne Symmetriecentram ist n. a. das Tetraeder (Fig. 39, a n. c), 
der Krystall des Kiesetzirikerzes (Fig. 23) etc. Bei dem letzteren treffen wohl ein- 
zelne der dnrch den Krystallmittelpnnkt hindurchgehenden Geraden die Begrenzung 
beiderseitig an gleichwertigen Stellen, n. a. alle diejenigen, die in einer zn den 
Kanten If/a nnd Mlh senkrechten Ebene liegen, denn den Flächen J&f, a nnd h 
liegen ja parallele Flächen gegenüber. Bei anderen Flächen ist dies aber nicht der 
FaU, deshalb Terhalten sich anch andere Linienrichtnngen anders, nnd es ist somit 
doch kein Symmetriecentmm vorhanden. 

58. Grad der Symmetrie. Jede Erystallform ist in Beziehung 
auf ihre Symmetrie bestimmt durch die Zahl ihrer Symmetrieebenen 
und Symmetrieachsen, sowie durch das Auftreten resp. Fehlen eines 
Symmetriecentrums, wobei die krystallographische Gleich- oder Ver- 
schiedenwertigkeit der Symmetrieebenen und -Achsen, sowie die Zählig- 

Bauer, Mineralogie. ^ 



66 Grad der S3rinmetrie. 

keit der letzteren zu berücksichtigen sind. Auf der Anzahl und der 
Beschaffenheit der Symmetrieelemente (52) beruht der Grad oder das 
Maß der Symmetrie einer Krystallform. Zwei Krystallformen stimmen 
in Beziehung auf die Symmetrie miteinander vollständig überein, 
wenn sie denselben Grad der Symmetrie besitzen, d. h. wenn in beiden 
dieselbe Zahl von. beziehungsweise gleichwertigen Symmetrieebenen 
und Symmetrieachsen sich findet und wenn beide entweder ein Sym- 
metriecentrum haben oder beide nicht. Die entsprechenden Symmetrie- 
elemente haben in allen Krystallformen desselben Symmetriegrades 
dann auch stets dieselbe Lage gegeneinander und zeigen nach ihrer 
Gleich- oder Verschiedenwertigkeit, resp. -Zähligkeit dasselbe Ver- 
halten. Derselbe Symmetriegrad liegt auch bei allen den Formen vor, 
denen sämtliche Symmetrieelemente fehlen. 

Beispiele. Der Gipshrystaü (Fig. 36) hat ein Symmetiiecentrom (parallele Gegen- 
. flächen), eine Symmetrieehene paraUel mit der Fläche p und eine zweizählige Symme- 
trieachse senkrecht darauf. Ebenso hat auch der Augitkrystall (Fig. 32) ein Symmetrie- 
centram (paraUele Gegenflächen), eine Symmetrieebene parallel der Fläche l nnd eine 
zweizählige Symmetrieachse senkrecht zu dieser. Weitere Symmetrieelemente sind in 
beiden Formen nicht vorhanden. Beide stimmen nach Zahl nnd gegenseitiger Lage der 
Symmetrieelemente vollkommen miteinander überein, sie haben denselben Grad der 
Symmetrie. 

Bei der Betrachtung des Würfels (64) haben wir gesehen, daß er 9 Symmetrie- 
ebenen besitzt, die in drei auf einander senkrechte Hauptsymmetrieebenen A und sechs 
unter 45^ zwischen diesen liegende Nebensymmetriebenen B zerfallen (Fig. 33). 
Außerdem finden sich drei gleiche vierzählige Symmetrieachsen a, in denen sich je zwei 
Hauptsymmetrieebenen Aschneiden, vier gleiche dreizählige Symmetrieachsen c2, in denen 
sich je drei Nebensymmetrieebenen B treffen, und sechs gleiche zweizählige Symmetrie- 
achsen Zj in denen je eine Hauptsymmetrieebene A mit einer Nebensymmetrieebene B 
zusammenstößt. Endlich ist auch ein Symmetriecentrum vorhanden. Betrachten 
wir nun das Oktaeder (Fig. 34), so haben wir bei ihm ebenfalls drei aufeinander senk- 
rechte Hauptsymmetrieebenen A und sechs Nebensymmetrieebenen 5, die unter 45® 
gegen jene geneigt sind. Beide Gruppen von Symmetrieebenen des Oktaeders 
entsprechen also in Zahl, Beschaffenheit und gegenseitiger Lage genau den Sym- 
metrieebenen beim Würfel. Ferner sieht man leicht, daß beim Oktaeder ebenfalls 
drei aufeinander senkrechte gleiche vierzählige Symmetrieachsen a, vier gleiche drei- 
zählige Symmetrieachsen d und sechs gleiche zweizählige Symmetrieachsen z vorhanden 
sind, die zu den Symmetrieebenen und also auch gegeneinander genau ebenso liegen, 
wie im Würfel. Da auch das Oktaeder ein Symmetriecentram besitzt, so stimmt es 
mit dem Würfel in Beziehung auf die Symmetrie in aUen Punkten vollkommen 
überein, es hat denselben Grad der Symmetrie wie dieser. 

Li Beziehung auf den Grad der Symmetrie stimmen auch alle diejenigen Erystalle 
miteinander überein, die keine Symmetrieebene und keine Symmetrieachse, dagegen 
ein Symmetriecentrum besitzen, bei denen also keine andere Symmetriebedingung 
zutrifft, als daß zu jeder Fläche die parallele Gegenfläche in gleicher Beschaffenheit 
ausgebildet ist. Dies findet man z. B. bei dem ErystaU von Axinit (Fig. 31) und 
dem von Kupfervitriol (Fig. 35). Ist auch kein Symmetriecentrum, also gar kein 
Symmetrieelement mehr da, fehlt also zu jeder Fläche eine gleich beschaffene Gegeu- 
fläche, dann haben wir, wie oben schon bemerkt, gleichfaUs einen bestimmten Symme- 
triegrad. Beispiele solcher ErystaUe sind indessen im Mineralreich noch nicht ge- 



Erystallklassen. ffj 

fnnden worden, wohl aber bei künstlichen Snbstanisen (nnterschwefligBanres Calcium, 
sanres rechtweinsanres Stronünm etc.)- 

59. Krystallklassen. Da die Krystallfomien in Beziehung auf 
ihre Symmetrie einerseits vielfach vollkommene Übereinstimmung 
(denselben Symmetriegrad) zeigen, anderseits aber auch in dieser 
Hinsicht sich wesentlich voneinander untei'scheiden (verschiedenen 
Symmetriegrad haben), so können sie nach den Symmetrieverhältnissen 
in sachgemäßer und zweckentsprechender Weise in einzelne Gruppen 
eingeteilt werden, die man als £[rystallklassen bezeichnet. Eine 
KrystaUklasse ist der Inbegriff aller derjenigen einfachen und zusammen- 
gesetzten Erystallformen, die in Beziehung auf die Symmetrie mit* 
einander völlig übereinstimmen, die also denselben Grad dei' Sym- 
metrie, dieselbe Zahl beziehungsweise gleicher und gleichliegender 
Symmetrieelemente besitzen. 

Beispiele. Demnach würden also die Erystalle Ton Qips {Fig. 36) und Äugit 
(Fig. 92) zu der nftmlichen Krystallkiasse gehGren. In einer anderen Klasse wären 
die nnr mit einem Symmetrieoentmm yersehenen ErystaUe yon Äxinit (Fig. 31) nnd 
Ton Kupfervitriol (Fig. 35) nnterznbringen. Alle Erystalle ohne jedes Symmetrie- 
element würden miteinander eine fernere Klasse bilden. Eine weitere Klasse ist 
dnrch den Würfel nnd das reguläre Oktaeder repräsentiert, die ja ebenfalls in der 
Symmetrie vollkommen gleich sind etc. 

60. Beziehung der Symmetrie zum Eantenschnittgesetz. Wie 

die Erystallfl&chen in ihrer Anordnung überhaupt, so sind sie selbst- 
verständlich auch in Beziehung auf ihre symmetrische Gruppierung 
völlig dem Gesetz der rationalen Eantenschnitte (dem Zonengesetz) 
unterworfen. Es kann keine Art der Sjrmmetrischen Anordnung der 
Flächen, Eanten und Ecken in der Begrenzung der Erystalle vor- 
kommen, die auf irrationale £[antenschnitte führen würde, sonst könnte 
ja das Gesetz der rationalen Eantenschnitte nicht allgemein gültig 
sein. Polyeder mit einer Anordnung der Begrenzungselemente nach 
einer dem Eantenschnittgesetz nicht entsprechenden Symmetrie sind 
zwar geometrisch wohl denkbar, aber kiystallographisch unmöglich 
und auch niemals an Erystallen beobachtet worden. 

Beispiele hierfür sind das im geometrischen Sinne regul&re Dodekaeder (Pen- 
tagondodekaeder) nnd das Ikosaeder, zwei yon den fünf platonischen Körpern, die 
beide nach 15 Ebenen symmetrisch geteilt werden können. Die Anordnung ihrer 
Flächen führt anf irrationale Eantenschnitte. Sie sind also krystallographisch nn- 
möglichy wie ans demselben Grunde alle übrigen mit 15 Symmetrieebenen versehenen 
Polyeder. Formen genau wie jene beiden sind auch noch niemals an einem ErystaU 
beobachtet worden, wohl aber ihnen sehr ähnliche, deren Eanten jedoch nicht mehr 
alle einander gleich sind. Es ist ein Pentagondodekaeder mit in der idealen Form 
nicht regulären, sondern einseitig symmetrischen Fünfecken, das sog. Pyritoeder 
(Fig. 136) und ein Ikosaeder, von dessen 20 Flächen in der idealen Form nur 8 gleich- 
seitige, die übrigen 12 jedoch gleichschenklige Dreiecke sind (Fig. 143). Bloß unter 
diesen Umständen ist eine Anpassung an das krystallographische Grundgesetz m6g- 

6* 



68 32 Erystallklassen. 

lieh, aber es wird auch gleichzeitig die Symmetrie erheblich yermindert nnd die 
Zahl der Symmetrieebenen anf drei reduziert. Solche Formen zeigen n. a. der 
Schwefelkies nnd andere Mineralien. 

61. Fortsetzung. Gewisse Arten der symmetrischen Flächen- 
gruppiemng sind also durch das Gesetz der rationalen Eantenschnitte 
unbedingt bei Krystallen ausgeschlossen. Nur solche Formen, die in 
Beziehung auf die symmetrische Anordnung der Flächen (und der 
anderen Begrenzungselemente) diesem Gesetze entsprechen, bleiben 
für die Krystalle übrig. Man kann nun aus dem genannten Gesetz 
auf mathematischem Wege schliefen, da£ Flächen eines Erystalls 
nur nach 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 oder 9, nicht aber nach 8 oder nach 
mehr als 9 Ebenen symmetrisch angeordnet sein können ; femer, daß 
ein Erystall ausschließlich nur 2-, 3-, 4- und 6-zählige Symme- 
trieachsen haben kann, niemals aber solche von einer anderen Zählig- 
keit; dass, wenn eine Symmetrieebene und eine 2-zählige Sym- 
metrieachse vorhanden sind, diese notwendig aufeinander senkrecht 
stehen müssen etc. Man kann weiter zeigen, daß die Symmetrie- 
elemente nicht immer nach Zahl, relativer Beschaffenheit und gegen- 
seitiger Lage unabhängig voneinander auftreten können, sondern 
daß z. B. eine gewisse Anzahl von Symmetrieebenen notwendig auch 
eine gewisse Anzahl von Symmetrieachsen etc. bedingt. 

So müssen z. B. neben den 3 -|- ^ Symmetrieebenen des Würfels nnd des 
Oktaeders notwendig die scbon oben (56) besprochenen 3 gleichen Tierzähligen, 
4 gleichen dreizähligen nnd 6 gleichen zweizähligen Symmetrieachsen vorhanden sein 
nnd zwar genan in der dort mitgeteilten gegenseitigen Lage nnd ebenso mnß 
notwendig ein Symmetriecentmm existieren. 

62. 32 KrystallUassen. Setzt man diese Betrachtungen, was 
aber hier nicht geschehen soll, fort, indem man das Gesetz der ratio- 
nalen Eantenschnitte einer geeigneten mathematischen Behandlung 
unterwirft, so kommt man zu dem Resultat, da£ mit diesem Gesetz 
32 durch die Zahl, gegenseitige Lage und relative Beschaffenheit der 
Symmetrieelemente charakterisierte Sjrmmetriegrade vereinbar sind, daB 
also die diesem Gesetz unterworfenen und aus ihm ohne andere Vor- 
aussetzungen ableitbaren polyedrischen Formen in 32fach verschiedener 
Weise symmetrisch gebaut sein können. Mit anderen Worten : es sind 
32 KrystaUklassen möglich, in denen sich die sämtlichen Erystall- 
formen nach ihren Symmetrieverhältnissen unterbringen lassen. Dies 
ist auch in der Tat ausnahmslos der Fall. Allerdings hat man für 
einige wenige dieser 32 Sjrmmetrieklassen bisher noch keinen in der 
Krystallwelt tatsächlich vorhandenen Repräsentanten kennen gelernt, 
und für mehrere Klassen hat man speziell noch keinen Vertreter im 
Mineralreich aufgefunden. Es ist jedoch die Erwartung berechtigt, 
dass diese Lücken bei fortschreitendem Studium der künstlichen und 



Holoedrie. Meroedrie. Hemiedrie. g9 

natürlichen Erystalle in Zukunft noch ausgefüllt werden. Ander- 
seits hat man aber noch niemals einen Erystall beobachtet, der eine 
andere Symmetrie zeigte, als es einer der 32 aus dem Gesetz der 
rationalen Eantenschnitte ableitbaren Klassen entspricht. 

Diese Übereinstimmung der in der Natur tatsächlich beobachteten 
Symmetrieverhältnisse mit den aus dem krystallographischen Grund- 
gesetze abgeleiteten ist eine wichtige indirekte Bestätigung des 
letzteren. 

Eine Ableitung der 32 KrystaUklassen findet man n. a. in folgenden Werken: 

Hewelj Artikel „Krystall" in Gehler's physikaliachem Wörterbnch Bd. 6 
pag. 1023— 1B40 (1830) ; separat 1831 unter dem Titel: Erystallometrie oder Erystallo- 
nomie und Erystallographie ; anch Ostwald's Klassiker Bd. 88, 89. Bravais, Memoire 
snr les poly^dres de forme symmStrique. 1849 ; Ostwald's Klassiker Nro. 17. Etndes 
cristaUographiqnes 1861 nnd 1866; Oadolin, Memoire snr la d^dnction d^nn senl prin- 
cipe de tons les systömes ctistallographiqnes avec lenrs subdivisions. Acta soc. scient. 
fennicae Bd. 9 pag. 1—71, 1871 ; Ostwald's Klassiker Nro. 75. P. Curie, Bulletin de 
la sod^tS frangaise de min6ralogie. Bd. 7, 1884 pag. 89 n. 418. Sohnke, Entwickelnng 
einer Theorie der Krystallstmktnr. 1879. Minr^igerode, N. Jahrb. für Mineralogie etc. 
Beilage-Bd. V, 1887, pag. 145—166. Schönfliess, Kry Stallsysteme und Krystallstruktur. 
1891. Groth, Physikalische Krystallographie. 3. Aufl., 1895, pag. 311 ff. WiUfing, 
Tabellarische Uebersicht der einfachen Formen der krystallographischen Symmetrie- 
gmppen. 1895. Th. Lidfisch y Grundriss der physikalischen Ejrystallographie. 
pag. 34 ff. Erwähnt sei noch: FcdoroWy Uebersicht über dessen russisch geschriebene 
Arbeiten: N. Jahrb. f. Mineralogie, 1891, I. pag. 113—115. 

Ehe wir dazu übergehen, die 32 KrystaUklassen eingehend zu betrachten, haben 
wir noch eine Beziehung zwischen ihnen kennen zu lernen, die es gestattet, sie zu 
einer Anzahl von sechs größeren Gruppen, den sechs Krystallsystemen, zusammen- 
zufassen. 

63. Holoedrie. Meroedrie. Hemiedrie. Man macht bei dem 
Studium der Kry stallformen vielfach die Beobachtung, daß eiuzelne 
Flächen, die nach der Symmetrie eigentlich vorhanden sein müßten, 
fehlen. Dies sind Unregelmäßigkeiten und UnvoUkommenheiten, die 
wegen ihres gelegentlichen und zufälligen Auftretens eine größere 
Bedeutung nicht besitzen. 

In zahlreichen anderen Fällen ist aber auch ein regelmäßiges, 
ganz bestimmten Gesetzen unterworfenes Fehlen von Flächen an ge- 
wissen Formen zu konstatieren, wodurch neue, weniger symmetrische, 
abgeleitete Formen ebenfalls mit ganz bestimmten Symmetrieverhält- 
nissen entstehen. Diese Erscheinuug ist von der größten Bedeutung, 
und sie ist es, die wir nun etwas genauer kennen zu lernen haben. 

Schon bei Beginn der Entwicklung der wissenschaftlichen Krystall- 
kunde am Anfang des 19. Jahrhunderts wurde diese wichtige Be- 
ziehung zwischen gewissen Krystallformen erkannt, die man als die 
der VoUfläcJiigkeit und TeilflächigJceit, der Holoedrie und Meroedrie zu 
bezeichnen pflegt. Diese besteht u. a. darin, daß manche Krystallformen 



70 Hemiedrie. 

Dur Ton der Hälfte der Flftchen anderer Formen begrenzt sind, wo- 
bei die Flächen der ersteren genau dieselbe Lage zueinander haben, 
wie die entsprechende Hälfte der Flächen der letzteren. lUan kann 
sich demnach jene ans diesen durch Verschwinden der anderen Hälfte 
der Flächen entstanden denken, indem sich gleichzeitig die bleiben- 
den Flächen bis znm gegenseitigen Dorchschnitt nach allen Seiten 
hin ausdehnen. Solche nur Ton der Hälfte der Flächen begrenzte 
Formen heißen hemiedrische oder hälbftächige im Vergleich mit denen, 
die die volle Anzahl der Flächen besitzen und ans denen sie sich in 
der ei-wähnten Weise ableiten lassen. Diese letzteren werden als 
die holoedrischen oder voVflächigen Formen bezeichnet Die Erscheinnng 
selbst wird Hemiedrie oder Halbftäckigheit genannt; sie bildet einen 
speziellen Fall der Teilflächigkeit oder Meroedrie. 

Die aus einfachen vollSächigen Krystallformen abgeleiteten hemi- 
edrischen sind ebenfalls einfache Krystallformen, da ja auch sie von 
lauter gleichen Flächen begrenzt werden. Diese sind auch selbstver- 
ständlich in ihrer Anordnung dem Glesetz der rationalen Kantenschnitte 
Unterworfen. Das Verschwinden der einen Hälfte der Flächen ist ja 
von keinem Einfluß auf die bleibenden, die nach wie vor alle ein- 
ander gleich sein und dem Kantenschnittgesetze entsprechen müssen. 
In diesem Verhältnis der Holoedrie and Hemiedrie Bteben z. B. das re^olKre 
Oktaeder und das Bteta von Tier g:Ieichaeitigen Dreiecken begrenzt« Tetraeder. Denkt 
man sich im einem Oktaeäer (Fig. 38) die vier abwechselnden Flächen (die Bchrafßrten) 
Terschwnnden (regp. von Anfang an nicht ansgebildet) 
nnd die übrigen vier Flächen bis znm gegeneeitigeD 
Dnrcbsclinitt erweitert, so entsteht eine neue, dem voll- 
fl&chigen Oktaeder gegenOber bemiSdrische Form, die 
das regnJäre Tetraeder genannt wird, DaB zwisclien 
dem Oktaeder und Tetraeder wirklich diese Beziehung 
besteht, zeigt die in der Figor dargestellte Grappimug 
der Fluchen. Sie geht noch weiter aas den WiiikelTer- 
bältniasen beider Formen hervor. Das Oktaeder ist von 
acht gleichen, in der idealen Form gleichseitig dreieckigen 
Fig. SB. Flächen begrenzt, die sich in lauter gleichen Sauten von 

109 " 28' schneiden. Über die Ecken hinweg atollen sie 
dann unter Winkeln von 180»— 109" 28' = 70" 32' zusammen. Unter demselben Winkel 
von 70' 32 ' müssen sich aber auch, wie mau ans der Figur sieht. Je zwei Tetraeder- 
flächen in den Tetraederkanten treffen, denn die Tetraederflächen sind ja der Lage 
nach nichts anderes, als Oktaederflächen, die sich über die Oktaederecken weg 
schneiden. In der Tat trifft man auch an zahlreichen Mineralien (Fahlerz, Boracit etc.) 
tetraSdrische Fennen, deren Flächen unter lauter Winkeln von 70° 32' zusammen- 
stoOen, die also reguläre Tetraeder sind und somit in der erwähnten Beziehung zu 
dera regulären Oktaeder stehen und ans ihm abgeleitet werden können. 

64. Korrelate hemiSdriBelie Formed. Die voMächigen Krystall- 
formen geben selbstverständlich mit jeder ihrer beiden Flächenhälften 
einen zugehörigen hemiedrischen KSrper, also im ganzen zwei (von 



verschiedener Stellung). Die beiden aus demselben VoUflächuer abg:e- 
leiteten HalbflSchner heißen korrdat; jeder ist der Gegenkörper des 
anderen. 




So gibt das Oktaeder (Fig. 39 b] Ewei korrelate Tetraeder (Fig. 39 a und c), 
deren Kanten sich nntet 90" durchschneiden. Das eine Tetraeder ist das (Vt^en- 
tetraeder des andereii. 

65. Charakter der Hemiedrle. Zwei korrelate hemiedrische 
Formen, also z. B, die beiden Tetraeder Fig. 39 a und c, ergänzen 
sich gegenseitig geometrisch zn der zugehörigen Tollflächigen, also hier 
dem Oktaeder (Fig. 39 b). Die Flächen der einen Form (des einen Tetra- 
eders) sind aber stets physikalisch verschieden von denen der Gegen- 
form (des Gegentetraeders). Zwei korrelate Hernieder, also die beiden 
Tetraeder, bilden somit zwei verschiedene einfache Formen, die völlig 
unabhängig voneinander anitreteo. Durch ihr Zosammenvorkommen 
wird daher der zugehörige vollflftchige Körper nur der äußeren Form 
nach wiederhergestellt (Fig. 39 b), nicht aber der Flächeubeschaffen- 
beit nach, da nun nicht mehr alle Flächen einander gleich sind, 
sondern in zwei verschiedene Gruppen zerfallen. Man hat es mit einer 
Kombination der beiden korrelaten Halbflächner (der beiden Tetraeder) 
zn ton. 

Danach ist es für die Hemiedrie nicht unbedingt erforderlieh, 
daß die eine Hälfte der nächen aus der vollflächigen Form verschwindet, 
Hemiedrie ist schon vorhanden, wenn die Flächen der letzteren in zwei 
Gruppen von ungleicher Beschaffenheit zerfallen, von denen Jede fttr 
sich genflgend erweitert einen der beiden korrelaten Halbflächner 
bilden kann. Das völlige Verschwinden der einen Hälfte der Flächen 
stellt gewissermaßen den größtmöglichen Unterschied gegen die 
andere bleibende Flächenhälfte dar und liefert die zugehörigen ein- 
fachen hemiedrischen Formen. 

66. KoDgraente und enantlomorphe Hernieder. Die aus einer 
vollflächigen Form ableitbaren korrelaten Hernieder sind in allen 
Fällen einander der Form nach gleich und nur in der Stellung von 
einander verschieden. Doch ist in dem gegenseitigen Verhalten der 



72 Eemiedrie. 

beiden korrelaten Formen zueinander eine Verscliiedenlieit nnd zwar 
von doppelter Art zd erkennen. 

Die beiden korrelaten Formen sind entweder in der Weise ein- 
ander gleich, daß jede darch eine g:eeignete Drehung mit der anderen 
zur Deckung gebracht werden kann: sie sind hmgrwnt. Zwei der- 
artige korrelate Formen werden meist ihrer Stellung nach als posiÜT 
und negati? (-f- und — ) voneinander anterschieden, wobei es gleich- 
gültig ist, welche von beiden als + angenommen wird; die andere 
ist dann eben — . 

Oder die beiden korrelaten Hemieder können nicht durch Drehung 
miteinander zur Deckung gelangen; sie sind nur spiegelbildlich gleich. 
Das eine ist das Spiegelbild des anderen, und sie verhalten sich zu- 
einander wie die rechte Hand zur linken. Formen dieser Art werden 
enarUiomor'ph genannt. Ihre verschiedene Stellung wird durch die Be- 
zeichnung „rechts" nnd „links" zum Ausdruck gebracht. Alle enan- 
tiomorphen Hemieder sind ohne Symmetrieebenen und ohne Symmetrie- 
centrum, wahrend die kongruenten beides besitzen können. 

Beispiele. Die aas dem Oktaeder ableitbaren beiden Tetraeder (Fig. 39) sind 
kongruent; die Kanten des einen Tetraeders krenzen die des ooderen rechtwinklig. 
Diebt man A»a erste nm eine der drei die Mitten zweier gegentiberliegendet Eanten 
Terbindende Linie nm 90°, so kommt es mit dem Gegentetraeder vollkommen zur 
Becknsg, so daß die FUchen nnd Kanten des einen genau in die Flachen nnd 
Kauten des anderen fallen. Nennt man das eine Tetraeder -{-, so ist das andere — . 

Eine an zahlreicbea Krystallen vorkommende einfache vollfichige Form ist 
das Fig. 40b abgebildet« Dioklaeder, begrenzt Ton 16 gleichen Flächen, die üne 
doppelt achtieitige Pyramide bilden mit gemeinsamer ebener Onmdfl&che der beiden 




Fig. 40. 

Hälft«ii. Diese 16 FIfichen gcbiteiden sich in acht gleichen Kanten, die in dieser gemein- 
BchaftUchen Grtindfliiche liegen, nnd in je acht abwechslnngsweise gleichen spitzeren 
resp. stompferen Eantenpaaren, die von den Ecken der Grundfläche nach den beiden 
Pyramidenecken hin verlaufen. Wenn von den 16 Flächen des Dioktaeders nur je 
die acht abnecbselnden ausgebildet sind, wie es die Schraffierung in h angabt, dann 
entstehen zwei korrelate hemiedrische Formen , die man Trapezoeder genannt bat 
(Fig. 40a und c). Ihre acht Flächen bilden eine vierseitige Doppelpjramide, deren beide 
HUften etwas gegeneinander verdreht erscheinen, so d&O in der Mitte acht abwechselnd 



Tetartoedrie. Ogdoedrie. Hemimorphie. 73 

Terschiedene kürzere ondlängere Kanten zickzackfOrmig auf- nnd absteigen. Acht gleiche 
Kanten gehen zu je vier von den beiden Pyramidenecken ans. Diese zwei korrelaten 
Trapezoeder sind spiegelbildlich gleich, jedem Begrenznngselement des einen liegt ein 
gleiches am anderen symmetrisch gegenüber. Sie lassen sich dnrch keine Drehung zur 
Deckung bringen, sie sind enanüomorph -^ das eine ist das rechte, das andere das 
linke. Eine Symmetrieebene und ein Symmetriecentram sind, wie man sieht, nicht 
Torhanden. 

67. Tetartoedrie. Ogdoedrie. Nicht selten geht die Teil- 
fl&chigkeit noch weiter. Von manchen (nicht allen) Krystallformen, die 
zu anderen im Verhältnis der Hemiedrie stehen, kann man sich wieder 
nnr die Hälfte der Flächen ausgebildet, die andere Hälfte verschwunden 
denken, so daß also von den Flächen der holoedrischen Gestalten nnr 
der vierte Teil vorhanden ist. Man erhält so viertelfläehige oder 
ietartoedrische Formen, die als Hemieder von Hemiedern aufgefaßt 
werden können. Die Erscheinung selbst ist die der Tetartoedrie oder 
ViertäflächigkeU. Die vollflächigen Formen können somit vier korre- 
late tetartoedrische Formen geben, die hemiedrischen deren zwei. Auch 
die korrelaten tetartoedrischen Formen sind entweder kongruent oder 
enantiomorph. Beispiele dafür werden wir unten bei der Beschreibung 
der einzelnen Krystallformen kennen lernen. 

Durch fortgesetztes Verschwinden der Hälfte der Flächen können wir ans ge- 
wissen yiertelflächigen Formen achtelflächige oder ogdoedriache Gestalten ableiten, 
womit dann die Teilflächigkeit ihr Ende erreicht hat. Die Ogdoedrie oder Achtd- 
flächigkeit ist aber namentlich für Mineralien von so geringer Bedeutung) daß hier 
nur kurz darauf hingewiesen werden soll. 

68. HemlmorpUsmus. Eine besondere Art der Hemiedrie ist 
der Hemimorphismus (Hemimorphie). Von Hemimorphismus spricht 
man, wenn an einem Krystall an dem einen Ende einer nur einmal 
vorhandenen (singulären) Symmetrieachse (56) nicht die parallelen Gegen- 
fl&chen zum anderen Ende, sondern Flächen von abweichender Lage 
vorhanden, oder wenn die Flächen am einen Ende den etwaigen 
parallelen am anderen nicht krystallographisch gleich sind. Die beiden 
Enden jener Achse, der Achse des Hemimorphismus^ sind demnach ver- 
schieden ausgebildet, aber stets so, daß die Flächen auf beiden Seiten 
in derselben Weise, d. h. nach den nämlichen Ebenen und Achsen, 
symmetrisch angeordnet sind. Die Achse des Hemimorphismus ist eine 
Symmetrieachse von gleicher Zähligkeit für beide Enden, sie zeigt aber 
eine ausgesprochene Zweiseitigkeit, der Krystall eine bestimmte Po- 
larität in der Richtung der Achse, die auch in einer physikalischen 
Verschiedenheit der beiden Pole selbst, nicht nur der Flächen, zum 
Ausdruck kommt (verschiedenes pyroelektrisches Verhalten der beiden 
Pole etc.). Die Flächen von gleicher Beschafifenheit am einen, wie die 
an dem entgegengesetzten Pol, bilden je für sich einfache Formen, 
mit Ausschluß aller gegenüberliegenden. Sämtliche einfache Formen 



74 Symmetrie hemiedrischer Fonnen. 

hemimorpher Krystalle sind daher notwendig oflfen und die Krystalle 
selbst müssen stets Kombinationen ohne Symmetriecentrum darstellen. 

Hemimorphe Formen lassen sich aus sämtlichen solchen Formen 
ableiten, die mindestens eine an beiden Enden gleich ausgebildete 
singulare Symmetrieachse besitzen, und nur aus solchen. Auf dieser 
Symmetrieachse ist stets eine Symmetrieebene oder eine Anzahl anderer 
Symmetrieachsen senkrecht. Man denkt sich jede der vorhandenen ein- 
fachen Formen in zwei voneinander unabhängige (voneinander ver- 
schiedene) Hälften zerfallen, deren Flächen je um die beiden Pole 
herumliegen und kann sich vorstellen, daß die Flächen am einen Ende 
verschwinden und durch andere nach derselben Sjrmmetrie angeordnete 
ersetzt werden. Dadurch kommen dann auch die Symmetrieelemente 
zum Wegfall, die auf der zur Achse des Hemimorphismus gewordenen 
Symmetrieachse senkrecht sind (Symmetrieebene, resp. Symmetrieachsen), 
wie wir bei der speziellen Betrachtung der hemimorphen Krystalle, 
namentlich im hexagonalen System, noch eingehender sehen werden. 

Beispiel. Eine Anschannng von hemimorpher Anshildnng gibt der ErystaU 
von Kiesebirikcrz (Fig. 41). Die Achse des Hemimorphismus ist anfrecht gestellt. Es 

ist eine für beide Enden zweizählige Symmetrieachse. Die Flächen 
an beiden Polen sind nach zwei aufeinander senkrechten Symmetrie- 
ebenen, die parallel a und b gehen, symmetrisch angeordnet. Die 
Flächen p, m, o, r nnd c sind nur oben, die Flächen s nur unten 
ausgebildet. Wäre die Begrenzung oben und unten dieselbe, so wäre 
noch eine horizontale Symmetrieebene senkrecht zur Achse des Hemi- 
morphismus Torhanden, die aber nun weggefallen ist, ebenso auch 
die beiden auf der letzteren und auf den Flächen a und b senk- 
•^g- 41- rechten horizontalen zweizähligen Symmetrieachsen. Zu keiner der 

Endflächen ist eine parallele Gegenfläche Yorhanden, wohl aber zu 
allen Flächen, die der Achse des Hemimorphismus parallel gehen, zu a, & und g; auf 
diese hat hier die Hemimorphie keinen Einfluß. 

69. Symmetrie hemiedrischer Formen. Durch das Verschwinden 
der einen Hälfte der Flächen einer vollflächigen Krystallform muß 
selbstverständlich auch ein Teil der Symmetrieelemente dieser 
letzteren wegfallen. Damit wird die Symmetrie der hemiedrischen 
Formen niedriger, als die der zugehörigen holoedrischen. Speziell ist 
mit der einen Hälfte der Flächen auch ein Teil der Symmetrieebenen 
des Vollflächners und damit zusammen meist notwendig von selber 
auch ein Teil der Symmetrieachsen verschwunden. Letztere brauchen 
daher nur in einzelnen Fällen besonders beiücksichtigt zu werden, 
wie wir unten bei der genaueren Betrachtung der einzelnen Hemiedrien 
noch weiter sehen werden. Ebenso verhält es sich auch mit dem 
Sjnmmetriecentrum. Geht das Symmetriecentrum verloren, so fehlen 
zu allen Flächen die parallelen Gregenflächen. Die so entstehenden 
hemiedrischen Formen heißen dann geneigiflächig. Im Gegensatz dazu 




Symmetrie hemiedriBcher Formen. 75 

werden hemiedrische Formen, bei denen zu jeder Fläche die parallele 
Gegenfläche noch vorhanden ist, parallelflächige genannt. 

An sich wäre es nun wohl möglich, d. h. es würde dem Gesetze 
der rationalen Kantenschnitte nicht widersprechen, wenn die Hälfte 
der Flächen an den holoedrischen Formen in ganz beliebiger Weise 
verschwinden würde. Bei genauerer Untersuchung findet man aber, 
daß hier eine strenge Gesetzmäßigkeit herrscht, die auf die allge- 
meinen Verhältnisse der Symmetrie gegründet ist 

70. Hafiysches Symmetriegesetz. Diese Gesetzmäßigkeit folgt 
aus einem umfassenderen Gesetz, das wir hier zum ersten Male kennen 
lernen, dem wir aber später noch öfter begegnen werden. Es ist zu- 
erst am Beginn des 19. Jahrhunderts von dem Pariser Mineralogen 
Haüy^ dem Begründer der wissenschaftlichen Erystallographie auf- 
gestellt und danach das Haüysche SymmetriegeseUf genannt worden. 
Ganz allgemein kann es in folgender Form ausgedrückt werden: In 
jedem Krystalle verhaften sich gleichwertige Stüdce jedereeit gleich. Je 
nachdem diese Stücke Symmetrieelemente oder Begrenzungselemente 
sind, wird sich dieses Gesetz im speziellen auf verschiedene Weise 
äußern. 

(Hdüy^ M6moire snr nne loi de la cristallisation appel^e loi de Symmetrie 
M4m. du mos. d'hist. nat. 1816. I. 81. 206. 273. 341. Uebersetzt von Hessel unter 
dem Titel: Haüy's Ebeumaassgesetz der Krystallbildung 1819). 

71. Symmetrieverliältnisse der hemiedrlschen Formen nach 
dem Hafiyschen Symmetriesatz. Die Stücke der Krystalle, um die 
es sich hier handelt, sind die Symmetrieelemente derselben, namentlich 
die Sjrmmetrieebenen. Das Haüysche Gesetz würde also speziell 
lauten : Gleichwertige Symmetrieelemente (Symmetrieebenen) ver- 
halten sich bei der Hemiedrie gleich. Dieses gleiche Verhalten besteht 
darin: die verschwindenden resp. bleibenden und sich ausdehnenden 
Flächen einer holoedrischen Form sind stets in der Weise angeordnet, 
daß Gruppen gleichwertiger Symmetrieelemente (gleichwertige Sym- 
metrieebenen und mit ihnen oft auch gleichwertige Symmetrieachsen) 
stets gleichzeitig verschwinden und nur die anderen übrig bleiben. 
Manchmal verschwindet nur eine einzige Gruppe von Symmetrieebenen, 
in anderen Fällen mehrere solche Gruppen gleichzeitig. Durch die 
übrig bleibenden Symmetrieelemente sind dann die hemiedrischen 
Formen in Bezug auf ihre Symmetrie charakterisiert. Hat der voll- 
flächige Krystall kein anderes Symmetrieelement als ein Symmetrie- 
centrum, so kann bei der Hemiedrie auch dieses verschwinden, und 
die hemiedrischen Formen sind dann dadurch ausgezeichnet, daß sie 
gar kein Symmetrieelement mehr besitzen. 

Beispiel. Das Tetraeder (Fig. 38) ist eioe aus dem Oktaeder ableitbare hemi- 
edrische Form (63). Das letztere hat, wie wir gesehen haben (64), drei Haupt- und 



76 Gesetz der Hemiedrie. 

6 Nebensymmetrieebenen. Fallen bei der Ableitung des Tetraeders die abwechselnden 
Flächen (die schraffierten) des Oktaeders weg, so yerschwinden, wie die Fignr deat- 
lich zeigt, die drei über die Oktaederkanten hinweggehenden Hanptsymmetrieebenen. 
Dagegen bleiben die sechs Nebensymmetrieebenen in der Eichtnng der Höhenlinien der 
Oktaeder- und der Tetraederflächen (angegeben durch die gestrichelten Linien) auch 
bei dem Tetraeder als Symmetrieebenen erhalten. Die drei gleichwertigen Haupt- 
symmetrieebenen sind also alle gleichzeitig verschwunden, die sechs gleichwertigen 
Nebensymmetrieebenen aUe gleichzeitig erhalten geblieben. Ähnlich ist es mit den 
Symmetrieachsen. Gleichzeitig mit den drei Hauptsymmetrieebenen verschwinden die 
sechs gleichwertigen zweizähligen Symmetrieachsen des Oktaeders, es bleiben aber 
alle vier gleichen dreizähligen Symmetrieachsen des Oktaeders als solche auch beim 
Tetraeder und die drei gleichen vierzähÜgen Symmetrieachsen des Oktaeders gehen 
in drei gleiche zweizählige beim Tetraeder über. 

72. Symmetrieyerhältiilsse der tetartoedriscilen Formen. Wie 

die hemiedrischen Formen weniger symmetrisch sind als die zuge- 
hörigen vollflächigen, so sind die tetartoedrischen weniger symmetrisch 
als die hemiedrischen, ans denen sie sich ableiten lassen. Zwischen 
den beiden letzteren herrschen aber genau dieselben allgemeinen Ver- 
hältnisse, wie bei den beiden erstgenannten. Auch aus den hemiedri- 
schen Formen verschwinden • bei der Bildung von tetartoedrischen 
gewisse Gruppen gleicher Symmetrieelemente. Nur aus solchen 
hemiedrischen Formen können tetartoedrische abgeleitet werden, die 
noch gewisse Symmetrieelemente besitzen. Ebenso verhalten sich die 
ogdoedrischen Formen zu den tetartoedrischen. Mit der Achtelflächig- 
keit ist die äußerste Grenze der Meroedrie erreicht 

73. Gesetz der Hemiedrie etc. Die Angabe der Symmetrie- 
elemente, besonders der Symmetrieebenen einer vollflächigen Krystall- 
form, die beim Eintreten einer Hemiedrie verschwinden, nennt man 
das Gesetz der Hemiedrie, In derselben Weise ist auch das Gesetz der 
Tetartoedrie etc. aufzufassen, wobei man sich die tetartoedrischen 
Formen entweder direkt aus den vollflächigen oder auch aus den 
hemiedrischen etc. abgeleitet denken kann. Aus diesem Gesetz folgt 
dann die Anordnung der verschwindenden und der bleibenden Flächen 
von selbst; sie steht mit dem Verschwinden dieser oder jener Gruppe 
von Symmetrieebenen in engem und notwendigem Zusammenhang. 
Das Gesetz der Hemiedrie etc. läßt sich daher auch ebenso gut durch 
Angabe der gegenseitigen Lage der verschwindenden und bleibenden 
Flächen des VoUflächners bestimmen, woraus dann umgekehrt folgt, 
welche Symmetrieelemente dabei verschwinden müssen. 

Beispiel. Bei der Ableitung des Tetraeders aus dem Oktaeder besteht das 
Gesetz der Hemiedrie darin, daß die drei Hauptsymmetrieebenen im letzteren ver- 
schwinden. Dies kann aber nur geschehen, wenn von den auf beiden Seiten einer 
Oktaederkante liegenden Flächen überaU eine wegfällt und nur die andere übrig 
bleibt. Führt man dies in konsequenter Weise rings um den ganzen ErystaU herum 
aus, so kann nur die in Fig. 38 oder 39b durch Schraffieren angedeutete Flächen- 



Geseti der Eemiedrie. 77 

(p^ippienmg heraiukommeii, bei der eine jede bleibende Okt&ederfläcbe umgeben iat 
Ton dnd TenchwindeDden tutd nmgeliehTt. Die Qmppiemng ist auch eine Folge dea 
Ha&jscben SjmmetriegesetzeB , wonach gleiche Kanten ond Flächen ancb bei dem 
Eintreten der Hemiedrie sich gleich verhalten mflaaen. Fflr die Eemiedrie würde 
es Khon genügen, wenn die abwechselnden Oktaederfl&chen phjaikaliach verschieden 
würden. Schon dadnrch würde die Symmetrie nach den Hanptajmmetrieebenen dea 
Oktaeders beim Tetnieder anfgehoben werden, wUirend die nach den Nebensjmmetri»- 
ebenen bleibt. 

Umgekehrt kannte man daher das Gesetz auch in der Weise aossprechen, daß 
man sagt: beim Oktaeder sollen nur die abwechselnden Flächen noch gleich sein, 
die anderen von diesen verschieden werden, reap. gam verschwinden. Dann würde 
darans, wie dieselbe Figur ceigt, folgen, daQ die drei Haoptsymmetrieebenen nicht 
mehr als solche funktionieren. Je die eine Hilft« der Flächen würde dann für sicli 
allein beide Male ein Tetraeder bilden. 

74. Ableltang melirerer hemlediisdier Formen aas derselben 
TOllfläclilgen. Aus dem Vorhergehenden ist obae weiteres zn er- 
sehen, daß aas zahlreichen einfachen Tollflächigen Formen mehrere 
Terschieden gestaltete bemiedrische Formenpaare abgeleitet werden 
kSnnen, nämlich ans allen solchen, die mehrere voneinander unab- 
hängige, d. h. nicht gleichzeitig miteinander verschwindende Gruppen 
gleicher Synunetrieelemente besitzen. Durch das Verschwinden von 
bald der, bald jener solchen Gruppe von gleichen Symmetrieelementen, 
oder auch von mehreren solchen zusammen, entsteht je ein Paar korre- 
later hemiedrischer Formen, die jedesmal einem anderen Gesetz der 
Hemiedrie, oder, wie man karz zu sagen flegt, einer anderen Hemiedrie 
entsprechen. In ganz analoger Weise verhält es sich mit den Tetarto- 
edrien etc. 

Ein Beispiel hierfür liefert die flfichenreichBte einfache Erystallform, die Über- 
hanpt mSglich ist, der Achtundvieriigflächner, auch HexaJeitoktaeder genannt (Fig. 13). 
Er ist in der idealen Form begrenzt von 48 kongruenten 
nnregebnUJigen Dreiecken, die in acht Gruppen von je 
sechs angeordnet sind in der Weise, daO diese sechs tn- 
sammen der Lage nach einer Oktaederfl&che entsprechen. 
Hit dem Oktaeder und mit dem Würfel stimmt dieser 

EOrper in Beziehung anf die Symmetrie vollkommen über- £ i 

ein, weil er dieselbe Zahl von Sjmmetrieelementen in der- 
selben Lage ond Beschaffenheit nnd also denselben Grad 
der Symmetrie besitzt wie sie, daher gehört er mit 
dieaeu beiden in dieselbe Klasse. Drei gleichwertige auf- 
einander senkrechte Hanptsymmetrieebenen gehen dnrch Fig. 42. 
]e acht gleiche Kanten K nnd durch je vier gleiche 

Ecken E und O. Die Ewiscbenliegenden Nebensymmetrieebenen sind durch die 
beziebungsweiae gleichen Kanten M resp. L nnd durch die beziehungsweise gleichen 
Ecken E, O und G bestimmt. 

Fallen nun die drei Hauptsymmetrieebenen nnter Erhaltung der sechs Neben- 
Bjmmetrieebenen weg, geht also die Hemiedrie nach demselben Gesetze vor sich, wie 
bei dei Ableitung des Tetraeders ans dem Oktaeder {daher ietraedriidie Hemiedrie 
genannt), dann müssen die vier abwechselnden Gruppen von je sechs Flächen ver- 



78 QesetE der Eemiedrie. 

Bchwindeu, reap- toh den anderen vier in der vollflKchigen Form mit ihnen g'Ieich- 
vertigen Qrappea verschieden werden, wie es in Fig. 43b die SchraEfierong seigt. 



Fig. 43. 
Jede der beiden FIScbenhälften gibt dann einen von 24 nnregelmäGigen Dreiecken 
begrenzten heiniedriBclien Körper von der allgemeinen Form eines Tetraeder», dessen 
Flächen zu vier gleichwertigen Gruppen von je sectu angeordnet sind. Es ent- 
stehen ans dem Heiakiaoktaeder die beiden korrelaten SexakUteiraeder Fig. 43a 
und c mit geaeigtSächiger Begrenzung, die selbstverständlich mit den Tetraedern 
bezüglich der Symmetrie vollstfiudig übereinstimmen müssen. 

Nach einem zweiten Gesetze füllen die sechs Nebenajmmetrieebenen des EeiaJda- 
oktaedera weg, während die drei Hauptsjmmetrieebenen als solcbe erhalten bleiben. 
Die verschwindenden und sich ansdehnenden Flächen müssen dann wie in Fig. 44b 



Fig. 44. 
gegeneinander gmppiert sein. Jede Hälfte gibt als hemiedriachen KQrper ein 
Diploeder. Es entstehen nach diesem Gesetz zwei korrelat« Diploeder, begrenzt von 
24 nngleicbschenkligen vierseitigen Flächen (Fig. 44a n. c). Es ist dies eine (parallel- 
flächige, die sogenannt« pyritoeiriiche Hemiedrie. 

Fallen endlich, der einzigen noch Übrigbleibenden HSglichkeit entsprechend, alle 
3 -|- 6 Sjmmetrieebenen gleichzeitig ana, dann kSnnen die beiden Flächenhälften 
nnr so, wie es in Fig. 45 b dargestellt ist, angeordnet sein. Das Heiakisoktaeder 
liefert dann, wenn je die eine Hälfte der Flächen verschwindet, die dieser Hemiedrie 
entsprechenden beiden korrelaten Halbfläcbner, die man als Qyrotder oder Plagitder 




Fig. 46. 
bezeichnet (Fig. 46 a n. c). Es liegt die gyrofdrisehe oder plagiedri$che Hemiedrie 
vor, die wie die tetraedrische geneigtflficbig ist. 



Hemiedrie ohne Formyeränderang. 79 

Die Mdglichkeit weiterer Hemiedrieen ist damit erschöpft, da kein anderes gleich- 
^tiges Wegfallen von gleichwertigen Symmetrieebenen mehr denkbar ist Es kann 
nnn aber an diesen hemiedrischen Formen wieder die Hälfte der Flächen in Wegfall 
kommen, so daß tetartoedrische Formen entstehen. Wir wollen hier aber diese Be- 
tiachtnngen nicht weiter fortsetzen, sondern sie bis zur eingehenden Beschreibung 
der einzelnen Ejrystallklassen verschieben. 

75. Hemiedrie ohne FormTerSnderung. Bemerkenswert ist es, 
daß manche einfache Krystallformen durch Eintritt einer Hemiedrie 
keine Veränderung erleiden. Dies ist immer dann der Fall, wenn die 
Flächen dieser Form senkrecht über diejenigen Symmetrieebenen hin- 
weg gehen, die bei der betreffenden Hemiedrie in Fortfall kommen. 

Ein Beispiel hierfttr Uefert das Rhonibendodekaeder (Fig. 46), begrenzt in der 
idealen Form von zwölf gleichen Bhomben, die sich in den Kanten unter 120^, über 
die Tierflächigen Ecken hinweg unter rechten Winkeln schnei- 
den. Eine solche Form gehört ebenfalls derselben Krystall- 
klasse an, wie das Oktaeder und der Würfel und hat wie sie 
drei aufeinander senkrechte Hauptsymmetrieebenen, die in der 
Richtung der großen Diagonalen über die Flächen hinweg 
verlaufen und sechs zwischenliegende Nebensymmetrieebenen, 
die durch die kleinen Diagonalen der Flächen und je vier 
Kanten bestimmt werden. Fallen nun nach dem Gesetz der 
t«traedrischen Hemiedrie die drei Hauptsymmetrieebenen weg, 
so werden alle Flächen nach den großen Diagonalen in zwei 
voneinander verschiedene Hälften zerfallen müssen. Würde ^^' ^« 

nun auch die eine Hälfte jeder Fläche verschwinden, so müßte 
sie sofort wieder ersetzt werden durch die sich gleichzeitig ausdehnende andere 
Flächenhälfte. Das Dodekaeder kann demnach seine äußere Form bei dieser 
Hemiedrie nicht ändern (vergl. (106), letzter Abschnitt). 

76. Auftreten derselben Formen in mehreren Erystallklassen. 

Wir haben hier gleichzeitig beim Dodekaeder ein Beispiel, veie eine 
und dieselbe einfache Form in zwei verschiedenen Krystallklassen auf- 
treten kann, in der durch das Oktaeder repräsentierten vollflächigen und 
in der durch das Tetraeder repräsentierten hemiedrischen (tetraedrisch- 
hemiedrischen). Bei der speziellen Beschreibung der einzelnen Klassen 
werden wii* sehen, daß dies auch in zahlreichen anderen analogen 
Fällen vorkommt. Ähnliches werden wir aber auch bei vollflächigen 
einfachen Formen kennen lernen und zwar bei den offenen, bei manchen 
Prismen und den Pinakoiden. Der Grund liegt hier darin, daß in- 
folge ihrer unvollständigen Eaumabgrenzung bei ihnen bezüglich ihres 
Symmetriegrades eine Unbestimmtheit bleibt, so daß sie in ver- 
schiedenen durch die Symmetrie gegebenen Abteilungen möglich 
sind. Die Unbestimmtheit hört auf, wenn durch Zutreten anderer 
einfacher Formen, offener oder geschlossener, der Raum vollständig 
und allseitig abgegrenzt wird. 




gO Holoedrische und hemiedrische E^stallklassen. 

77. Holoediisclie nnd liemiediisclie Krystallklassen. Wir haben 
im bisherigen den Zusammenhang einzelner Erystallformen in Be- 
ziehung auf ihre Vollflächigkeit und Teilflächigkeit betrachtet In 
demselben Zusammenhang müssen aber auch die Erystallkiassen unter- 
einander stehen, da ja sämtliche zu einer Klasse gehörige Formen 
hinsichtlich der Symmetrie miteinander vollkommen übereinstimmen. 
Wie es voUflächige und teilflächige Erystallformen gibt, so gibt es 
auch voUflächige und teilflächige Erystallkiassen. Letztere sind der 
Inbegriff aller derjenigen hemiedrischen etc. Formen, die aus sämt- 
lichen einfachen Formen einer vollflächigen Elasse nach demselben 
Gesetz der Hemiedrie (73) abgeleitet werden können. Alle diese 
letzteren Formen haben dieselbe Symmetrie, denn bei der Hemiedrie 
verschwinden jedesmal die nämlichen Symmetrieelemente. Diejenigen, 
die den entstehenden hemiedrischen Formen schließlich verbleiben, 
sind demnach wieder bei allen dieselben. Es ist also klar, daß alle 
so erhaltenen hemiedrischen Formen dieselbe Symmetrie haben müssen, 
daß sie somit zusammen eine Elasse, und zwar eine jener voll- 
flächigen gegenüber halbflächige, allgemein gesagt, teilflächige, bilden 
müssen. Wenn z. B. aus den sämtlichen Formen mit 3 -f- 6 Sym- 
metrieebenen (54) die drei Hauptsymmetrieebenen wegfallen, so erhält 
man aus den Formen der dui'ch 3 + 6 Symmetrieebenen charakteri- 
sierten Elasse eine neue Elasse von Formen, die alle nur noch die sechs 
Nebensymmetrieebenen haben, die Formen der tetraedrischen Hemiedrie 
(Tetraeder, Hexakistetraeder (74) etc., aber auch das bei dieser 
Hemiedrie seine Form nicht ändernde Rhombendodekaeder (75) etc.) 

Wenn man von diesem Gesichtspunkte aus die 32 Erystallkiassen 
(62) untersucht, so findet man, daß sechs unter ihnen sich als vollflächig 
erweisen, während die übrigen 26 alle je aus einer von diesen sechs als 
hemiedrische, tetartoedrische und ogdoedrische in der oben ange- 
gebenen Weise abgeleitet werden können, indem nach bestimmten 
Gesetzen ein Teil der Begrenzungselemente verschwindet, womit 
dann zu gleicher Zeit auch ein Teil der Symmetrieelemente in Weg- 
fall kommt. 

Der innige Zusammenhang zwischen den Yollflächigen nnd den zugehörigen 
teilflächigen Klassen kann vollständig nur nach Kenntnisnahme der sämtlichen 
zugehörigen einzelnen Krystalllormen verstanden werden. Eine eingehende Be- 
schreibung der letzteren wird unten bei der spezieUen Betrachtung der einzelnen 
Krystallklassen gegeben werden. Hier beschränken wir uns zunächst auf eine aU- 
gemeine Übersicht, die der späteren genaueren Darstellung zur Grundlage dienen soU. 

78. Krystallsysteme. Vor allem haben wir hier zunächst noch 
den Begriff des Krystallsystems kennen zu lernen. Man faßt je eine 
der sechs yollflächigen Klassen mit allen denen, die sich aus ihr als 
hemiedrische, tetartoedrische und ogdoedrische ableiten lassen, zu einer 



Erystallsysteme. gl 

größeren Grappe zusammen und nennt eine solche Ornppe dn 
Kryställsysiem. Die einzelnen Glieder eines Erystallsystems erweisen 
sich nicht nur dnrch diese allgemeine krystallographisehe Beziehung 
als zusammengehörig, sondern auch durch gewisse physikalische, 
namentlich optische Eigenschaften, die ihnen allen gemeinsam sind. 

Unter den Klassen eines und desselben Erystallsystems hat selbst- 
yerständlich die yollflächige die höchste Symmetrie, die meisten Sym- 
metrieelemente. Jeder teilflächigen Klasse entspricht, wie wir wissen 
(77), ein besonderes Gesetz der Hemiedrie etc., das sich aus den in 
jedem einzelnen Falle verschwundenen resp. erhalten gebliebenen Sym- 
metrieelementen ergibt. Indem man von der yollflächigen Klasse aus- 
geht und sich in ihr je die zusammengehörigen gleichwertigen Sym- 
metrieelemente auf alle denkbare Arten gruppenweise wegfallend denkt, 
erhält man die 26 durch besondere Symmetriegrade charakterisierten 
teilflächigen Abteilungen, die mit den 6 yollflächigen genau dieselben 
82 Klassen ergeben, welche sich direkt aus dem Gesetze der ratio- 
nalen Kantenschnitte ableiten lassen (62). Es ist dabei immer zu be- 
achten, daß nicht die sämtlichen Symmetrieelemente in Bezug auf 
ihr Wegfallen und Erhaltenbleiben voneinander unabhängig sind. 
Mit dem Verschwinden mancher Symmetrieebenen verschwinden oder 
verändern sich gleichzeitig mit Notwendigkeit gewisse Sjrmmetrie- 
achsen und eventueU fällt auch das Symmetriecentrum von selber weg, 
so daß nicht alle denkbaren Variationen des Wegfallens von Sym- 
metrieelementen zu neuen abgeleiteten Klassen führen. 

79. Übersicht ttber die Erystallsysteme. Wie wir gesehen 
habeu, gibt es sechs vollflächige Krystallklassen, aus denen sich die 26 
fibrigen durch Hemiedrie etc. ableiten lassen. Somit gibt es auch sechs 
und nur sechs Krystall^f steme in dem oben angegebenen Sinne. Diese 
sind zur Unterscheidung mit besonderen Namen belegt worden. Jedes 
Krystallsystem ist schon durch die zugehörige vollflächige Klasse 
vollständig bestimmt ; in ihm sind ja die zugehörigen anderen weniger 
symmetrischen Klassen enthalten. Diese sechs vollflächigen Klassen 
können somit als Eepräsentanten der sechs Krystallsysteme aufgefaßt 
werden. Sie sind hier zusammengestellt unter Angabe der zu ihrer 
Charakterisierung zunächst genügenden Symmetrieebenen und unter 
BeifDgung eines speziellen Beispiels für jede einzelne. 

1. Beguläres System. 3 -^ ^ "= ^ Symmetrieebenen. Die drei 
erstgenannten gleichwertigen Symmetrieebenen, die Hauptsymmetrie- 
ebenen, stehen aufeinander senkrecht und schneiden sich in drei 
gleichfalls aufeinander senkrechten Geraden. Die sechs anderen 
gleichwertigen Symmetrieebenen, die Nebensymmetrieebenen, gehen 
zu je zweien gleichfalls durch jene drei Geraden und halbieren die 

Bftuer, Mineralogi«. ^ 



Winkel zwischen den beiden zngehSrigen HanptsTmmetrieebenen, mit 
denen sie also Winkel tod 45" einschließen. 

Als Boapiel haben wir uhoD oben (54) a. a. den WQrfel kennen gelernt, ^er 
mit Betuen sämtlichen Sjmmetrieebeiteii in Fig. 33 dargestdlt 
ist. In den Geraden au, die den Würfelkanten parallel sind, 
schneiden sich je swei Haoptajmmetrieebenen A parallel den 
WarfelflSchen and je swei diagonal verlanfende NebeosTni- 
metrieebenen B unter 46'. Quu analog ist ea beim Okta- 
eder (Fig. 34) (54). Ein anderes Beispiel eines ToUfltcliig 
regnlBren Erystalls ist das von KwSlf Bhomben begrenzte 
Bhombendodekaeder (OranatMder) (75), desBen Flftchen Ober 
die Kanten unter ISO', über die Tierkantigen Sckeit unter 
Fig. 47. 90" znsammenstolien (Fig. 47). Die Hanpts}rmmetrieebeaeu A 

gehen nach der groasen, die Nebensymmetrieebenen S nach 
der klänen Diagonale über die Fl&cben hinweg. Der Würfel, das Oktaeder und das 
Bhombendodekaeder lind alao ToUflKchige, regnlin, einfache Formen. 

2. HexagonaUs System. 3 + 3 -f- 1 = 7 Symmetrieebenen. Von 
diesen steht die eine, von allen abrigen verschiedene, die Hauptsym- 
metrieebene, anf den sechs anderen, den Nebensymmetrieebenen, senk- 
recht. Letztere schneiden sich unter 30" in einer auf der Haupt- 
symmetrieebene senkrechten Gieraden. Die Nebensymmetrieebenen 
zerfallen in zwei Gruppen; je die drei abwechselnden sind gleich- 
wertig und von den drei anderen verschiedeD. Die drei gleich- 
wertigen Nebensymmetrieebenen jeder Gruppe schliessen Winkel von 
60" ein und halbieren die Winkel der anderen Gruppe. 

In Fig. 48a ist ein vollflfichig hexagonaler EiTStall 
TOD der Seite, in Fig. 48b tod oben dargestellt. C ist 
HauptsymmetrieebeDe, cc, in Fig. 48 b «tun Ponkt ver- 
kürzt, ist die auf C senkrechte Qerade, in der sich die 
sechs Nebensymmetrieebenen Bchneiden. Die abwechselnd 
gleichen Nebensymmetrieebenen sind A nnd B. Die 
Winkel folgen ohne weiteres ans Fig. 48 b, wo sich 
alle Fl&chen oa tmter 120* schneiden. Ebenso geht 
ans der Fignr nach der Lage an der Begrenzung des 
SrjstallB hervor, daQ die Nebensymmetrieebenen A 

und B je ontereinander gleichwertig, aber voneinander 

nnd von der Haoptajmmetrieebene C verschieden sein 
mässen. 

3. Quadratisches System. 2 4- 2 -l- 1 = 5 
Symmetrieebenen. Ganz analog wie im hexa- 
gonalen System steht die eine Symmetrieebene, 
die auch hier die Hauptsymmetrieebene ge- 
nannt wird, auf den vier anderen von ihr ver- 
schiedenen Tfebensymmetrieebenen senkrecht. 
I» .g Diese zerfallen gleichfalls in zwei GmppeD, 

hier von je zweien zueinander senkrechten, 
von denen die beiden der einen Gruppe die Winkel der anderen 




EryBtallijBtemfl. gS 

Gmppe halbieren. Je zvei aufeinander folgende NebensTnunetrie* 
ebenen achlieBen demnach einen Winkel von 46 " ein und alle 
Tier schneiden sich' in einer zur Haaptsjmmetrieebene senkrechten 
Oeraden. 

Dia Fig. 49k tmd 49b Stelleu 
einen TolMIftchig qaadntücben 
KrTStall von der Seite und von 
oben bebachtet dkr. C ist die 
Hanptsyminetneebene, A und B 
Bind die beiden Omppen Ton 
Nebensjmmetrieebenea. Ihre ffe- 
genseitige Lage folgt atu den 
Fignren, ihre relfttiTe Beschaffen- 
heit, Oleichheit reap. VerscUeden- 
heit, ans denselben Qrilnden, wie 
l)flim bexagonalen System. 

4 Bhombisches System. 
1 + 14-1 ="3 verschieden- 
wertige Symmetrieebenen 
A, B, C, die aofeinander 
senkrecht stehen, 

Beispiel: Fig. 50a von der 
Seite, Fig. 60 von oben. A, B, C 
sind die drei Symmetrieebenen, 
die lidi in drei aufeinander 





•enkiechteu Oetttden c 



e schneiden. 



Flg. 51. 



5. Monokiinea System. 1 Symme- 
trieebene. 

Beispiel: Angit: Fig. 61. (Aach Oips, 
Fig. 86.) 

6. Trü^mes System. Symmetrie- 



(Anch Kapfer- 




Beispiel : Axinit (Fig 6! 
Titriol Fig. 36.) 



Fig. 6S. 



80. 6reBiforHea< Zuweilen findet man, daO Formen, denen faktisch eine niedere 
Symmetrie ankommt, sich in der allgemeinen FlScheuanordniuig und in den Winkelver- 
bUtmasen so sehr einer Form mit höherer Symmetrie nUem, daB ihnen olme die 
genanest« Untersnchnng Jene hOhere Symmetrie rageschrieben werden mOQte. So 
bratallisiert der LeucU in Formen, die derart einem soj:- regnlftren Ikositetra- 
eder (Fig. M (102)) gleichen, dafi man du Hiner^l frflher für regnl&r gehalten 
nnd solche regnIKre Farmen Leucitoedar genannt hat. Tatsloblich sind aber 
die Formen des Lencit« quadratisch nnd twar Kombinationen eines Oktaeders mit 
einem Dioktaeder (183, 134). Erystallformen dieser Art nennt man Orenzformen, 
die gaose Erscheinung Paeado^i/mmetrie. Der Leudt wäre demnach pieudoregtUar. 
Der Camaäit bildet rhombische Krjstalle, die sich in hohem Qrade gewissen bexa- 
gonalen Formen nlhem. Es sind sechsseitige Prismen, die, wenn sie wirklich bexft- 
goual wlren, lanter Kanten von 120° haben mflQten, In Wirklichkeit sind aber diese 



g4 ErystaUklaasen. Übersicht. 

]S^9]iteii nur sehr nahezu 120® und zwar amd zwei = 118® 36', die yier anderen 
s=s 120® 42'. Anch die Endbegrenzimg hat scheinbar und sehr nahe die Symmetrie 
hexagonaler Erystalle. Der Camallit kann also als pseudokeaxigonal bezeichnet 
werden. Andere rhombische Erystalle bilden Formen, die solchen des quadratischen 
Systems sehr ähnlich sind. Dies ist z. B. der Fall bei dem KaücurangUmmer 
(Autunit), der danach paeudoqwtdratisek wftre. Manche Erystalle des monoklinen 
Biotit sind pseudorhomhoedrUch etc. Ähnliche Pseudosymmetrieen können auch 
durch Zwillingsbildung zu stände kommen (Himesie), wovon unten noch weiter die 
Bede sein wird (171). 

81. Übersicht über die 82 Krystallklaggen« In der folgenden Tabelle sind 
die 32 möglichen Erystallklassen mit ihren Symmetrieelementen übersichtlich zu- 
sammengestellt; eine genauere Beschreibung wird unten bei der Schilderung der 
einzelnen Erystallsysteme (D. ErystaUsysteme) erfolgen. Die Elassen sind nach den 
Ejrystallsystemen geordnet, und bei jedem ist das kiystallographische Achsenschema, 
wie wir es unten (84, 85) näher kennen lernen werden, beigelegt. In jedem Erystall- 
system ist die yoUflächige Elasse mit ihren Symmetrieelementen vorangestellt. Aus 
ihr sind dann zunächst die hemiedrischen, und aus diesen weiterhin die tetarto- 
edrischen etc. Elassen durch Wegfallen der entsprechenden Symmetrieelemente, in 
erster Linie der Symmetrieebenen abgeleitet. Die Symmetrieelemente sind nach 
ihrer Wertigkeit gruppiert, wobei z. B. die Bezeichnung „2 -{- 2 -f- 1 Symmetrieebenen*' 
bedeutet, daß zwei Gruppen von je zwei gleichen Symmetrieebenen vorhanden sind, 
dazu noch eine einzelne von allen anderen verschiedene. Die beim Eintreten der 
Hemiedrien weggefallenen Symmetrieelemente werden dann mit bezeichnet, so dass 
in dem vorigen Beispiel hinter der vollflächigen Elasse mit „2 -f- 2 -f- ^ Symmetrie- 
ebenen^ das Schema „2 -{- 2 + Symmetrieebenen*', das Wegfallen der einen einzelnen 
Symmetrieebene bei gleichzeitiger Erhaltung aller übrigen bedeuten würde. Die 
Tetartoedrien lassen sich aus den Hemiedrien meist in verschiedener Weise ableiten, 
wie sich durch Vergleichnng der einzelnen Schemata meist ohne Schwierigkeit er- 
gibt. Im quadratischen System führen einige an sich mögliche Gruppierungen von 
Symmetrieelementen nicht zu teilflächigen Elassen, da die aus ihnen hervorgehenden 
Flächenanordnungen der Symmetrie des quadratischen Systems widersprechen. So 
ist eine quadratische Hemiedrie mit 2 -f- -f- 1 Symmetrieebenen aus diesem Grunde 
unmöglich. Für jede Elasse ist ein Beispiel aus dem Mineralrdch, in Ermangelung 
dessen aus der Reihe der künstlichen Erystalle (dann in()) angeführt Für ein- 
zelne Elassen ist bisher überhaupt noch kein Repräsentant gefunden worden, was in 
der Tabelle durch „fehlf vermerkt ist. 

Wie schon erwähnt, handelt es sich hier zunächst nur um eine vorläufige 
Übersicht Eine genauere Erläuterung der in der Tabelle dargestellten Verhältnisse, 
namentlich eine Beschreibung der zu den einzelnen Elassen gehörigen Erystall- 
formen, wird in den folgenden Paragraphen und Abschnitten gegeben werden. Yergl. 
auch (79). 



Kryatallklanen. Übersicht. 



85 



Krystallsysteme 

und 
Krystallklasden. 


Symmetrie- 
ebenen. 


Symmetrieachsen. 


Symme- 

trie- 
centmm. 


Beispiele. 


1. Reguläres System. 

a:a:a; a/a==90®. 










1. YoOfiächige Klasu. 


3+6 = 9 


3 4-zählige tetra- 
gonale. 

4 3-z&hlige trigo- 
nale. 

6 2-zfthlige digo- 
nale. 


vor- 
handen. 


Flußspat, 
Bleiglanz. 


Hemiedrien. 


i 








2. Tetraedrisch-hemiedri- 
sehe Klasse. 


+ 6 = 6 


8 2-zfthlige || den 
tetragonalen. 

4 3-zahlige trigo- 
nale. 

2-z&hlige digo- 
nale. 


fehlt. 


Fahlerz. 


3. Fyritoedrisch ' hemi- 
ednseke Klasse. 


3 + = 3 


3 2-zählige || den 
tetragonalen. 

4 3-zfthlige trigo- 
nale. 

2-zählige digo- 
nale. 


vor- 
handen. 


Schwefelkies. 


4. Oyroedrischrkemiedri- 
sche Klasse. 


+ — 


3 4-zählige tetra- 
gonale. 

4 3-zählige trigo- 
nale. 

6 2-zählige digo- 
nale. 


fehlt. 


Salmiak. 


Tetartoedrie» 










5. Tetartoedrische Klasse. 


+ = 


3 2-zählige j den 
tetragonalen. 

4 3-zählige trigo- 
nale. 

2-zählige digo- 
nale. 


fehlt. 


üllmannit. 



86 



Erystallklassen. Übersicht 



KrystallBysteme 

und 
Krystallklassen. 



II. HexagonalesSystem. 

a:a:a:c; a/a=:60®, 
a/c = 90». 

6. VoUflächige Klane, 

HeniieärieiU 

7. Trigonal'hemiedrische 
Klasse, 



8. Pyramidal - hemiedri' 
sehe Klasse. 



9. Voüftächig-hemimorfhe 
Klasse, 



10. KhomboeäHsch'hemi' 
edrisehe Klasse. 



11. Trajpezoedriseh'hemi- 
ednsche Klasse. 



Tetartoedrien. 

12. Trigonal - Utartoedrir 
sehe Klasse. 



13. Ehamboedrisch-hemi- 
morphe Klasse, 



14. Bhofnhoedrisdi'tetart<h 
edrisehe Klasse. 



16. Trapezoedrisch-teUurto- 
edrtsche Klasse. 



16. 



J^/ramidal-hemifnorphe 
JSlasse, 



Ogdoeärie. 

17. JJemimor;»^ - ^etor^ 
edrisehe KlasH. 



Symmetrie- 
ebenen. 



3+3+1=7 



3+0+1 = 4 



0+0+1=1 



3+3+0=6 



3+0+0=3 



0+0+0=0 



0+0+1=1 



3+0+0=3 



0+0+0=0 



0+0+0=0 



Symmetrieachsen. 



1 6-SB&hlige Hanpt- 
symmetrieachse. 

3+3 2-2&hligeNe- 
ben8ym.acäen. 

1 3-zählige Hanpt- 
symmetrieachse. 

3-^0 2-zähligeNe- 
Den8ym.acluen. 

1 6-E&hlige Hanpt- 
symmetrieachse. 

0+0 2.z&hÜgeNe- 
Densym.afchsen. 

1 6-z&hlige Haapt- 
symmetrieachse. 

0+0 2-zähligeNe- 
Den8ym.ach8en. 

1 3-zähIige Haupt- 
Symmetrieachse. 

3+0 2-zähligeNe- 
bensym-achsen. 

1 6-Eählige Haupt- 
symmetrieachse. 

34-3 2-zähligeNe- 
Densym.acäen. 



1 3-zählige Haupt- 
symmetrieachse. 

0+0 2-zShligeNe- 
Densym.acäen. 

1 3-zählige Haupt- 
symmetrieachse. 

0+0 2-zähligeNe- 
bensym.achBen. 

1 3-z&hlige Haupt- 
symmetrieachse. 

0+0 2-zähligeNe- 
bensym.ac]uen. 

1 3-zahlige Hauptr 
Symmetrieachse. 

3-1-0 2-zählifi:e Ne- 
bensym.achsen. 

0+0+0=0 1 6-zählige Haupt- 
symmetrieachse. 
04-0 2-zähligeNe- 
Densym.acäen. 



0+0+0=0 



1 3-z&hlige Haupt- 
symmetrieachse. 

0+0 2-zahligeNe- 
bensym.acäen. 



Symme- 

trie- 
centnun. 



vor- 
handen. 



vor- 
handen. 



vor- 
handen. 



fehlt. 



vor- 
handen. 



fehlt. 



fehlt. 



fehlt 



vor- 
handen. 



fehlt 



fehlt 



fehlt 



Beispiele. 



Beryll. 



fehlt 



Apatit 



Jodsilber. 



Kalkspat 



(Doppelsalsv. 
reäitswein- 
sauremAnti- 
monyl-Banr- 
um u. Kau- 
umnitrat) 
fehlt 



Turmalin. 



Dioptas. 



Quan. 



Nephelin. 



(Überjodsau- 
res Natrium.) 



Krystallklassen. Übersicht 



87 



Krystallsysteme 

und 
Krystallklassen. 



III. Quadratisches 
System. 

a:a:c;a/a=90»;a/c=90*. 
18. VoUflächige Klasse. 



Hemiedrien» 

19. Pyramidal - hemiedri- 
sehe Klasse. 



20. VoUflächig-hmir 
morphe Klasse. 



21. Teiraedrisch'hemiedri' 
sehe Klasse. 



22. Trapezoedriseh'hemi' 
edrisehe Klasse. 



TetartoedHen* 

23. Pfframidal'hemp' 
morphe Klasse. 



24. Tetraedrisch ' teiarUh 
edrisehe Klasse. 



Syminetrie- 
ebenen. 



2+2+1=6 



0+0+1=1 



2+2+0=4 



2+0+0=2 



0+0+0=0 



0+0+0=0 



0+0+0=0 



Symmetrieachsen. 



1 4-Eählige Hanpt- 
symmetrieachse. 

2+2 2-2&hlige Ne- 
bensymmetrie- 
achsen. 



1 4-sfthlige Haupt- 
Symmetrieachse. 

0+0 2-2&hligeNe- 
bensymmetrie- 
achsen. 

1 4-2&hl]ge Hanpt- 
symm etrieachse. 

0+0 2-zfthlige Ne- 
bensymmetrie- 
achsen. 

1 2-zählige Haaptr 
symmetrieachse. 

2+0 2-sfthlige Ne- 
bensymmetrie- 
achsen. 

1 4-zählige Haupt- 
Symmetrieachse. 

2+2 2-2&hligeNe- 
bensymmetrie- 
achsen. 



1 4-zählige Haupt- 
symmetrieachse. 

0+0 2.ssahlige Ne- 
bensymmetrie- 
achsen. 

1 2-9sählige Haupt- 
symmetrieachse. 

0+0 2.KfthligeNe- 
bensymmetrie- 
achsen. 



Symme- 
trie- 
centrum. 



vor- 
handen. 



Tor- 
handen. 



fehlt. 



fehlt 



fehlt 



fehlt 



fehlt 



Beispiele. 



Yesuyian. 



Scheelit. 



(Succii^od- 
imid.) 



Kupferkies. 



(Schwefel- 
saures 
Strychnin. 



Gelbbleien? 



fehlt 



88 



Krystallklassen. Übersicht. 



KrystallBysteme 

und 
Erystallklassen. 



IV. Rhombisches 
System. 

a : ö : c j ajb ^hjc = clas 
90« 

25. Voüflächige Klasse, 

Hemiedrien. 

26. Semimarphe KUuae. 

27. Tetraedrisch - hemu 
edrisehe Klane, 



V. Monokiines System. 

a\h',c; alb = blc = 90^; 

ajc = ß, 

28. Voüflächige Klasse. 

Hemiedrie* 

29. Hemiedrische Klasse. 

30. Hemimorphe Klasse, 



VI. Triklines System. 

alh = y, 

31. Voüflächige Klasse. 

S[&ntiedTi€* 

32. Hemiedrische Klasse. 



Symmetrie- 
ebenen. 



1+1+1=3 



1+1-1-0=2 
0+0+0=0 







Symmetrieachsen. 



Symme- 

trie- 
centnun. 



1+1+1 2-zählige 



1+0+0 2-ztthHge 
1+1+1 2-z&hlige 



1 2-zählige 



2-z&hlige 



1 2-cählige 











vor- 
huiden. 



fehlt 



fehlt 



vor- 
handen. 



fehlt 



fehlt 



vor- 
handen. 



fehlt 



Beispiele. 



Schwerspat. 



Eieselsink- 
ers. 

(Bittersals.) 



Gips. 



(Tetrathion- 
saores £a- 
linm.) 

(Bohrzncker.) 



Axinit 



(Unterschwe- 
fliesanres 
Calciam.) 



Krystallographische Achgen. 89 

82. Krystallograplilsclie Achsen. Nachdem wir nunmehr die 
Symmetrieverhältnisse der Erystalle eingehend kennen gelernt haben^ 
müssen wir noch einmal anf die Achsen zurückkommen, die man ihnen 
nun Zweck einer genaueren Untersuchung unterzulegen pflegt. Wir 
haben oben (30ff.) die allgemeinen Verhältnisse der Erystallachsen kennen 
gelernt und gesehen, daß man auf jedes Achsensystem, das von mög- 
lichen Kanten eines Erystalls gebildet wird, die Flächen mit rationalen 
Ableitungszahlen (Indices) beziehen kann. Solcher Achsensysteme sind 
f&r jeden Erystall unendlich viele möglich, man pflegt aber stets 
unter den möglichen fdr den praktischen Gebraach eines auszuwählen, 
dessen Achsen nach Richtung und Größe so beschaffen sind, daß seine 
Symmetrie dieselbe ist, wie die des Erystalls selbst, sowohl was die 
Zahl, als was die gegenseitige Lage der Symmetrieebenen anbelangt, und 
zwar so, daß zu gleicher Zeit jede Symmetrieebene des Achsensystems 
mit einer entsprechenden des Erystalls zusammen^lt. Aus der Üb^- 
einstimmung der Symmetrieebenen folgt dann von selbst eine ebenso 
vollkommene Übereinstimmung der S]rmmetrieachsen im Erystall und im 
Achsensystem, Man kann diese Übereinstimmung der Symmetrie in 
allen Fällen bewerkstelligen, indem man zweckmäßig gelegene Sym- 
metrieebenen der Erystalle, welche ja stets möglichen Flächen parallel 
gehen (53), als Achsenebenen wählte wobei stets einander gleiche Sym- 
metrieebenen auch in gleicher Weise zur Verwendung gelangen. 
Andere passend gelegene Flächen werden als Einheitsflächen ge- 
nommen. Wenn die Symmetrieebenen nicht ausreichen, wie im mo- 
noklinen und triklinen System, nimmt man noch andere Erystallflächen 
dazu, und man findet leicht solche, welche die Anforderung erfBUen, 
daß die von ihnen gebildeten Eanten ein mit dem Erystall in der 
Symmetrie übereinstimmendes Achsensystem geben. 

In den meisten Fällen hat man sogar die Auswahl zwischen 
mehreren Achsensystemen, welche den Anforderungen der Symmetrie in 
gleich vollkommener Weise genflgen. Nur im regulären System ist die 
Lage der Achsenebenen und die der Einheitsfläche durch die Symmetrie 
ein f&r allemal fest bestimmt. Bei allen Erystallsystemen kann man 
ein ihren Symmetrieverhältnissen entsprechendes Achsensystem mittels 
drei Achsen darstellen, nur im hexagonalen System sind deren vier 
erforderlich 

Ein nach obigen Grundsätzen gewähltes Achsensystem, welches 
mit den darauf bezogenen Erystallen in Betreff der Symmetrie voll- 
kommen übereinstimmt, heißt ein trjfgtallographisches Achsensysiem. 

Bei den krystallographischen Achsensystemen genfigt es, sich auf 
die sechs vollflächigen Elassen zu beschränken. Die Flächen der 
teilflächigen Formen liegen ja ganz ebenso gegeneinander, wie die 
der holoedrischen, aus denen sie durch Wegfallen eines Teils der 



90 Erjstallographische Achsen. 

Flächen abgeleitet werden können. Die hemiedrischen etc. Formen 
lassen sich also anf dieselben Achsen beziehen, wie die entsprechenden 
holoedrischen. In der Tat pflegt man anch in der Praxis fflr die 
sämtlichen Klassen eines nnd desselben Erystallsystems die Achsen 
ganz übereinstimmend zu wählen nnd zwar so, daß das Achsensystem 
dieselbe Symmetrie hat, wie die am höchsten symmetrische, die voll- 
flächige Klasse (Ausnahme zuweilen bei der rhomboedrisch-hemiedrischen 
Klasse des hexagonalen Systems (124) ). Bei den zugehörigen hemiedri- 
schen Krystallen ist dann natürlich die Symmetrie niedriger, als bei 
dem Achsensystem, da ihnen ja ein Teil der Symmetrieelemente der 
zugehörigen holoedrischen fehlt ; namentlich treten bei ihnen meistens 
die Achsenebenen nicht mehr oder doch nicht mehr alle als Symmetrie- 
ebenen auf. 

Nach dem Vorhergehenden können alle demselben Krystallsystem 
angehörigen voUflächigen nnd teilflächigen Formen, auf dasselbe 
krystallographische Achsensystem, d. h. Achsensystem mit denselben 
Symmetrieverhältnissen, bezogen werden, während den Formen anderer 
Krystallsysteme Achsen mit anderer Symmetrie untergelegt werden 
müssen. Man kann danach auch umgekehrt sagen : Ein KrystaUsj/stem 
ist der Inbegriff aller derjenigen voUflächigen und teüflächigen Formen^ 
die sich auf krystallographische Achsensysteme mit derselben Symmetrie 
beliehen lassen. 

88. Toll- und teilflächige Krystallformeii an den Aehsen. 

Treten an einem krystallographischen Achsensystem die sämtlichen 
durch dessen Symmetrie erforderten und nach der Symmetrie zu- 
sammengehörigen Flächen in gleicher Beschaffenheit auf, so erhält 
man einfache Formen von der höchsten in dem betreffenden Falle an 
dem Achsensystem überhaupt denkbaren Symmetrie. Es sind die ein- 
fachen Formen der holoedrischen Klasse des durch das Achsenkreuz dar- 
gestellten Krystallsystems. Hemiedrische einfache Formen entstehen, 
wenn solche Flächen an demselben Achsensystem nur in den abwechseln- 
den Raumabschnitten, also nur in der Hälfte der Oktanten oder Dode- 
kanten auftreten, oder wenn dies in jedem einzelnen Eaumabschnitt 
nur mit der Hälfte der durch die Symmetrie gegebenen Flächen der 
Fall ist. Diese können in den einzelnen Oktanten etc. wieder auf 
verschiedene Art angeordnet sein, so daß bald die eine, bald die 
andere Gruppe der Symmetrieelemente der Achsen an dem Flächen- 
komplex nicht zur Ausbildung gelangt. Dadurch erhält man die ver- 
schiedenen Hemiedrieen und die verschiedenen Gesetze der Hemiedrie 
in der Weise, wie oben besprochen worden ist (70 ff). Ganz analog sind die 
hemimorphen, tetartoedrischen und ogdoedrischen Formen in ihrem 
Auftreten an den Achsen zu beurteilen. Bei der Betrachtung der 



Krystallographische Achsen. 91 

Erystallsysteme mit ihren verschiedenen Klassen werden wir das 
Nähere hierüber kennen lernen. 

8i« Ableitung der krystallograplüsoheB Aohsensysteaie. Bei regulärm 
KrystaUen mnß man die drei aufeinander senkrechten Hanptsymmetrieebenen A (79) 
als Achsenebenen (Fnndamentalflächen) nehmen. Diese schneiden sich in drei gleichen 
aufeinander senkrechten Linien, den Achsen. Da alle drei Achsenebenen und Achsen ein- 
ander gleich sind, so gibt es jedenfalls der Symmetrie gemäß nach dem Haüyschen 
Symmetriesatz (70) eine FlSchei welche sie alle drei gleich, d. h. so schneidet, daß 
sie die drei Achsenebenen unter gleichen Winkeln trifft, und daß sie infolgedessen 
Ton den Achsen gleiche Stücke a abschneidet. Diese Fläche muß als Einheitsfläche 
gewählt werden. Das krystallographische Achsensystem der regulären Erystalle be- 
steht dann aus drei aufeinander senkrechten und gleichlangen Achsen a, a, a. Daß 
ein solches Achsensystem in der Tat die Symmetrie der regulären ErystaUe besitst, 
ist leicht einzusehen. 

Ln gmdrcUiachen System wählt man zwei aufeinander senkrechte und gleiche 
Nebensymmetrieebenen A oder B (79) und dazu noch die auf jenen beiden senkrechte 
und Ton ihnen yerschiedene Hauptsymmetrieebene C als Acbsenebenen. Sowohl die 
zwei Flächen ii, als die zwei Flächen B geben je mit C drei aufeinander senk- 
rechte Kanten als Achsen, Ton welchen die beiden AlC = a (resp. BJC = b) gleich- 
wertig und von der dritten AjA (oder, was dasselbe ist, BjB) = c yerschieden sind. 
Solche einzig dastehenden Achsen c, welche von mehreren anderen unter sich gleich- 
wertigen a resp. b yerschieden sind, nennt man allgemein ^auptocAsen, jene gleich- 
wertigen Achsen a resp. b Nebenacksen. Im quadratischen System hat man also die 
Wahl zwischen zwei Achsensystemen a^ a, c und b, 6, c, welchen beiden die Haupt- 
achse c gemeinsam ist» während die Nebenachsen a und b fttr beide Achsensysteme in 
einer zu c senkrechten Ebene liegen und sich in dieser wie die Nebensymmetrie- 
ebenen unter 46® schneiden. Was die Längen der Achsen a resp. b und c betrifft, so 
muß, es mögen die Flächen A oder B neben C als Achsenebenen gewählt sein, die 
Symmetrie Flächen zulassen, welche von den beiden gleichen Nebenachsen a, resp. b 
gleiche Stücke a, resp. b abschneiden, von der Hauptachse dagegen, welche von jenen 
Terschieden ist, ein anderes Stück c; irgend eine solche Fläche wählt man als Einheits- 
fläche. Man erhält dann als quadratisches Achsensystem zwei gleichlange und auf- 
einander senkrechte Nebenachsen a, resp. &, und eine davon verschiedene auf den 
Achsen a und b senkrechte Hauptachse c. Ein solches Achsensystem hat wieder 
genau dieselbe Symmetrie, wie die quadratischen ErystaUe selbst. 

Ganz analog hat man bei der Wahl der Achsen hexagtmdUr ErystaUe zu ver- 
fahren. Hier müssen aber die drei gleichwertigen Nebensymmetrieebenen A, resp. B 
neben der Hauptsymmetrieebene C genommen werden. Mui erhält dann drei gleich- 
wertige Nebenachsen a, resp. 5, die sich in einer mit C parallelen Ebene unter 60® 
schneiden, und eine darauf senkrechte Hauptachse c, durch die die sämtlichen Neben- 
symmetrieebenen A und B hindurchgehen. Mittels dreier Achsen läßt sich die 
Symmetrie der vollflächigen hexagonalen Erystalle nicht darstellen. Statt eines 
trimttn»chen Achsenkreuzes, wie bei den anderen ErystaUsystemen, ist hier ein aus 
vier Achsen bestehendes tetramdrisches erforderlich. 

In rhombischen ErystaUen geben die Durchschnitte der drei aufeinander senk- 
rechten ungleichen Symmetrieebenen A, B und C, die drei aufeinander senkrechten, 
aber voneinander verschiedenen Achsen BjC = a, C/A = b und A/B = c der 
Richtung nach (79). Jede beliebige, diese drei Achsen im Endlichen schneidende 
Fläche des Erystalls kann als Einheitsfläche dienen; sie schneidet, der Symmetrie 
entsprechend, von den Aohsoi die drei ungleichen Stücke a, b und c ab. 

In monoMinen Erystallen ist stets die Symmetrieebene die eine der drei Achsen- 



92 



Erystallographische Achsen. 



ebenen. Dazu wtthlt man noch zwei beliebige aaf ihr senkrechte Krystallflftchen als 
Achsenebenen nnd erhält dann drei voneinander yerschiedene Achsen a, 6, c, von 
welchen zwei in der Symmetrieebene liegen nnd sich unter einem schiefen Winkel ß 
schneiden, während die dritte der Symmetrieachse parallel ist nnd auf jenen beiden 
senkrecht steht. Jede beliebige Fläche, welche alle drei Achsen schneidet kann als 
Einheitsfläche genommen werden. 

Bei iriiJidi'Mn Erystallen geben drei beliebige nur in einem Punkt sich schneidende 
Flächen die drei ungleichen und zueinander schiefwinkligen Achsen a, 6, c\ jede 
beliebige diese drei Achsen schneidende Fläche kann als Einheitsfläche auftreten. 

85. Krystallograpliiselie Aehsen für die einzelnen Krystall- 
systeme. Darnach sind die fiir die einzelnen Erystallsysteme zu 
wählenden natürlichen Achsensjrsteme die folgenden : 

1, Reguiäres System. Drei gleiche Achsen a, a^ a stehen aufein- 
ander senkrecht (Fig. 53). Achsenschema: a:a:a; a/a = 90^. 

I 



-«^8/ 






in. 

Fig. 63. 




r- 



r" 



.^a 



j£ 

Fig. 55. 



2. Hexagonales System. Drei gleiche Nebenachsen a, a, a liegen in 

einer Ebene und schneiden sich unter je 60^; die Hauptachse c steht auf 

ihnen senkrecht (Fig. 54). Achsenschema : a : a : a : c ; a/a = 60® ; a/c = 90®- 

Für die Krystalle der rhomhoedrisch-hemiedrischen Klasse werden nicht selten 
besondere Achsen benützt, von denen bei der speziellen Beschreibung des hexagonalen 
Systems unten noch weiter die Bede sein wird (124). 

3. Quad/ratisches System. Zwei gleiche Nebenachsen a, a und die 
davon verschiedene Hauptachse c stehen aufeinander senkrecht (Fig. 55). 
Achsenschema: a:a\c\ ala = alc = 90^. 

4. Bhombisches System. Drei voneinander verschiedene Achsen a, 6, c 
stehen aufeinander senkrecht (Fig. 56). Achsenschema : a:i:c] afb==^ 
ft/c = cja = 90^. 



^"T 



.^8/ 



V — ^^ 

t 



Fig. 66. 



>a 




Fig. 57. 



ir^''^^ 



Je 
Fig. 58. 



5. MoMklines System. Von den drei ungleichen Achsen a, h^ c machen 
a und e einen schiefen Winkel ajc — ß miteinahder, die dritte b steht 



Krystallographische Achsen. 93 

senkrecht auf a und c (Fig. 57). Achsenschema : a : & : c ; o/i = c/& = 90^ ; 

alc = ß. 

6, Trääines System, Die drei ungleichen Achsen a, b^ c machen die 
schiefen Winkel bjc — = a; cja =^ ß; a/ft = y miteinander (Fig. 68). 
Achsenschema: a:b:c; blc = a; cja = ß', a(b=^y. 



86« AekseneleaieBte. Im re^ftren System sind' das Verhältnis der Achsen 
a',a\a nnd die Achsenwinkel (= 90®), also die Achsenelemente (38), ein fUr allemal 
fest bestimmt nnd für alle Substanzen konstant. Die einselnen regulären Erystall- 
formen werden daher bei gleichen Ableitnngszahlen (Indices) an allen regulär 
krystallisierten Substanzen stets mit denselben Winkeln und flberhaupt genau in der- 
selben Qestalt wiederkehren müssen. Bei aUen anderen Kristallsystemen sind die 
Achsenelemente für die verschiedenen Substanzen wechselnd je nach der Wahl der 
Fundamental- resp. Einheitsflächen. Für eine bestimmte Wahl dieser letzteren 
hängen die Achsenelemente auch hier nur von den Flächenwinkeln der Erystalle der 
betreffenden Substanz ab und werden in derselben Weise, wie wir es oben (38) ge- 
sehen haben, aus diesen berechnet. Sie sind daher auch in einem solchen krystallo- 
graphischen Achsensystem für die Substanz charakteristisch (38). Ein solches krystaUo- 
graphisches Achsensystem gibt aber in noch h(}herem Maße ein übersichtliches Bild 
der Krystallisation einer Substanz, als ein von beliebigen Kanten gebildetes, weil 
durch ein solches auch die Symmetrieverhältnisse der Krystalle dargestellt werden. 

87. Oktanten^ Dodekanten. Die in diesen Achsensystemen vor- 
handenen, von je drei aneinander stoßenden Achsenebenen gebildeten 
Baunabschnitte (Oktanten, im hexagonalen System Dodekanten) mttssen 
Ecken des Erystalls entsprechen, denn die Achsenebenen sind Flächen, 
die Achsen selbst Kanten desselben parallel. Alles, was für Ecken gilt, 
gilt somit anch ffir die Eanmabschnitte. Diese sind alle von der Beihe 
nach gleichen Flächen gebildet, nämlich von den drei (resp. vier) Achsen- 
ebenen. Diese schneiden sich in den Kanten (Achsen) entweder nnter 
lanter in allen Oktanten der Eeihe nach gleichen Winkeln, wie in 
den vier ersten Systemen, dann sind die sämtlichen ßanmabschnitte 
einander gleich ; oder die Winkel von je vier Oktanten sind einander 
gleich nnd von den vier anderen verschieden, wie im monoklinen 
System; oder aber es sind nnr je zwei diametral gegenüberliegende 
Banmabschnitte, welche nur im Achsenmittelpnnkt aneinander stoßen, 
einander gleich, wie im triklinen System. 

88. Gruppierung der Fläehen um die Achsen. Ist das Achsen- 
system der Symmetrie entsprechend in der angedeuteten Weise ge- 
wählt^ so sind die Flächen der holoedrischen Krystalle um dasselbe 
durchaus symmetrisch angeordnet, da ja die Krystalle und die krystallo- 
graphischen Achsensysteme, auf welche sie bezogen werden, in dem 
Orad der Symmetrie vollständig miteinander übereinstimmen (82) 
und die Symmetrieebenen des Krystalls mit den entsprechenden Sym- 
metrieebenen des Achsensystems zusammenfallen. Dies ist aber nur 



94 KrTBtallographische Aduen. 

möglich, wenn 1q allen gleictLen ßanmabscbnitteii (Oktanten oder Dode- 
kanten) der krystallographischen Achsenaysteme gleich viele gleich- 
liegende Flächen Torhanden sind, dorch welche alle gleichen Achsen 
gleich, d. b. in den gleichen B^tfernnngen vom Achsenmittelpuakt, also 
mit gleichen Ableitnngszahlen oder Indices geschnitten werden, nnd 
wenn ferner alle Flächen, die von gleichen Achsen gleiche Stttcke ab- 
schneiden, in allen Raamabschnltten einander gleich (8) nnd von allen 
anderen Flächen verschieden sind. 

Umgekehrt haben die krjstallographischen Achsensysteme die 
Eigenschaft, dafi an ihnen sämtliche gleiche Flächen bezit^angsweise 
gleiche StUcke abschneiden, sonst wäi-e ja die Übereinstimmong der 
Spnmetrie gestQrt Alle Flächen einer einfachen Form erhalten dem- 
nach dieselben Ableitungszahlen (Indices), d. h. denselben Achsenaos- 
drnck. Dies gilt sowohl für die holoedrischen Formen wie für die 
hemiedrischen. Biese letzteren entstehen ja ans jenen dadurch, daB 
ein Teil ihrer Flächen wegftUt, wodurch die Achsenschnitte (die Sym- 
bole) der bleibenden nicht geändert werden. 

Beispiel. Wir hatten schon oben (66) du Dioktatder als eine einfache 
Eryatallform kennen gelernt In Fig. 59 ist es pergpektiyiach von der Seite, in 
Fig. 61 Tim oben gesehen in der Horizontalprojektian abgebildet. Die Beschreibung 
nnd die Abbildungen lassen erkennen, daH es eise vollflächige Form des quadra- 
tischen Systems mit 6 ^ 2 -\- 2 -\- 1 Sjmmetrieebenen ist Die Banptsjmmetrie- 
ebene ist die gemeinsame Onind- 
flftche der beiden nach oben nnd 
nach unten gerichteten Pyramiden, 
die das Dioktaeder Easammenaetzen. 
Die beiden Gruppen Ton je zwei 
Nebeusymmetrieebenen sind dnrch 
die beiden Kichtnngen Oa, resp. Ob 
bestimmt, die nach den in der Hanpt- 
symmetrieebene liegenden abwech- 
selnd gleichen Ecken verlanfen. Sie 
schneiden sich in der zur Hanpt- 
symmetrieebene senkrechten Geraden 
ee unter 4ö" und sind ebenfalls ab- 
wechselnd einander gleich. Die Sjm- 
uietrieTerhältniase entsprechen also 
Fig. 69. völlig denen der Tollflächigeii Formen 

des quadratischen Systems. 
Wenn man nun dem Dioktaeder an krystollographisches Achsenaystem unterlegen 
will, so muß die Hauptachse jedenfalls die Gerade cOc sein, in der sich die vier 
Nebeosymmetrieebenen schndden. Als Nebenachsen stehen je die beiden auf dieser 
nnd aufeinander senkrechten Richtiuigen aOa, resp. bOb lur VerfOgong. Wir 
w&blen davon die beiden Richtungen aOa und unterscheiden sie, unbeschadet ihrer 
krystallographiscben Gleichwertigkeit, der Richtnng nach als Oa und Da', indem 
wir gleichceitig die -|- und — Äste in der Weise annehmen, wie es ans den Figuren 
EU ersehen ist. An einem solchen Achsensystem schneidet jede Fl&che des Diokta- 
eders, von sSmtlichen Achsen ungleiche StDcke ab. Der allgemeine Flachenausdruck 



Erystallographische Achsen. 96 

ist demnach: x * T ' T' ^^ ^ ^™^ ^ ^^ ^^ ^^ ~l~ ^^^ — ^^ ^^' Nebenachsen 

Oa nnd Oa*, l sich ebenso anf die Hauptachse Oc bezieht 

Für dieses Achsensystem sind die Symmetrieebenen des Krystalls ebenfalls 
Symmetrieebenen; der Erystall und die Achsen stimmen in Beziehung auf die Sym- 
metrie vollkommen überein. Schneidet nun eine Mäche, z. B. 3, auf der Achse -|- ^ 

em Stück -r-» ^^ ^^ Achse + a' ein Stück -^ ab| so kann die Symmetrie nach Ob** 

nur bestehen, wenn die Fläche 4 auf -|- Oa ein Stück -r-, auf + a* ein Stück j- 

c 
abschneidet, wobei beide Flächen durch den Punkt der Hauptachse -y gehen müssen. 

Dadurch sind dann die gleichen Achsen a und a* zunächst in dem einen Oktanten 

["h ^ 4~ ^'i + ^] gi^ch» jede mit den beiden Indices h und k geschnitten. Da auch 

Oa und Oa', sowie ab Symmetrieebenen sind, so muß in jedem anderen Oktanten 

ebenfalls eine solche Gruppe tou zwei Flächen auftreten, die überall von den Achsen 

a a 

a die beiden Stücke -r- und -j- abschneiden und die die Achse c oben oder unten in 

e 
der Entfernung -j treffen. Alle diese Flächen müssen auch der Symmetrie wegen 

notwendig einander gleich sein. Die Übereinstimmung von Erystall und Achsen- 
system hat also in der Tat zur Folge, daß von den Flächen des ersteren gleiche 
Achsen gleich (d. h. mit gleichen Indices oder Ableitnngszahlen) geschnitten werden, 
daß in gleichen Baumabschnitten (Oktanten) gleich viele gleich liegende Flächen 
vorhanden sind und daß die, gleiche Achsen in gleicherweise schneidenden Flächen 
einander gleich sein müssen. Das Achsensystem hat die Eigenschaft, daß alle Flächen 
des Dioktaeders, wenn man von den Vorzeichen der Achsenäste absieht, dasselbe Symbol : 

Wir haben hier den einfachsten Fall, den einer einfachen vollflächigen Erystall- 
form als Beispiel zu Grunde gelegt. Der kompliziertere Fall der hemiedrischen 
Formen und femer der Kombinationen ergibt sich hieraus dann von selbst. 

89. Ableitnng der elnfaehen Formen aus den krystallo- 
gTaphisehen Aehsen. Danach kann man die sämtlichen an einem 
beliebigen krystallographischen Achsensystem möglichen einfachen voll- 
flächigen Fonnen (und durch deren Vereinigung alle denkbaren Kom- 
binationen) a priori ableiten, indem man sich zunächst eine Fläche in 
sämtlichen überhaupt möglichen Lagen an den Achsen auftretend denkt 
und jedesmal alle anderen Flächen dazu konstruiert, die nach der 
Symmetrie daneben noch weiter auftreten mfissen. Diese entsprechen 
dann den obigen Bedingungen für die symmetrische Gruppierung yon 
Flächen um den Achsenmittelpunkt: 1. In jedem einzelnen Raumab- 
schnitt müssen auf allen gleichen Achsen von den auftretenden Flächen 
gleiche Stücke abgeschnitten werden. 2. In allen gleichen Raumab- 
schnitten müssen gleich viele solcher Flächen vorhanden sein. 3. Alle 
in dieser Weise zusammengehörenden Flächen müssen einander gleich 
sein. Die vielfachen so abgeleiteten Formen stimmen mit den an den 
natürlichen Erystallen direkt oder in Kombinationen beobachteten auf 



96 ErjatallograpliiBche Achoen. 

das TollfitäiidJg:ste fibereia. Dabei kann man sich auf die Ableitung 
der Tollfiächigen Formen beschränken. Ans diesen ergeben sich die 
teilflächigen, indem man eine Anzahl von Flächen nach den rer- 
schiedenen Gesetzen der Hemiedrie et«, verscbwundea denkt. 

90. Beispiele. Hat man z. B. ein rliombiacheB Achseiujitein, gebildet von den 

diei nogleichen aoIelnaitdeT senkrechten Achsen a, h, e (Fi^. 60), nnd wird dieses von einer 

Fläche so getroffen, daß diese von Allen drei Achsen 

ungleiche endliche Stticka abschneidet, dum hat sie 

im Oktanten [-|- a,-\-h,-\-c\ im allgemeinen den Ans- 

dnick: -r— F^ -T— i- :-r !■ Dadurch wird die Symmetrie 

+ A +fc +1 

in diesem einen Oktanten Tollst&ndig erfilllt, and da 

alle drei Achsen nngleich sind, so kOnnen von ihnen anch 

ganz beliebige ungleiche Stficke abgeschnitten werden. 

p. gQ bi demselben Oktanten ist also keine weitere Flfiche 

durch die STmmetrie erfordert, dagegen muO, da hier 

alle Oktanten einander gleich sind, eine solche Fläche, welche von den Achsen a,h,e 

9tBcke im Verhälbus "T" ' T ' T "^^Bchneidet, in jedem der sieben anderen Oktanten 

auftreten. Diese befriedigen dann mit jener ersten die Symmetrie vollständig und 

alle acht Eusammen begrensen ein sog. rhotnbitcke» Oktaeder, wie es als einfache 

Erystallfonn an rhombischen Erystallen häufig vorkommt. Die acht Flfichen eines 

solchen Oktaeders haben unter Berücksichtigung der Yoreeicben der Acbsenabschnitte 

folgende Ausdrücke: 



+h- + k- + i "** +h+k 

+ A- — ft- + J +h' — k 



-h—k 



-h- + k- + l — A' + k 



= hia 






Hat man dagegen ein quadratiseha Achsensystem mit drei rechtwinklig sich 
schneidenden Achsen, von denen swei einander gleich, a und a, und die dritte e 
davon verschieden (Fig. 6], auf die Ebene der Neben- 
achsen projiziert, so daß die Achse c auf dem Papier 
senkrecht steht) und tritt daran eine Fliehe 
-T- : -^ : -T- auf , so erfordert hier die Symmetrie 
nach bb, die im rhombischen System nicht vor- 
handen ist, zQuächst, daQ in demselben Oktanten, 
wo die genannte Fläche sich befindet, noch eine 
Eweite durch -T- gehende Fläche auftritt, welche 

die erst in -^ geschnittene Achse nun in -r- schneidet 

_. g. und umgekehrt. Dann ist in diesem Oktanten wieder 

V' ' alles symmetrisch, danon die beiden gleichen Achsena 

anch in gleicher Weise, beide sowohl in -r-, als in ■?- geschnitten werden. Unter- 



Ableitung: einfacher Krystallfonnen ans den Achsen. 97 

Bcbeidet man wieder, um iuizweident% featmatellen, zn welcher Achse a die Indicea 
gehören, die von rechts nach links gebende als a' von der Ton vom noch hinten 

gehenden a, dann sind diese swei Fl&chen: X' "fc" 'T^^^ ""^"iT'X ' 'T^^^ 
(wenn man bei der Hillerschen BeEeichnnngsweiae Btet« die anl a bezfl^chen In- 
dicea BD erster, die auf a' beiflglichen an cweit«r Stelle schreibt). Da nnn die ait- 
deren neben Oktanten dem hier betrachteten gleich sind, so mnß in jedem derselben 
eine soldie G^ppe von xwei FUchen liegen, welche von den Achsen a Stücke -^ 
und -r- nnd von e das Stück -j- abschndden, and man erhSlt die schon mehrfach 

betrachtete 16 flächige Doppelp^ramide, welche als Dioktaeder bei quadratischen 
Kristallen als einfache Erjstallform Torkommt (Fig. 40 o. &9}. Die Adsdrtkcke 
der Fischen derselben sind mit BerQcksichtignng der Torceichen; 



+ k- + h- + l- 
+k'-—h'-+T = 



= kU 



+ h- + k 
+ k' + h 



-A'-f ft 






WOxde an dem quadratischen Acbsensystem eine Flfiche auftreten, die von den 
beiden Nebenachsen gleiche Studie abschneidet, nnd also den Ansdmck : x ■ X ' T ^ **' 
hat, so wVrde sie in dem betreffenden Oktanten die Symmetrie für sich allein Toll- 
stSadig erftUlen. In Jedem Oktanten müHte eine solche Fltlche liegen, und man 
wfirde anch hier einen oktaedrischen KOrper aber von etwas anderer Art, als an 
einem rhombischen Achsensj^tem, ein quadratische» Oktaeder, erhalten. Nach dem 
obigen würden die Symbole der acht Flächen sich ohne Schwierigkeit ergeben. 

In einem monoMinen Achsensystem sind nnr je Ewei 
in der Symmetrieri)ene (oc) aneinanderstoliende Oktanten 
nnd die iwei diametral gegenQberliegenden, also je 
vier und vier einander gleich [Fig. 62), und Ewar die 
vier, in welchen der Winkel aje = fi, dann die vier, in 
welchen der Nebenwinkel a/c = 180* — ;fl ist. Tritt in 



Q Oktant«n eine Flfiche - 



r auf, so er- 



fUlt diese in demselben wegen der Ungleichheit der 
drei Achsen die Symmetrie gani. Dagegen ist noch je 
eine Flfiche in dem symmetrisch anstoBenden Oktanten 
nnd in den ewei diametral gegenüberliegenden Oktanten 
erforderiich, nnd es entsteht ein tehiefes Pritma mit rhom- 
Baaai, HinanJoiti«. 



98 Gleichliegende, gleichnamige Flächen. 

biaehem Quer9chniit, wie es bei monoklinen Krystallen sehr häufig vorkommt 
Dessen Flächen haben die Ansdrücke: 



^h' + k' + l —h' + k'-^l 



91. CHdeUiegende^ glelehnamige FlSclieii. Die nach der Sym- 
metrie zu einer einfachen Krystallform gehörigen Flächen haben, wie 
diese Beispiele zeigen, alle gegen das krystallographische Achsensystem 
genan dieselbe Lage, man nennt sie daher anch gleichliegende Flächen. 
Außerdem sieht man, wenn man die Ausdrücke der sämtlichen 
Flächen der angeführten einfachen Krystallformen miteinander ver- 
gleicht, daß sie vollkommen übereinstimmen, wenn man von dem Unter- 
schied der + und — Richtung der Achsen absieht und wenn man 
gleichermaßen absieht von einer Unterscheidung der gleichwertigen 
Achsen a und af in Bezug auf ihre Richtung. Dann erhält man für alle 

Flächen des rhombischen Oktaeders (90) den Ausdruck • r • x • T ~ (^^• 

An den Ausdrücken für die Flächen des Dioktaeders (90) kann man 
die auf beide Nebenachsen a und a' bezüglichen Indices wegen der 
Gleichheit von a und a' vertauschen. Auch sie stellen sich dann alle dar 

unter der Form : t • T • T "^ (*^^' ^^ ^^^^ ^^^ ^^ ®^^^ ^^^^ andere 

Bedeutung hat wie oben, da sich die Indices hier nicht auf ein rhom- 
bisches, sondern auf ein quadratisches Achsensystem beziehen. Die 
Flächen des schiefen rhombischen Prismas erhalten an dem monoklinen 

Achsensystem ebenfalls alle den Ausdruck:^: x • y ^* (^*0j wo natürlich 

(Jüe[) wieder eine andere Bedeutung hat wie oben. So kann man alle 
Flächen einer jeden einfachen Krystallform ausnahmslos an einem 
krystallographischen Achsensystem auf denselben Ausdruck bringen, der 
zugleich von den Ausdrücken aller anderen einfachen Formen ver- 
schieden ist. Daher nennt man die Flächen der einfachen Krystall- 
formen auch gleichnamige oder isoparametrische Flächen. Man kann 
dann eine jede einfache Krystallform mit Beziehung auf ein in der 
Symmetrie mit ihr übereinstimmendes Achsensystem auch definieren als 
eine Krystallform, welche von lauter gleichliegenden und daher gleich- 
namigen (isoparametrischen) Flächen begrenzt ist. Diese Definition gilt 
aber nur für ein solches krystallographisches Achsensystem. 

Man kann dann auch jede einfache Krystallform mit dem Aus- 
druck einer ihrer Flächen bezeichnen, welchen man zu diesem Zweck 
in eine runde Klammer schließt, wenn man ihn in Millerscher Weise 
schreibt ; dadurch erhält man den Ausdruck (das Symbol) dieser Krystall- 



Kombinationen. Modifikationen der Kanten und Ecken. 



99 



form. So ist : t- • x • t = (*^ ^^^ Ausdruck des rhombischen Oktaeders 
oder des schiefen rhombischen Prismas, je nachdem sich derselbe auf 
ein rhombisches oder monoklines Achsensystem bezieht ; x - T - y = (^ 

ist der Ausdruck des Dioktaeders, und jr • t" * T "^ (**^^ ^^^ Ausdruck 

eines quadratischen Oktaeders an einem quadratischen Achsensytem etc. 
Fflr das Symbol der ganzen Erystallform pflegt man die Fläche zu 
wählen, bei der ä > *, resp. im regulären System ä > ä > t 

92. Kombinationen. Im bisherigen haben wir kennen gelernt, 
wie sich mit Hilfe der krystallographischen Achsen alle einzelnen ein- 
fachen Formen jedes Erystallsystems, voUflächige sowohl wie teil- 
flächige, ableiten lassen. Nunmehr müssen wir sehen, wie sich diese 
einfachen Formen miteinander zu Kombinationen (9) vereinigen. Man 
kann sich dies ganz allgemein geometrisch so vorstellen — in der 
Natur ist der Vorgang natürlich ein ganz anderer — , daß zwei ein* 
fache Formen (und weiterhin auch jede beliebige größere Zahl) 
sich gegenseitig durchdringen. Dabei müssen dann die Flächen 
der einen Form an den Kanten und Ecken der anderen mehr oder 
weniger große Stücke abschneiden. Dieses Abschneiden geschieht in 
verschiedener Weise, je nach der Gestalt der beiden kombinierten 
Formen. Man bezeichnet es als die Modifikation der Kanten und 
Ecken. Wir haben zuerst diese Modifikationen genauer kennen zu 
lernen und die bei der Krystallbeschreibung allgemein benützten Be- 
nennungen, die ihnen beigelegt worden sind, zu erläutern, und schließen 
daran die Betrachtung der strengen Gesetzmäßigkeiten an, welche 
die Kombinationsbildung, d. L die Ableitung der Kombination aus den 
einzelnen einfachen Formen beherrschen. 



98. Modifikationen der Kanten nnd Ecken. Eine Kante a(b 
heißt abgestumpft durch die Fläche c, wenn diese die zwei Flächen a 
und 6 in parallelen Kanten schneidet 
<mit a und h in einer Zone liegt) 
(Fig. 63); c heißt Abstumpfungs- 
fläche. Ist ^ alc = -^ hjcy so ist 
die Abstumpfung gerade^ im anderen 
Falle schief, Ist neben der Fläche 
c noch eine weitere d in der Zone 
[ab] vorhanden, die die Flächen h 
und c in parallelen Kanten schneidet 
(Fig. 64), so sagt man, die Kante afb ist durch die Flächen c und d 




Fig. 63.. 




Fig. 64. 



7» 



100 



Kombinationsbildimg. 



eugeschäfft Auch hier kann die Znschärfong eine gerade oder schiefe 
sein, je nachdem ^ ajc = -^ 6/rf oder nicht. 

Ist eine Ecke (abc) dnrch eine Fläche d ersetzt, so sagt man, die 
Fläche stumpft die Ecke ab (Fig. 65), nnd zwar wieder entweder ge- 
rade oder schief, je nachdem die Abstompfnngsfläche d gleiche oder 






Fig. 66. 



Fig. 66. 



Fig. 67. 



ungleiche Winkel mit den die Ecke bildenden Flächen a, 6, c macht 
Treten statt der Ecke mehrere Flächen auf, so heißt die Ecke guge- 
spittft, und zwar von den Flächen ans (Fig. 66) oder von den Kanten 
ans (Fig. 67). Die Fläche a (Fig. 67) heißt auf die Kante min auf- 
gesetzt, und zwar gerade, wenn -=5 alm = -4 ajn, sonst schief. In Fig. 66 
ist die Fläche a auf die Fläche m aufgesetzt 

94. Gesetze der KombinatioiisMldiiiig. Aus einer jeden Kom- 
bination kann man die in ihr vereinigten einfachen Formen ableiten 
in derselben Weise, wie es oben (9) in der Kombination des Würfels 
und des Oktaeders geschehen ist, indem man je alle gleichen Flächen 
zusammen sich ausgedehnt denkt bis zum gegenseitigen Schnitt der 
unmittelbar benachbarten, unter gleichzeitigem Verschwinden aller 
übrigen. Führt man dies bei einer möglichst großen Zahl von 
Krystallen aus und untersucht die Kombinationen selbst sowie die 
aus ihnen in dieser Weise ableitbaren einfachen Formen in Bezug 
auf ihre Symmetrie, so findet man das ganz allgemein gültige Gesetz. 

Die sämtlichen in einer Kombination vereinigten einfachen Krystattformen 
haben stets genau die gleiche Symmetrie (denselben Symmetriegrad) j und die 
von ihnen gebildete Kombination stimmt mit ihnen hinsichtlich der Symr 
metrie ebenfciUs vollkommen überein oder mit anderen Worten: -4.Zfe 0U 
einer Kombination verbundenen einfachen Formen gehören der nämlichen 
KrystaHMasse an, und zu derselben Klasse gehört auch die von ihnen ge- 
bildete Kombination, 

Es kombinieren sich beispielsweise nur yollflächig-regnlSre, oder nur tetraedrisch- 
oder nur pyritoedrisch-reguläre einfache Formen je miteinander, und die entstandenen 
Kombinationen sind ebenfaUs vollflächig-regulär, resp. tetraedrisch oder pjrritoedriscL 
Es kombinieren sich jedoch niemals regulär-pyritoedrische mit tetraedrischen, qua- 
dratische mit hexagonalen einfachen Formen etc. Dabei ist aber stets zu berück- 
sichtigen, daß, wie oben schon (76) angedeutet wurde und wie wir noch weiter 
sehen werden, einzelne einfache Formen mehreren Krystallklassen und auch mehreren 
Krystallsystemen gleichzeitig angehören können. 



Kombinatio&Bbildaiig. 101 

Ein Beispiel für die erwähnte Gesetzmäßigkeit gibt die oben (9) besprochene 
Kombination von Oktaeder o nnd Würfel h (Fig. 7), in der stets die sämtlichen 
Kombinationskanten o/A einander genan gleich sind. Würfel sowohl wie Oktaeder 
haben 3 -f- ^ Symmetrieebenen nnd gehören also der voUflächig-regnlären Klasse an. 
Dieselbe Zahl von 3 -f- 6 Symmetrieebenen (nnd sonstigen Symmetrieelementen) findet 
man ebenfalls ia der Fig. 71 abgebildeten Kombination beider, nnd zwar anch genau 
in der gleichen Anordnung, wie in den beiden einfachen Formen. Die drei Hanpt- 
symmetrieebenen ziehen in der Richtung der Diagonalen der Würfelflächen h und 
die sechs Nebensymmetrieebenen in der Richtung der Höhenlinien der Oktaederflächen o 
und auf den Würfelflächen h parallel mit den gleichen Kanten hfo. Die Kombination 
ist somit ebenfalls der yoUflächig-regulären Krystallklasse zuzurechnen. Ähnliche 
Beispiele werden wir im Laufe unserer Betrachtungen noch in großer Zahl kennen 
leinen. 

95. SymmetrleyerliSltiiisse der Eombinationeii. Wenn diese 
völlige Übereinstimmung in der Symmetrie zwischen den einfachen 
Erystallformen nnd den von ihnen gebildeten Kombinationen möglich 
sein soll, dann müssen, wie eine einfache Betrachtung lehrt, die kom- 
binierten Formen nicht nur gleiche Symmetriegrade besitzen, sondern 
es müssen auch in der Kombination die sämtlichen Symmetrieebenen 
und -achsen der einen Form parallel mit den entsprechenden Stücken der 
anderen sein, da eine Abweichung in der Symmetrie der Kombination 
von der der einfachen Formen nur dann vermieden werden kann, 
wenn sich diese mit parallelen Symmetrieelementen, vor allem mit 
parallelen Symmetrieebenen, miteinander vereinigen und gegenseitig 
durchdringen. Durchdringen sich zwei einfache Formen, die in der 
Symmetrie miteinander übereinstimmen, so daß ihre entsprechenden 
Symmetrieelemente einander nicht beziehungsweise parallel sind, dann 
kann die Kombination unmöglich dieselbe Symmetrie besitzen. 

96. Bildung der Kombinationen. Unter Berücksichtigung dieses 
Verhaltens lassen sich alle überhaupt möglichen Kombinationen einer 
Krystallklasse ohne Schwierigkeit konstruieren, wenn man nur die 
sämmtlichen dazu gehörigen einfachen Formen kennt. Die Kom- 
bination zweier einfacher Formen entsteht, wenn man sie mü paräl- 
lehn Symnietried>enen ineinander stellt. Sie durchdringen sich dann 
gegenseitig und die Flächen der einen modifizieren die Kanten und 
Ecken der anderen je nach den speziellen Verhältnissen iu verschie- 
dener Weise. 

Dasselbe Eesultat erhält man aber auch, indem man beide ein- 
fache Formen parallel nebeneinander aufstellt und sodann die Flächen 
der einen parallel mit sich an die andere hin verschoben denkt, so 
daß sie ebenfalls die Kanten und Ecken der letzteren modifizieren 
müssen. 

Infolge der gleichen Symmetrie, die sich ja nicht bloß auf die 
Flächen, sondern ebenso auch auf die Kanten und Ecken, bezieht, 



102 



EombinEitioiubUdniig'. 



mfisaen stete Qmppen gleicher Kanten and Ecken der einen einfachen 
Form ebensovielen glelclien Flächen oder Flfichengrnppen der anderen 
der Lage nach entsprechen. Bei der Vereinigang beider einfachen 
Formen auf diese oder jene Art werden dann die gleichen Flächen 
oder Fläcbengruppen der einen einfachen Form jene gleichen Kanten 
ond Elcken der anderen alle in derselben Weise abstumpfen, znschirfen 
oder zuspitzen. 

97. KoMbinatlOBsblldiuff. Beispiele, Einig« Beispiele werden dlei nSher 
erUntern. 

Die beiden einfachen Fonnen der ToMächig-regnUren ElasBe, du Oktaeder o 
nnd der Würfel h, gind in Fig. 68 und 69 in paralleler Stellnng dargestellt, was man 
danin erkennt, daü in beiden die drei aofeinender Benkrechten DarchsdmittBlinien 
der drei Hanptsjmmetrieebenen, m. a. W. : die drei Achsen (86), (strichpunktiert ge- 
zeichnet) miteinander beiiehangaweise parallel laufen. Die sechs gleichen Fl&chen 
dea WUrfeU befinden sich dann in derselben gegenseitigen Lage, wie die sechs 
gleichen Ecken dea Oktaeders. Jeder Ecke des Oktaeden entspricht der Lage nach 
eine der Fl&chen des Warfels. 








Li 1 






^ 


h 




r 










Kg. 71. 



Denkt man sich nun die briden in paralleler Stellung ineinander geschoben, 
wie es Fig. 70 eeigt, dann stampft jede Wtkrfelfiache die entsprechend liegende 
Oktaederecke mehr oder weniger stark ab ond man erhUt als gemeinschaftlichen 
Kern beider Körper ihre Kombisation, die in Fig. 71 noch einmal büonders abgebildet 
ist Diese nämliche Kombination müQte man aber anch erhalten, wenn man, 
Oktaeder nnd Würfel parallel nebeneinander gestellt gedacht, jede der sechs 
FlBchen des letzteren parallel mit sich an das Oktaeder hin Terschieben würde. Sie 
müßten dann je die der Lage nach entsprechenden Oktaederecke abstumpfen, deren 



EoubinatioTubildnng, 103 

jft gldchfftllfl sechs TorhEuiden eind. Aach rnnll die Äbstumpfang' der Ecken eilw 
f^rade sein, denn die Symmetrie verlangt, AtÜ alle Kombiiuttionskaiiten h/o ein* 
ander gleich sind. 

DiDgekehrt liegen aber auch die acht gleichwertigen Eclien des WOrfelg, wie 
die acht ebenfalls gleichen Fl&chen des Oktaeders. Venchiebt man letztere parallel 
mit sich an den WUrfel, bo wird von dessen Ecken jede dnrch die entsprechend liegende 
Oktaederfläche abgettmapft nnd swar wieder der Symmetrie 
entsprechend gerade, so daü alle Eombinatiooskanten Ojoo Ooo 
einander gleich sind. Hau eihttlt dann eine Kombination, wie 
sie in Fig. 12 abgebildet ist, wo die OktoederflBohen wieder 
mit 0, die Würtelflttcben aber mit ooO oo beieichnet und. Diese 
Form bt kry stallographisch ident mit der obigen (Fig 70), beide 
sind Eombinatiouen von Wflrfel nnd Oktaeder. Sie nnterscheiden 
■ich nnr doich die verschiedene Audehnnng der beiden einfachen 
KSTper. In Fig. 71 ist das Oktaeder groG, der Wflrf el klein, in 
Fig. 72 findet das umgekehrte statt. Dort ist du Oktaeder, hier der Wttrfel der Tilger 
der EomhinatiDn. Wieder dieselbe Kombination stellt die schon oben eingebend be- 
trachtete Fig. 7 dar, in der das Oktaeder nnd der WOifel ziemlich gleichmtOig 
ausgedehnt, oder, wie man zn sagen pflegt, mittlnander im Gleichgewicht sind. 
%e steht in der Mitte zwischen den beiden in Fig. 71 nnd 72 abgebildeten Kom- 
binationen, daher der Name Hittelkrystall (auch Cnbooktaeder). 

Wir hoben schon oben (79) als Beispiel der regnlfir-voUUchigen Klasse das 
Shombmdodekatder (Qranatoeder) kennen gelernt. Es ist in Fig. 76 in paralleler SteUung 
mit dem Würfel (Fig. 73) dargestellt. Jede der xvHÜ Granatoederfi&cheu entspricht 
dann der Loge nach einer der xwOlf gleichwertigen Kant«n des Würfels. Denkt 
man sich nnn die Oranatoederflächen il parallel mit sich an den Würfel verlegt, so 
stumpft jede von ihnen die entsprechende WUrfelkante ab nnd zwar, der Symmetrie 




Fig. 72. 



h 



Fig. 73. 




Fig. 74. 

nfolge, gerade. Es entsteht dann die in Fig. 74 abgebildete Kombination beider 
Formen. DaO die Fl&chen d in dieser Figur in der Tat die eines Granatoeders 
nnd, teigen die geetrichelten Linien, die den letzteren KOrper als Erweitemng der 
FUt^KD d bis zum gegenseitigen Durchschnitt darstellen. 

Wir bedachten nnn die Kombination des Öranatotdar» und des Oktaedert, die 
in Fig. 76 nnd 77 in paralleler Stdlnng abgebildet sind. Ans diesen Figuren er- 
sehen wir, daO die acht Fl&chen des Oktaeders nach derselben Bichtnng hin gelegen 
sind, wie die acht gleichwertigen dreikantigen Ecken des Granato«deTs. Yerschiebtti 
wir nnn die OktaederflOchen parallel mit sich an das Dodekaeder, so mnß jede von 
ihnen eine der dreikantigen Ecken des letzteren, and zwar der Symmetrie ent- 
sprechend gerade, abstumpfen, wodnrch die Kombination Fig. 79 entsteht Die zwOlf 
gleichen Konten des Oktaeders liegen aber auch ebenso wie die iwOU Flächen des 
Dodekaeders; die vier in den Haaptsymmetrieebenen liegenden Oktoederkantes 
schneiden sich nnter rechten Winkeln, wie die vier entsprechenden DodekoederflXcbeti, 



104 Kombinatioiiabildniig. 

deren lange Diagonalen also mit den Oktaederkanten in der Lage Tollkommeii Überein- 
stimmen, Denkt man flieh die zwölf Dodekaederfl&chen parallel mit sicli an das Oktaeder 





Fig. 76, Fig. 78. 

hin Terscboben, so Htnmpft jede von ihnen eine der xwOlf Oktaederkanten ab, nnd 
zwar wieder der SymmeMe zafolge gerade. Wir erhalten daim die in Fig. ^8 
dargeBtellte Kombination. Anch diene beiden letzteren Kombinationen sind krjstallo- 
giAphisch dasselbe, der Unterschied liegt auch hier wieder nnr in der verschiedenen 
Anedehnnng der beiden kombinierten einfachen Formen. 

Eine weitere einfache voUä&chig-regulftre Fonn ist der in Fig. 80 abgebildete, 
von 24 gleichen Fl&chen, in der idealen Form gleichschenkligen Dreiecken, begrenEte 
Pyramidenwürfel (TetrakishexaedeT). Ea ist gewisaermalten ein Würfet, Über dessen 
qnadratischen Flä<^en sich niedrige vierseitige Pyramiden erheben. Er befindet sich 
in Parallelatellnng mit dem Würfel (Fig. 81). Die sechs gleichen Flächen des letzteren 



Fig. 80. 



Fig. ( 



Fig. 81. 



liegen wie die sechs gleichwertigen Pin'amidenecken w des Pjramidenwilrfels. Sie 
müssen daher, parallel mit sich verschoben, diese Ecken abstumpfen nnd zwar nach 
der Symmetrie gerade. Es entsteht dann die in Fig. 82 dargestellte Kombination. 
Umgekehrt haben, da, der Symmetrie entsprechend, die Fl&chen beider KQrper den 
drei strichpunktierten Achsen parallel gehen, die Kanten des WUrfels dieselbe Lage, 
wie je zwei Fl&chen des PyramidenwQrfels. Je zwei der letzteren müssen daher 
bei der Vereinigung beider Formen die WQrtelkanten znichärfen und zwar gerade. 
Jeder der zwölf WflrfeUcanten entspricht dabei je eine der zwölf Qmppen von je zwei 
Fl&chen des PyramidenwQrfels, welche notwendig alle Würfelflächen nnter gleichen 
Winkeln treffen. Man erhält dann dieselbe Kombination, wie im ersten Fall, wo 
die Würfelflächen die Pyramiden wUrf decken abstumpften. Die Gestalt der Kom- 
bination kann dabei im einzelnen etwae wechseln, je nach der relativen GrCQe der 
beiden kombinierten KOrper. 

Als letztes Beispiel wählen wir die Kombination des (^faederi (Fig. 83) mit 
dem gleichfalls regnlär-voUflächigen IkosUetraeder (Fig. 84), das von 24 symmetri- 
schen Tierecken (Deltoiden) begrenzt ist. Seine Symmetrie verhältniese ergeben sich 
ans der Figur, Je vier FIftchen der letzter«) Form liegen wie eine Ecke des Okta- 



KombinationBbildnDg. 105 

eden. Deren aind es sech«, ebenso auch sMha solche Omppen ron je Tier Flachen 
des Ikoütetraeders. Jede dieser FlSchengTnppen mnQ <Jso je eine der sechs Okta- 
ederechen zuspitzen nnd twax von den FUchen au. Es entsteht dann die Korn- 
bination Fig. 85, bei der die Symmetrie des regnlären SjBteros die Gleichheit aller 
Kombinationskanten zwischen den Oktaeder- nnd Ikositetraederflächen erfordert. 




Fig. 83. Fig. 86. Fig. 84. 

98. HaQyschfis Symmetriegesetz bei der KomblnatiooBbUdang. 

Ans dem Gesetz der Kombinationsbilduag, wonach die sich kombinieren- 
den einfachen Formen mitereinander nnd mit der von ihnen gebil- 
deten Kombination in Beziehung aaf die Symmetiie yollständig Über- 
einstimmen, ergibt sich auch für die Kombinationen die Gültigkeit 
der Regel, die wir schon oben (70) als den Haflyschen Symmetriesatz 
kennen gelernt haben, nach welcher sich gleichwertige Stücke eines 
Krystalls durchaus gleich, ungleichwertige verschieden verhalten. 
Er kann für den hier vorliegenden Fall in folgender Form ausge- 
sprochen werden: 

Sei äntrdender Kombinationsbädung werden gleiche SegrewmngS' 
demente einer Krgstailform von den Flächen einer hinsnttretenden wmieren 
einfachen ErystaUform stets gleich, ungleiche im allgemeinen tmghich 
geschnitten. Dies gilt allerdings ganz uneingeschränkt nur für voU- 
flachige Krystalle, bei teilflächigen treten infolge des Wegfalls ge- 
wisser Flächen maDchmal Modifikationen ein, die sich in jedem ein- 
zelnen FaUe von selbst ergeben. 

Im einzelnen kommt der Haüysche Symmetriesatz in folgender 
Weise znr Oeltang: Die gleichen Flächen einer einfachen Krystallform 
werden von hinzutretenden Flächen einer anderen stets gleich d. h. 
onter gleichen Winkeln geschnitten. Wird eine Kante von zwei an- 
gleichen Flächen gebildet (was natürlich nur bei einer Kombination 
mftglich ist), dann werden sie von einer dazu tretenden weiteren 
Fläche ungleich d. h. unter verschiedenen Winkeln getrofifen. Es wird 
also eine von zwei gleichen Flächen gebildete Kante gerade, eine von 
zwei ungleichen Flächen gebildete Kante schief abgestumpft. Zwei 
ungleiche Flächen können nnr dann von einer dritten Fläche unter 
gleichen Winkeln geschnitten werden, wenn diese Rechte sind, also 
die dritte Fläche auf jenen beiden senkrecht steht. 



106 Kombinationsbildiiug 

Werden zwei gleiche Flächen von einer dritten ungleich ge^ 
schnitten, d. h. wird ihre Kante schief abgestumpft, so muß an der- 
selben Kante noch eine zweite Abstumpfungsfläche auftreten, die 
die beiden gleichen Flächen in entgegengesetzt schiefer Richtung 
schneidet und so mit der ersten Abstumpfungsfläche eine gerade Zu- 
schärfung der Kante bewirkt. Ganz analog sind die Verhältnisse bei 
Abstumpfung resp. Zuspitzung einer Ecke. Ist diese gleichflächig 
und -kantig, so kann sie nur gerade abgestumpft werden, und wenn 
sie zugespitzt wird, kann es nur so geschehen, daß die Zuspitzuugs- 
flächen in ganz gleicher Weise auf die Kanten und Flächen ausge- 
setzt sind, die die Ecke bilden. Sind die Flächen und Kanten an 
einer Ecke nur zum Teil gleich, dann werden diese gleichen Stücke 
von den Abstumpfungs- und Zuspitzungsflächen gleich und anders 
getroffen, als die übrigen Begrenzungselemente dieser Ecken. Endlich 
müssen notwendig alle gleichen Kanten und Ecken einer einfachen 
Form in derselben Weise modifiziert, also abgestumpft oder zuge- 
schärft oder zugespitzt werden, jederzeit der Symmetrie an den einzelnen 
Kanten oder Ecken entsprechend. Vorausgesetzt ist dabei, wie schon 
erwähnt, überall, daß man es mit vollflächigen Formen zu tun hat^ 
und daß nicht infolge von Hemiedrie etc. eine Anzahl von Flächen, 
resp. Symmetrieebenen, in Wegfall gekommen ist. Die besonderen 
Verhältnisse der Kombinationen hemiedrischer etc. Formen werden wir 
bei der speziellen Betrachtung der teilflächigen Krystallklassen kennen 
zu lernen haben. 

Der Haüysche Symmetriesatz verlangt endlich, daß Flächen, durch 
todche gleiche Stücke einer einfachen Farm in derselben Weise getroffen 
werden, einander gleich sind. Auch dies ist eine notwendige Folge der 
Symmetrie; diese Flächen bilden zusammen die Begrenzung einer 
einfachen Krystallform. 

99. Beispiele. Daß diese Haüyschen Gesetze mit Notwendigkeit aus dem 
Gesetz der Eombinationsbildnng folgen, geht schon ans den oben (97) betrachteten 
Beispielen hervor. Hier sollen nur noch einmal einige derselben mit besonderer 
Besiehnng daranf knrz betrachtet werden. 

Wenn eine Fläche des Granatoeders eine Würfelkante abstumpft (Fig. 74), 
so verlangt die Symmetrie nach den Nebensymmetrieebenen , daß dies gerade ge- 
schieht; die zwei gleichen Würfelflächen werden also von der hinzutretenden 
Granatoederfläche gleich, d. h. unter gleichen Winkehi geschnitten. Femer müssen 
aUe gleichen Würfelkanten ohne Ausnahme in derselben Weise gerade abgestumpft 
werden, und die Abstumpfnngsflächen müssen alle einander gleich sein, da sonst die 
Symmetrie nach den Hauptsymmetrieebenen gestOrt wäre. Die Kombination von 
Würfel und Granatoeder entspricht somit vollkommen dem Haüyschen Symmetrie 
gesetz. Ganz entsprechend ist es, wenn man die Kombination des Oktaeders mit dem 
Granatoeder betrachtet (Fig. 78). 

Bei der Kombination des Pyramiden würfeis mit dem Würfel (Fig. 82) folgt aus der 
Symmetrie, daß jede der beiden Würfelflächen von den beiden anstoßenden Pyra* 



Eombinationsbildnng. 107 

midenwttrfelfläclien gleich getroffen werden, und daß jede Kante in derselben Weise, 
d. h. nnter denselben Winkeln gerade zngescbärft werden mnß nnd zwar durch 
lanter gleiche Flächen, welche eben die des Pyramidenwtlrfels sind. 

Die vierkantigen Ecken des Granatoeders können nach der S3rmmetrie nur 
gerade abgestumpft sein (Fig. 102), nicht schief; die vier gleichen Flächen an 
einer Ecke des Qranatoeders werden von der hinzutretenden Abstumpfungsfläche 
gleich geschnitten, und wenn eine dieser Ecken abgestumpft ist, so müssen es alle 
anderen ihr gleichen vierkantigen Ecken ebenfalls in derselben Weise sein, und 
zwar von lauter der ersten gleichen Flächen. Entsprechend ist es bei den drei- 
kantigen Ecken (Fig. 104); diese werden ebenfalls alle gerade abgestumpft, die Ab- 
stumpfnngsflächen schneiden die Granatoederflächen gleich und sind untereinander 
gleichwertig. Wenn die vierkantigen Ecken abgestumpft sind, so verlangt die 
Symmetrie nicht, daß die von ihnen verschiedenen dreikantigen Ecken gleichfalls 
abgestumpft sind. Wenn sie beide gleichzeitig abgestumpft sind (Fig. 105), so sind 
die zu beiden gehörigen Abstumpfungsflächen jedenfalls voneinander verschieden. 
Unter allen umständen verhalten sich die verschiedenwertigen Ecken des Granato- 
eders bei der Eombinationsbildung verschieden. 

Eine Zuspitzungsfläche einer Oktaederecke bei der Kombination des Oktaeders mit 
dem Ikoeitetraeder (Fig. 85) muß nach der Symmetrie auf die Oktaederfläche notwendig 
gerade aufgesetzt sein und zwar auf jede Fläche an dieser Ecke in derselben Weise 
(unter demselben Winkel) ; auch müssen alle Oktaederecken in derselben Weise viel- 
flächig zugespitzt sein, so daß wieder alle gleichen Begrenzungselemente des Okta- 
eders von den zutretenden Flächen des Ikositetraeders gleich geschnitten werden 
und zwar ebenfalls von lauter untereinander gleichen Flächen. 

100. Ableitnng der Kombinationeii nach dem Haflyschen Sym- 
metriegesetz. Nach unseren bisherigen Betrachtungen haben wir die 
Kombinationen angesehen als entstanden durch die Vereinigung der 
einfachen Formen (96).. Als notwendige Eonsequenz ihrer symmetri- 
schen Durchdringung ergaben sich dann die Haüyschen Symmetrie- 
sätze. Wir können aber auch umgekehrt diese letzteren durch direkte 
Beobachtung an den Erystallen empirisch feststellen und vermittels 
ihrer die an jeder einfachen Erystallform möglichen Kombinationen 
ableiten. Man denkt sich zu diesem Zweck an den Kanten und Ecken 
dieser einfachen Form zunächst eine Fläche in irgend einer Lage als 
Abstumpfung auftretend, und konstruiert alle nach den Symmetriesätzen 
(oder kurz, nach der Symmetrie) noch weiter erforderlichen Flächen 
dazu. Diese müssen dann jener ersten gleich sein, und sie alle zu- 
sammen begrenzen bis zum gegenseitigen Schnitt ausgedehnt, die neue 
einfache Form, die nun mit der ersten in Combination getreten ist. 
Indem man die Lage der ersten Fläche auf alle denkbaren Arten 
ändert, erhält man alle überhaupt möglichen Fälle der Kombination 
jener ersten Form mit einer zweiten. Daß diese letzteren alle die- 
selbe Symmetrie haben müssen, wie die erste Form, von der wir aus- 
gegangen sind, folgt nach dem früheren von selbst; die Symmetrie- 
ebenen bleiben ja beim Zutreten der neuen Flächen ganz unverändert 
erhalten. Es ergibt sich daraus dann das Gesetz der Kombinations- 



108 



Eombinatioiisbildang'. 



bildung, daß nur einfache Formen derselben Symmetrieklasse sich zu 
Kombinationen vereinigen, indem sie sich in paralleler Stellung d. h. 
mit parallelen Achsen durchdringen. 

Beispiele. An der Ecke eines Oktaeders trete eine einzige Flftche anf. Dann 
muß sie diese notwendig gerade abstumpfen, da nur so die Erfordernisse der 
Symmetrie durch diese eine Fläche erfüUt werden kGnnen. Die Fläche muß alle an 
der Ecke liegenden Flächen und Kanten gleich treffen, da sie ja aUe je unterein- 
ander gleich sind. Da alle sechs Oktaederecken gleich sind, so müssen auch alle 
anderen in derselben Weise gerade abgestumpft sein, wenn es die erste ist (Fig. 71). 
Die sechs Abstumpfungsflächen sind notwendig einander gleich und begrenzen ge- 
hörig ausgedehnt einen sechsflächigen Körper von derselben Symmetrie wie das 
Oktaeder, einen Würfel. Es ist ganz gleichgültig, ob man einen KrystaU beschreibt 
als Kombination von Oktaeder und Würfel, oder als Oktaeder mit abgestumpften 
Ecken; beides bedeutet dasselbe. 

Liegt eine Fläche an der Oktaederecke, auf eine Oktaederfläche aufgesetzt, so 
kann sie nur gerade auf diese aufgesetzt sein, und somit die beiden seitlich anstossen- 
den Oktaederflächen unter gleichen Winkeln schneiden, da sonst die Symmetrie ge- 
stört wäre (Fig. 85). Oder aber es müßte, wenn die Fläche schief auf eine Okta- 
ederfläche aufgesetzt wäre, an dieser letzteren noch eine zweite Fläche in entgegen- 
gesetzt schiefer Stellung auftreten. Auf jeder anderen 
Oktaederfläche an derselben Ecke müsste dann noch 
eine Fläche gerade, resp. zwei Flächen schief in der- 
selben Weise aufgesetzt sein und die Ecke wäre dann 
yierflächig resp. achtflächig zugespitzt (Fig. 85 und 86). 
Wenn nun alle übrigen Oktaederecken in derselben 
Weise modifiziert werden, sind die Erfordernisse der 
Symmetrie erfüllt, und das Symmetriegesetz ist befrie^ 
digt. Die Zuspitzungsflächen sind in beiden Fällen in 
derselben Weise symmetrisch angeordnet wie die Flächen 
des Oktaeders, sie liefern alle bei gehöriger Ausdehnung 
ebenfalls reguläre Formen. Von ihnen haben wir die 
eine (Fig. 85) oben schon (97) als Ikositetraeder kennen 
gelernt; die anderen (Fig. 86) werden wir unter dem Namen des Hexakiaoktaeders 
(Achtundyierzigflächners) unten noch betrachten. 

Ganz analog sind die Verhältnisse bei der Modifikation der Kanten, so daß 
keine weiteren Beispiele erforderlich sind, die sich übrigens auch aus dem früheren 
und dem nachfolgenden yon selbst ergeben. 

101. rmkehrung des Haüyschen Symmetrlesatzes. Aus 

den Symmetrieverhältnissen ergibt sich, daß das Hattysche Sym- 
metriegesetz auch einer Umkehrung fähig ist, welche lautet: Wenn 
Begrenzungselemente einer KrystaUform von hinzutretenden Flächen in 
gleicher Weise geschnitten werden, so sind sie ebenfalls untereinander 
gleich, Begrenzungselemente, die sich in dieser Hinsicht verschieden ver- 
halten, sind einander im allgemeinen nicht gleich. 

Wenn z. B. in dem vierseitigen Prisma MM (Fig. 87) eine Kante durch die 
Fläche A gerade abgestumpft wird, dann müssen notwendig die beiden Flächen M 
einander gleich sein ; denn die Gleichheit der beiden Kanten a bedingt eine zwischen 
ihnen hindurch gehende Symmetrieebene. Wird aber, wie in Fig. 88, die Kante MN 




Fig. 86. 



i 



Be^&rea Sjstein. 



durch die Fläche A schief abge- 
stumpft, dum sind jedenfalls die 
beiden PrismenflSaben M und JV von- 
einander Terschieden. 

Wir haben bieris also ein Mittel, 
am nnter Umständen, eventuell mit- 
tels des Goniometers, die Qleichheit 
oder Ungleichheit von Flächen fest- 
Eustellen, was manchmal auf Omnd 
ihrer phrnkalischen Beschaffenheit 



Fig. 87. 



Fig. 88. 



Bchvierig nnd in vielen Fällen mit voller Beitimmtheit Qberhanpt nicht möglich ist. 

Wenn t. B. an einem Oktaeder eine Fläche eine £ante gerade abstompft, so 
mOssen notwendig die beiden Oht&edetfl&chen einander gleich sein. Wenn an 
demselben Oktaeder nur acht von den EwOlf Kanten abgestumpft 
■ind, die vier anderen nicht (Fig. 89), dann sind jedenfalls dieae 
vier von jenen acht verschieden und das Oktaeder kann unmög- 
lich ein reguläres sein. Ob die letctAren acht Kanten alle unter- 
einander gleich sind oder nicht, kann nach dem Vorhandensein 
der Abatnmptogen allein nicht entschieden werden. Dam ist 
ea nOtig, die Winkel an ollen Oktaederkanten m messen. 

Anch hier macht indessen der rechte Winkel eine Ausnahme. 
Wenn mehrere Flächen eines Erystalls von einer Fläche senk- 
recht geschnitten werden, sind sie troti der gleichen Schnittwinkel "^- ™' 
nicht notwendig einander gleich. So sind in den (20) erwähnten Stamolitbkrystallen 
die Flächen m und o nicht einander gleich, obwohl sie von p nnter gleichen Winkeln 
geschnitten werden ; diese gleichen Winkel sind hier rechte (Fig. 17). 



D. Die Krystallsysteme. 
1. Re^lres System. 

(Tesserales, laometrischeB, knbisches System.) 

Das reguläre Krystallsystem nmfaßt alle Ei'yst&Uklafisen, die aof 
drei gleiche zueinander aenkrecbte Achsen bezogen werden kSnnen. 
Das reguläre Ächsenschema ist daher: 

o:a:a;-4a/a = 90". 
In demselben ist kein unbekanntes StUck vorhanden. Es ist also 
dnrch die Symmetrie allein ohne Winkelmessung bekannt, somit in 
allen regolären Erystallen dasselbe and von der Substanz unabhängig. 
Alle regulären Formen mit demselben Achsensusdmck mUssen daher 
genau dieselbe Gestalt (dieselben Flftcbenwinkel) haben. Auch sie 
sind durch die Symmetrie allein gegeben nnd werden von der Za- 
sammensetzang der Erystalle nicht beeinfinfit. Bei der gewShnlicfaen 
An&tellong ist eine der drei Achsen vertikal, die zweite geht tod vom 



110 BegoUi^TolUScIuge ElsMe. 

nach binten, die dritte liegt qaer von rechts nach links. Die drei 
AchBenebenen teilen den Ranni in acht gleiche Oktanten. Die Achsen 
Bind in den folgenden Figoren dnrch die strichpanktierten Linien und 
an ihnen die Flächen in ihrer spezielten Lage durch die Lidices an- 



Regulär-üollfläehige (hexakiBoktaedrisohe) Klasse. 
3 -|~ 6 = 9 Symmetrieebenen ; davon drei Hau/ptsymmetrie^enen 
parallel den drei Achsenebenen aa and sechs N^)ensyminetrieehenen, die 
dnrch eine Achse a gehen und den Winkel der beiden anderen Achsen a 
halbiren. 3 + 4 + 6 — 13 Symmetrieachsen, davon: drei vierzählige 
parallel den krystallographischen Achsen a (tetragonale Achsen), vier drei 
zählige za je drei Achsen a gleich geneigt (trigonale Achsen) nnd sechs 
zweizählige in den Achsenebenen aa, die Winkel je zweier Achsen a 
halbierend (digonale Achsen). Symmetriecentram vorhanden. Die drü 
Hauptsymmetrieebenen sind die Fundamentalflächen des Achaensystems. 

102. fünfkche Formell. 1. OTdaeder. Die Flächen schneiden 

von den drei Achsen gleiche Stücke ab, also solche, 

die sich verhalten wie: a-.a-.a; der Ausdruck des 

Oktaeders ist demnach : {a-.a-.a)^ (111). In jedem 

Oktanten liegt somit eine Fläche, also sind im ganzen 

acht vorhanden, welche sich in den Kanten unter 

Winkeln von 109" 28' 16", ober die Ecken unter 

70" 31' 44" treffen. In der idealen Form sind die Be- 

Fig. 90. grenzongsflächen acht gleichseitige Dreiecke, welche 

sich in zwßlf gleichen, zq je vieren in den Achsenebenen senkrecht 

zueinander liegenden Kanten und in sechs gleichen vierflächigen 

Ecken, durch welche die Achsen hindurchgehen, schneiden (Fig. 90). 

„Verzerrte" Oktaeder vgl. Fig. 19 und 20. 

Di« Oktaederflache iit die Einheitsflftclie des res^iläreii Systems. 
2. Hexaeäer (Würfel). Drei Flächenpaare stehen je auf einer Achse 
senkrecht, gehen also je den beiden anderen Achsen parallel (Fig. 91). 
Der Ausdruck ist daher: (a : oo o : oo a) = (100) nnd 
die sechs Flächen schneiden sich unter 90". In der 
idealen Gestalt sind die Flächen Quadrate. Jeder 
Krystall, der von drei aufeinander senkrechten glei- 
chen Fläcbenpaaren begrenzt wird, ist aber krystallo- 
graphisch ein Wtlrfel, auch wenn er z. B. die Form 
eines in die Länge gezogenen Prismas oder die einer 
~° " dünnen Platte etc. besitzt. Die zwölf Kiinten and die 

acht Ekdcen sind je alle gleich. Je vier Kanten sind einer der drei 
Achsen parallel. Diese stehen senkrecht auf je zwei gegenüberliegen- 



Einfiidie Formen. lU 

dm Flächen und gehen dnrch die Mitten von je zwei gegfenüber- 
liegenden Flächeu der Idealform. 

Die WUrfelflOcbeu und die FnndamentaMllcheii (AdiBenebenen) des regnlSren 
Systems; Bie sind paiaUel den drei Eanptsymmetrieebenen A (Fig. 33 und 47). Die 
Achsen entsprechen der Bichtnng nach den WUrfelkanten. 

3. Öranatoeder (Ehombendodekaeder). Die Flächen schneiden zwei 
Achsen gleich, die dritte im Unendlichen, der Äusdnick ist also : (a : a : oo a) 
= (110). Die zwölf Flächen bilden in der idealen 

Gestalt Bhomben, welche sich in 24 gleichen 

Kanten Ton 120 * schneiden. Außerdem sind 

sechs gleiche vierkantige and acht gleiche drei- 

bmtige Ecken vorhanden (S und 0) (Fig. 92). 

Über die vierkantigen Ecken H weg schneiden 

sich je zwei Flächen unter 90". Die Achsen gehen 

dnrcb je zwei gegenüberliegende vierkantige 

¥>^en H nnd sind den kurzen Diagonalen der fjg gg 

Flächen parallel 

Die FUchen dieees EOrpers sind den sechs Neben^ymmetrieebenen B piirallel 

Cie- «). 

Oktaeder, Hexaeder nnd Dodekaeder kann es nach der Lage der Flächen an 
den Achsen im regnlftren System nnr je eines gehen, d. h. alle Oktaeder, alle 
W&rfel etc, sind je unter einander in jeder Beziehung, besonders betreib der 
Flächen Winkel, gleich. Dies sieht man anch ans den Ausdrücken, in denen nnr kon- 
Btante Ableitangszahlen 1 und oo (Indices 1 und 0) vorkommen. In den Anadrüoken 
der nächstfolgenden Körper kommen variable Ableitungsiahlen (Indices) vor, für die 
man beliebige rationale Zahlen einsetzen kann. Jeder anderen solchen Zahl ent- 
spricht eine in der allgemeinen Gestalt den anderen analoge, in den WinkelTOrhält^ 
Bissen aber Teischiedene Form. 

4. TetraJäshexaeder (Pyramidenwfirfel). Die Flächen gehen einer 
Achse parallel und schneiden von den beiden anderen Achsen ungleiche 
Stficke ab. Dies entspricht dem Flächenausdruck : (a : nta : oo a) 

= {-la-.ooa) = (mlO) oder allgemein: (äSO), z. B. (210), (310) 

(320) etc. Die 24 von der Symmetrie geforderten Flächen sind in der 
Idealform gleichschenklige Dreiecke. Sie sind so gruppiert, daß sie zu 
je vieren niedere Pyramiden Über den Flächen 
eines Würfels machen, den man sich einbe- 
Bchrieben denken kann (Fig. 93). Zwölf gleiche 
längere Kanten H sind den Achsen parallel und 
liegen genau so gegeneinander, wie die zw5U 
Kanten eines Würfels (Fig. 91). 24 andere gleiche 
kürzere Kanten P bilden die vierseitigen Pyra- 
miden über den Würfelflächen. Acht gleiche 
3-1- 3 kantige Ecken E liegen wie die Würfel- p- gg 

ecken ; sechs gleiche vierkantige Ecken W bilden 



X12 Be^nl&r-vollflSchige Elaue. 

die Spitzen der Pyramiden und liegen wie die OktaedereckeD; dnrclt 
sie geben die drei Achsen a. 

Die Neigungswinkel der FlSchen in den Kanten H und P hingen von der 

QiOQe von ffi (resp. von h and k) ab, und nmgekebrt; m (resp. -^) bann ans einem 
in S oder P gemessenen FlKcbeawinkel berechnet werden. Fflr alle Werte Ton m 
(resp. -j-) bleibt die allgemeine Gestalt des ECrpen dieselbe, nur die relative Habe 
der Pyramiden &ndert eich entsprechend den FlBcbenwinkeln. 

5. Xkosüetraeäer. Die Flächen schneiden eine Achse in kleinerer, 
die beiden anderen in gröSerer, aber gleicher Entfernung, der Ans- 

drudt ist also: (a:ma: mä) (m >■ 1) oder -= (— : o : a) ^ (m 11) oder 

allgemein (AÄfc) ft > ft, z. B. (211), (311), (322) etc. Die Symmetrie ver- 
langt 24 Flächen von dieser Lage an den Achsen. In der idealen Qe- 
stalt bilden sie symmetrische Vierecke (Deltoide), welche zu dreien in 
den einzelnen Oktanten liegen. Sie schneiden sich in 24 in den 
Achsenebcnen gelegenen längeren Eanten 0, den sog. gebrochenen 
Ottaederkanten (Fig. 94) und in 24 kürzeren Kanten P, den sog. ge- 
brochenen Wtirfelkanten. Die Ecken sind dreierlei: acht dreikantige 
Ecken A liegen wie die Würfelecken in der Mitte der Oktanten; 
sechs Tierkantige Ecken B liegen wie die Oktaederecken auf den 
Achsen, und zwölf 2 + 2 kantige Ecken C liegen in den Achsenebenen 
in der Mitte zwischen je zwei Ecken B. Durch B gehen die Achsen. 

Mit der Zahl m resp. mit -r- findem eich die Flächenwinkel und damit in 

etwas die Gestalt. Die Fig. 94 entspricht dem Anednick (211); Fig. 9ö dem Ana- 
drick (311). 

Eine gaoE ftboUche Form wie 
-■>• Fig. 94 findet man beim Leucit 

{Fig. 211], wo man es aber mit 
einer pseudoregulären Combina- 
tion des qnadratiachen Systems 
zu tun hat. Diese Fonn wnrde 
früher für ein wirkliches regnl&rea 
Ikositetraeder gehalten, welche 
Form darnach Lettcifoeder ge- 
nannt wnrde (80, 134). 
Fig. 94. Fig. 95. 

6. Triakisoktaeder (Pyramidenoktaeder). Jede der Flächen schneidet 
zwei Achsen gleich, die dritte in größerer Entfernung, der Ansdmck 
ist also: (a : a : mä), wo w >■ 1 oder: (m m 1) oder allgemein (hhk), 
A> Ä, also z. B. (221), (331), (332) etc. In äer idealen Form (Fig. 96) 
sind die Flächen, von denen aach hier der Symmetrie nach 24 vor- 
handen sein mflssen, gleichschenklige Dreiecke, welche dreiseitige 
niedere Pyramiden über den Flächen des Oktaeders bilden, das man 



VolUftchige Kluae. 1]3 

sich einbeschriebeD denken kann. Zwölf läng^ere b 

Kanten entsprechen in ihrer Lage dorchaus 

den zwölf Kanten und sechs 4 + 4kantige Ecken 

E den Ecken den Oktaeders. AuSerdem sind 

noch 24 gleiche kürzere Pyramidenkanten P nnd 

acht 3 kantige Pyramidenecken J von der Lage 

der Wörfelecken vorhanden. Die Achsen gehen 

durch die Ecken E. 

Di« Hüben der PyruniaeD (d. h. die Fl&cheDwinkel ^S- ^' 

in P und 0) ändern sich mit der Zahl m (resp. -r-), welche nun aas Jenen Winkeln 
berechnen kann, nnd omgekehrt. 

7. BexdkiaoUaeder (Achtundvierzigflächner). Die Flächen schneiden 
alle Achsen ungleich, der Ausdruck ist also : {ma :na:pa) oder = ( r ' y ' T^ 
= (hkl), wo A > i > I, z. B. (321), (421) etc. Die Flächen, 48 an der 
Zahl, bilden ungleichseitige Dreiecke (Fig. 97), ,„„ 

welche sich in 24 gleichen Kanten K in den 
Achsenebenen (gebrochene Oktaederkanten) nnd in 
je 24 Kanten L und M schneiden. In der idealen 
Form sind die Kanten M die längsten, L die 
kilrzesten. An Ecken sind rorbanden : sechs 
4 4-4kantige sog. Oktaederecken E, durch welche 
die Achsen gehen, acht 3 -|- 3kantige in der 
Mitte der Oktanten (Wttrfelecken) und zwölf Fig. 97. 

2 -}- 2kantige G in den Achsenebenen. 

Die Fl&chenwinkel in £, L nnd M ändern sich mit m nnd n, reep. mit -j- 
nnd y. Hanchmal nnd die Flächen bo grappiert, daO sie en je vieren niedere 

Pyramiden anf den Flächen eine« Oranatoedars bilden, mit deaeen Kanten ImI 
manchen Werten von m nnd n (resp. h, k, l) die Kanten M EOBammenf allen ; dies 
sind die sog. Pyramidengranafoeder. Die Bedingung luerfflr ist; h^=k-{-l, %. B. 
{321}, (431), (632) etc. 

Andere einfache KOrper als diese sieben sind in der Tollflächigen Klasse des 
regulären Syatema nicht mOglich. Weder lassen sich andere Lagen der FlKchen gegen 
die Achsen angeben, als jene sieben, noch andere FlächenansdrQcke, welche von jenen 
sieben wesentlich verschieden wären nnd nicht durch Mnltiplihation oder Division 
der Indicee mit einer geeigneten Zahl anf sie EtuttckgefUhrt weiden könnten. £la 
kann also keinen anders gestalteten einfachen EOrper mit den nenn Symmetrieebenen 
der genannten Klasse geben. Alle diese sieben KGrper sind anch, teils selbständig, 
teils in Kombinationen voTkommeud, an Krystallen tats&chlich beobachtet worden. 

Das Eexakisoktaeder ist der flBchenreichste einfache regnläre KOrper nnd auch 

der aUgemeisste, als dessen spezielle Fälle die anderen angesehen werden künnen. 

So kann man sich e. B. ein Ikoaitetraeder als ein Hexakisoktaeder vorstellen, in 

dessen Kanten M die anstoßenden Flächen einen Winkel von 180" machen, d. h. 

Baasr, KioeraloclB. 8 



114 Beguläres Erystallsystem. 

in eine Ebene zusammen fallen ; beim Pyramidenoktaeder fallen die in den Kanten L 
zusammenstoßenden Flächen in eine zusammen ; beim Oktaeder alle nm eine Ecke 
hemmliegenden Flächen etc. Diesen Änderungen entsprechend ändert sich selbst- 
verständlich jedesmal der Ausdruck des Hexakisoktaeders und geht in leicht yer- 
ständlicher Weise in den des betreffenden speziellen Körpers über. Diese Auffassung 
des Zusammenhangs sämtlicher yollflächig-regulärer Formen ist namentlich bei der 
Ableitung der hemiedrischen Formen aus jenen oft von Wichtigkeit. 

103. Naumannsclie Bezeicliiinng und Übersicht. Nach der 
Naumannschen Bezeichnungsweise werden nicht einzelne Flächen einer 
einfachen Erystallform, sondern die ganzen Foimen in den Zeichen 
(Symbolen) dargestellt Man geht dabei von dem Oktaeder aus. Eine 
Oktaederfläche wird im Endpunkt einer Achse a festgehalten und so 
nach außen gedreht, daß sie entweder von einer oder von beiden 
anderen Achsen größere Stücke abschneidet, als von der ersten. Auf 
diese Weise kann man offenbar jede überhaupt mögliche Lage der 
Fläche, also die Lage der Flächen für alle oben betrachteten Körper 
erhalten. Jedesmal trifft die Fläche die eine Achse, in deren Ende sie 
festgehalten wird, in der Entfernung a, die beiden anderen Achsen in 
je nach der speziellen Lage der Fläche verschiedenen Entfernungen 
gleich oder größer als a. Naumann bezeichnet nun das Oktaeder mit 
und alle anderen regulären einfachen Formen dadurch mit Hilfe des 
Buchstabens 0, daß er die auf die zwei letztgenannten Achsen bezüg- 
lichen Ableitungszahlen vor und hinter setzt Eine etwaige Ab- 
leitungszahl 1 wird dabei fortgelassen. Die dritte Ableitungszahl, 
welche nach dem Obigen stets = 1 ist, braucht als selbstverständlich 
nicht geschrieben zu werden. Danach ist allgemein : mOn = a:ma:nay 
wo m >> n >> 1 sei; und speziell z. B. SOf = a : 3a : fa; 202 = 
a : 2a : 2a; 30 = a : 3a : a oder a:a: 3a; oo02 = a : ooa : 2a oder 
a : 2a : oo a etc. und entsprechend : = a:l.a:l.a = a:a:a. 

Im folgenden ist eine Übersicht über jene sieben einfachen 
Körper des regulären Systems je mit der betreffenden Bezeichnung 
nach Miller und Naumann gegeben : 

1. Oktaeder: — a:a:a = (111). 

2. Würfel: ooOoo = a : oo a : oo a = (100). 

3. Granatoeder : ooO = a : a : ooa «= (HO). 

4. Tetrakishexaeder : oo On = a :na : ooa oder (ääO) 

z. B.: oo02 = a : 2a : ooa = (210). 

5. Ikositetraeder : mOm =^ aima: ma oder (hJck) h^k 

z. B.: 3 03 = a : 3a : 3a = (311). 

6. Triakisoktaeder : mO = a:a:ma oder = {hhk) h'^k 

z. B.: iO = a : a : |a = (332). 

7. Hexakisoktaeder : fnOn=^a imaina oder (hM) ä >> i > Z 

z. B.: 3 0| = a : |a : 3a = (321). 



Tollflftchige Kluge. 



115 



104. Komblnatloiieii. Das allgemeine Über die Kombinationen 
ist schon oben (92 S.) gesagt, wo aach bereits einige regulär-Toll- 
fi&chige Kombinationen speziell besclirieben worden sind. Danach 
wird das folgende leicht vei'Ständlich sein. Die jo den folgenden 
Kombinationen vorkommenden einfachen Formen sind anf den Abbil- 
dungen mit Naumanngchen Zeichen angegeben (vergl. auch (97)). 

Das Oktaeder in Kombination mit dem Würfel stampft dessen 
Ecken ab (Fig. 100) and ebenso amgekehrt (Fig. 98). Beide Formen 




Fig. 98. 



Fig. 99. 



Fig. 100. 



bilden dieselbe Kombination, bei Fig. 98 ist das Oktaeder, bei Fig. 100 
ist der Würfel groß und der Träger der Kombination ; zwischen beiden 
steht die in Fig. 99 abgebildete Form dieser selben Kombination, 
der sog. Mittelkrystall oder das Knbooktaeder, in der Mitte. 

Das Granatoeder stampft am Würfel die Kanten gerade ab (Fig. 101), 
nmgekehrt der Würfel am Granatoeder die vierkantigen Ecken (Fig. 102). 





Fig. 101. 



Fig. 102. 



Fig. 103. 



Fig. 104. 



Änch diese beiden Fignren stellen mithin die gleiche Kombination, 
die des Würfels mit dem Granatoeder dar. Das Grematoeder stumpft 
anch am Oktaeder die Kanten gerade ab (Fig. 103) und umgekehrt 
dieses an jenem die dreikantigen Ek^ken (Fig. 104). Sind Oktaeder, 





Fig. 106. Fig. 106, Fig. lOJ. 

Wvrfü und Qrancdoeder miteinander kombiniert, so entstehen" die 
Formen, welche in Fig. 105 — 107 dargestellt sind. Der Reihe nach 



l][g ItepilBrei EiystallBystem. 

sind bei ihnen das Granatoeder, das Oktaeder, der Wtlrfel die Träger 
der Eombination. 

Die Fig. 108 zeigt den Pyramidetucürfel in Kombination mit dem 
Würfel Ersterer schärft die Kanten des letzteren zu, letzterer stampft 
die Tierkantigen Ecken des ersteren ab. In Fig. 109 ist die Kom- 




Kg. 108. Fig. 109. Fig. 110. 



bination des Würfels, des Oktaeders, des Granatoeders und eines ^a- 
midenoktaeders, etwa 20 (221) dargestellt. Die gegenseitige Lage der 
erstgenannten drei Körper ist aus Fig. 106 bekannt; das Pyramiden- 
oktaeder scbfirfl im allgemeinen die Oktaederkanten zu, hier stumpft 
es dementsprechend die Kombinationskanten zwischen Oktaeder und 
Granatoeder ab und zwar notwendig schief (98). Fig, 110 stellt die 
Kombination eines Ikosüetraeders mit dem Würfel dar. Die Ecken 
des letzteren werden von den Flächen des ersteren von den Flächen aus 
zugespitzt. Fig. 111 gibt das Granatoeder, dessen Kanten durch 




Fig. 111. Fig. 112. Fig. 113. 

das Ikositetraeder 202 (211) gerade abgestumpft werden. Das Hexa- 
kisoktaeder 30^(321) schärft die Oranaloederkanten zu nnd stumpft 
die aus Fig. 111 bekannten Kombinationskanten zwischen den Flächen 
von ooO und 202 schief ab (Fig. 112). Die Würfelechen werden von 
den AcMundmereigflächnem, z. B. 402 (421), sechsflächig zugespitzt 
(Fig. 113). Schon oben wurde die Kombination des Oktaeders mit 
dem Ikositetraeder (Fig. 85) und mit dem Eexakisoktaeder (Fig. 86) 
beschrieben. 

104a. Kombinationen (FortMtiniig). Qrappieren wir die EombinfttioDen nach 
den TrSgern -derselben, ao erhalten wir das folgende: Der Würfel mit abgeatiunpfl«n 
Ecken (Fig. 100) ist die Kombination mit dem Oktaedecj mit abgestumpften Kanten 
(Fig. 101) die mit dem Granatoeder; mit abgestampften Kanten und Ecken die mit 
dem Oktaeder und dem Granatneder (Fig. 107); mit sngeachärften Kanten die mit 



Yoim&chige Klasse. 117 

eiBem Pyramidenwürfel (Fig. 108) ; mit von den Flächen aus dreiflächig mgespiteten 
Ecken (Fig. 110) die mit einem Ikositetraeder ; mit sechsflächig zugespitzten Ecken 
die mit einem Hexakisoktaeder (Fig. 113) etc. 

Das Oktaeder mit abgestumpften Ecken (Fig. 98) ist kombiniert mit dem Würfel ; 
das mit abgestumpften Kanten (Fig. 103) mit dem Granatoeder ; das mit abgestumpften 
Kanten und Ecken (Fig. 106) mit dem Würfel und dem Granatoeder; das mit vier- 
flächig von den Flächen aus zugespitzten Ecken (Fig. 85) mit einem IkositetraSder; 
das mit achtflächig zugespitzten Ecken mit einem Hexakisoktaeder (Fig. 86) etc. 

Am Oranottoeder bewirkt der Würfel die Abstumpfung der vierkantigen Ecken 
(Fig. 102); das Oktaeder die der dreikantigen Ecken (Fig. 104); die der drei- und 
der vierkantigen Ecken gleichzeitig der Würfel mit dem Oktaeder (Fig. 105); die 
Abstumpfung der Kanten stellt die Kombination mit dem Ikositetraeder 202 (211) 
dar (Fig. 111) und, wenn noch die Kanten zwischen den Flächen des Granatoeders 
und dieses Ikositetraeders abgestumpft sind (Fig. 112), dann tritt zu diesen beiden 
noch ein Achtundvierzigflächner und zwar ein solcher aus der Gruppe der Pjramiden- 
granatoeder. Diese letztere Kombination ist oft am Granat zu beobachten, wo dieser 
Achtundvierzigflächner den Ausdruck: 30% (321) zu haben pflegt. 

Für die übrigen einfachen regulären Formen ergeben sich nach dem Obigen 
die Verhältnisse leicht von selbst. 

104 b. Entwieklung regalirer Komblnatioiieii. Die regulären 
Eombinationen sind leicht zn entwickeln, d. h. die daran beteiligten 
einfachen Formen sind leicht zn bestimmen, wenn deren Anzahl nicht 
zu groß ist. Manchmal sind die Erystalle aber sehr kompliziert, so- 
fern sich oft nicht nur alle oder doch die meisten der sieben ein- 
fachen Formen im allgemeinen miteinander vereinigen, sondern auch 
von denen mit veränderlichen Ableitungszahlen m resp. n mehrere 
mit verschiedenem Ausdruck also z. B. mehrere Ikositetraeder, mehrere 
Pyramidenwürfel etc. nebeneinander vorhanden sind. Dann ist die 
Bestimmung der einzelnen Formen unter Umständen schwierig, nament- 
lich wenn noch starke Verzerrung dazu tritt. Die Symbole aller 
Formen lassen sich dann nicht ohne eingehende Beobachtung der 
Zonen am Goniometer und ev. umfangreiche Winkelmessung und Be- 
rechnung ermitteln. Handelt es sich aber nur darum, die Zugehörig- 
keit der einzelnen Flächen zu der oder jener der einfachen Formen 
im allgemeinen aufzusuchen ohne auf die speziellen Werte der Ab- 
leitungszahlen m und n einzugehen, dann fuhrt auch in komplizierten 
Fällen die Zonenbeobachtung mit bloßem Auge unter Berück- 
sichtigung der Symmetrieverhältnisse häufig zum Ziel. Die" Flächen 
des Würfels, des Oktaeders und auch des Granatoeders lassen sich, 
wenn sie vorhanden sind, meist unschwer an ihrer Zahl und Anord- 
nung erkennen, und man kann auch gewöhnlich, selbst wenn sie nicht 
zur Ausbildung gelangt sind, was aber bei flächenreichen Krystallen 
fast nie der Fall ist, ihre eventuelle Lage angeben. Dann sind 
aber auch die drei Achsen bestimmt und aus ihnen folgen die Symbole 
der anderen Flächen nach den Symmetrieverhältnissen. Bei solchen 
Untersuchungen kann man auch von den folgenden leicht verstand- 



118 Regnläres Erystallsystem. 

liehen Regeln vorteilhaften Gebrauch machen: Die Ikositetraeder- 
flächen liegen zwischen den Flächen des Oktaeders und Würfels und 
mit ihnen in derselben Zone. Die Flächen der Pyramidenoktaeder 
liegen in derselben Zone, aber zwischen denen des Oktaeders und 
Granatoeders. Die Flächen der Pyramidenwürfel liegen zwischen 
denen des Würfels und des Granatoeders. Die Flächen der Hexa- 
kisoktaMer liegen in keiner dieser Zonen. Diese Beziehungen der 
einfachen vollflächig-regulären Formen zueinander werden durch das 
folgende Schema übersichtlich dargestellt: 

fnO\ ymOm 

I \ 

ooO cxDÖn ooOoo 

Aus der Lage der Flächen sieht man auch häufig ohne weiteres, 
wie viele von derselben Art vorhanden sein müssen, was die weitere 
Bestimmung erleichtert, wenn dadurch nicht schon allein die Ent- 
scheidung gegeben ist. 

Ganz analoge Betrachtungen führen bei der Entwicklung regulär- 
hemiedrischer Kombinationen und solcher anderer Erystallsysteme zum 
Ziel. Es soll daher bei ihnen nicht mehr ausführlich darauf einge- 
gangen werden. 

Beispiele: In der regulären Kombination des Bleiglanzes (Fig. 109) sieht man 
ohne weiteres, daß die Flächen dem Oktaeder, cxsOoo dem Würfel nnd ooO 
dem Granatoeder angehören. Nach den zuletzt erwähnten Eegeln ist 2 ein Pyra- 
midenoktaeder, denn die Flächen liegen zwischen denen des Oktaeders nnd Granatoeders 
in der Zone derselben, was aus den paraUelen Kanten hervorgeht. Der allgemeine 
Ansdmck der Flächen 2 ergibt sich auch ans folgender Betrachtung. Die Achsen 
stehen senkrecht auf den Wüifelflächen oo oo. Von zweien dieser Achsen muß jede 
der Flächen 2 gleiche Stücke abschneiden, da sonst die Symmetrie nach den Neben« 
symmetrieebenen gestört wäre. Von der dritten Axe muss dieselbe Fläche ihrer 
Lage nach ein größeres Stück abschneiden, als auf den beiden anderen, da sie sonst 
mit der anstoßenden Oktaederfläche zusammenfaUen oder mit ihr einen einspringen- 
den Winkel machen würde. Der Ausdruck der Fläche 2 ist danach im allgemeinen: 
a:a:ma (m}>l), also der eines Pyramidenoktaeders. Der spezielle Wert der Ab- 
leitungszahl m folgt durch Bechnung aus dem Winkel, den eine Fläche 2 mit 
einer bekannten Fläche des Krystalls, also etwa mit einer Oktaederfläche macht. 
Daß die Flächen 2 in der Zahl von 24 vorhanden sein müssen, geht aus ihrer 
Anordnung hervor: um jede der acht Oktaederflächen liegen ihrer 3; an jeder der 
sechs Würfelflächen liegen acht, wobei aber zu bedenken ist, daß jede Fläche 20 
gleichzeitig an zwei Würfelflächen angrenzt. 

In Fig. 113 a ist ein flächenreicher Krystall von Rotkupfererz abgebildet. 
Auf den ersten Blick lassen sich die Flächen p als die des Oktaeders, femer a als 
die des Würfels, somit m als die des Granatoeders erkennen. Daß n ein Pyramiden- 
oktaeder ist, folgt aus dem eben betrachteten einfacheren Beispiele. Von den Flächen 
b schneidet jede der Symmetrie zufolge auf zwei der zu den Flächen a senkrechten 
Achsen gleiche Stücke ab und zwar größere als auf der dritten. So schneidet z. B. 



Tetnedrieohe Hetniedrie. HQ 

die aber p liegende FlSche b von den beiden bomontftlen Achnen gleiche Stflcke ab, 

die Dotbwendig grOOer sein nttUseu, als das aof det Tertikalen Achse abgeschnittene. 

b hat daher des Ansdmck : ma : ma : a, m ^ 1, ei 

ist also ein Ikositetraeder. Dies ergibt sich 

auch dsTSDi, daß die FUchen b zwischen den 

Wflrfeiatchen a und den OktaederflAchen p in 

deren Zone liegen. 6' mni) einem iweiten stnmp- 

feren Ikositetraeder angehSren, etwa mit dem 

Aosdrack: 303, wenn 6 den Aasdmck 202 

hatte. Ähnliche Betracht nngeo xeigen, daß e ' 

die Flfichen eines PyrsmidenwUrfels dnd: sie 

liegen zwischen den Flachen des Wflrfels a and 

des Qranaloeders m in deren Zone, de gehen 

ihrer Lage nach einer Achse parallel und schneiden 

Ton den beiden anderen Achsen ungleiche Stücke 

ab, was den Ansdrack ; a : ma : oo a ergeben wttrde. 

Die Flachen n, b, b' und e mOssen in der Zahl £^. 113a. 

von 24 vorhanden sein. Die Flachen « liegen in 

keiner der oben betrachteten Zone, de sind 4Sn]al vorhanden and begrenzen ein 

Hexakisobtaeder. 

Hemiedrische Klassen. 

Es sind dreierlei H^niedrien des regulären Systems mOglich und bekannt, die 
durch Verschwinden je einer Gruppe von S^metrieebenen oder beider Gmppen 
glrichzeitig ans der voltfl&chigen Klasse abgeleitet werden können. 

1. Tetraedrische Heniiedrie, die drei Eanptsjmmetrieebenen verschwinden. 

2. Pjritoedrische Hemiedrie, die sechs Nehensymmetrieebenen verschwinden. 

3. G;roedriache Heniiedrie, alle Symmetrieebenen verschwinden gleichcdtig. 
Nnr die beiden erstgenannten flemledrien sind verbreitet nnd h&nfig; sie 

sollen dahn hier allein ebgehender betrachtet werden. 



Tetraedriaefi-hemledrisehe (hexakistetraedrische, tetraedrische, geneigt- 
fläohig-fiemiedrischej Klasse. 

Die drei Hauptsymmetrieebenen sind verschwunden, mit ihnen 
die sechs zweiz&hligen (digonalen) Symmetrieachsen nnd das Symmetrie- 
centrnm. Gfeblieben sind die sechs Nebensymmetrieebenen, nnd die 
vier dreizfthligen (trigonalen) Symmetrieachsen, sowie die drei Symme- 
Irieaxen parallel den drei krystallographischen Achsen a; diese sind 
nun aber nicht mehr vlerzählig, sondern sie sind zweiz&hlig geworden. 

105. Gesetz der tetraedrlschen Heniiedrie. Nach dem Gesetz 
der tetraedrischen Hemiedrie verhalten sich die sämtlichen P^lächen 
eines nnd desselben Oktauten gleich and die in den abwechselnden 
Oktanten verschieden, wie die Schraffierung an dem Hexakisoktaeder 
(Fig. 114) zeigt Uan sieht hieraus ohne weiteres, dafi die drei die 
Oktanten scheidenden Hanptsynunetrieebenen hier nicht mehr als 
solche fon gieren, daffegen bleiben die sechs tlber die Oktanten hinweg- 



X30 Begnllres ErjttallsfBtem. 

geheoden nad sie symmetrisch teilenden NebensymmetrieebeDen aach 
hier noch Symmetrieebenen. 
Eine sofort erkennbare Folge 
dieses Gesetzes ist auch, daß 
alle drei vierzähligen Symme- 
trieachsen nnn zweizählig ge- 
worden nnd die sechs zweizäh- 
UgenSymmetrieachsenvollkom- 
pj 1^4 pig 115 men weggefallen sind, während 

die vier dreizähligen Symme- 
trieachsen auch hier existieren. Endlich mnß das Symmetriecentmm 
verschwinden, da zu jeder Elächengmppe die parallele in dem diame- 
tral gegenßberliegenden Oktanten verloren geht; die tetraedrische 
Hemiedrie ist eine geneigtflächige. 

106. Elnfaelie Formen der tetrsedTlBch-hemiedrlschen Klasse. 

Jede Hälfte der Flächen einer einfachen vollflächigen Form gibt im 
allgemeinen eine neae halbflächige. Die beiden korrelaten hemi- 
edrischen Formen sind stets kongruent nnd lassen sich durch Drehung 
nm jede der drei Achsen nm 90^ znr Deckung bringen. 

Aus jedem HexakisoUaeder entstehen zwei correlate Hexahstetra- 
eder (Fig. 116), die man als -|- und — ant«rscheidet Dire Fonn ist 





Figr. 116. 

die eines Tetraeders, Über dessen vier Flächen sich Pyramiden von je 
sechs, nämlich den in den abwechselnden Oktanten erhalten ge- 
bliebenen Flächen, erheben. Diese schneiden sich in den abwechselnd 
kOrzeren nnd längei-en Kanten M und L, die den erhalten gebliebenen 
Kanten entsprechen (Fig. 116, wo das von den schraffierten Flächen 
in Fig. 114 begrenzte Heiakistetraeder besonders abgebildet ist). Ton 
jeder der beziehungsweise gleichen Kanten M nnd L sind in jedem 
der abwechselnden Oktanten drei, im ganzen also zwölf vorhanden. 
AuBerdem finden sich noch zwOlf gleiche Kanten N, in denen sich 
die vorhandenen Flächen aber die verschwundenen hinweg schneiden. 
Die vier 3 + 3kantigen Ecken sind die bestehen gebliebenen Aber 
den Mitten der abwechselnden Oktanten. Die sechs Ecken E an den 



Tetnedrische Hemiedrie. 121 

Enden der Achsen siad nun 2 -|- 2kantig geworden. Änßerdem sind vier 
3 4- Skantige Ecken R über den Oktanten mit den Terschwnndenen 
Flächen nea entstanden. Die sechs 2 -|- 2 kantigen Ecken E tut- 
sprechen in der Lage genau den sechs 4 -j- 4 kantigen Ecken (Fig. 97) 
des Hexakisoktaeders. Wie durch die letzteren die Achsen hindurch 
geheu, so gehen sie auch beim Hexakistetraeder durch je zwei gegen- 
flberliegeude Ecken E. Das Symbol der beiden ans dem Hezakisokta- 
eder mOn oder {hkl) nach obigem Gesetz abgeleiteten Hexakistetraeder 

ist: -| — s— und jj— oder: + "(ä^) nnd — x(ßl) . x dient nur zur 

Andeutung der Hemiedrie; wo diese anderweitig unzweifelhaft ange- 
dentet ist, kann x auch wegbleiben. Die Indices der einzelnen Flächen 
der beiden korrelaten Hexakistetraeder im Vergleich mit dem Hexa- 
kisoktaeder ergeben sich aus Fig. 114 und 115. 

Ans den Terhältnissen des Hexakisoktaeders folgen die Flächen- 
Terteilnng and die Bezeichnung der tetraedrisch - hemiedrischen 
Körper, die aus den anderen regnlären Holoedern sich ableiten lassen, 
von selbst 

Das Oktaeder (lll) gibt zwei korrelate Tetraeder + -gUnd — -5- 

oder -\- x(lll) und — "(^ll)' welche stets von yier gleichseitigen Drei- 
ecken begrenzt werden. Diese schneiden sich in den sechs gleichen 
Kanten unter Winkeln Ton 70" 32' (den Winkeln, unter denen sich 
zwei Flächen des Oktaeders Über eine Ecke hinweg schneiden) und 
bilden vier gleiche Ecken. Die Achsen gehen durch die Mitten Ton je 
zwei gegenüberliegenden Kanten, welche sich unter 90 <> kreuzen 
(Fig. 117 — 119). Die Kauten des einen Tetraeders schneiden in der 




Pig. 117. Fig. 118. Fig. 119. 

NormalstelluDg die Kanten des korrelaten an den Enden der Achsen 
rechtwinklig. 

Jedes Jkosiietraeder mOm {hkk) gibt zwei TrvUäd^raeder (Pyra- 
midentetraeder): -i-~! oder + x(Wvt) z. B. +^ = -f x(211) und 

die entsprechenden negativen Formen der anderen Stellung: 5— 



122 Begiil&rea RrjBtdlijsttiii. 

oifsc ~K(kU);z.B.— ~ = — x{2h) (Fig. 120). Daneben giebt 




Fig. 120. 

Fig.121 die Indices der einzelnen Flächen des sclirafflei-ten Triakistetni- 
eders nnd im Vergleich mit Fig. 94 anch die des korrelaten. Die Triakis- 
^ tetraeder haben die Gestalt eines Tetraeders, Ober 

3 ' i dessen Flächen sich niedrige dreiseitige Pyra- 

miden erheben. Die sechs langen Kanten Q 
liegen genan wie die Kanten eines Tetraeders 
nnd je zwei gegenKber liegende kreozen sich wie 
dort rechtwinklig. Sie entstehen dnrch den Schnitt 
zweier an den Enden der Achsen in einer Tierkan- 
tigen Ecke gegenüberliegenden Flächen des Diosi- 
tetraeders, wenn die beiden anderen in dieser Ecke 
zusammenstellenden Flächen bei der Hemiedrie wegfallen. Die Uitten 
der Kanten Q entsprechen somit den vierkantigen Ecken des Ikositetra- 
eders; durch sie gehen die Achsen hindurch. Die zwölf gleichen Pjra- 
midenkanten P sind die Kanten, in denen sich die bei der Hemiedrie 
bleibenden IkositetraederflELchen schneiden. Diese bilden die vier 
gleichen dreikantigen Ecken Ä, während in den vier gleichen 3 ■}- 3kan- 
tigen Ecken S sechs Flächen ober den verschwindenden Oktanten zn- 
sammenstofien. 

Jedes Tridkiadktaeder mO{hh]t) giebt zwei DeMoeder (Deltoiddode- 

kaeder) : -| — g- oder + ><äAä) nnd g- oder — xQM) ; 



Fig. 121. 



+ x(221)und- 



; 1!. B. -i- - 



Fig. 122. 

-x(221) (Fig. 122). Diese Figuren in Verbin- 




Tetnedriach« Eemiediie. 



123 




Fig. 123. 



dnng mit der Fig. 123, in der eines der Deltoiddodekaeder mit den 

IndiceB der Flächen, sowie mit der Bezeiclinniig 

gleicher Kanten ond Ekkeu besonders dargesteUt 

ist geben unter BerückBichtigung des Torstehenden 

die Verhältnisse der Deltoiddodekaeder ohne weitere 

Beschreibung. 

Die übrigen holoedrischen Körper, der Wörfel, 
das Granatoeder und die Pyramidenwürfel, werden 
nach dem Gesetz der tetraedrischen Hemiedrie nicht 
verändert Da jede ihrer Flächen in zwei Oktanten 
zugleich liegt, so müßte, wenn die in dem einen Oktanten liegende 
Flficbenhälfte aach Terschwinden würde, sie doch durch die sich ans- 
dehnende andere Hälfte derselben Fläche in dem anstoßenden Oktanten 
wieder ersetzt werden, wie das z. R Fig. 124 am Granatoeder zeigt (75). 
Diese Körper treten also bei den tetraedrischen 
Kombinationen mit ihrer ganzen Flächenzahl auf. 
Es besteht aber auf diesen Flächen keine Symme- 
trie mehr nach den verloren g^angenen Symme- 
trieebenen, beim Granatoeder in der Richtung der 
großen Diagonalen, wie es z. B. die Ätzflgnren 
(200) zeigen. Analog ist es beim Würfel und 
Pyramidenwürfel. Fig. 124. 

I(y7. Tetraedrische Kombinationen. Nar Formen der tetra- 
edrisch-hemiedrischen Klasse vereinigen sich zu solchen Kombinationen. 
Hierher gehört aber, anSer dem Tetraeder, Pyramidentetraeder, Del- 
toiddodekaeder und Hexakistetraeder auch der Würfel, das Granato- 
eder und der Pyramidenwürfel, die ihre Gestalt beibehalten und daher 
gleichzeitig der holoedrischen und der tetraedrisch - hemiedrischen 
Klasse angehören. Kombinationen entstehen hier wie bei vollflächigen 
Krystallen : die Achsen der zusammentretenden einfachen Gestalten sind 
parallel. Doch hat man hier die Formen der Stellung nach zu unter- 
scheiden, da z. B. das Tetraeder der einen Stellung von dem der an- 
deren Stellung wesentlich verschieden ist, wie sie aach bei gleich- 
zeitigem Auftreten an demselben KrystaU von physikalisch ver- 
schiedenen Flächen begrenzt sind. 

Die beiden Tetraeder stump- 
fen aneinander die Ecken ab (Fig. 
125). Wenn beide ins Gleichge- 
wicht treten, so ist ihre Kombina- 
tion geometrisch identisch mit dem 
Oktaeder; der wesentliche Unter- 
schied ist aber der, daß beim 
Oktaeder alle Flächen einander 




124 



Regnläres ErTitallsratem 







gleich, bei der Kombination: + -ö - — -ö ^^^'^ ^^^ Flachen + g- tob 
den Flächen — -^ verBchieden sind (Fig. 126). 

Der Würfel stumpft die 
Tetraederkanten ab (Fig. 127), 
umgekehrt ein Tetraeder die 
abwechselnden Würfelecken 
(Fig. 128). Das Granatoeder 
spitzt die Tetraedereeken von 
den Flachen aus zu (Fig. 129), 
nnd umgekehrt stumpft das 
Tetraeder die abwechselnden 
dreikantigen Ecken des Gra- 
natoedera ab (Fig. 130). 

Das Tetraeder stumpft am 
Pyramidentetraeder der glei- 
chen Stellang die Pyramiden- 
ecken ab und omgekehrt schärft 
das letztere die Kanten des 
ersterenzu(Fig.l31). Dagegen 
stumpft das Tetraederder einen 
Stellung die 3 -|- 3 kantigen 
Ecken des Pyramidentetra- 
eders der anderen Stellung ab 
(Fig. 132). (Weitere Kombina- 
tionen siehe bei Blende, Fahl- 
erz und Boracit) 




Pyritoedrisefie (pentagonal-hemiedrisohe, parallel flächig - hemiedrmhe, 
dyakiadodekaedriacfie) Klasse. 
Die sechs Nebensymmetrieebenen und die sechs zweizähligea 
(digonalen) Symmetrieachsen sind verschwunden. Die drei Hauptsym- 
metrieebenen, femer die vier dreizähligen (trigonalen) Symmetrieachsen 
nebst dem Symmetriecentrum sind vorbanden ebenso die drei den 
tetragonalen der Tollflächigen Formen parallelen Symmetrieachsen, die 
aber hier zweizählig geworden sind. 

108. Gesetz der pyrltoedrlschen Hemiedrie. Nach dem Gesetz 
der pyritoedrischen Hemiedrie verhalten sich in jedem der acht durch 
die Achsenebenen (Hauptsymmetrieebenen) bestimmten Oktanten die 
Flächen abwechselnd gleich und an der Grenze zweier Oktanten stoßen 
sich gleich verhaltende Flächen der beiden letzteren zusammen, wie 



Pyritoedrwclie Hemiedrie. 126 

es in Fijr. 133 fUr das Hexakisoktaeder durch die schraffierten and nicht 

schraMerten Flächen dargestellt ist. Die Folge dieser Flächengruppie- 

ning: ist, dafi die drei Hanpt- 

gymmetrieefaenen erhalten n 

bleiben, während die sechs 

Nebensjmmetrieebenen 
vegfallen. Ebenso bleiben 
die vier dreizähligen Sym- 
metrieachsen, die drei vier- 
zähligen Symmetrieachsen 

weisen zweizählig and die ^^ ^^ 

sechs zweizähl^en ver- 

schwinden. Zn jeder Fläche ist die parallele Gtegenfläche, also fta 
die ganze Form ein Symmetriecentrum, vorhanden; die Hemiedrie 
ist eine parallelfiächige. Die korrelateo hemiedriscben Formen sind 
koDgment and können durch Drehnng am eine Achse am 90" zur 
Deckung gebracht werden. 

109. Einfache Formen d«T pyrltoedrlaeheD Klasse. Aas jedem 
Eexakisoktaeder mOn (Mi) entstehen zwei D^loeder (Dyakisdodekaeder) 
(Fig. 135). Beide korrelate Diploeder sind kougraent und können 



darch Drehung um eine Achse a um 90" zur Deckang gebracht werden. 

Sie werden als + — ö— nnd — pö" oder: + Mhkl) und — n{fchl) 

bezeichnet. In Figur 134 (in Yerbindang mit Fig. 97) sind die In- 
dices der einzelnen Flächen der Diploeder zu ersehen und ebenso die 
Verhältnisse der Kanten und Ecken. Es sind 24 gleiche Kanten T 
vorhanden, in denen sich in jedem Oktanten die bleibenden Flächen 
aber die verschwundenen hinweg schneiden und die zu je dreien in 
jedem Oktanten liegen; ferner zwölf gleiche lange Kanten K und 
zwölf gleiche kurze Kanten Kin den Achsenebenen. Die sechs 24- ^kan- 
tigen Ecken E liegen auf den Achsen; durch sie gehen die Achsen hin- 
darch. Zwischen je zwei Ecken E liegen in den Achsenebenen die 
2 -j- 1 + Ikantigen Ecken Ü, nUier bei der einen Ecke E als bei der 



^26 Begnlltres KrjataUiyitem. 

anderen, nnd die acht dreikantigen Ecken liegen mitten über den 
Oktanten. Die Flächen sind in der idealen Fonn unregelmäßige Vier- 
ecke mit zwei in einer Ecke zusammenstollenden gleichen Seiten T. 
Ans dem Pyramidenwätfel (Fig. 137) kann man zwei koirelate 
Pyriioeder (Pentagondodekaeder) ableiten (Fig. 136 nnd 138). Die 



Fig. 136. Fig. 137. Pig, 138. 

sechs gleichen längeren Kanten W des einen Pyritoedei-s sind anf 
den entsprechenden des Gegenkörpers senkrecht. Anch die beiden 
korrelaten Pyritoeder können dnrch Drehnng um eine Achse a zar Deckung 
gebracht werden. Die zwölf Fünfecke sind nicht regulär, sondern 
symmetrisch; die 24 gleichen Kanten X sind von den sechs ebenfalls 
gleichen Kanten W, durch deren Mitten die Achsen senkrecht hindurch 
gehen, Terschieden, ebenso die acht von drei Kanten X gebildeten 
Ecken Q von den zwölf Ecken T, in denen je zwei Kanten X und 
eine Kante W zusammenstoßen. Das reguläre Pentagondodekaeder 
der Geometrie entspricht nicht dem Gesetz der rationalen Eanten- 
schnitte, es ist daher krystallographisch unmöglich und noch nie be- 
obachtet worden. Die beiden korrelaten Pyritoeder des Pyramiden- 

würfelsooOnsind: +[^^] oder + «(AAO) nnd — n(*ÄO}, z. B. 

+ p^| =+ «:(210) und — nr(120). Sie sind wie die Diploeder 

parallelflächig. 

Alle anderen einfachen regulären Formen außer Hexakisoktaeder 

und Pyramidenwürfel ändern ihre Gestalt bei dieser Hemiedrie nicht; 
sie treten in Kombinationen mit ihrer vollen 
Flächenzahl auf. Ifan überzengt sich davon 
leicht, wenn man die holoedrischen Formen als 
spezielle Fälle des Hexakisoktaeders auffaßt (102). 
Beim Würfel z. B. (Fig. 139) müßten die schraf- 
fierten, bleibenden Flftchenteile durch ihre Aus- 
dehnung die heim Eintritt der Hemiedrie ver- 
p. jgg schwundenen nicht schraffierten Flächenteüe 

wieder ersetzen; eine Ändemng der ganzen Form 

könnte nicht stattfinden (75). 



Fyrit4wdriBclie nnd g;roedrische Hemiedrie. 



127 



110. Fyritoedrische Eomblnatlonen. Von Eombinationen pyri- 
toedrischer Körper sind einige besonders hftnflg. Die Pyritoederflächen 
stampfen am Würfel die Kanten ab, aber wegen der Hemiedrie schief 
(Fi^. 140); dies ist der Unterschied tod der Kombination des Grana- 
toeders nnd Wörfels, wo die Abstumpfnng eine gerade ist (Fig. 101). 
Die Würfelääclien stumpfen am Pyritoeder die längeren Kanten W 
gerade ab (Fig. 141). Das Oktaeder stumpft am Pyritoeder die drei- 
kantigen Ecken Q ab (Fig. 142). Bei einer gewissen Änsdehnnng der 
Oktaederflächen bilden sie nnd die Pyritoederflächen Dreiecke, im 
ganzen 20, von denen die 8 von Ojlgebildeten gleichseitig, die 12 von 

\—n~\ gebildeten gleichschenklig sind ; diese Kombination ist das sog. 

IJcosaeder (Fig. 143). Die Pyritoederflächen spitzen am Oktaeder die 




Pig. 142. 



Fig. 143. 



Fig. 144. 



Ecken zweifläclug von je zwei gegenüberliegenden Kanten aus zu 
(Fig. 144). Fig. 142—144 stellen somit dieselbe Kombination dar, 
aber mit verschiedener Ausdehnung der beiden kombinierten einfachen 
Formen. Das Diploeder spitzt die Würfelecken dreiseitig, aber schief 
zu (Fig. 14Ö) (Tgl. Fig. 113). Einige andere Kombinationen sind noch 
beim Schwefelkies (Pyrit), dem fOr diese Hemiedrie typischen Mineral, 
und beim Eobaltglanz angegeben nnd abgebildet 



Qyroedrisohe (ptagiedrlBohe, pentagon-ikoaitetraediiBohe) Klaaae. 

111. Ojrroelrlsek« H«ni«dri«. Bei der gTToedrischen oder plagiedrischen 
BemiBdrie TerhaJton uch wie bei der pjritoedrischen in jedem Optanten die ab- 
wechtelndeu Fl&cheu gleich. Der Unterschied besteht nur darin, daG in den OktAnten- 
gienzeu *ngleiehe FlSchen aneinanderatoQen, nie es Fig. 46b für das Hezakisoktaeder 
im Vergleich mit Fig. 44 b oder 136 b eeigt. Infolgedessen fillen alle Symmetrie- 



128 Regoläres KrjstallBjitein. Tetartoediie. 

«benen und das Sjmmetriecentnim weg. Eh bleiben aber die drei Tierz&hlijiren, di« 
vier dreizähligen und die aechs sweiz&hligeii Sfinmetneachsen des Hexakisoktaeden 
erh&lteD. Atu dem letzteren entstehen zwei enontiomorphe korrelat« Oyrotder oder 
Plagieder [anch Pentagon-IbOBitetraeder, Fig. 4Öb und c); olle anderen TotlflSchi^en 
regnl&ren Fonnen treten dagegen mit ihrer Tollen Fttcheniahl anf. 



Tetartoedriaohe (tetraedrisoh-pentagondodehaedrisohe) Klaaae. 

112. Tetnrtoedrle. Die Tetartoedrie des regnULren Sjatema kann ans dor 
tetnedrischen oder pjritoedriacben Hemiedrie abgeleitet werden, indem man dnich 
abermaligea VerBchwinden der Hälfte der Flachen die noch Torhandenen aecha reap. 
drei Sjmmetrieebenen fortfallen läHt. Die einfachen tetartoedriachen Formen kann 
man erhalten, indem man anf diejenigen der tetr»edriecben, pyritoedrischen oder 
gyroedrischen Hemiedrie daa Gesetz je einer der beiden anderen Hemiedrien an- 
wendet. Jedesmal ergibt sich ganc genan dasselbe Beanltat In Fig. 146 iat c B. 




Fig. 146. 

anf ein Hexakiatetraeder noch das Gesetz der pjritoedriBchen (oder gproedrischen) 
Hemiedrie angewendet, indem von den aecha in einem Oktanten Torbandenen Fl&chm 
nnr je die abwechaelnden erhalten bleiben, die iwischenliegenden verachwinden. 
Dadurch fallen die sechs Symmetrieebenen des Hexakiatetraeders ebenfalls weg und 
es iat gar keine mehr vorbanden. Jedea Hexakistetraeder liefert so zwei enanlio- 
morphe tetartoedriacbe Formen, die tetraedriaehe Ptntagondodekaedtr genannt 
werden. Die Hexakisoktaeder geben also deren Tier, von denen je zwei kongruent 
sind. Die Pyramidenvrürfel geben zwei Pyritoeder, das Oktaeder Bwei Tetraeder etc. 
Bei tetartoedriachen Kombinationen ist also eine Vereinigung von Tetraedern und Pyri- 
toedem an demselben Erystall oder es ist ein getrenntes Auftreten Ton tetraedriachen 
Formen an dem einen nnd Ton pjritoedrischen Formen an einem anderen Erjstall 
derselben Substanz m^lich, wie es z. B. beim salpeteraanren Blei und Baryum, an 
Mineralien beim Ullmannit nnd Langbeinit vorkommt. Bei hemiedriacber Atu- 
bildnng wäre dies nicht denkbar. 



3. Hexagonalea Syatem. 

(Drei' nnd einachsiges, hexagonalea nnd trigonalea, aechggliedrigea und drei- 
gliedriges System.) 

Im hexagonalen System sind alle diejenigen Krystallklassen ver- 
einigt, deren Fonnen sich anf drei gleiche in einer Ebene nnter 60" 
gegeneinander geneigte Nebenachsen a nnd eine anf diesen senkrechte 



Hexagonales Krystallsystem. 



129 



vierte von ihnen verschiedene Hauptachse c beziehen lassen. Das 
Achsenschema ist demnach: 

a:a:a:c; ^a!a = m^; ^a/c = 90^ 

HS. Achsen des hexagonalen Systems. Die drei gleichen Achsen 
a, welche sich unter 60^ schneiden, liegen in einer Ebene (Nebenachsen) ; 
die vierte davon verschiedene, die Hauptachse Cj ist anf diesen senk- 
recht, c^a. Die zwölf von den Achsenebenen gebildeten Banmab- 
schnitte (Dodekanten) sind alle einander gleich. Die in der Ebene 
der Nebenachsen liegenden, die Winkel zwischen je zweien derselben 
halbierenden Richtungen h werden zuweüen 
als Hilfslinien verwendet (Zwischenachsen) 
(Fig. 147). Nach den Verhältnissen der 
Symmetrie kann man beliebig die Richtungen 
a oder b als die der Nebenachsen nehmen, 
je die anderen sind dann die Zwischenachsen ; 
die Hauptachse ist dabei stets unveränderlich 
dieselbe. Sie wii'd stets vertikal gestellt, 
so dafi die Ebene der Neben- und Zwischen- 
achsen eine horizontale Lage annimmt. Aus 
einem passenden Flächenwinkel der Erystalle 
läßt sich das Achsenverhältniss a : c berechnen, ^- ^^''• 

oder, wenn man a resp. c = 1 setzt, das Achsenverhältniss 1 : c resp. a : 1 
(38), d. h. je die andere Achse, c oder a. Alle Achsen winkel sind bekannt. 
Das Achsensystem eines hexagonalen Erystalls enthält somit nur ein 
unbekanntes Stuck c resp. a. 

Jede Fläche, welche an einem hexagonalen Achsensystem auftritt, 
schneidet die drei Nebenachsen (z. T. im Unendlichen) in drei auf 
einer Geraden liegenden Punkten. Schon durch zwei Schnittpunkte, 

z. B. y und x ist aber diese Gerade vollständig bestimmt, der dritte 
Schnittpunkt y muß also aus jenen beiden sich ableiten lassen. Man 
findet, daß stets für den dritten zwischen -j- und y liegenden Schnitt 
y ist: l = h-\-h, also; y = , , , , somit ist der vollständige Ausdruck 




\li*k+l-o 
h*k-4 



a 



a 



a 



einer beliebigen Fläche an den hexagonalen Achsen : y : fr-rri. • T • ~- 

Um alle einzelnen Flächen eines Krystalls in ihrer Lage unzwei- 
deutig angeben zu können, muß man die Achsenrichtungen wieder als 
+ und — unterscheiden. Nach dem Vorgang von Bravais werden als 
die -{-Richtungen die um 120*^ gegeneinander geneigten Äste der Achsen a 

Bauer, Mineralogie. ^ 



130 Hexagonales Erystallsystem. 

angenommen, die zwischenliegenden Äste sind — , (Fig. 147), so daß 
also immer ein + und — Zweig der Nebenachsen miteinander abwechseln. 
Dann bezieht sich aber von den obigen Achsenschnitten einer Fläche stets 
der mittlere auf einen Achsenast, welcher den beiden anderen im Vor- 
zeichen entgegengesetzt ist; sein Index l muß also negativ sein, wenn die 
beiden anderen Indices h und k positiv sind, und umgekehrt. In jedem 
hexagonalen Achsenausdruck nach Bravais stehen also für die Neben- 
achsen zwei positive und ein negativer oder zwei negative und ein 
positiver Index, und es muß mit Berücksichtigung der Vorzeichen 
sein: ä-}-ä = — l oder h-\-k-\-l = Oj d. h. die Summe der auf die 
drei Nebenachsen bezüglichen Indices ist = 0. Der Ausdruck einer 

V V V T71« i. • X 1 "^^ "I"* +öt c , a a a c 
beliebigen Fläche ist also : =t- : -f- : -V- ' ~ oder -r-r : -1—7 : =- : — 
^ h k l t -\-h +i- ^i % 

oder in Millerscher Weise: QJüi) oder auch Qikli), Es erübrigt dann 
nur noch, die Indices stets in derselben Reihenfolge auf die drei Neben- 
achsen zu bezieheu, welche man zu diesem Zwecke bezüglich ihrer 
Richtung, unbeschadet ihrer Gleichwertigkeit, wohl auch als a^, o,, a^ 
unterscheidet, wobei eine beliebige als die erste, die um 120^ davon 
abweichende als die zweite etc. angenommen wird, so wie es Fig. 147 
zeigt. Von den Indices in Millerscher Schreibweise bezieht sich der 
erste ä stets auf a^, der zweite k auf a^, der dritte l auf Og; der 
vierte Index i bezieht sich auf die Hauptachse c. Zur Bezeichnung 
der ganzen vollflächigen Eiystallform mit dem Ausdruck Qtkli) 
pflegt man im allgemeinen diejenige Fläche zu wählen, bei welcher 
Ä > Ä und l = h-\-k (dem absoluten Werte nach ohne Rücksicht auf 
das_ Vorzeichen), also z. B. den Ausdruck: (2131), nicht aber etwa: 
(1231), welcher Ausdruck eine Fläche derselben einfachen Form dar- 
stellt 



Vollfläohig hexagonale (dihexagonal-bipyramidale) Klasse. 

3 + 3 + 1 Symmetrieebenen, von denen die eine, die Hauptsymme- 
tried>ene^ auf der Hauptachse c senkrecht steht, also der Ebene der 
Neben- und Zwischenachsen a und b parallel ist Die 3 + 3 anderen 
Symmetrieebenen gehen alle durch die Hauptachse c und durch je eine 
Nebenachse a, resp. eine Zwischenachse h. Man kann sie danach als 
Neben- und Ztoischensymnietrieebenen unterscheiden (Symmetrieebenen 
ac resp. bc), sie werden aber meist alle zusammen Nebensymmetrie- 
ebenen genannt 3 + 3 + 1 Symmetrieaxen parallel den krystallo- 
graphischen Achsen, davon die eine sechszählige parallel der Hauptachse c, 
die Hauptsymmetrieaxe ; die 3 + 3 anderen Nebensymmetrieaocen parallel 
den Nebenachsen a, resp. den Zwischenachsen b sind zweizählig. Auch hier 
kann man zwischen Nd>ensymfnetrieachsen a und Ztvischensymmetrieachsen 



Vollflächige Klasse. 131 

i nnterscheiden. Symmetriecentrum vorhanden. Die Hanptsymmetrie- 
ebene nnd drei gleichwertige Nebeosymmetrieebenen, die sieb unter 
dO'* schneiden, sind die Fundamentalflächen des Ächsensystems (Tergl. 
(55) und (56) und Fig. 37). 

114. Einfache Formen. 1. DiämMoeä«- (dihexagonale Pyramiden, 
oder anch Bipyramiden, Sechskantner). Die Flächen schneiden alle 
drei Nebenschsen nnglelch nnd treffen die Hauptachse ia einer beliebigen 

endlichen Entfemnog. Der Änsdntck ist also : x : -r- ^ ~i '■ ~^ = {^^, 
z. B.: ^: o:— ^ : c= (2131). Die Symmetrie erfordert, damit alle 

Nebenachsen von der Gesamtheit der Flächen gleich geschnitten werden, 
24 Flächen, welche so angeordnet sind, daß sie eine auf der Ebene 
der Kebenachsen nach oben and nuten errichtete 24 flächige Doppel- 
pyramide bilden (Fig. 148). Dieselbe hat zwölf 
gleiche Seiten-, Mittel- oder Randkanten S in 
der Ebene der Nebenachsen, die ein sechsfach 
symmetrisches, aber nie ein reguläres Zwölfeck 
bilden; femer 12 + 12 abwechselnd gleiche End- 
oder Polkanten, V und E. Zwei End- oder Pol- 
edcen e liegen auf der Hauptachse. 6 4-6 ab- 
wechselnd gleiche Seiten-, Mittel- oder Band- 
ecken a nnd b liegen in der Ebene der Neben- 
achsen auf den Neben- und Zwischenachsen. 
Die Bichtiing der Hauptachse ist durch die fj~ 14g 

Ecken c gegeben, die Neben- nnd Zwischen- 
achsen durch die Ecken o und b, wobei man beliebig die Richtungen 
aa und bb als Nebenachsen wählen kann. In jeder Seitenecke a oder b 
stofien zwei gleiche Endkanten mit zwei Seitenkanten zusammen. 

Bei den Terschiedeneu Körpern dieser Art, die an einem and demBelbea Achsen- 
System Torkommen kOnnen und welche bald hoch, bald niedrig sind, treffen aich die 
Flächen in den Kanten unter verschiedenen Winkeln, und danach schneiden die 
Flächen die Achsen in Terschiedenen Verhältnisaen, d. h. mit verachiedenen Indices, 
h, k, i. Diese lassen sich ans jenen Winkeln berechnen nnd nmgekehrt. 

Didodekaeder, die flächenreichsten einfachen Formen des heiagonalen Systems, 
sind bisher noch nie selbständig, sondern stets nur in Kombinationen beobachtet 
worden. Alle flächenänneren Tollflächig-hexagonalen Formen kOnnen als Spezialfälle 
dee Didodekaeders betrachtet werden. 

3. IMexc^oruüe Prismen (zwölfseitige Prismen). Denkt man sieh 
alle Flächen des Didodekaeders aufgerichtet, bis sie der Hauptachse c 
parallel werden, so fallen je zwei, welche sich in einer Seitenkante S 
(Fig. 148) schneiden, in eine zusammen, die der Hauptachse parallel ist. 
■Man erhält dann ein zwölfseitiges Prisma, dessen Querschnitt der von den 



132 Heia^nales KryatallBystem. 

Seitenkanten 8 des Didodekaeders gebildeten Figur entspricht Der 
Ausdruck ist: j-j-zri'-i = (**^°) (^'^- ^*^)- ^'^ Neben- und 
Zwischenachsen gehen durch die abwechselnden Kan- 
ten, die auf diesen senkrecht, also der Hauptachse c 
parallel, und abwechselnd einander gleich sind. 

Die Winkel der PriamenMclieiL und damit die Form des 

Qnerachnitts Hadem sich mit den ludices h und k. Am gleichen 

Axensystem kfinneu viele Eolcher Prismen vorhanden sein, abei 

Fig. 149. ^^ keinem ist der Querschnitt ein regnlär iwSlfaeitigper; dieser 

ist mit dem Gesetz der rationaJen Axeuscbnitte nicht vereinbar. 

Dieses Prisma ist ein Didodekaeder mit anendlich grossem Schnitt der FlKchen 

auf der Eanptaxe, an denen daher die Kanten S = 180" geworden sind. 

3. Dihexaeder 1. Stellung (heiagonale Pyramiden oder Bipyramiden 
1. Stellung, Protopyramiden). DiePlächengehen einer Nebenachse parallel 
und schneiden die beiden anderen Nebenachsen gleich; von der Hauptachse 
wird ein beliebiges endliches Stück abgeschnitten. Der Ausdruck ist: 

J : -J : ~ : 4- = (hOhi) z.B.a: ooa :—aic = (lOll). Es ist eine 6 + 6 

flächige Doppelpyramide über der Ebene der Nebenachsen mit sechs 
gleichen Seiten-, Mittel-, oder Randkanten S, welche 
ein reguläres Sechseck bilden, und zwölf gleichen 
End- oder Polkanten K, zwei gleichen End- oder 
Polecken c, durch welche die Hauptachse geht, and 
sechs gleichen Seiten-, Mittel-, oder Eandecken o, 
welche die Nebenachsen bestimmen (Fig 150). Die 
Flächen sind in der Idealform gleichschenklige Drei- 
ecke. Die Zwisclienachsen gehen durch die Mitten 
^' zweier gegenüberliegender Seitenkanten. 

An jedem Aiensystem sind viele solche Diheiaeder möglich, die bald hoch, 
bald niedrig sind und sich dnrch die Eantenwinkel unterscheiden, von denen die 
Indicea abhängen, nnd umgekehrt. Alle Dihexaeder 1. Stellnng kOnnen als Didodeka- 
eder angesehen werden, an denen die Endkant«n K= 160° (Fig. 148] sind, so dass also 
zwei in K KosammenstoBsende Flächen in ein Nivean fallen. 

4. Dihexaeder 3. Stellung (hexagonale Pyramiden oder Bipyramiden 
2. Stellung, Deuteropyramiden). Die Fläihen schneiden dieHauptachse; so- 
dann die Nebenachsen so, daß von einer ein gewisses Stück, von den beiden, 
rechts und links unmittelbar benachbarten gleiche Stücke abgeschnitten 
werden. Diese müssen dann doppelt so groS sein, als das auf der 
ersten Nebenachse abgeschnittene Stück. Der Ausdruck ist daher: 

^:-^:-^: j{h.hM.i), z. B. a:a: -^;c = (U21). DieSymmetrie 

erfordert das gleichzeitige Auftreten von zwölf solchen Flächen, welche 
genau ebenso gegeneinander liegen, wie beim Dihexaeder 1. Stellang. 



VoMächige Klaase. 133 

Von diesen sind die Dibezaeder 2. Stellung nicht in der Form, 
sondern nnr in der Lage verschieden (Fig. 151), indem nämlich hier 
die NebenachseQ a durch die Hitten zweier Seiten- 
kanten, die ZwischenaebseD b dnrcb zwei Seitenecken 
gehen. Ein Dihexaeder 1. Stellung kann in ein solches 
2. Stellang an demselben Ächsensystem übergeführt 
werden, wenn man es nm die Hauptachse am 30<* dreht. ' 

Ein fftr sich allein TorkommeadeB Dihexneder ist an sich 
weder erster noch «weiter SteUnng, Es erhält diese Stellnng 
ent, wenn man die Nebenachsen gewählt hat, welche man sich 
noch Belieben durch die Seitenecken oder die Mitte der Seiten- ^^- ^^ ■ 
k)uit«n legen kann; im ersten Fall ist der Kürper 1. Steltnng, im cweit«n Fall 
a. Stellnng. Der Unterschied wird erst wichtig bei Kombinationen (116). (Vergl. 
qnadr. System (132) Nro. 6). Die Dihexaeder 3. Stellung sind Didodekaeder, wo die 
Endtanten P^ISO" (Fig. 148). 

5. Hexagoncäes Prisma 1. /Teilung (Protoprisma). Denkt man sich 
die Flächen eines Dihezaeders 1. Stellung aufgerichtet, bis sie parallel 
mit der Hauptachse werden, so entsteht ein sechsseitiges Prisma, dessen 
idealer Querschnitt ein regelmflSiges Sechseck ist, wie 
die Seiteukanten S des ersten Dihexaeders (Fig. 150). 
Die sechs gleichen Kanten sind =^ 120** und gehen der 
Hauptachse c parallel; die Nebenachsen a stehen auf 
ihnen senkrecht (Fig._JÖ2). Der Flächenansdmck ist: 
a : ooa : — a : MC =. (1010). Fi«- ^^a. 

6. Hexagmtües Prisma 2. Stellung (Deuteroprisma). Eis steht in 
derselben Beziehung zum Dihexaeder 2. Stellung, wie das Prisma 
1. Stellang zum Dihexaeder 1. Stellang. Es ist mit dem yorigen voll- 
kommen gleichgestaltet, aber um 30" dagegen um die Hauptachse ge- 
dreht, so daß die Nebenachsea a auf den Prismen- 

fiächen senkrecht stehen (Fig. 153). Achsenausdmck: p r-" | ^ '^ 




:ooc = a:a: — ^■.<x>c = (1120). 



If*^ 



Für die Cnt«rscheidnng beider Prismen gilt das bei den 
Dihezaedem Gesagte. Es sind Dihexaeder mit anendlich langem ^ _ 
Schnitt anf der Hanptacbee. 

7. Die Basis (basisches Pinakoid, Geradendfläche). Ein Parallel- 
flächenpaar senkrecht zar Achse c oder parallel der Ebene der Neben- 
achsen ; also : ooa : ooo ; ooa : c = (0001) (Fig. 9 links). 

Die Baus kann als eine der Pyramiden betrachtet werden, deren Endkouteu 
alle = 180° sind, so dali die Schnitte anf den Nebenachsen unendlich groß werden. 

Andere vollflSchig-heisgonale einfache Formen als diese sieben sind nicht mög- 
lich (102). 

115. Nanmaiinsche Bezeichnung und 'Übersicht. Bei der Be- 
zeichnung der vollflächigen hexagonalen Formen nach der Methode 



134 



Hezagonales Krystallsystem. 



von Nanmann geht man von demjenigen Dihexaeder 1. Stellung aus, 
welches von den Achsen die Einheiten abschneidet, das also den Aus- 
druck : a : ooa : — a: c = (1011) hat. Dasselbe wird Hauptdihexaeder 
(Grundform, Grundpyramide, primäre Pyramide) genannt und mit P 
bezeichnet. Alle anderen an dem durch P gegebenen Achsensystem 
möglichen Erystallflächen kann man sich nun so entstanden denken, 
dafi man eine Fläche von P im Ende einer Nebenachse a (also im 
Abstand a vom Achsenmittelpunkt) festhält und sie sich um diesen 
Punkt in die betreffende Lage gedreht denkt, und zwar in der Weise, 
daß von der nächstfolgenden Nebenachse ebenfalls ein Stück == a 
oder ein größeres Stück als a, auf der Hauptachse aber ein ganz 
beliebiges Stück größer oder kleiner als c abgeschnitten wird. 
Eine so gedrehte Fläche ist dann in jeder Lage vollkommen be- 
stimmt, wenn man noch die von der nächstfolgenden Nebenachse 
und von der Hauptachse abgeschnittenen Stücke na und mc kennt, 
denn der Schnitt a auf der einen Nebenachse in der Entfernung 
a ist ja ein für allemal gegeben. Die Bezeichnung der betreffenden 
Krystallform, die von dieser und allen anderen noch von der Sym- 
metrie erforderten Flächen begrenzt wird, geschieht nun, indem man 
vor das Zeichen P des Hauptdihexaeders die Ableitungszahl m für c 

und hinter P die Ableitungs- 
zahl n für die andere Neben- 
achse a setzt, also mPn = 
mc :na: a. Dabei ist m >, = 
oder < 1, aber es muß not- 
wendig n ^ 1 und < 2 sein, 
wie man leicht aus einer Pro- 
jektion in der Ebene der Ne- 
benachsen sieht (Fig. 154). Von 
2^ Naumann sind dabei aber ab- 
weichend von Bravais drei un- 
mittelbar aufeinanderfolgende 
Halbaxen a positiv gedacht 
(Fig. 154). 
Die verschiedenen einfachen Formen erhalten danach die im 
folgenden angegebenen Symbole. Dabei ist nach den Formeln in (113) 




Fig. 164. 



n 



die auf die dritte Nebenachse bezügliche Ableitungszahl « 
beiden anderen = n und = 1 sind, wie es hier der Fall ist 



n — 1 



, wenn die 



i. Bidodekaeder: mPn = 



na 
n^ 



a : na : mc = 



a a m 

n — 1 n n 

a a a 



(Fig. 157, III) in Naumannschen Achsen oder: -r ^-r -H;* 



Vollflächige Klasse. 135 

= (kkU) in Bravaisschen Achsen ; z. B. 3P} = So : a : ^ : 3e 

= a:-^:-^:ciü Naumannachen Achsen, oder = ^ ; o ; — "^ : c 

= (2131) in Bravaisschen Achsen. 
3. Dihexagonale IVismen: ooPn oder MIO z. B.: ooPJ = (2130). 

3. Dihexaeder 1. St. : mP = -xa : a : a : mc (I in Fig. 154) oder (AOÄi) 

z. B.: P — (1011) (Haoptdihexaeder); }P = (3032) etc. 

4. Bihexaeder^ 2. St. : mF2 = 2a:a:_2a: mc (II in Fig. 164) oder 

(A -Ä . 2Ä . i) z. B. : 2P2 = (1121). _ 

5. Hexagonales Prisma 1. St.: «.P = (1010). 

6. Hexagowües Prisma 2. Si. : ooP2 = (1120). 

7. Bans: OP =- (0001). 

Die Flachen des Prismaa der 1. Stellung: nnd die Basis sind die FnadRinenUl- 
flftcben, eine FIBche des Hanptdihexaeders (der Ornndform) P — (1011) ist die Ein- 
heitsfläche eines hexagonalen AchsensTstema. 

116. Kombinatloneii. Die Flächen p des hesagonalen Prismas 
der einen Stellnng stnmpfeD die Kanten des Prismas der anderen 
Stellung p* gerade ah {Fig. 155). Die Flächen eioes dihexagonalen 
Prismas schärfen die Kanten der hexagonalen Prismen zu oder stampfen 
die KombinatioDskanten zwischen den beiden hexagonalen Prismen p 
und f* ab. Zuweilen sind beide bexagonale Prismen mit mehreren 




Fig. 155. Fig. 166. Fig. 1&7. 



dibexagonalen Prismen kombiniert, dann entstehen von so schmalen 
Facetten begrenzte vielseitig polygonale Prismen, daß sie auf den 
erstes Blick f&r walzenfönnig mnd gehalten werden kSimea (z. B. 
beim Beryll). Die Basis schließt die Prismen oben und unten und 
bildet mit ihnen langsäulenförmige (Fig. 155) oder dtlnnnadelfönnige and 
haarförmige Krystalle, oder aber niedere Tafeln (Fig. 156) oder papier- 
dfinne Plättchen, welche Formen alle krystallographisch nicht ver- 
schieden sind. Die Endecken der Pyramiden werden durch die Basis 
abgestumpft (Fig. 157). Die Flächen d eines stumpferen Dihexaeders 
(Fig. 158) spitzen die Endecken eines steileren Dihexaeders D der- 
selben Stellung von den Flächen aus zu, nnd umgekehrt: die Flächen 
TOD D schärfen die Seitenkanteo von ä zu, so daß beidemale die 
Eombinationskaaten Djd den ursprünglichen Seitenkanten d;d nnd DjD 
parallel sind. Die Flächen eines Dihexaeders d sind auf die Flächen 



]^36 EeiAgonales ErjitallayBtem. 

eines hexagonalen Prismas derselben Stellnsg p angesetzt (Fig. 159); 
die Flächen p des letzteren stampfen die Seitenkanten des ersteren d 





Fig. 158. 



Flg. 159. 



Fig. 160. 



gerade ab ; die Kanten djp stehen aof den Prismenkanten pjp senk- 
recht Dagegen sind die Flächen des Dihexaeders der anderen Stellung 
d^ anf die Kanten des Prismas p gerade aufgesetzt, und die Flächen 
des letzteren stumpfen die Seitenecken des ersteren gerade ab (Fig. 
160). Zwei Dihexaeder d und d, von verschiedener Stellung sind so 
kombiniert, daß die Flächen des einen entweder die Endecken oder 




Fig. 161. 



Fig. 162. 



Fig. 163. 



die Seitenecken des anderen von den Endkanten ans zospitzen oder 
dessen Endkanten gerade abstumpfen (Fig. 161—163), je nachdem 
die Flächen des Dihexaeders d^ flacher, oder steiler oder genau ebenso 
gegen die Achse c geneigt liegen, wie die Endkanten von d. 

An dem in Fig. 164 dargestellten Krystall von Beryll sind zwei 
^^_^_ ^_ ^ Dihexaeder p und u der einen, sowie eines s der 

anderen Stellung, welches die Endkanten von u 
gerade abstumpft, wie man aus der Parallelität 
der Kanten s/u an jeder Fläche s sieht; dazu 
kommt ein hexagonales Prisma M von derselben 
Stellnng wie p und m, ein Didodekaeder k und 
die Basis m. Wenn man diesen Kristall auf 
Achsen beziehen will, so hat man vollkommen 
freie Wahl, welches von den Dihexaedem man als 
erster Stellung ansehen will; die gleichliegenden 
sonstigen Dihexaeder (resp. Prismen) sind dann ebenfalls erster, die 
anderen zweiter Stellung und die Nebenachsen liegen so, daß sie durch 



Fig. 164. 



Hexagonale und trigonale Elasseiu 137 

die Seitenecken der Dihexaeder erster Stellung resp. durch die Kanten 
der gleichliegenden Prismen gehen. Hat man p die erste Stellung 
gegeben, so ist auch u und M erster, s zweiter Stellung. Die Rich- 
tung der Hauptachse ist wie stets den Kanten MjM parallel und die 
Nebenachsen schneiden die Kanten MjM senkrecht. Hätte man umge- 
kehrt, für 8 die erste Stellung angenommen, so wären P, u und M 
zweiter Stellung und die Nebenachsen stünden auf den Flächen M senk- 
recht Zur Bestimmung des Achsenverhältnisses kann man wieder ein 
beliebiges Dihexaeder erster Stellung, z. B. p als Hauptdihexaeder 
wählen, das damit den Ausdruck : a : ooa : — a : c = (1011) erhält. Seine 
Flächenwinkel geben dann das Verhältnis a : c. Aus den Neigungen 
der Flächen der anderen einfachen Formen (resp. dem Zonenzusammen- 
hang (44 ff.)) folgen die Ausdrücke, welche diese an den aus p be- 
stimmten Achsen haben. Ebenso hätte man auch u, schließlich aber 
auch, bei einer anderen Wahl der Nebenachsen, s als Hauptdihexaeder 
wählen können; man hätte dann ein anderes Achsenyerhältnis a : c und 
andere Ausdrücke für die anderen einfachen Formen gefunden etc. 

Beispiele ToMftchig-hexagonaler Erystalle sind yiel seltener, als solche Ton 
hemiedrischen etc. Von Mineralien ist kaum ein anderes, als der soeben beispiels- 
weise genannte Beryll zu erwähnen. 

Hemiedrische und tetartoedrische Klassen. 

Hemiedrien nnd Tetartoedrien gibt es im hexagonalen System nach yer- 
schiedenen Gesetzen. Sie sind z. T. viel wichtiger als die holoedrische Klasse, be- 
sonders gilt dies von der rhomboedrischen Hemiedrie. Nur die, welche für Mineralien 
Ton einiger Bedentang sind, sollen hier betrachtet werden. 

117. Hexagonale und trigonale Klassen. Wie aus der obigen 
Tabelle (81) zu ersehen, können die teilflächigen hexagonalen Klassen 
in zwei Gruppen geteilt werden. In der einen derselben ist wie in 
der Yollflächigen Klasse eine sechszählige Hauptsymmetrieachse vor- 
handen, in der anderen ist diese infolge der Teilflächigkeit, drei- 
zählig geworden. Man hat diese beiden Gruppen wohl auch als be- 
sondere Krystallsysteme aufgefaßt und neben dem hexagonalen oder 
sechsgliedrigen, dem dann auch die yollflächige Klasse angehört, noch 
ein besonderes siebentes, das trigonale oder dreigliedrige unterschieden. 
Wir betrachten aber alle diese Formen als Abteilungen des hexa- 
gonalen Systems und zwar zunächst die sechsgliedrigen Hemiedrien 
und Tetartoedrien mit einer sechszähligen Hauptsymmetrieachse und 
hierauf die dreigliedrigen Hemiedrien und Tetartoedrien mit einer 
dreizähligen Hauptsymmetrieachse. Hier würde sich dann auch die 
ogdoedrische Klasse einreihen, die aber ohne jede Bedeutung und da- 
her hier übergangen ist. Für uns würde nur in Betracht kommen: 
Sechsgliedrig : Neben der schon betrachteten vollflächigen die voll- 



138 . Hexagonales Kryatallsystem. 

flächig-hemimorphe, die pyramidal - hemiedrische und die pjrramidal* 
hemimorphe Klasse ; Dreigliedrig : die rhomboedrisch - hemiedrische, 
die rhomboedrisch-hemimorphe, sowie die rhomboedrisch- und die trape- 
zoedrisch-tetartoedrische Klasse. 



a) Sechsgliedrige (hexagonale) Klassen. 

Die Hauptachse ist eine sechszählige Symmetrieachse. Von ihnen kommen zwar 
drei, die vollflächig- hemimorphe, die pyramidal -hemiedrische nnd die pyramidal- 
hemimorphe im Mineralreich vor, aber nur die mittlere ist wegen ihres Auftretens 
am Apatit von Bedeutung. 



l/ollflächig-hemlmorphe ßexagonal-hemimorphe, dibexagonal-pyraigldale) 

Klasse. 

118. Hemimorphie der Tollflllchig-hexagonalen Krjstalle. Die Krystalle 
sind an den beiden Enden der Hauptachse c verschieden ausgebildet, aber jedes Ende 
für sich zeigt die Symmetrie der voUflächig-hexagonalen ErystaUe. Die Hanpt- 
symmetrieebene ist also weggefallen und damit auch die sechs zweizähligen Symme- 
trieachsen in der Ebene der Nebenachsen, sowie das Symmetriecentrum. Geblieben sind 
dagegen die sechs Nebeusymmetrieebenen und die sechszählige Symmetrieachse parallel 
der Hauptachse c. Was die einzelnen einfachen holoedrischen Formen anlangt, so 
zerfallen die Doppelpyramiden (Bipyramiden) also die Didodekaeder und Dihexaeder 
in je eine obere und eine untere Hälfte und es entstehen zwölfflächige, resp. sechs- 
flächige nach unten oder oben offene Pyramiden, deren Spitzen auf der Hauptachse 
liegen. Die Prismen behalten ihre Gestalt bei. Die Basis zerföUt in die beiden 
Einzelflächen, von denen die eine fehlt oder Ton der anderen physikalisch verschieden 
ist. Die Symbole dieser hemimorphen Formen ergeben sich von selbst aus denen der 
vollflächigen. Zwei korrekte Pyramiden unterscheiden sich durch den + resp. — 
Schnitt auf der Hauptachse c. So gibt das Didodekaeder mPn (hkli) die beiden zwölf- 
seitigen Pyramiden: 

. — g — {hklt) und u . — q— ' {hkit), 

wo und u die Lage oben und unten an der Hauptachse andeuten sollen. Entsprechend 
ist es bei den Dihexaedem und der Basis. 

Als Beispiele werden genannt : Greenockit, Würtzit, Zinkoxyd (Rotzinkerz) und 
Jodsilber, 



Pyramidal'hemiedrisohe fhexagonal-bipyramidale) Klasse. 

119. Pyramidale Hemledrie. Bei der pyramidalen Hemiedrie 
verhalten sich ringsum je die zwei an einer Seitenkante anliegenden 
Flächen einander gleich und von den an den anstoßenden Seitenkanten 
anliegenden Flächen verschieden, wie es Fig. 165 für das Didode- 
kaeder zeigt. Die Folge dieser Flächenverteilung ist, daß alle Nebeu- 
symmetrieebenen verschwinden, die Hauptsymmetrieebene aber nicht, 
ebenso fallen auch alle sechs ^w^eizähligen Symmetrieachsen in der Rieh- 



pyramidale Hemiodrie. 139 

tnng der Neben- und der Zwischenacbsen fort, aber die sechszftblige 

Haaptsymmetrieachse nnd das Symmetriecentnim 

bleiben. 

Debnt sich nun je die eine Hälfte der Flächen 
des Didodekaeders aus bei gleichzeitigem Ver- 
schwinden der anderen, wie es Fig. 166 in der 
Projektion auf die Ebene der Nebenachsen zeigt, 
so entstehen ans dem Didodekaeder zwei kongruente 
korrelate Dihexaeder, denn je zwei abwechselnde 
Seitenkanten s (oder s^) mQssen sich über eine pj^ -^q^ 

zwischenliegende s^ (oder s) stets unter Winkeln von 
120" schneiden. Diese Dihexaeder unterscheiden 
sich in der allgemeinen Form in nichts von den 
beiden Arten von vollflächigen Dihexaedern, sie 
sind aber weder erster noch zweiter Stellung. Die 
Hauptachse geht zwar auch bei ihnen durch die 
beiden Endecken, aber die Nebenachsen gehen 
weder durch die Seitenecken , noch durch die pj» jgg. 

Mitten der Seitenkanten (Dihexaeder 1. und 
2. Stellung), sondern sie treffen die Seitenkanten in irgend einem 
anderen Funkt. Sie nehmen daher eine intermediäre Stellung ein und 
werden als Dihexaeder (hexagonale Bipyramiden) der ß. Stellung oder 
der Zwischenstellung oder auch als Tritopyramiden bezeichnet. Je zwei 
korrelate Tritopyramiden sind kongruent und werden als + "i^d — 
von einander unterschieden. Sie sind spitzer oder stumpfer je nach 
der Gestalt des Didodekaeders, aus dem sie abgeleitet wurden. Hat 
letzteres den Ausdruck : mPn (hMi), dann haben die zugehörigen beiden 
Dihexaeder 3. Stellung die Ausdrücke: 




^[^].im)unA-[^p]nimi) 



')■ 

n ist nur das Zeichen der Hemiedrie und kann, wo kein MiSverständ- 
nis möglich ist, wegbleiben. 

Betrachtet man nun die übrigen vollflächigen hezagonalen Ge- 
stalten als Spezialfälle des Didodekaeders (114), so sieht man leicht, 
dafi außer den Didodekaedem nur die dihexagonalen Prismen noch 
neue Formen liefern, und zwar hexagonale Prismen der dritten oder 
Zwnschenstelhmg (Tritoprismen), indem von den Flächen der dihexa- 
gonalen Prismen je die abwechselnden sich ausdehnen und verschwinden 
(Fig. 166, WD man sich die Prismenflächen nach den Geraden s und 
s, auf der Ebene der Nebenachsen (des Papiers) senkrecht, also parallel 
mit der Hauptachse zu denken bat). Alle anderen holoedrischen Formen 
ändern ihre Gestalt nach dem Gesetz dieser Hemiedrie nicht, sondern treten 
in Kombinationen dieser Hemiedrie mit ihrer ganzen Flächenzahl auf 




140 Hexagonales Erystailsystem. 

Das Haaptbeispiel fttr die pyramidale Hemiedrie des Hexagonalsystems bildet 
der Apatit, Ton welchem ein Krystall Fig. 167 abgebildet ists Zwei Dihexaeder der 
einen Stellung x nnd z und zwei der anderen Stellung a 
und 8 sind yorbanden, dazu ein Prisma M von der ersteren 
und ein solches e von der anderen Stellang. Die Kanten 
MJs sind durch u abgestumpft, aber nur einseitig, oben und 
unten links von 8 ; diese Flächen u, von denen je zwei sich, 
gehörig erweitert, in einer horizontalen Seitenkante schneiden 
würden, wie die Zonen [ucu] zeigen, bilden miteinander 
ein Dihexaeder der dritten Stellung. Die Flächen c, welche 
einseitig die Kanten MJe abstumpfen, büden ein hexago- ^^' 

nales Prisma der dritten Stellung (vergl. die Yollflächige Kombination des Beryll, 
Fig. 164). 



Pyramidal'hemimorphe (hexagonal-pyramidale) Klasse. 

120. Pyramidale Hemlmorphie. Bei der Hemimorphie der pyramidalen 
Hemiedrie sind die Formen der letzteren (119) in der Richtung der Hauptachse c an 
deren beiden Enden verschieden geworden. Infolgedessen ist auch die Hauptsymmetrie- 
ebene nebst dem Symmetriecentrum verschwunden; als einziges Symmetrieelement 
ist nur die sechszählige Symmetrieachse parallel der Hauptachse c geblieben. Die 
Doppelpyramiden (Dihexaeder 1., 2. und 3. Stellung) teilen sich in je zwei korrelate 
einseitig offene einfache Pyramiden, deren Spitzen oben und unten auf der Haupt- 
achse liegen und deren Ausdrücke sich nur durch das -|~ ^^^ — Vorzeichen der Ab- 
leitungszahl i für die Hauptachse unterscheiden. Aus dem Dihexaeder 1. Stellung 
(hOhi) entstehen also z. B. die beiden korrekten Teilformen {hOhtj und {hOhi) und 
entsprechend bei den übrigen Pyramiden. Die Basis zerfällt in ihre beiden Einzel- 
flächen, nur die Prismen behalten ihre Gestalt und Stellung als solche 1., 2. und 
3. Stellung bei. 

Geht man von der vollflächig hexagonalen Klasse aus, so hat man es hier mit 
tetartoedrischen Formen zu tun. Die Didodekaeder mPn oder (hJdi) geben vier 
einfache Pyramiden 3. Stellung, zunächst eine -{- und eine — Tritopyramide (119) 
und aus beiden entsteht je eine obere und eine untere Hälfte. Danach erhält man, 
wenn o und u oben und unten bedeutet, die vier Ausdrücke: 

. -t- — — oder (hkl%) und o . — — — oder (Mi); 

. [mPn! , , -- , rmPn"! , ,_=-=-r. 

1* . + — ^ — oder (hklt) und u . — — — oder (M*). 

Die Ausdrücke für die aus den Dihexaedem 1. und 2. Stellung und aus der 
Basis abgeleiteten, einfachen hemimorphen Gestalten ergeben sich darnach von selbst. 

Dem physikalischen Verhalten (Atzfiguren) nach wird der Nephelin hierher 
gerechnet. 

ß) Dreigliedrige (trigonale) Klassen. 

Hauptachse eine dreizählige Symmetrieachse. An Mineralien sind beobachtet die 
rhomboedrisch-hemiedrische, die rhomboedrisch-hemimorphe, die trapezoedrisch-tetar- 
toedrische und die rhomboedrisch-tetartoedrische Klasse. Besonders wichtig ist die 
erste wegen ihres Vorkommens an dem Kalkspat und die dritte, zu welcher der 
so verbreitete Quarz gehört. 



Bhomboediische Hemiedrie. 141 

Rhombaedrisoh-hemiedrisohe (ditrigonal-skalenoedriache) Klasse. 

121. Bhomboediische Hemiedrie. Nach dem Gesetz der rhombo- 
edrischen Hemiedrie verhalten sich ähnlich wie bei der tetraedrischen 
Hemiedrie des regulären Systems (105) alle in einem Raomabschnitt, 
hier in einem von der Hanptachse c nnd zwei Nebenachsen a begrenzten 
Dodekanten, vorhandenen Flächen einander gleich nnd von denen der 
umliegenden Dodekanten verschieden. Setzt man diese Flächenver- 
teilung rings um den Ejystall herum konsequent fort, so ist jeder 
Dodekant von drei entgegengesetzt sich verhaltenden Dodekanten um- 
geben, wie dies in Fig. 169 für das Beispiel des Didodekaeders durch 
schraffierte und nicht schraffierte Flächen dargestellt ist. Jeder 
Dodekant mit schraffierten Flächen ist umgeben von drei Dodekanten 
mit nicht schraffierten, und umgekehrt. 

Die Folge dieser Anordnung ist, daß die Hauptsymmetrieebene 
der vollflächigen Krystalle als solche wegfällt, und ebenso die drei 
abwechselnden, durch die Nebenachsen a gehenden Nebensjrmmetrie- 
ebenen, während die drei durch die Zwischenachsen bestimmten Neben- 
sjnoimetrieebenen bleiben. Die sechszählige Hauptsymmetrieachse des 
Didodekaeders wird dreizählig, die drei den Nebenachsen a parallelen 
zweizähligen Symmetrieachsen ändern ihren Charakter nicht, aber die 
drei den Zwischenachsen parallelen Symmetrieachsen fallen weg. Das 
Symmetriecentrum bleibt, die rhomboedrische Hemiedrie ist eine 
parallelflächige. Die Flächenverteilung läßt auch erkennen, daß die 
korrelaten Formen nicht enantiomorph, sondern kongruent sind und 
durch Drehung um die Hauptachse c um 180® (resp. auch um 60® und 
300®) zur Deckung gebracht werden können. Man unterscheidet sie 
als -j- ^^d — . 

Die rhomboedriach-hemiedrische Klasse ist die wichtigste des hexagonalen 
Systems. Ihr gehören die allermeisten nnd zngleich mit die allerwichtigsten hexa- 
gonal krystallisierten Mineralien an, mehr als allen anderen hexagonalen Klassen 
zusammen. Als Hanptbeispiele sind der Kalkspat nnd die anderen rhomboedrischen 
Karbonate, der Eisenglanz^ Korund etc. zn nennen. 

122. Einfache Formen der rhomboedrischen Hemiedrie. Diese 
entstehen, wenn von den Flächen der holoedrischen Formen, die in 
den abwechselnden Dodekanten liegenden Flächen verschwinden und 
die übrigen sich ausdehnen, wie es die Flächenschraffierung in Fig. 
169 für das DidodeJcaeder zeigt. Denkt man sich alle schraffierten 
Flächen ausgedehnt und gleichzeitig alle anderen verschwunden, und 
umgekehrt, so entstehen aus diesem zwei korrekte Skdlenoeder (Fig. 
168 und 170), begrenzt von je 12 unregelmäßigen Dreiecken, welche 
sich in sechs zickzackförmig schief auf- und absteigenden Seiten-, 
Mittel- oder Randkanten S (Fig. 168) und in 6 + 6 abwechselnd 



142 Hexagonales KrTatallsystem. 

gleidien End- oder Polkanten K nnd K^ schneiden. Von diesen 
stoßen je 3 + 3 abwechselnd gleiche in jeder der zwei gleichen End- 
oder Polecken c zusammen, wäh- 
rend sich in jeder der sechs 
gleichen Seiten-, Mittel- oder 
Randeckea e, die abwechselnd 
I höher nnd tiefer liegen, je zwei 
gleiche Seitenkanten S nnd je 
zwei ungleiche Endkanten K nnd 
K^ treffen. An jedem Skaleno- 
eder sind in der Normalstellung, 
wie sie durch die Beziehung 
Fig. 168. Fig. 169. Fig. 170. znm Didodekaeder gegeben, and 
wie sie in den Fig. 168 und 170 dargestellt ist, die Endkanten K 
nach derjenigen Eichtung gekehrt, nach welcher die Endkanten K^ 
des Gegenskalenoeders gehen Dud umgekehrt. Die Seitenkanten beider 
dnrchkrenzen sich in den Enden der Nebenachsen unter gewissen Winkeln, 
welche von den Indices des Didodekaeders abhängen. Beide Skaleno- 
eder werden als + nnd — Skalenoeder unterschieden. Sie sind kon- 
gruent ; das eine Skalenoeder kann dnrch eine Drehung um die Haupt- 
achse um 180° (resp. auch um 60° und 300°) in die Stellung des 
anderen, des Gegenskalenoeders, gebracht werden. Die Hauptachse 
geht bei allen Skalenoedern durch die beiden Endecken c, ebenso 
die Nebenachsen durch die Mitte zweier gegenüberliegender Seiten- 
kanten S, die Körper mögen -\- oder — sein. Hier kann man also 
die Nebenachsen nicht beliebig wählen, wie im vollfiächigen 
System; sie sind hier ebenso bestimmt und fest g^eben, wie die 
Hanptachsa Das eine Skalenoeder wird nach der Millerschen 
Methode mit dem Ausdruck q QMi) bezeichnet, wo ä > li, das Gegen- 
skalenoeder ist dann eQchli). 

Nach demselben Gesetz entstehen aus dem Dihexaeder 1. Stdlung 
(Fig. 172) zwei korrelate Bhomboeder (Fig. 171 und 173), und zwar 



ein 4* und ein — Bhomboeder, eines das Gegenrhomboeder des anderen. 
Sie sind in der idealen Gestalt von sechs Rhomben begrenzt, welche 



Rhomboedriscbe Hemiedrie. 143 

sich in seclis gleichen End- oder Poltanten E, die darch die beiden 
Endecken c gehen, und in sechs gleichen zickzackförmig auf- und ab- 
steigenden Seiten-, Mittel- oder Kandkanten S schneiden, welche dnrch 
di« sechs gleichen Seiten-, Mittel- oder Randecken e gehen. Diese 
Seitenkanten verlaufen hier genau so wie bei den Skalenoedem, auch 
die Achsen gehen genau so wie dort durch die beiden Endecken und 
durch die Mitten von je zwei gegenüberliegenden Seiteukanten. Die 
Endkanteu des einen Khomboeders sind in der Normalstellang nach 
derselben Seite bin gerichtet, nach welcher die Flächen des Oegen- 
rhomboeders gerichtet sind. Die Seitenkanten steigen in beiden in 
entgegengesetzten Eichtungen auf und ab, wie bei den Skalenoedem. 
Khomboeder und Gegenrhomboeder sind kongruent und können durch 
Drehung um die Hauptachse um 180* (resp. auch um 60" und 300") 
zur Deckung gebracht werden. Rhomboeder wie Skalenoeder sind 
bald spitz, bald stumpf, je nachdem sie von der Hauptachse größere 
oder kleinere Stücke abschneiden. Beide sind paraÜelfltLchig. Der 
Ausdruck der beiden Rhomboeder nach Miller ist: eQiOhi) und g(OJÄi). 
Das Hauptdihexaeder (lOU) zerfällt in die beiden Rhomboeder ^(1011) 
und ^0111), von denen das eine das Rattptrhomboeder (primäres Rhombo- 
eder), das andere das Gegenrhomboeder im engeren Sinne genannt 
wird. Die Achsen werden so angenommen, daß die -|- Rhomboeder 
an ihnen den Ausdruck (hOkt), resp. (lOU) erhalten. 

Alle übrigen hexagonalen Formen geben nach diesem Gesetz 
keine neuen bemiedrischen K&rper, sondern sie treten 
in den Kombinationen mit ihrer ganzen Flächenzahl 
auf, so namentlich die Dihezaeder 2. Stellung, die 
sich dadurch als solche ganz bestimmt charakteri- 
sieren und von denen 1. Stellung unterscheiden ; ebenso 
die Prismen und die Basis. Für die Dihezaeder 
2. Stellung zeigt das die Fig. 174. Die Hälfte jeder 
Fläche liegt in dem einen Dodekanten und verschwindet, « 

die andere Hälfte im anstoßenden Dodekanten und Fiff- 1'*- 
dehnt sich aus, so daß sie die verschwundene Hälfte sofort wieder 
ersetzt. 

Bei der rhomboedriadieu Hemiedrie nnteTscheiden sich also die beiden Qmppen 
TOD Diliexaedeni außer durch ihre Stellan^ nn den Achsen auch noch dadurch weaeot- 
lieh voneinander, daO bei der einen Ornppe ein Zerfallen in znei Eboraboeder ein- 
tritt, bei der anderen nicht. Uan konnte nnn beliebig: der einen oder anderen 
Grnppe die erste Stellnng geben, je die andere hätte dann die 2. Stellung. 
Xmem allgemein beobachteten Qebraccb gemlQ erbalten stets die in iwei Bbombo- 
eder serfallenden Dibesaeder die 1. Stellnng. Die flBcben aller Bhonboeder ohne 
Ausnahme, seien sie -\- oder — , haben daher an den Achsen die 1. Stellnng, so daQ 
sie Ewei Nebenachsen in gleicher Entfemong schneiden nud der dritten parallel gehen, 
entsprechend dem allgemeinen Ansdrack -. (ÄOÄi) resp. (OÄÄi). Unter dieser Vorani- 
setctmg ist anch das Qeseta der rhomboedrischen Hemiedrie in der obigen Form 



144 Hexa^onales KiystoUa^Btem. 

ansgeBprodieii worden. Bei der entge^engeEetzten Änntthine, bei der die in zwei 
Bhomboeder zerfallenden Diheiaeder die 2. Stellnng erhalten wQrden, mttßte die 
FasBnng dea GegeUea etwa« anders sein nnd g'leichzeitig würden eich anch die 
fitirigen YerhUtnisse entsprechend ändern. Eine BelbstTerständliche Folge obiger An- 
nahme ist femer, daü die Nebenachsen nnn in ihrer Lage fest beetimmt sind und 
nicht mehr beliebig mit den Zwiechenachsen rertaascht werden kOnnen, wie z. B. in 
der Tollfiächigen Elaase. 

123. NanmannB Bezeichnung; der rhomboedrlBehen Formen. 

Wegen der überwiegenden Wichtigkeit der rhomboedriachen Henüedrie 
im Mineralreich und sonst (121) hat Naumann die einfachen Formen 
derselheo nicht wie gewöhnlich bei bemiedriscben Körpern, z. B. mit 

— g— , bezeichnet, sondern er hat eine besondere anf ihre speziellen 

Verhältnisse gegründete Bezeichnungsweise eingeführt. Er gibt den 
beiden von dem Dihezaeder mP ableitbaren Bhomboedeni das Zeichen 
mB nnd unterscheidet sie als -j- mB und — mB, also z. B., Tom 
Hauptdihexaeder P abgeleitet, -|- R (Hauptrhomboeder) und — B 
(Gegenrhomboeder), welche von den Achsen die Einheiten abschneiden. 
Dann ist: 

4- »i-B = "i : «lOg : —«3 : mc =^ p(fMOml) 

oder allgemein: ß(ÄOÄ») und _ 

— mB = — a, : ©oa^ : Og : mc ^ ^{niOml) oder auch 

= coOi : Oj : — «g : me = ^(Omml) 
oder allgemein: p(ÄOAi) oder auch Q{Ohhi). 
Dabei dient q nur dazu, anzudeuten, daß rhomboedrische Gestalten 
vorliegen; wo dies anderweitig unzweifelhaft bekannt ist, kann e *nc^ 
fortbleiben. 

Zur Bezeichnung eines Skalenoeders denkt man sich in demselben ein 
Bhomboeder einbeschrieben, indem man durch je zwei zusammenstoßende 
Seitenkanten eine Ebene legt (Fig. 175). Die Seitenkanten dieses 
Ehomboeders fallen dann offenbar mit denen des 
Skalenoeders zusammen. Umgekehrt lassen sich an 
einem Bhomboeder unendlich viele Skalenoeder an- 
bringen, die mit ihm die Seiteukanten gemein haben, 
indem man durch alle Seitenkanten Flächen legt, die 
von der Hauptachse größere Stücke abschneiden &]s 
die Bhomboederflächen. Jedes Skalenoeder läßt sich 
demnach aus dem eingeschriebenen Bhomboeder, das 
mit ihm die Seitenkanten gemein hat, ableiten, indem 
man angibt, ein wievielmal größeres Stück die Skaleno- 
^' ederfläcben auf der Hauptachse abschneiden als die 

Flächen des Ehomboeders. Hat dieses den Ausdruck +tnB, so 
schneidet seine Flache das Stück mc von der Hauptachse ab ; schneiden 



Rhomboedrische Hemiedrie. 145 

dann die Flächen des Skalenoeders ein »imal größeres Stück ab, das 
also = n{mc) ist, wo n > 1, so schreibt man das Zeichen des 
Skalenoeders: +mRn. Das Skalenoeder ist dadurch unzweideutig 
gegeben. 

Dieses Zeichen ist nun ganz anders aufzufassen, als die übrigen Nanmannschen 
Zeichen. Hier beziehen sich jetzt beide Zahlen m nnd n auf die Hauptachse. Die 
Schnitte auf den Nebenachsen lassen sich nur durch Rechnung aus m und n ermitteln 
und umgekehrt. Man hat dazu folgende Formeln: 

Soll ein nach Naumann gegebenes Skalenoeder: mRn, für das also m und n 
bekannt ist, in den Indices hkli ausgedrückt werden, wo h'^kf d. h. sollen aus m 
und n die Indices A, k, l, i bestimmt werden, so erhält man: 

2 

Ä==n + 1, k = n — 1, i = 2n, i= — » und somit : 

2 

mRn = (> {hkli) = (> (n + 1, n — 1, — 2 n, — ), z. B. 

2E3 = (>(3 + 1,3-1, -2.3, |-) =(,(4261) 

und das Gegenskalenoeder: 

— 2B3 = (> (2461) oder e (4261). 

Ist für das Skalenoeder umgekehrt der Ausdruck ^ {kldi) gegeben, wo A >> fc, und 

wird m und n aus h, äc, {, i gesucht, so ist: 

h—k , h+k 

m= — : — und n = . , , somit: 
% h — k 

^{hkli) = — :— B T^T» also z. B. : 

_ 4 2 44-2 

e (4261) =* -^ — B -7~^ö — ^^- Ebenso wäre das Gegenskalenoeder : 

e (2461) =: — 2B3. 

124, Mlllersches Aohsensystem für rhomboedrisohe Krygtalle« Die 

rhomboedrischen ErystaUformen werden nach dem Vorgang von MiUer nicht selten 
auf ein anderes Achsensystem bezogen, das ihren spezieUen Verhältnissen angepaßt 
ist und das man als das MiUersche Achsenaystem zu bezeichnen pflegt. Es besteht 
aus drei Achsen und ist also trimetrisch, dem aus vier Achsen bestehenden tetra- 
metrischen Achsenkreuz der hexagonalen Erystalle gegenüber, das wir oben in der 
Weise von Bra/oais benützt haben. Die drei MiUerschen Achsen erhält man, indem 
man von einem Bhomboeder, dem sog. Grundrhomboeder, als Grundform ausgeht 
und, ganz ähnlich wie im regulären System beim Würfel, durch dessen Mittelpunkt 
drei Richtungen legt, die den Kanten paraUel gehen. Die drei Flächen des Bhombo- 
eders sind dann die Achsenebenen oder Fundamental- 
flächen ; zu ihnen gesellt sich als Einheitsfläche die Basis, 
die Ton den drei Achsenrichtungen drei gleiche Stücke 
abschneidet. Die drei Achsen sind also einander gleich, 
das AchsenyerhältniB ist wie im regulären System = 
a:a: a. Aber man hat nicht wie im letzteren drei 
gleiche rechte, sondern drei gleiche schiefe Achsen winkel ß, 
übereinstimmend mit den Winkeln der Kanten des Grund- 
rhomboeders. Die -|- Richtungen der Achsen (-f- a) ent- 
sprechen denen von der unteren Endecke des Grund- 
rhomboeders nach den drei umliegenden Seitenecken, die 
entgegengesetzten Richtungen sind (— a) (Fig. 176). Fig. 176. 

Bauer, Mineralogie. 10 




X46 Hezufcouales Krystallsystem, 

Ein derartiges AchsenBystem besitzt, wie die rhomboedrischen ErjstaUe, drei 
sich iii der dreizähligen Symmetrieachse unter 60® schneidende Symmetrieebenen, 
und hat auch im übrigen genan dieselben SymmetrieTerhältnisse. Wenn an ihm 
eine Fläche in ganz beliebiger Lage auftritt, so daß sie yon allen drei Achsen un- 
gleiche Stücke abschneidet, dann hat sie den allgemeinen Ausdruck: 

a a a j, 

t f 9 ^ 

wo die drei Indioes t^f,g-\- oder — sein und bei besonderen Lagen der Flächen 

spezielle Werte, u. a. den Wert 0, annehmen kOnnen. Im allgemeinsten Fall müssen 
der Symmetrie entsprechend, neben der ersteren Fläche {^fg) noch elf andere auf- 
treten. Alle zwölf zusammen begrenzen den flächenreichsten rhomboedrisch-hemi« 
edrischen Körper, ein Skalenoeder (e/^). Für das korrelate Gegenskalenoeder gelten 
andere Lidices e^figi^ die mit jenen nach folgenden Formeln zusammenhängen: 
e^='-e + 2f+2g;f, = 2t- f+2g', gt = 2e + 2f--g. 

Die Ausdrücke der einfachen rhomboedrischen Formen an den Millerschen 
Rhomboederachsen werden wir unten (126) kennen lernen. Hier sollen zunächst die 
Formeln angegeben werden, mittels deren man den für die Millerschen Achsen gül- 
tigen Flächenausdruck eines Skalenoeders (efg) in einen solchen für das Bravaissche 
Achsenkreuz (hkJ%)j oder in einen solchen nach Naumann, mRn^ überführen kann 
und umgekehrt. 

Es ist dabei immer vorausgesetzt, daß in allen Fällen dasselbe Bhomboeder 
als Grundform gilt. 

1. Gegeben der Flächenausdruck {efg) für Miüersehe Achsen, wo e^f^g. 
Gesucht: 

a) der Ausdruck Qikli) derselben Fläche für Bravaissche Achsen. 

Es ist: 

also: 

m = {hld%)={t^f,f--g,g^e,€ + f + g)^ 

z. B.: (212) = (2—1, 1 + 2, —2 — 2, 2 + 1 — 2) = (1341) 
(310)«(3 — 1, 1 — 0, — 3, 3 + 1 + 0) = (2134); 

b) der Ausdruck m£» derselben Fläche nach Navmofnn, Man findet: 



also: 



^ + f+g' t^'^+g' 
{efg)=±mBn=^'—^^B '""^ 



^+f+g t-2f-^g 
z. B.: (212) = |^^| B ^^'^-^ = -2B2 

(310) - g^iip Q B 3_2^ö - 4" ^• 
Wenn das Skalenoeder ein negatives ist, werden die beiden Werte für m und n 
negativ; vor den Ausdruck wird dann — gesetzt. 

2. Gegeben der Flächenausdruck (hkli) för Bravaissche Achsen. Gesucht der 
Ausdruck (efg) derselben Fläche für Millersc?^ Achsen. 
Es ergibt sich: 

e=:h — i + t; f==1c — Ä + t; g = l — fc + »; also: 
(h]di) = (efg) = {h^l + i, k^h + i, Z-Ä + i) 
z. B.: (2131) = (2 + 3 + 1, 1 — 2 + 1, - 3 — 1 + 1) = (603) = (201) 
(1231)«=(l + 3 + l, 2 — 1 + 1, —3 — 2 + 1) = (524). 



Rhomboedriache Hemiedrie. 



147 



also: 



3. Gegeben der Flächenansdruck mBn eines Skalenoeders nacb Naumann. Qe- 
sncht der Ansdmck (efg) derselben Form, bezogen auf MiUersohe Achsen. Man hat 
erhalten : 

a) für positive Skalenoeder + mBn : 

e = Bmn + m + 2; /«=— 2(m — 1); ^==i — 3wn + m + 2; 

+ wEn = (e/i7) = (3mn + tn + 2, — 2(m — 1), — 3mn + i» + 2), 
z. B.: |-Ä5 = (3. |, 5 + 1+2,-2(1— 1), -3.|-.6 + 1- + 2) 

fi) für negctüve Skalenoeder —mRn: 

c = 3mn--w + 2; /'=2(m + l); p = — 3mn — w + 2; 

— wBn = (c/'^) = (3wn — m + 2, 2(m + l), — 3mn — m + 2); 

z. B.: — 2B-|- = 3.a.2— 2 + 2, 2(2 + 1), -3.2.^ — 2 + 2) 

= (969) = (323). 
(Das Zeichen — vor mRn dentet nnr die Gegenstellnng an.) 

In der folgenden Tabelle sind nnter gleichzeitiger Berücksichtigong Ton (123) 
die Formeln fttr die Umwandlnng der Ausdrücke der Skalenoeder nach Naumann, 
Bravais und Miller schematisch zusammengestellt: 



also: 



Naumann 



Bravais 



MiUer 



1. 



-^mRn 



— mlin 



2. 
3. 



h—k ^ h+k 

: — "- Ji T T 

t h — k 

ilZ^+9 R c — 9 
e + f+9 e-2f+g 



n + 1, n — 1, — 2n, 
n — 1, n + 1, — 2», 
hkli 



2_ 
m 

2^ 

m 



e—fj—gyg—e.e+f+g 



3wn+m+2, — 2(m— 1), 
— 3mw+m+2 

3»in — w + 2, 2(in + l), 
— 3mn — m + 2 

h — l + i,k^h + i 
l^k + i 



Dabei ist immer anf die + oder — Stellung der Skalenoeder Bttcksicht zu nehmen. 

Bei den anderen einfachen rhomboedrischen Formen geben die Nwumannsehen 
Symbole unmittelbar die Achsenschnitte und damit die Braoaisschen Ausdrücke, die 
dann nach der obigen Formel in die für die Millerschen trimetrischen Achsen um- 
gewandelt werden können. Bei der Überführung yon Bravaisschen Symbolen in 
Hiliersehe und umgekehrt sind bei den anderen einfachen Formen als den Skaleno- 
edem deren spezieile Indioes in die obigen Formeln einzuführen. 



125. tlbersiclit über die einfaclien rhomboedrischen Formen. 

Die eiafachen Formen der rhomboedrischen Hemiedrie sind nun die 
folgenden : 



10* 



]^48 Hezagonales Erystallsystem. 

1, Skcdenoeder: 

a) positive: mRn oder {hkli), (ä>ä) oder (efg); 

z. B.:^i?3 = (2134) = (310). 

b) negative: — mRn oder (ääK), (ä>ä;) oder (e/g^); 

z. B.: —2R2 = (1341) = (212). 

2. Dihexaeder (2, Stellung): mP2 oder {h.h.2h.i) oder (e^gr), 
(2f=e + gy, 

z. B.: 4P2 = (2241) = (715). 

5. Bhomboeder: 

a) positive^^ -fmÄ oder (hOhi) oder: (eyy) spitzer, resp. (egg) 
flacher als jB (lOf 1), (c > flr) ; 

z. B.: U = (lOll) = (100). 

2E = (2021) = (511); ^Ii = (1012) = (411). 

b) negative: —mB oder (Ohhi) oder (c^ spitzer, resp. (eeg) 
stumpfer als — -i- JB (0112), (c > gr); 

z. B.: — i? = (Olli) = (22l); —jR = (0112) = (HO); 

— jR = (0223) = (551) ; — -^ i? = (0115) = (221) ; 

4. Dihexagonales Prisma : ooP2 oder (MM)) oder (efg), (e-\'f-\-g = 0). 

z. B.: ooPf = (2130) = (5l4). 

5. Hexagonales Prisma (1. Stellung): ooJB = (1010) = (211). 

6. Hexagonales Prisma (2. SteUung): ooP2 = (1120) = (lOl). 

7. Basis: OB = (0001) = (111). 

Aach hier lassen sich alle flftchenärmeren einfachen Formen (JS — 7) als spezieUe 
Fälle der flächenreichsten, des Skalenoeders auffassen. Das Dihexaeder 2. Stellnng 
ist dann ein Skalenoeder mit lauter gleichen Endkanten, dessen Seitenkanten nun 
aUe in einer Ebene liegen. Das dihexagonale Prisma ist ein Skalenoeder mit nn- 
endlich großem Schnitt auf der Hauptachse, dessen Flächen und Kanten also dieser 
parallel geworden sind; je zwei in einer stumpfen Kaute zusammenstoßende Flächen 
gehören abwechselnd zum oberen und zum unteren Ende des Erystails. Beim Rhombo- 
eder sind je zwei in einer stumpfen Endkante zusammenstoßende Flächen des 
Skalenoeders in eine zusammengefallen, die Endkante ist = 180® geworden. Umge- 
kehrt kann man sagen, das Skalenoeder ist ein Rhomboeder, dessen Flächen längs 
der schiefen Diagonale gebrochen sind und dadurch einen stumpfen Knick erhalten 
haben. Das hexagonale Prisma 1. Stellung ist ein Rhomboeder (-f- oder — ) mit 
unendlich fernem Schnitt auf der Hauptachse ; die Flächen gehören abwechselnd zum 
oberen und zum unteren Ende. Das hexagonale Prisma 2. Stellung ist ein Dihexa- 
eder 2. Stellung mit unendlich fernem Schnitt auf der Hauptachse. Die Basis 
ist ein Skalenoeder oder Rhomboeder, bei dem alle Endkanten = 180® und daher 
alle um eine Endecke herumliegenden Flächen in eine Ebene zusammengefallen sind. 



Khomboedrische Hemiedrie. 



149 



126. Torzelclien der Bhomboeder und Skalenoeder. Je nach- 
dem die an einem Achsensystem gleichzeitig auftretenden Rhomboeder 
und Skalenoeder -j- oder — sind, haben sie eine verschiedene Stellung 
zueinander, wie das in der Hauptsache schon ans den bisherigen Be- 
trachtungen hervorgeht Zwei Rhomboeder haben dasselbe Vorzeichen 
(sind beide + oder beide — ), wenn ihre Flächen, resp. ihre End- 
kanten nach derselben Richtung hin gekehrt sind. Zwei Skalenoeder 
haben dasselbe Vorzeichen, wenn sie je ihre stumpfen, resp. ihre 
scharfen Endkanten nach derselben Richtung kehren; ihre Zickzack- 
kanten steigen dann, wie bei zwei Rhomboedem mit demselben Vor- 
zeichen in gleichem Sinne auf und ab. Wendet ein Rhomboeder seine 
Endkanten dahin, wohin ein anderes seine Flächen kehrt, so sind sie 
beide von verschiedenem Vorzeichen. Dasselbe ist der Fall bei zwei 
Skalenoedem, wenn die stumpfen Endkanten des einen nach der Seite 
der scharfen Endkanten des anderen liegen. Die Seitenkanten beider 
steigen dann in entgegengesetztem Sinne auf und ab. Kehrt ein 
Skalenoeder seine stumpfen Endkanten in die Richtung der Flächen, 
seine scharfen Endkanten in die Richtung der Endkanten eines Rhombo- 
eders, so haben sie beide dasselbe Vorzeichen. Ist aber die Endkante 
des Rhomboeders in der Richtung der stumpfen Endkante des Skaleno- 
eders, die Flächen des ersteren in der Richtung der scharfen End- 
kanten des letzteren gelegen, so sind beide Körper von verschiedenem 
Vorzeichen. Das Verhältnis der Seitenkanten beider ergibt sich aus 
dem Obigen. Diese Beziehungen gewinnen erst Bedeutung bei den 
rhomboedrischen Kombinationen, die wir nun zu betrachten haben. 



127. Bhomboedrische Kombinationen. Die Basis h stumpft an 
den Skalenoedem und Rhomboedem die Endecken gerade ab (Fig. 177, 
wo, wie in Fig. 179, r^ statt 
r' zu lesen ist) und schließt 
die Prismen oben und unten 
senkrecht zu deren Flächen 
und Kanten (Fig. 165 und 156). 
Ein Rhomboeder r spitzt an 
einem Rhomboeder R mit dem- 
selben Vorzeichen die End- 
ecken von den Flächen aus 
dreiflächig zu, wobei r we- 
niger steil ist, als R (Fig. 
178). Wenn ein Rhomboeder 
r^ mit einem solchen r von entgegengesetztem Vorzeichen in Kom- 
bination tritt, li^en seine Flächen an den Endkanten des letzteren 
und zwar ist das in dreierlei verschiedener Weise möglich. Entweder 




Rg. 177. 




Fig. 178. 



150 



Hesagonales KrystaUsyetem. 



spitzen die Flächen von r^ die Endecken yon r von den Endkanten 
aus dreiflächig zu (Fig. 179, lies r^ statt r'), wenn die Flächen von 
r^ weniger steil sind, als die Endkanten von r. Oder das hinzu- 
tretende Rhomboeder stumpft die Seitenecken des anderen schief ab, 
wenn seine Flächen steiler stehen als die Endkanten des letzteren. 
Oder endlich die Flächen von r^ stumpfen die Endkanten von r ge- 
rade ab, wenn sie ebenso gegen die Hauptachse geneigt sind, wie die 
Endkanten von r (Fig. 180). Das Rhomboeder, dessen Flächen die 
Endkanten eines anderen gerade abstumpfen, heißt das iMuckste 
stumpfere zu diesem ; umgekehrt dieses letztere, dessen Endkanten von 
den Flächen des anderen gerade abgestumpft werden, das nächste 
steilere, spitzere oder schärfere; r^ (Fig. 180) ist also das nächste stumpfere 
zu r, r das nächste steilere, schärfere oder spitzere zu r^. Das nächste 
stumpfere Rhomboeder schneidet bei gleichen Schnitten auf den Neben- 
achsen von der Hauptachse ein halb so großes, das nächste spitzere 
Rhomboeder ein doppelt so großes Stück ab, als das Rhomboeder, zu 
dem sie gehören. Beide müssen das diesem entgegengesetzte Vor- 
zeichen haben. 




Fig. 179. 



Fig. 180. 



Fig. 181. 



Greht man yon dem Bhomboeder -{- mE = (hOhi), resp. von dem Gegenrhomboeder 
— fnB = {Ohhi) aus, dann ist: 

Das zugehörige nächste stumpfere Rhomboeder: 



m 



■— -jc- iJ oder 0,h.h,2i (zu + mE), resp. 



m 



+ -g-5 oder h.0.h,2i (zu — mJB). 
Das zugehörige nächste spitzere Bhomboeder ist: 

— 2mi2 oder (O.Ä.Ä.—) = (0.2ä.2ä.») (zu +mÄ), re«p. 



T t 



+ 2mR oder (Ä.O.Ä.y) = (2Ä.0.2Ä.i) (zu — wlB). 

Das zweite stumpfere Rhomboeder stumpft die Endkanten des 
nächsten stumpferen gerade ab und im gleichen Sinne spricht man 
von einem dritten, vierten etc. stumpferen, und ebenso auch von einem 
jsweiten, dritten etc. sMrferen Rhomboeder. Dabei ist jedesmal das 
nächstfolgende von anderem Vorzeichen als das ih^ vorhergehende, 
während die abwechselnden Glieder einer solchen Reihe gleiche Vor- 



Bhomboedrisehe Hemiedrie. 



161 



zeichen haben. So ist in Fig. 181 ^r^ das nächste stumpfere, 2r^ 
das nächste schärfere Bhomboeder zu r. Qeht man von 2r^ aus, so 
ist r das nächste, ^r^ das zweite stumpfere zu 2^1. Legt man |r, zu 
Grunde, so ist r das nächste, 2r^ das zweite spitzere Bhomboeder zu 
^Tj. Stets ist 2ri und ^r^ von gleichem Vorzeichen, aber von ent- 
gegengesetztem Vorzeichen wie r. Daß r das nächste stumpfere 
Bhomboeder zu 2r^ ist, erkennt man daran, daß die zwei Kanten rßr^ 
zu beiden Seiten von r einander parallel sind, ganz ebenso wie die 
beiden Kanten rj^r^^ auf beiden Seiten von ^r^. 

Nimmt man r als Grnndfonn (Hauptrhomboeder) E (1011) so wird, entsprechend 
den oben angegebenen Ausdrücken: 

y n = — y 5 (0112) nnd : 2ri = — 222 (0221). 

Ist 2ri die Grundform (Hauptrhomboeder, also: 2ri »»/{(lOll), so erhält man: 

r = -|Ä(0li2); i-n=lB(10U). 

Ist endlich — —ri die Grundform und =22(1011), so ist: 

r =. — 2iJ (0221) ; 2ri = 4B (4041), 
wobei selbstrerständlich das Achsenverhältnis jedesmal ein anderes ist. Derartige 
Reihen von spiteeren und stumpferen Rhomboedem kommen bei rhomboedrischen 
Erystallen nicht selten vor. 

Das erste hexagonak Prisma P^ stumpft an jedem Bhomboeder r^ 
die Seitenecken (Fig. 182), das mveUe hexagonäle Prisma p^ an jedem 
Rhomboeder die Seitenkanten gerade ab (Fig. 183 und 184). Um- 
gekehrt sind die Flächen der 
Rhomboeder auf die Flächen 
des ersten Prismas P^, resp. 
auf die Kanten des zweiten 
Prismas p^ gerade aufgesetzt 
und zwar abwechselnd nach 
oben und nach unten. Es ist 
dabei ganz gleichgültig, ob 
die Rhomboeder + oder — sind, 






Vig. 182. 



Fig. 183. 



Fig. 184. 



da ja alle Rhomboeder die 1. Stellung an dem Achsensystem haben. 
Sind die Flächen des +Rhomboeders r auf die Kanten des zweiten 
Prismas abwechselnd nach unten und nach oben aufgesetzt (Fig. 184), 
so sind es die Flächen des — Rhomboeders r^ in entgegengesetzter 
Weise auf den zwischenliegenden Kanten desselben Prismas {Fig. 183). 
Entsprechend verhält es sich bei dem Prisma der 1. Stellung. 

Ganz analog ist die Kombination der beiden Prismen mit den 
Skalenoedem. Das erste Prisma stumpft die Seitenecken, das zweite 
Prisma die Seitenkanten der Skalenoeder ab, ganz gleichgültig, ob 
diese -|-,oder — sind. 



162 



Eexagonalea Errstalbyitem. 



Ein Rbomboeder r spitzt die Endecken eines Skalenoeders s 
mit demselben Vorzeichen von den stumpfen Endkanten ans drei- 
fläcMg zu. (Fig. 186). Wären die beiden Formen von entgegen- 
gesetztem Vorzeichen, dann wörde diese Zuspitzung von den schärferen 
Endkanten ans geschehen. In anderer Weise kombiniert sich ein 
Skalenoeder s mit einem !^omboeder r, indem es die Endkanten des 
letzteren znschftrft (Fig. 186). Liegt dabei die stumpfe Endkante s's 
des Skalenoeders über der Fläche des Ehomboeders r, wie es in der 
Fignr angenommen ist, so haben sie beide dasselbe Vorzeichen. Läge 
au dieser Stelle die schärfere Endkante sjs, dann wären beide Körper 
yon yerschiedenem Vorzeichen. 




Fig. 186. 



Fig. 186. 



Fig. 187. 



Fig. 188. 



Li Fig. 187 stumpft das Ehomboeder r^ die schärfere Endkante 
des Skalenoeders s ab; beide Formen sind dann von verschiedenem 
Vorzeichen. Wären die stumpferen Endkanten des Skalenoeders s 
abgestumpft, so würden die Abstumpfungsflächen wieder einem 
Rhomboeder, aber einem solchen mit demselben Vorzeichen wie das 
Skalenoeder angehören. In Fig. 188 ist eine kompliziertere rbom- 
boedrische Kombination abgebildet Die beiden Khomboeder R and r 
kehren ihre Flächen nach der Richtung der stumpferen Endkanten 
der beiden Skalenoeder S und s, alle vier haben also dasselbe Vor- 
zeichen; Pj ist das erste Prisma, seine Flächen stumpfen die Seiten- 
ecken des Skalenoeders s ab, über den Flächen P, liegen die Flächen 
der Bhomboeder und die Endkanten der Skalenoeder. P^ könnte der 
allgemeinen Lage nach auch ein Rhomboeder sein; als Prisma er- 
weist es sich dadurch, daß nach der Untersuchung 
auf dem Ooniometer alle sechs Flächen in einer Zone 
liegen und sich unter Winkeln von 120" schneiden. 

Ad dem Fig. 189 abgebildeten Erystall sind zwei 
Rhomboeder von verschiedenem Vorzeichen r und r^, 
letzteres das nächste stumpfere zu ersterem, wie man 
daran sieht, daß die Fläche r^ von den zwei anliegen- 
den r in zwei parallelen Kanten geschnitten wird ; ferner 
zwei Skaienoedervon verschiedenem Vorzeichen sund*i; 
r und s und ebenso r^ und «, sind von demselben Vorzeichen. In einem 




Kg. 189. 



Rhomboedrische Hemimorphie. 153 

solchen Erystall sind alle Achsen der Richtung nach gegeben. Bei 
der weiteren krystallographischen Betrachtung pflegt man ein ßhom- 
boeder als Hatiptrhomboeder zu wählen, dem man damit den Ausdruck: 
-f-jB(lOll) gibt und aus dessen Flächenwinkeln man das dieser An- 
nahme entsprechende Achsenyerhältnis a : c berechnet Ist hier r als 
Hauptrhomboeder gewählt, so ist r^ = — :^R (0112) (127). Die 
Skalenoederausdrücke lassen sich dann aus Zonen oder den Neigungs- 
verhältnissen ihrer Flächen berechnen. Jedenfalls ist aber: s = 
+ mRn (hMi) und 8^= — m*Rn' {ifh'N). Man hätte aber ganz ebenso 
r^ als Hauptrhomboeder mit dem Ausdruck: i?(1011) wählen können, 
dann wäre das Verhältnis a:c ein anderes als vorher geworden ; es 
wäre dann r das nächste schärfere Rhomboeder zu r^ und r = — 2B 
(0221) und die beiden Skalenoeder s und Sj^ müßten ihre Vorzeichen 
vertauschen. Die Flächen p^, welche die Seitenkanten der Skalenoeder 
8 und Sj^ abstumpfen, gehören unter allen Umständen dem Prisma 
2. Stellung an. 



Rhomboedmoh'hemimorphe {ditrigonal-pyramidale, hemimorph- 

hemiedrische) Klasse, 

128. Hemimorphie der rhomboedrischen Hemiedrie. Manche 
rhomboedrischen Erystalle sind an den beiden Enden der Hauptachse 
verschieden ausgebildet. Es ist Hemimorphismus eingetreten, dessen 
Achse die Hauptachse ist (68). Am einen Ende der letzteren finden 
sich Flächen von anderer Lage und anderem Ausdruck, eventuell von 
anderer Beschaffenheit, als am anderen. Die parallelen Gfegenflächen 
sind entweder weggefallen und durch andere ersetzt, oder von- 
einander verschieden geworden. Dadurch verschwinden die drei zur 
Hauptachse senkrechten zweizähligen Symmetrieachsen in der Rich- 
tung der Nebenachsen nebst dem Symmetiiecentrum in den rhombo- 
edrischen Erystallen und es bleiben bei den rhomboedrisch-hemi- 
morphen als einzige Symmetrieelemente die dreizählige Hauptsymme- 
trieachse in der Eichtung der Achse des Hemimorphismus sowie die 
drei Nebensymmetrieebenen parallel den Zwischenachsen übrig. 

Die einzelnen einfachen rhomboedrischen Formen verhalten sich 
dabei folgendermaßen: 

Aus den Skcäenoedem -f* niRn oder {hJcii) und — mRn oder {JMi) 
werden durch Wegfallen der oberen resp. unteren Hälfte der Flächen 
zwei kongruent« korrelate dreifach symmetrische sechsseitige Pyra- 
miden, deren Flächen sich wie beim Skalenoeder in 3 -|- 3 abwechselnd 
gleichen spitzeren und stumpferen Endkanten schneiden. Sie sind 
nach unten resp. oben offen und ihre Spitzen liegen auf dem oberen 
positiven resp. dem unteren negativen Aste der Hauptachse c. Da- 



154 Hexagonales ErystallBystem. 

nach erhalten sie, wenn o nnd u die Lage oben und unten an der 
Hauptachse andeuten, die Ausdrücke: 

0, -|- mBn oder {Mdi) und u. -|- mBn oder (JMf) 

0. — mBn oder (Jchli) und w. — mBn oder QikU). 

Ganz entsprechend entstehen aus jedem Bihexaeder 2. Stellung 
mP2 oder {h.h,2h.i) zwei nach unten resp. oben offene sechsseitige 
Pyramiden mit lauter gleichen Endkanten und mit den Ausdrücken: 

. mP2 oder {h.h.2h.i) und u . mP2 oder {h.h.2h.t). 

Die Bhomhoeder -^-mB oder (ÄÖÄi) und — wiJ oder (0/iÄi) geben 
zwei korrelate gleichseitig - dreieckige Pyramiden mit drei gleichen 
Endkanten, die ihre Spitzen nach oben resp. nach unten kehren. 
Ihre Ausdrücke sind: 

0. + mB oder {MM) und w. + mB oder (ÄOä^ und 

0. — mB oder (OAÄf) und u, — mB oder (OÄÄi). 

Die Basis OB zerfällt in zwei einzelne Flächen ö . OJB « (0001) 
und w . 022 = (0001). 

Die sswolfseitigen Prismen ooPn oder (AiZO) sind, wie wir gesehen 
haben, zu betrachten als Skalenoeder, deren Flächen die Hauptachse 
im Unendlichen schneiden (125). Je zwei in einer stumpferen Kante 
aneinander liegende Flächen gehören abwechselnd zu dem einen und 
dem anderen Ende. Beim Eintritt der Hemimorphie werden diese 
beiden Flächenhälften verschieden und das zwölfseitige Prisma zer- 
fällt in zwei korrelate dreifach symmetrische sechsseitige Prismen mit 
sechs abwechselnd gleichen schärferen und stumpferen Kanten. Es 
werden aus dem zwölfseitigen Prisma ooPn oder (hMO) zwei symme- 
trisch'Sechsseitige, von denen das eine zu dem oberen» das andere zu 
dem unteren Ende zu rechnen ist Beim Hemimorphismus ist meist 
nur das eine ausgebildet, das andere mit den zu dem einen Pol ge- 
hörigen Flächen verschwunden. 

Ganz analog ist das hexagonäle Prisma 1. Stellung ooB == (1010) 
als ein Bhomboeder mit unendlich langem Schnitt auf der Hauptachse 
zu betrachten; seine Flächen gehören abwechselnd zu dem einen und 
zu dem anderen Ende. Das sechsseitige Prisma der 1. Stellung 
ooB (1010) zerfällt also bei der Hemimorphie in zwei regulär drei- 
seitige, von denen meist nur eines ausgebildet ist 

Das hexagonäle Prisma 2. Stellung , oöP2 oder (A.Ä.2Ä.0), das 
als ein Dihexaeder 2. Stellung mit unendlich großem Schnitt auf der 
Hauptachse anzusehen ist, bleibt allein in seiner Form erhalten und 
tritt mit seiner vollen Flächenzahl in die rhomboedrisch-hemimorphen 
Kombinationen ein. 

Eine solche Kombination bildet der I^^rwaKn-Krystall (Fig. 190). Er ist an 
beiden Enden verschieden, jedes Ende zeigt für sich rhomboedrisch-bemiedriscfae 



Trapezoedrische Tetartoedrie. 



155 




n 
Fig. 190. 



Ansbildnng. An beiden Enden ist dasselbe Ehomboeder P, wie man dnrch die 
Gleichheit der Winkel mittels des Goniometers konstatieren kann. Aber die Flächen 
P^ oben sind anders beschaffen als die Flächen Pi nnten, es ist 
in seine beiden Hälften zerfallen. Hat es den Ansdruck 12(1011), 
80 sind die beiden Hälften: P^ (oben): 0.12(1011) nnd P^ (nnten): 
ii . B (1011). 

Zu P^ tritt oben die Hälfte des nächsten spitzeren Bhomboeders- 
0=0. — 2JS (0221) nnd zn Pi unten die Hälfte des nächsten stump- 
feren Rhomboeders: n = tt. — -^i2(Oll2). Das Prisma der 1. Stel- 
lung l = — ooB (1010) ist nur mit drei Flächen vorhanden, die ein re- 
gulär dreiseitiges Prisma bilden; auf seine Flächen und Kanten sind 
die Rhomboederfiächen nach oben und unten gerade aufgesetzt Das 
Prisma s, das die Kanten des dreiseitigen Prismas l zuschärft, könnte der allgemeinen 
Flächenlage nach ein symmetrisch sechsseitiges Prisma, die Hälfte eines zwölfseitigen, 
sein, oder aber das Prisma der 2. Stellung ooP2 = {h.h.2h.O), Im ersten Falle 
wären nur die abwechselnden Kanten gleich, aber die, in denen die Flächen 8 direkt 
zusammenstoßen, verschieden von denen, in welchen sie sich über die Flächen l 
hinweg schneiden w&rden. Im zweiten Falle wären alle diese sechs Kanten einander 
gleich und ^= 120^ Die Messung mit dem Goniometer zeigt, daß das letztere zu- 
trifft; 8 ist also das Prisma der 2. Stellung, l und 8 zusammen bilden ein neun- 
seitiges Prisma, das an vielen Turmalinkrystallen zu beobachten ist. 

Es sei noch bemerkt, daß die Formen der hier vorliegenden Klasse auch aus 
denen anderer hemiedrischen Klassen mit dreizähliger Hauptsymmetrieachse abge- 
leitet werden können, z. B. aus denen der trigonalen Hemiedrie (Bl). Die Ab- 
leitung aus der rhomboednschen Hemiedrie erscheint aber am natürlichsten und 
anschaulichsten. 



Trapezoedriach'tetartoedmche (trigonal-trapezoedrische) Klasse. 

129. Trapezoedrisclie Tetartoedrie. Bei der trapezoedrischen 
Tetartoedrie kann man von den Skalenoedem ausgehen. Es verhalten 
sich je zwei in einer Seitenkante des Skalenoeders zusammenstoßende 
Flächen einander gleich und von den in den anliegenden Seitenkanten 
zusammenstoßenden verschieden, wie es Fig. 191 zeigt. Infolge dieser 
Flächengruppierung geht das Symmetriecentrum des Skalenoeders ver- 
loren, da zu jeder Fläche die parallele Gegenfläche wegfällt. Ebenso 
verschwinden die drei vertikalen Symmetrieebenen. Erhalten bleiben 
dagegen die drei horizontalen zweizähligen Symmetrieachsen parallel 
den Nebenachsen und die dreizählige vertikale Symmetrieachse parallel 
der Hauptachse. 

Aus jedem Skalenoeder entstehen durch Verschwinden der 
Hälfte der Flächen zwei korrekte Trapeaoeder, begrenzt von 
sechs ungleichseitigen Vierecken. Diese schneiden sich in sechs 
gleichen Endkanten und in 3 + 3 abwechselnd gleichen Seiten- 
kanten, die bei beiden in entgegengesetzter Richtung zickzackformig 
Auf- und absteigen. Die beiden von einem Skalenoeder -|-mjBn 



156 Heiagonalea EryataUfjBteiii. 

(Fig. 191) abgeleiteten Trapezoeder (Fig. 192' und 192'') sind enantio- 
morph, sie verhalt«» sich wie die rechte nnd die linke Hand nnd 
werden daher als rechte nnd Unke 
(r nnd l) unterschieden. Das Gegen- 
skalenoeder — mEn liefert aber 
ebenfalls zwei als r und / voueiQ' 
ander zn unterscheidende enantio- 
morphe Trapezoeder, welche wie die 
vorigen nicht miteinander znr 
Decknng gebracht werden können. 
Dagegen ist das rechte resp. linke 
Trapezoeder des einen Skaleno- 
eders kongruent dem entsprechenden 
rechten resp. linken des Gegenskale- 
noeders und kann mit diesem durch eine Drehung um die Hauptachse zur 
Decknng gebracht werden. Die vier korrelaten Trapezoeder, welche 
ein Didodekaeder mPn liefert, werden in folgender Weise bezeichnet: 
mPn 

-nff nv rnt-yii ■ 

aus dem + Skalenoeder + mSn ab- 
geleitet (beide enantiomorph). 



aus dem — Skalenoeder — mBn ab- 
geleitet (beide enantiomorph). 



Fig. 192a. Fig. 191. Fig. 192b. 



1. 


+ ' 


mjrn 

—r 


oder 


f» 


(«fO 


2. 


+ 1 


■ 4 


oder 


C 


im 


3. 


— r 


mfl. 
■ 4 


oder 


^ 


(im 


4. 


— l 


mFn 
' 4 


oder 


e* 


(häi) 



1 und 3, sowie 2 und 4 sind kongruent ^ dient nur zur Bezeichnung 
der Tetartoedrie ; ist diese anderweitig genügend angedeutet, so kann 
fx wegbleiben.' 

Die Dihexaeäer 2. SteUung mP2 = {h.h.2h.t) z. B. 2P2 (1121) 
geben zwei korrelate Trigonoeder (trigonale Pyramiden) fPig. 193): 

r^—px (1121) und i.^ — ^ (1121). Die, dihexagondlen J\ismen 

geben zwei symmetrisch sechsseitige Prismen und die 
hexagonden Prismen 2. SteUvng geben zwei reguläre 
dreiseitige Prismen. Auch sie sind als rechts und links 
zn unterscheiden. Die speziellen Verhältnisse folgen 
leicht aus dem fUr das Trapezoeder and Trigonoeder 
angeführten, indem man die Prismen als spezielle 
Fälle der Skalenoeder und ßhomboeder betrachtet (128). 
Alle anderen rhomboedrischen Formen, die Bhombo- 




Fig. 193. 



eder, das Prisma 1. SieUung nnd die Basis bleiben unverändert. 

Das Hanptbeispiel für die trapezoedriscbe Tetartoedrie ist der Quarz. Er Efiigt 
fast eteta (Fig. 194) ein Rhomboeder P nsd daa Gegenrbomboedei z, welche en- 



BhomlioedTisctie Tetartoedrie. 



157 




Fig. 194. 



1 der Form nach ein Diheiaeder 1. Stellnng, aber mit abwechselnd phyaikaliach 
Terschiedeoen Flttchen [DirhomlHieder] bilden. Die Seitenkanten deaaelben werden 
dnioh die stark borizontal gestreiften Flächen des hexagonalen 
PrismaÄ 1. SteUnng r gerade abgestumpft. Auf die abwech- 
selnden PriBmenkanten sind oben nnd nnten die rhombisch 
gestalteten Flächen > eines Trigonoeders, die sog. Rhomben- 
flachen, gerade aufgesetzt. Wäre der Erystall rhomboedrisch, 
so mttssten die anderen drei Prismenkanten ebenfalls oben 
nnd unten solche Flächen s, tragen, wie die dQnn gezeich- 
neten Linien zeigen ; diese würden die dick gezeichneten, f ak- 
tJMli vorhandenen Flächen s zu einem Diheiaeder 2. Stellang 
e^änzen. So aber sind nnr die bei gebsriger ErweiUning 
in einer horizontalen Seit«nk&nte des Diheiaedera zn- 
sanunenstoBenden dickgezeichneten Flächen s vorhanden, 
die dünngezeichneten, die in den anliegenden Seitenkauten 
EDSammenstoBen wQrden, fehlen, entsprechend dem Gesetz 
der trapezoedrischen Tetartoedrie. AnQerdem sind die Kanten sjr noch durch die 
sog. Trapezflfichen x abgestampft, welche ebenfalls nnr an den abwechselnden Kanten 
des Prismas r oben sowohl als nnten liegen, jedoch oben nnd unten auf verschiedeueD 
Seiten der Kanten r/r. Die Flächen x bilden ein Trapezoeder, welches von den au 
den anderen Prismenkanten r/r dflun gezeichneten entsprechend liegenden Flächen Xi 
KU einem Skalenoeder ergänzt werden wDrde, wenn der Krjstall rhomboedrisch ana- 
gebildet wäre. Die Flächen x, fehlen infolge der Tetartoedrie, aber sie liegen offen- 
bar so, daß sie zwei in einer Seitenkante zusammenstoßende Skalenoederflächen 
wären, ebenso auch die beiden wirklich Torhaudenen Flächen x. Die hier dick ana- 
gezeichneten Flächen s und x liegen am oberen Ende des Prismas rechts von der 
Prismenfläche r, wenn die Hanptrbomboederfläche P dem Beschauer zugekehrt ist. 
Sie sind die rechten Trapez- nnd Rhorabenflächen und begrenzen ein rechtes Trape- 
zoeder resp. Trigonoeder; ein Krygtall, der sie trägt, heißt ein rechter Eiyatall. 
Wären autt der dick gezeichneten die dQnn gezeichneten Flächen * und x anagebildet, 
so wäre der Erjstall ein linker. Diese Flächen liegen ja im QegensatE zn den anderen 
links und begrenzen das zum gleichen Skalenoeder resp. Dihexaeder zweiter Stellung 
gebsrige linke Trapezoeder reap. Trigonoeder. Diese Flächenlage steht mit der Er- 
scheinung der Cirknlorpolarisadon (247) im ZosammeDbaDg : die rechten (linkai) 
Qnarze drehen die FolarisationBebene atets nach rechts (links). 



RhomboedriBoh-tetartoedriaohe (rhomboedrisohe) Klaaae. 

180. BhoBsboedrisehe Tetartoedrie. Auch hier kann man vom Skalenoeder 
ausgehen. An einem solchen werden die abwech- 
selnden Flächen verschieden in der Weise, daQ eine 
nach oben gerichtete Mäche au einer Seitenkaute 
sich mit der nach unten gerichteten Fläche an der 
nächstfolgenden Seitenkante gleich verhält ete. 
(Fig. 190). Dabei bleibt die vertikale dreizählige 
Symmetrieachse nnd das Symmetriecentrum erhalten, 
alle Dbrigen Symmetrieelemente des Skalenoeders 
fallen weg. 

Verschwindet je die eine Hälfte der Flächen 
des Sftalenoeders nnter gleichzeitiger Anadehuimg 
der anderen, so entstehen zwei korrelate kongru- 
ente Bhomboeder, die in der Gestalt in nichte von Fig. 195. Fig. 106. 




158 Quadratisches Erystallsystem. 

den Rhomboedern der rhomboedrischen Hemiedrie abweichen. Die Nebenachsen 
gehen hier aber nicht durch die Mitten zweier gegenüberliegender Seitenkanten, 
diese Ehomboeder haben also nicht die Stellung der -{- oder — Bhomboeder 
der rhomboedrischen Hemiedrie, sondern sie nehmen eine intermediäre Lage 
zwischen beiden ein und werden als Rhömboeder der 3. Stellung oder der Zwischen- 
steUung von jenen unterschieden. Aus dem Skalenoeder -f-mEn oder {hkli) 
werden die beiden Rhömboeder der Zwischenstellung : {hkli) und (Ikhi) und aus — mBn 
oder (khli) die beiden Ehomboeder: (kkli) und (iclhi). Zwei Bhomboeder der zweiten 
Stellung entstehen hier aus den Dihexaedern der 2. Stellung. Die aus mP2 oder 
{h.h.2h.i) abgeleiteten beiden Bhomboeder haben die Ausdrücke : {h.h.2hA) und 
{2h,h.h,i). Jedes dihexagonale Prisma liefert zwei hexagonale Prismen der 3. oder 
Zwischenstellung zwischen dem der 1. und der 2. Stellung, mit denen sie in der Form 
übereinstimmen. Die übrigen Formen der rhomboedrischen Hemiedrie ändern ihre 
Gestalt nicht. 

Ein Beispiel dieser Tetartoedrie gibt der Dioptas (Fig. 196). r bildet ein 
Bhomboeder, dessen Flächen auf die Kanten des Prismas der 2. Stellung m gerade 
aufgesetzt sind, wie die Messung der Winkel ergibt. Die Kanten mir sind nicht 
alle, sondern nur abwechselnd oben und unten abgestumpft durch die Flächen 8, die 
entsprechend dem Gesetz der rhomboedrischen Tetartoedrie so liegen wie die schraf- 
fierten Flächen in Fig. 195. Sie gehören also einem Bhomboeder der Zwischen* 
Stellung an. 



3. Quadratisches System. 

(Viergliedriges oder tetragonales System.) 

Das quadratische System umfaßt alle diejenigen Krystallklassen, 
deren Formen sich auf drei zueinander senkrechte Achsen beziehen 
lassen, von denen zwei (a) gleich und von der dritten (c) verschieden 
sind. Man hat also das Achsenschema: 

a:a:c; ^ala = ^alc = 90^. 

131. Achsen des quadratischen Systems. Die beiden gleichen 
Achsen a heißen auch hier die Nebenachsen, die von ihnen ver- 
schiedene dritte c die Hauptachse, c ist bald größer, bald kleiner 
als a. In dem Achsensystem ist eine einzige unbekannte Größe, das 
Achsenverhältnis, a:c enthalten. Aus einem einzigen gemessenen 
Flächenwinkel folgt die Achse c, wenn a = l gesetzt wird (resp. a, 
wenn c = 1). Es ist eine große Ähnlichkeit mit dem hexagonalen 
System vorhanden, das ebenfalls eine Hauptachse hat. Die hexagonalen 
Krystalle zeigen aber eine Anordnung nach der Sechszahl (resp. nach 
der Dreizahl), die quadratischen dagegen nach der Vierzahl. Auch 
in dem quadratischen System werden die den Winkel zwischen zwei 
Nebenachsen halbierenden Eichtungen b als Zwischenachsen bezeichnet 
Man kann hier gleichfalls diese beiden Kichtungen vertauschen und 
die Zwischenachsen als Nebenachsen wählen. Nur werden dann das 
Achsenverhältnis a : c und die Ausdrücke der Flächen andere. Durch 
die di'ei Achsen werden acht gleiche Oktanten bestimmt. Die Haupt- 



Vollflächige Klasse. 159 

achse c wird stets aufrecht, eine der Nebenaehsen a auf den Be- 
schauer zulaufend gedacht. Die andere Nebenachse geht dann quer 
von rechts nach links. 



Quadratisch^uollflächige (ditetragonal-bipyramidate) Klasse. 

2 + 2 + 1 Symmetrieebenen. Die eine sog. Hauptsymmetrieebene 
ist senkrecht zur Hauptachse c, also der Ebene der Nebenachsen a 
und der Zwischenachsen b parallel. Die anderen, die 2 + 2 Neben- 
symmetrieelenen gehen alle durch die Hauptachse c und durch je eine 
Nebenachse a resp. Zwischenachse h (Neben- und Zwischensymmetrie- 
ebenen). Von den 2 + 2 + 1 Symmetrieachsen ist eine vierzählige 
parallel der Hauptachse c die Hauj)tsymmärieachse\ die anderen 2 + 2, 
die Nebensymmetrieachsen, sind sämtlich zweizählig und parallel den 
Nebenachsen a resp. den Zwischenachsen b (Neben- und Zwischen- 
S3^metrieachsen). Symmetriecentrum vorhanden. Die Hauptsymmetrie- 
ebene und zwei zusammengehörige aufeinander senkrechte Neben- 
symmetrieebenen bilden die Fundamentalflächen des Achsensystems. 

132. Einfaclie Formen. 1. DioJdaeder (Vierkantner, ditetragonale 
Pyramide oder Bipyramide). Die Flächen schneiden die drei Achsen 

ungleich • t • T • T == (^'0 ; ^ jedem Oktanten sind zwei Flächen, 

also im ganzen 16, welche eine doppelt achtseitige Pyramide bilden 
(Fig, 197) (88, 89, 90). Durch die zwei Endecken (Polecken) c geht 
die Hauptachse; je die vier abwechselnd einander 
gleichen Seitenecken (Mittel- oder Randecken) a oder 6 
geben die Neben- resp. Zwischenachsen. Alle acht 
Seitenkanten (Mittelkanten, Bandkanten) S sind ein- 
ander gleich, aber nur die abwechselnden End- (Pol-) 
kanten K und JP. Die Flächen der idealen Form sind 
unregelmäßige Dreiecke. Die Seitenkanten bilden ein 
symmetrisches Achteck; ein reguläres Achteck ist un- Fig. 197. 
möglich, da es auf irrationale Indices führen würde. 

Diese Körper sind teils hoch nnd spitz, teils niedrig und flach; ihre Gestalt 
hängt Yon den Flächenwinkeln ah, welche mit den Indices in mathematischer Be- 
ziehung stehen nnd sich ans ihnen herechnen lassen, nnd umgekehrt. 

Dioktaeder sind bisher nur in Kombinationen, noch nie selbständig beobachtet 
worden. Die flächenärmeren übrigen Formen können als Spezialfälle des Diokta- 
eders aufgefasst werden (vergl. (102) und (114)). 

2. AchtseUiges (ditetragonales) Prisma. Diese Prismen sind ge- 
wissermaßen Dioktaeder mit unendlich großer Hauptachse, deren 
Fl&chen und Kanten also der Hauptachse parallel gehen und von 
den Nebenachsen verschieden große Stücke abschneiden. Sie haben 




Quadratisches EirstAlbyBtem. 



somit den Ausdruck: 



Ä "Ä ■ 



- (AM) (Fig. 1 



Die auf der Ebene 



der Nebenaclisen senkrechten Flächen schneiden die 
Ebene der Nebenachsen in derselben Figur, welche die 
> Seiteukanten S des Dioktaeders machen, einem symme- 
trisehen Achteck, dessen Winkel, die Winkel der Pris- 
: menflächeu, sich mit den Indices A und k ändern. 
Flg. 198. gjji reguläres Achteck kann anch hier nie entstehen, weil 

ea gleichfalls ein irrationales Verhältnis der Abschnitte anf den beiden Neben- 
achsen a ergeben würde. 

3. Oktaeder 1. Stellung (Protopyramide , tetragonale Bipyramld« 

1. Stellung). Die Flächen schneiden beide Nebenachsea gleich; sie 

sind : -^ : ^ : y = (AÄZ). Acht kongruente, gleichschenkliche Dreiecke 

bilden in der Idealform eine auf der Ebene der Kebenachsen aufge- 
setzte Doppelpyramjde mit zwei Endecken (Polecken) c, durch welche 
die Hauptachse geht, und vier gleichen Seitenecken (Mittel- oder 
Eandecken) a, durch welche die Nebenachsen gehen (Fig. 199). Die 
Hauptachse ist entweder länger oder kürzer als die Nebenachsen. 
Die vier Seitenkanten (Mittel- oder Eandkanten) aa sind alle gleich, 
ebenso die acht Endkanten (Polkanten) ac. Die vier Seitenkanten aa 
bilden in der idealen Form ein Quadrat 

Alle Oktaeder 1. Stellnag bOnnen als Dioktaeder angesehen werden, in denen 
die Endkanten E, ^ 180* sind, in denen also je die beiden in E, aneinander stellenden 
FUchen in ein Niveau fallen. Analog ist es bei den anderen einfachen quadratischen 
Formen. Diesen Winkeländerangen entsprechend ändern sich dann anch die Fl&chan- 
ansdrttcke. 

4. Oktaeder 2. Stellung (Deateropyramide, tetragonale Bipyramide 

2. Stellung). Deren Flächen gehen einer Nebenachse paraÜel und 

haben daher den Ausdruck: ^:ooo:y=(A07). Es entsteht dadurch 
ein Körper, der in jeder Beziehung dem vorigen in den allgemeinen 




r*"- ^;^ 5:i^ 



Fig. 199. 



Fig. 200. 



Fig. 202. 



Oestaltungsverhältnissen gleich ist, und sich von ihm nur dnrch die 
Lage an den Achsen unterscheidet. Hier geben die Nebenachsea a 
durch die Mitten zweier Seitenkanten, die Hauptachse aber ebenfalls 



VoUflächige Klasse. 161 

durch die beiden Endecken c (Fig. 200). Durch Drehung um 45® 
um die Hauptachse c wird ein Oktaeder 2. Stellung in die 1. Stellung 
gebracht und umgekehrt. 

5. Quadratisches Prisma 1. Stellung (Protoprisma). Seine Flächen 
gehen der Achse c parallel und schneiden die beiden Achsen a gleich. 
Der Ausdruck ist also: a:a:ooc = (110). Es sind gewissermaßen 
Quadratoktaeder 1. Stellung, deren Flächen die Achse c im Unend- 
lichen schneiden. Die auf der Ebene der Nebenachsen senkrechten 
Flächen stehen auch senkrecht aufeinander, also ist der ideale Quer- 
schnitt ein Quadrat (Fig. 201). Die Nebenachsen a schneiden die 
Kanten senkrecht 

6. Quadratisches Prisma 2. Stellung (Deuteroprisma). Ist der 
Gestalt nach gleich dem Prisma 1. Stellung und verhält sich zum 
Oktaeder 2. Stellung wie das Prisma 1. Stellung zum Oktaeder 
1. Stellung. Die Flächen schneiden eine Nebenachse und sind der 
anderen Nebenachse und der Hauptachse parallel; der Ausdruck ist 
also : a : ooa : ooc = (100). Die Nebenachsen a stehen auf den Flächen 
senkrecht (Fig. 202). 

Der Unterschied zwischen den Oktaedern resp. Prismen heider Stellungen tritt 
nnr herror, wenn yerschieden gesteUte Körper dieser Art am nftmlichen ErjstaU 
komhiniert sind. Man hat die Wahl, welche SteUang man. als die erste bezeichnen 
wül; es folgt dann daraas die Lage der Neben- resp. Zwischenachsen, welche,, wenn 
man die andere Stellung als die erste wählt, sich vertauschen. Sind an einem 
Erystall nur Formen einer Stellung, so sind dieselben an sich weder erster noch 
zweiter SteUung; sie werden es erst, wenn man die Nebenachsen in der einen oder 
anderen Weise wählt Die Hauptachse hat immer dieselbe Richtung und ist den 
Prismenkanten paraUel. 

7. Basis (basisches Pinakoid, Geradendfläche). Ein Flächenpaar 
senkrecht znr Hauptachse: ooa:ooa:c = (001); genau wie im hexa< 
gonalen System (Fig. 203 und 210). 

Eine andere Lage und andere Ausdrücke von Flächen am quadratischen Achsen- 
kreuz, also andere einfache Formen dieses Systems als obige 7, sind nicht möglich. 
Sie entsprechen Nummer für Nummer den analogen hexagonalen Formen (114) und alle 
allgemeinen Verhältnisse, welche dort auseinandergesetzt wurden, gelten mut. mut. 
auch hier. 

133. Naumannsclie Bezeichnung und Übersicht. Für die Be- 
zeichnung der Formen nach der Naumannschen Methode geht man 
auch hier von dem Oktaeder 1. Stellung aus, das von allen Achsen 
die Achseneinheiten abschneidet, dem Hauptoktaeder oder der Grtmd- 
form (Grundpyramide oder primäre Pyramide). Man kann dasselbe 
aus den sämtlichen am ErystaU möglichen Oktaedern beliebig aus- 
wählen. Dasselbe hat den Ausdruck: a:a;c = (111) und wird mitP 
bezeichnet. Man kann nun wieder alle anderen quadratischen Formen 
daraus ableiten, indem man eine seiner Flächen . im Endpunkt einer 

Baner, Hinenlogie. ^1 



152 QnadratischM ErjBtallijitem. 

Nebenacbse a festhält, so daß diese eine Nebenacbse stets in der Ent- 
fernang a TOm ]kDtte)pimkt gracbnitten wird. Dann denkt man sich 
die Fläche gedreht, bis sie die gewtknschte Lage hat, in der sie die 
Achse c und die andere Achse a im allgemeinen mit den Ableitnngs- 
zahlen m (flir c) und h (für a) schneidet, von denen mui stets m vor 
and n hinter P setzt. Die Fläche begi'eozt dann mit den nach der 
Symmetrie noch anSerdem erforderlichen Flächen die einfache Krystall- 
form miVi ^-ainaimc, wo das anf die zweite Nebenachse a bezägllche 
» beliebig groß, Jedoch nie < 1 ist, m aber jeden beliebigen rationalen 
Wert haben kann. Danach 'hat man folgende Übersicht Über die ein- 
fachen Formen des quadratischen Systems: 

1. Dioktaeder: mPn =» a : na ; mc oder: (AÜ) A>A, 

z. B.: 4P3 = a:3o:4c = (312). 

2. Ditetragonale Prismen: ooPn^aina-.aoc oder (M)), 

z. B.: oaP2 — a : 2a : a : ooc — (210). 

3. Oktaeder i. Stellnng: mP=a:o:»w oder: (ÄW), 

z. B.: P=a:a:c = (lll) (Haaptoktaeder) ; 

2P-a:a:2c = {221);^P=a:a:^c=(113}. 

4. Oktaeder 2. Stellung: »t Jto = o : ooa : mc oder: (A04 

z. B.: .P» = o : ooo : c — (101). 

5. Quadratisches Prisma l. Stellung: ooP=a:a:ooc = (llO). 

6. Qaadratiaches Prisma 2. Stellung: oo2feo = a:ooa:ooc=(100). 

7. Basis: OP = ooa:ooa:c = (001). 

Die FlKchen des 1. Prinnaa und die Buie sind die Fondameutalilftcheii, die toh 
P ^e EinheltBflftchei). 



134. Kombinationen. Von KtmännaMmen sind n. a. folgende 
wichtig: das Prisma der einen Stellang n stnmpft die Kanten d^ 
anderen, m, gerade ab (Fig. 203); achtseitige Prismen schärfen die 




Fig. 203. 



Fig. 204. 



Fig. a05. 



Fig. 206. 



Kanten Ton quadratischen zu oder stampfen die Kombinationskaaten 
mjn schief ab. Treten mehrere solche Prismen zusammen aa£ so ent- 
st^en auch hier, wie im hezagonalen System, scheinbar walzenflfrmig 
nmde Ktystalle (116). Die Basis schlieSt die Prismen oben und onten 



VoDOBchige Klaue. 168 

wie z. B. iu Flg. 204, wo ein Prisma 1. Stellang m mit der Basis c 
kombiniert ist, nnd Fig. 203. Dadurch eutstehen je nach den Um- 
stftndeD zam Teil dfinne Tafeln, znm Teil lange prismatische, sowie 
dftnne nadel- nnd haarfOrmige Erystalle. Die Kombination (Fig. 204) 
ist oft wegen der aasschließlich rechten Winkel in der änSeren Form 
ganz dem Wflrfel tlhnlich; aber hier sind die beiden Flächen m von 
der Fläche c verschieden, beim Wariel sind alle Flächen einander 
gleich ((102), Fig. Ol). An allen quadratischen Oktaedern nnd Diokta- 
edem stampft die Basis die Endecken ab (Fig. 210). Prismen stumpfen 
an Oktaedern derselben Stellnng die Seitenkanteu (Fig. 206), an 
Oktaedern der anderen Stellung die Seitenecken ab (Fig. 206). Treten 
zwei verschieden hohe Oktaeder und o derselben Steltong (Fig. 207) 
in Kombination, so schärft das hßhere die Seitenkanten des niederen o, 




Fig. 207. Fig, 206. Fig. 209. Fig. 210. 

und umgekehrt spitzt das niedere o die Endecken des höheren von den 
Flächen aus zn. Bei der Kombination eines Oktaeders der einen mit 
einem solchen der anderen Stellung, o und o„ werden entweder die 
Seitenecken des ersteren zweiflftchig (Fig. 208), oder seine Endecken 
vierfl&chig (Fig. 209), beidemal von den Kanten ans zugespitzt, je 
nach der Neigung der Flächen und Kanten. Haben die Flächen des 
einen Oktaeders o, die gleiche Neigung wie die Endkanten des anderen 
(Fig. 210), so stumpfen die Flächen von o, die Endkanten von o 
gerade ab. Das Oktaeder o, heifit dann das nät^iste stumpfere zu o, 
oder umgekehrt: o das nächste schärfen oder apiteere zu o,. Werden 
die Endkanten von o, wieder gerade abgestumpft, so entsteht das 
zweite stumpfere Oktaeder, ferner das dritte stumpfere etc. Umge- 
kehrt gibt es aacb eine Reibe der schärferen Oktaeder, das zwedte, 
dritte schärfere etc. (127). Ein niederes Qnadrat- 
oktaeder o spitzt an einem spitzeren Diofctaeder i 
die Endecken von den abwechselnden Endkanten 
aus za , nnd es entsteht dadurch zuweilen eine 
dem regnlären Ikositetraeder sehr ähnliche Form 
(Fig. 211, Tergl. (80, 102)), das sog. LeucJtoeder. Figrail. 

Fig. 212 gibt einen flächenreichen quadratischen Krystall von 
Vesuvian. Die Flächen a, m, f bilden lauter parallele Kanten; die 
Flächen a und die Flächen m machen je 90* miteinander, es sind 

11« 





Ig4 Quadratisches Krystallsystem. 

also die beiden quadratischen Prismen, was auch unmittelbar aus der 
Lage der Symmetrieebenen an dem Krystalle hervorgeht. Hieraus 

folgt auch, daß c die Basis sein muß. f ist ein 
achtseitiges Prisma. Über a liegen die Okta- 
eder u und und über m liegen die Oktaeder 
^> 6j Py j« von derselben Stellung mit a und m. 
Die Flächen t, y, is, d rechts und links von den 
Oktaederflächen sind oben und unten je acht- 
mal vorhanden, es sind also Dioktaederflächen. 
Tig, 212. Will man nun diesem Krystall Achsen unter- 

legen, so steht jedenfalls die Hauptachse senk- 
recht zu c; die Nebenachsen gehen der Symmetrie entsprechend ganz 
nach Belieben entweder senkrecht zu a oder zu m. Es ist dann ent- 
weder m oder a das Prisma 1. Stellung, und es sind entweder t, 6, p 
oder aber w, o Oktaeder 1. Stellung. Jedenfalls ist aber o das nächste 
stumpfere Oktaeder zu p, da es dessen Endkanten gerade abstumpft, 
denn die Kanten olp rechts und links von o sind parallel; femer p 
das nächste stumpfere zu u, denn die Kanten pji und ifu rechts und 
links von p sind parallel; endlich u das nächste stumpfere zu ft; also 
in einer Eeihe: u das nächste stumpfere, p das zweite, o das dritte 
stumpfere zu 6; oder: p das nächste, u das zweite, b das dritte 
schärfere zu o; oder: o das nächste stumpfere, u das nächste, b das 
zweite schärfere Oktaeder zu p, etc., alles ganz unabhängig von der 
Achsenwahl. Denkt man sich nun die Nebenachsen senkrecht zu a, 
m. a. W. denkt man sich m und damit auch die Oktaeder t, b, p 
1. Stellung, so sind a, u, o von der 2. Stellung. Die Achseneinheiten 
erhält man für diesen Fall, wenn man beliebig ein Oktaeder 1. Stellung, 
z, B. p als Hauptoktaeder annimmt Ans seinen Neigungswinkeln 
folgt dann das Achsenverhältnis a : c. Aus Zonenverhältnissen ergeben 
sich folgende Ausdrücke für die anderen einfachen Formen: für 
p;=P(lll) ist: o = Poo(101), w -= 2P oo (201), 6 = 2P(221) und aus 
gemessenen Winkeln t = SP (331). Wählt man aber nun z. B. t als 
Hauptoktaeder, dann ist ^ = P(111) und das Achsenverhältnis a:c ist 
nun, den Winkeln von t entsprechend, ein anderes, als vorhin; es 
wird an diesem Achsensystem: 6 = |P(223) und p = ^P (113) etc. 
In beiden Fällen wird wesentlich nur ausgesagt, daß die Schnitte auf 
der Hauptachse für die drei Oktaeder p, 6, t, gleiche Schnitte auf den 
Nebenachsen vorausgesetzt, sich wie : 1:2:3 verhalten, und diese Be- 
ziehung ist von dem Achsenverhältnis a : c unabhängig. Auch b könnte 
als Hauptoktaeder gewählt werden, und wenn die Oktaeder u und o 
als die der I.Stellung (also die bisherigen Zwischenachsen nun als Neben- 
achsen) angenommen würden, auch diese; jedesmal würden die Achsenver- 
hältnisse und die Ausdrücke der Oktaeder und Dioktaeder andere sein. 



Tetraedriscbe Hemiearie. 155 

Hemieärische und Martoedrische Klassen. 

YdU heinie4rischeii Klassen sind bei Mineralien lianplsBchlicti twei beobachtet 
worden, die tetraedrische und die pyramidale; vielleicht gesellt sich daza nocb eine 
tettuloedriscbe , die pjrauiidal-heniimorphe. Nur diese sollen daher hier betrachtet 

Tetraedrisch-hemiedrisohe (sphenoidmh-hemiedrisohe, aphenoidiaohe, 
tetragonal-shalenoedriache) Klasse. 

135. Tetraedrische Hemledrie. Diese entspricht der tetra- 
edriechen Hemiedrie des regnläi'en und der rtiomboedrischen Hemiedrie 
des hezagonalen Systems: Die sämtlichen Flächen in einem durch die 
Ächsenebenen bestimmten Raumabschnitt (Oktanten) verhalten sich 
gleich und von denen der umliegenden Raumabschnitte verschieden, 
wie es Fig. 213 für das Dioktaeder zeigt. Die Folge davon ist, daß 
die Eanptsymmetrieebene und die beiden durch die Nebenachsen a 
gehenden Nebensymmetrieebenen verschwinden nnd nur die beiden 
durch die Zwischenachsen bestimmten Nebensymmetrieebenen bleiben. 
Die vierzählige Symmetrieachse parallel der Hauptachse wird zwei- 
zählig, die zweizähligen Symmetrieachsen parallel den Nebenachsen a 
bleiben, diejenigen parallel den Zwischeuacbsen b fallen weg und 
ebenso das Symmetriecentrum. Zu jeder Fläche verschwindet die 
parallele Gegenfläche j die Hemiedrie ist eine geneigtflächige. 




Fig. 213. Fig. 213a. 

Dehnen sich nun am Dioktaeder die Flächen je zor Hälfte ans, 
indem gleichzeitig die anderen verschwinden (Fig. 213), dann erhält 
man zwei kongruente, durch Drehung um 90** um die Hauptachse 
zur Deckung zu bringende quadratisdie Shaienoeder, als -(- und — 
unterschieden, von denen das eine in Fig. 213a abgebildet ist. Jedes 
derselben ist von acht ungleichseitig dreieckigen Flächen begrenzt 
and bat je vier abwechselnd gleiche Kanten, die oben nnd untea 
durch das Ende der Hauptachse e gehen (End- oder Polkanten) und 
vier gleiche zickzackfBrmig schief von nnten nach oben gehende 
Seiten-, Mittel- oder Kandkanten, durch deren Mitten die Nebenachsen 
a gehen. Außerdem sind zwei gleiche 2 -|- 2 kantige End- oder Pol- 



Igg Quadratisches Krystallsystem. 

ecken auf der Hauptachse und vier gleiche 2 + 14-1 kantige Seiten-, 
Mittel- oder Randecken abwechselnd über und unter der Ebene der 
Nebenachsen liegend vorhanden. Das Dioktaeder mPn oder (MZ) gibt 

diebeidenSkalenoeder:-| — ^ oder x(ÄiZ) und ^oäeTxQi^I),{YeTgl. 

fOr die Indices der einzelnen Flächen auch Fig. 197). 

Das Oktaeder 1. Stellung gibt zwei Tetraeder (Sphenoide) von 
verschiedener Ordnung, ebenfalls als -|- und — zu unterscheiden. Sie 
haben zwei gleiche Kanten an den beiden Enden der Hauptachse c, 
senkrecht zu dieser (End- oder Polkanten) und sich unter 90® kreuzend, 
und vier gleiche Kanten (Seiten-, Mittel- oder Randkanten), länger 
oder kürzer als die ersteren, gehen durch die Enden der Nebenachsen 
a zickzackförmig auf und ab. In der allgemeinen Gestalt gleichen 
sie regulären Tetraedern (Fig. 117 und 119); sie sind aber spitzer 
oder stumpfer als diese und die Kanten sind nicht mehr alle einander 
gleich, sondern die beiden Endkanten sind von den vier Seitenkanten 
verschieden geworden. Aus dem Oktaeder mP oder (hhl) werden die 

zwei Tetraeder : + -ö" °^®^ ^ (**^ ^^^ ' ö~ ^^^^ * (**^" ^^^^ 

solche zwei koirelate Tetraeder sind durch Drehung um 90® um c 
zur Deckung zu bringen. 

Alle anderen einfachen holoedrischen Formen, besonders die 
Oktaeder 2. Stellung, bleiben durch diese Hemiedrie unverändert, und 
es ist dadurch, ganz analog wie für die Dihexaeder bei der rhombo- 
edrischen Hemiedrie des hexagonalen Systems (122), für solche hemi- 
edrischen Krystalle ein absoluter Unterschied zwischen den Oktaedern 
der beiden Stellungen gegeben. Das, welches in zwei Tetraeder zer- 
fällt, wird immer als dasjenige 1. Stellung angenommen. 

Fig. 214 gibt einen Kupferhiesbrystall, welcher diese Hemiedrie 
zeigt, p und p^ sind zwei aus demselben Oktaeder abgeleitete korre- 

late Tetraeder, zu welchem Oktaeder das Oktaeder 
b das nächste stumpfere bilden würde. Infolge der 
Hemiedrie sind die Flächen p und jp, voneinander 
verschieden, alle acht Flächen des Oktaeders b aber 
sind gleich, p und p^ bilden also zusammen der 
p. 214 Foi-m nach ein Oktaeder 1., b ein solches 2. Stel- 

lung, c ist ein Skalenoeder, dessen zwei Flächen 
über p stumpfere Winkel machen als über p^, das also mit p 
von demselben Vorzeichen ist. Wenn c ein Skalenoeder ist, sind die 
beiden Kanten cjp rechte und links von p nicht notwendig parallel. 
Wären sie genau parallel, was in der Figur nur annähernd der Fall ist, 
so könnte c auch ein Oktaeder 2, Stellung sein und zwar das nächste 
schärfere zu dem von p und p^ gebildeten. Für die Vorzeichen der 




Pyramidale Hemiedrie. 167 

Tetraeder and Skalenoeder sind hier dieselben Gesichtspunkte maß- 
gebend, wie im hexagonalen System bei den entsprechenden Formen, 
den Bhomboedem und Skalenoedem. 



Pyramidal'hemiedrisohe {tetragonal-bipyramldale, bipyramidale) Kiasse, 

136. Pyramidale Hemiedrie. Sie entspricht genau der gleich- 
benannten Hemiedrie des Hexagonalsystems (119). Auch hier ver- 
halten sich beim flächenreichsten Körper, dem Dioktaeder, die beiden 
in einer Seitenkante zusammenstoßenden Flächen einander gleich und 
von den in den anliegenden Seitenkanten zusammenstoßenden Flächen 
verschieden, wie es in der pyramidalen Hemiedrie des hexagonalen 
Systems bei dem Didodekaeder der Fall war (Fig. 165 u. 166). Alle Neben- 
symmetrieebenen verschwinden dann, nur die Haupts3rmmetrieebene 
bleibt bestehen. Ebenso bleibt nur die vierzählige Hauptsymmetrie- 
achse parallel der Hauptachse c, aber keine der Nebens3rmmetrie- 
achsen. Zu jeder Fläche ist die parallele Gegenfläche vorhanden, 
die Hemiedrie ist eine parallelflächige; es ist ein Symmetriecentrum 
vorhanden. 

Aus jedem Dioktaeder lassen sich zwei korrelate Quadratoktaeder 
ableiten, die ihrer Form nach mit den Quadratoktaedem 1. und 
2. Stellung übereinstimmen, sich aber durch eine inter- 
mediäre Lage von ihnen unterscheiden, so daß weder 
die Neben-, noch die Zwischen achsen durch die Seiten- 
ecken gehen. Es sind QuadratoJctaeder von 3. oder 
Zunschenstellung oder Trüopyramiden, Analog geben die 
achtseitigen Prismen quadratische Prismen von 3. oder 
Zwischenstellung oder Tritoprismen. Alle anderen ein- 
fachen Formen bleiben unverändert. Eine hierher ge- ^- 215. 
hörige Kombination gibt der ScheelithryäaU (Fig. 216). P Oktaeder 
1., e 2. Stellung, nächstes stumpferes zu P; h und s Oktaeder von 
Zwischenstellung. 

Pyramidai'hemimorphe (pyramidale, hemimorph-hemiedrisohe) Klaaee. 

a 

187. PjraBldale HemlBorphle. Dieser Klasse gehört von HineraUen viel- 
leicht das CMbbleierg an, deshalb soll hier knn darauf hingewiesen werden. In den 
Formen der pyramidalen Hemiedrie (136) fIlUt anch die Hanptsymmetrieebene nnd 
damit zugleich das Symmetriecentmm fort Es sind ErystaUe der pyramidalen He- 
miedrie, die an beiden Enden der Hauptachse c verschieden ausgebildet sind. Ftlr 
beide Enden bleibt aber die Hauptachse c vierzählige Symmetrieachse. Die quadra- 
tischen Oktaeder (Bipyramiden) zerfallen in je zwei nach oben resp. unten offene 
quadratische Pyramiden, bei der Basis werden die beiden Flächen verschieden, die 
anderen pyramidal-hemiedrischen einfachen Formen behalten ihre Gestalt bei. Hieraus 
ergibt sich auch leicht die Form der Kombinationen. 




168 Bhombisches Kxystallsystein. 

4. Bhombisches System. 

(Zweigliedriges System). 

Das rhombische Krystallsystem ist der Inbegriflf aller Krystall- 
klassen, die auf drei zueinander senkrechte ungleiche Achsen a h c 
bezogen werden können. Das Achsenschema ist: 

a:6:c; ^alb = blc==-c!a = 90^. 

138. Achsen des rhombisehen Systems. Eine der drei Achsen^ 
beliebig welche, denkt man sich stets aufrecht; sie heißt die VertÜKÜ- 
ochse und wird mit c oder c bezeichnet Die größere der beiden 
anderen, die nun horizontal sind, heißt die Makrodiagonale oder Makro- 
achse^ die kleinere die BrachydiagonaJe oder Brachyachse, Erstere denkt 
man sich meist yon rechts nach links gerichtet; nur bei wenigen 
Mineralien stellt man aus ganz speziellen Gründen die ErystaJle so, 
daß sie von vom nach hinten auf den Beschauer zu läuft. Die 
Brachydiagonale geht infolgedessen bei den Erystallen der meisten 
Mineralien von vom nach hinten, nur in seltenen Ausnahmefällen von 
rechts nach links. Die von rechts nach links gehende Achse, also in 
den allermeisten Fällen die Makrodiagonale, heißt die Querachsey die 
Yon Yom nach hinten gehende die Längsachse. Letztere wird stets mit 
a bezeichnet, die Querachse mit b (oder auch mit ä resp. h). 

Ein Achsensystem ist durch das Achsenyerhältnis : a:h:c voll- 
kommen gegeben, da alle Achsenwinkel = 90® sind. Es sind zwei 
unbekannte Stücke vorhanden, etwa a und c, wenn 6 = 1 gesetzt ist. 
Zu ihrer Berechnung sind zwei voneinander unabhängige gemessene 
Winkel erforderlich. Die Achsenebenen teilen den Raum in acht 
gleiche Oktanten. 

Rhomblach'üollfläohige {bipyramidale, rhombisch-bipyramidale) Klasse. 

1 + 1 + 1 ■— 3 Symmetrieebenen || den drei Achsenebenen oft, bc 
und ac, voneinander verschieden und aufeinander senkrecht. 1 + 1-1-1 
= 3 zweizählige Symmetrieachsen || den drei krystallographischen 
Achsen a, 6, r, ebenfalls voneinander verschieden und aufeinander 
senkrecht, sowie senkrecht zu den drei Symmetrieebenen. S3rmmetrie- 
centrum vorhanden. Die Achsenrichtungen und Achsenebenen sind 
durch die S3rmmetrie stets unzweideutig gegeben. Die drei Symmetrie- 
ebenen sind die Fundamentalflächen. 

139. Einfache Formen. 1. Rhombische Oktaeder (Pyramiden; 
Bipyramiden). Eine Fläche schneidet im allgemeinen alle drei Achsen 

ungleich, daher ist der Ausdruck: -r'-r'-r = Q^ (90). In jedem 



Vollflächige Klasse. 



169 




Fig. 216. 



Oktanten muß nach der Symmetrie eine solche Fläche liegen. Diese 
acht M&chen bilden einen oktaedrisdien Körper mit sechs Ecken, 
von welchen nnr je zwei gegenüberliegende an den l^eiden Enden 
derselben Achse einander gleich sind (Fig. 216). Von den zwölf 
Kanten sind je vier gleich, welche in einer der 
drei Achsenebenen (Hanptschnitte) liegen. Diese 
bilden in jeder der Achsenebenen oft, bc und ac 
miteinander eine rhombische Fignr (einen rhom- 
bischen Schnitt), deren Diagonalen die betreffenden 
beiden Achsen sind. Die Flächen sind unregelmäßige 
Dreiecke. ^Die Form des Körpers ist je nach 
dem Achsenverhältnisse a:b:c und den Indices h, i, l verschieden. 
An jedem rhombischen Achsensystem können anendlich viele Oktaeder 
vorkommen, deren Gestalt und Flächenwinkel sich mit den Indices 
h, ky l ändern. 

2. Bhombische Prismen. Die Flächen schneiden zwei Achsen im 
Endlichen, die dritte im Unendlichen ; dieser letzteren Achse ist dann 
das Prisma resp. dessen Flächen und Kanten parallel. Prismen || der 
Achse c heißen Vertikalprismen, Horizontal liegende Prismen || den 
Achsen b oder a werden im allgemeinen Damen genannt, und zwar: 
Makrodamen oder Querprismen | der Makrodiagonale oder Querachse b ; 
Brachydamen oder Längsprismen || der Brachydiagonale oder Längs- 
achse a. Alle diese Prismen haben einen rhombischen, von je vier 
in einer Achsenebene liegenden Kanten gebildeten Querschnitt^ welcher 
je einem der drei rhombischen Hauptschnitte eines Oktaeders entspricht. 
Die Prismen können als Oktaeder aufgefaßt werden, deren Flächen 
eine der drei Achsen im Unendlichen schneiden. 

a b 
a. VertikaJprismen. ^ * T * °^ ^ ^^ (hkO). Die vier Kanten in der 

Achsenebene ab bilden den rhombischen Querschnitt. An jedem 
Achsensystem können viele Vertikalprismen auftreten; die Winkel 
derselben hängen außer von den Achsen a und b von dem Verhältnis : 
h:k a.\> (Fig« 217). Das Prisma, resp. die Prismenkanten sind der 
Yertlkalachse c parallel. 










Pig. 217. 



Fig. 218. 



Fig. 219. 



b. Querprismen (Makrodomen), ^loobij (hOl) ; |1 Achse b (Fig. 218). 



170 Rhombisches KrystallBystem. 

b c 
c. Längsprismen (Brachydomen) : °*^^-t'T (ß^)'^ II A.clise a 

(Fig. 219). . 

Ffir die beiden letzteren Körper gilt alles für das Yertikal- 
prisma Gesagte, nur maß man c mit b resp. a und l mit k resp. h ver- 
tauschen. 

Diese drei Prismen sind keine absolut verschiedenen Krystallformen. Der Cha- 
rakter derselben hängt von der Achsenwahl ab und da man beliebig jede Achse als 
Vertikalachse nehmen kann, so kann man auch jedes Prisma als Vertikalprisma auf- 
fassen; die Prismen in den beiden anderen Bichtangen sind dann Domen. 

3. PinaJcoide. Die Flächen schneiden eine Achse und sind den 
beiden anderen Achsen parallel; daher sind die Flächen auf jener 
ersten Achse senkrecht. 

a. Basis (basisches Pinakoid) _LAchse Cj also || a und &, somit: 
ooa:oob:c = (001) (Fig. 220). 




•»pa 





Fig. 220. 

b. Mdkropinakoid (Querfläche) _L Achse a, also || b und c, somit: 
a:oo6:ooc = (100) (Fig. 221). 

c BrachypinaJcoid (Längsfläche) _LAchse b, also || c und a, somit: 
ooa : 6 : ooc = (010) (Fig. 222). 

Die Unterschiede der Pinakoide sind gleichfaUs keine absoluten; sie hängen 
ebenso wie bei den* Prismen von der Achsenwahl ab. Jedes Pinakoid kann je nach 
dieser Wahl Basis, Makro- oder Brachypinakoid werden. Sie sind die Fundamental- 
flächen des rhombischen Systems. 

140. Namnannsehe Bezeiclmiing und Übersicht. Bei der 

Naumannschen Bezeichnung der rhombischen Formen geht man eben- 
falls von demjenigen Oktaeder (Pyramide Naumanns) aus, dessen Flächen 
von den Achsen die Achseneinheiten a, b, c, abschneiden, und die also 
die Einheitsflächen darstellen. Dieses Oktaeder wird auch hier das 
Hauptoktaeder oder die Grundfarm (primäre Pyramide, Grundpyramide 
Naumanns) genannt und mit dem Buchstaben P bezeichnet; es hat 
den Ausdruck : P = a:b:c= (111). Auf diese Grundform werden die 
anderen einfachen rhombischen Formen in ganz analoger Weise, wie 
bei den schon betrachteten Krystallsystemen bezogen (103, 115, 133), 
selbstverständlich unter Berücksichtigung der speziellen Verhältnisse 
des rhombischen Systems. 

Die sämtlichen an einem rhombischen Achsensystem möglicher- 




VoUfl&chige Klasse. 171 

weise auftretenden Oktaeder zerfallen nach ihren Schnitten auf den 
beiden horizontalen Achsen a und b in drei Beihen. Der Schnitt auf 
der Yertikalachse c ist hierbei nicht von Einfluß, daher gelten die- 
selben drei Eeihen auch für die Vertikalprismen, 
bei denen der Schnitt auf c unendlich groß ge- 
worden ist. In Fig. 223 sind diese Schnitte in 
der Achsenebene ab für einen Oktanten dai^e- 
stellty die Flächen selbst gehen an den hier ge- 
zogenen Linien nach dem betreffenden Punkt 
auf der vertikalstehenden Achse c. Diese drei Fig. 223. 

Reihen sind die folgenden. 

1. Hauptreihe. Beide horizontale Achsen a und b werden gleich 
d. h. mit gleichen Ableitungszahlen geschnitten. Der allgemeine Aus- 
druck der Flächen ist dann : ea : e& : ^rc, wo jr = 1 , auch = oo beim 

Vertikalprisma. Wenn man die Fläche parallel mit sich nach den 
Enden der Achsen a und b verschiebt (I. Fig. 223) erhält man: 

a:b: — c = a:b: mc, wo 

m «==: — ^ 1, auch =oo. 

Die Pyramiden der Hauptreihe unterscheiden sich dann nur durch 
die Größe der Ableitungszahl m^ d. h. durch die Länge der Stücke, 
die sie auf der Yertikalachse c abschneiden. Sie sind in der Eichtung 
der Yertikalachse mehr oder weniger spitz oder stumpf. 

2. Makrodiagarude Nebenreü^. Die Makrodiagonale b wird von 
den Flächen mit einer größeren Ableitungszahl geschnitten, als die 
Brachydiagonale a. Der allgemeine Ausdruck der Flächen ist also : 

eaifbigc, wo f^e, ^ = 1, auch = oo. 

Legt man die Flächen parallel mit sich durch das Ende der Achse a 
(II. Fig. 223), so schneiden sie auf der Makrodiagonale ein Stück > b 
ab. Der Flächenausdruck geht dann über in: 

a:~b: — c = a:nb: mc, wo 

n = — >1 und m = ~^l, auch«»c». 

3. Brachydiagonale Nfbenreihe, Die Brachydiagonale a wird mit 
einer größeren Ableitungszahl von den Flächen geschnitten, als die 
Jtfakrodiagonale b. Der allgemeine Flächenausdruck ist wieder: 

eaißigc, aber c>/' und g^l, auch = cjo. 

Legt man diese Fläche nun parallel mit sich durch das Ende der 



172 Bhombisches Erystallsystem. 

Achse b (in. Fig. 223), so schneidet sie auf der Brachydiagonale ein 
Stuck > a ab und der Flächenausdruck geht über in : 

-7^ a :o : ~ c = na 10 : mc, wo 

n = y>>l und m=^^l, auch = oo. 

Wird in den beiden letzten Eeihen n = 1, dann gehen sie in die 
Hauptreihe über. 

Andere Oktaeder (resp. Yertikalprismen) als solche aus diesen 
drei Beihen kann es offenbar im rhombischen System nicht geben. 
Es können also auch keine anderen Ausdrücke als die erwähnten 
vorkommen : 

I. Hauptreihe: a\h'.mc 

hierher die Grundform: a:6:c, 
n. Makrodiagonale Nebenreihe : ainb: nie, 

HL Brachydiagonale Nebenreihe: naibimc^ 
in denen allen eine der beiden auf die horizontalen Achsen a oder b 
bezüglichen Ableitungszahlen = 1 ist (in der Hauptreihe beide), 
während die andere n größer als 1 (in der Hauptreihe = 1) sein 
muß. Die auf die Vertikalachse c bezügliche Ableitungszahl m kann 
jeden beliebigen Wert haben; bei den Vertikalprismen wird m = oo. 

Aus dem Ausdruck P für die Grundfoim : a:b:c lassen sich nun 
die Naumannschen Ausdrücke aller übrigen Oktaeder, sowie die der 
Yertikalprismen (und weiterhin auch die aUer übrigen einfachen rhom* 
bischen Formen) analog wie im quadratischen und hexagonalen System 
ableiten, indem man die Ableitungszahl m vor, n hinter P setzt, so 
daß der allgemeine Naumannsche Ausdruck für ein rhombisches Okta- 
eder = mPn wäre. Dieses Symbol ist aber zweideutig, denn n bezieht 
sich bald auf die Makrodiagonale 6, bald auf die Brachydiagonale a, 
je nachdem das Oktaeder der makrodiagonalen oder der brachydiagonalen 
Nebenreihe angehört. Diese beiden Seihen werden dadurch unterschieden, 
daß man über n (statt dessen manchmal auch über P) das Zeichen der 
Länge, — , resp. das Zeichen der Kürze, ^-^, anbringt, je nachdem sich die 
Ableitungszahl n auf die Makro- oder auf die Brachydiagonale be-* 
zieht Es bedeutet also mPn oder mPn, resp. mPH oder mPn ein 
Oktaeder der makrodiagonalen resp. der brachydiagonalen Nebenreihe. 

Danach hat man nun fär die einfachen rhombischen Formen fol- 
gende Übersicht 

1. Oktaeder (Pyramiden, Bipyramiden) : 
a) Hauptreihe: 

fnP = a:b:mc oder (hhl) {h^T); 

z. B. Grundform: P = a : 6 : c = (111) ; 



Vollflächige Klasse. 173 

2P — a:6:2c = (221); 
iP=a: 6:^0 = (113). 

b) Makrodiagonale Nebenreihe (Makropyramiden) : 

fnBfl = a:nb:mc oder =(M?) (Ä>>t); 
z. B. 2P5 = a:36:2c = (623); 
P2 = a:26: c = (212). 

c) Brachydiagonale Nebenreihe (Brachypyramiden) : 

mPn = na:b:mc oder = (hkl) {h < Je)] 

z. B. 2P3 = 3a : ft : 2c =- (263); 
iP2 = 2a:&:^c = (126). 

2. Vertikalprismen: 

a) Hauptreihe: ooP = a:6:ooc==(110). 

b) Makrodiagonale Nebenreihe (Makroprismen); 

ooPn = a:nh:occ oder (Kkff) (A>Ä;); 
z. B. ooP2 = a:2b:ooc = (210). 

c) Brachydiagonale Nebenreihe (Brachyprismen) : 

ooPfi = na:b:ooc oder (hJcO) (A < i) ; 

z. B. ocP2 = 2a:6:occ = (120). 

Analog ist es bei allen fibrigen einfachen Formen des rhombischen 
Systems, deren Flächen man sich gleichfalls dnrch die Enden einer 
der horizontalen Achsen a oder b parallel mit sich verschoben denkt: 

3. Domen: 

a) Makrodomen : mPöo = a:oob:mc oder (hOl) : 

z. B. 2P^ = a:oob:2c oder = (201); 
P^ = a:oob:c =(101). 

b) Brachydomen: mPoo = ooa :b:mc oder (OW); 

z. B. 2P5S = ooa:6:2c = (021); 
lPoo = ooa :b:^c = (013). 

4. Pinakoide: 

a) Makropinakoid : ooPoo = a : oo6 : ooc = (100). 

b) Brachypinakoid : cjoP5o = ooa:6:ooc = (010). 

c) Basisches Pinakoid (Basis): 0P=oca:ooJ:c = (001). 

Andere einfache Fonnen als diese sind an einem rhombischen Achsensysteme nn- 
mOglich. Die drei Pinakoide geben die Fnndamentalflächen der rhombischen ErystaUe, 
eine Fläche des Hanptoktaeders (der Grandform) ist die Einheitsfläche. 

141. Kombinatioiieii. Zwei Oktaeder bilden, je nachdem sie die 
Achsen schneiden, verschiedene Kombinationen. Sind die auf zwei 
Acbsen bezüglichen Indices (Ableitnngszahlen) in beiden Oktaedern 
einander gleich, dann spitzt das eine Oktaeder die auf der dritten 
Achse liegenden Ecken des anderen so zu, daß die entstehenden 
Kombinationskanten mit den in der Ebene der zwei ersten Achsen 



174 



Rhombiiches Crystallayertea 



gelegenen Oktaederkanten parallel sind, z. B. wie in Fig. 224 fftr die 
zwei Oktaeder: hJd nnd hh,l. Sind aber zwei oder alle drei Indices 
(Ableitangszablen) verscliieden, so sind die Kombinationskanten schief 
zn alten Oktaederkanten gerichtet (Fig. 225 fQr die Oktaeder: (hkT) 
und (hM)- 




Fig. 22Ö. 



Fig. 286. 



Fig. 224. 

Prismen stumpfen an Oktaedern die Kanten ab, oder sie sind 
auf diejenigen Kanten der Oktaeder gerade aufgesetzt, welche in der 
Ebene der beiden vom Prisma im Endlichen geschnittenen Achsen liegen. 
So stnmpft das Prisma (AÄO) die horizontalen Kanten des Oktaeders {hkt) 
gerade ab. Hier sind die beiden ersten Indices f&r beide Kßrper 
gleich (Fig. 226). Dagegen sind die Flächen des Domas ((ik,l,) anf die 
seitlichen Kanten des Oktaeders (hkl) gerade aufgesetzt (Fig. 226); 




Fig. 227. 



Fig. 228. 



Fig. 229. 



hier ist k nnd k„ sowie / nnd l, verschieden. Prismen von derselben 
Lf^e schärfen ihre Kanten gegenseitig zu, wie die beiden Tertikai- 
prismen (hkO) und (Ä^O) (Fig. 227). Prismen von verschiedener Lage, 
z. B. die beiden Domen hOl nnd Ok,l, geben einen oktaedrischen KSrper 
(Fig. 228) mit einem in der Ebene der beiden Achsen, denen die Domen 
parallel gehen, gelegenen oblongen Schnitt, ein sog. Oblongi^taeder, das 



^ 


-tm 


«F« 


.». 










m 




m. 


"■ 













Fig. 230. 



Fig. 231. 



Fig. 282. 



natfirlich keine einfache Form, sondern eine Kombination ist. Pinakoide 
schließen entweder Prismen beiderseitig, z. B. bei dem Hakrodoma mit 
Lftngsflftche (010) (Fig. 229) oder dem vertikalen rhombischen Prisma 
(AM) mit Basis (001) (Fig. 230) ; oder sie stampfen zwei gegen&bet^ 




Vollflächige EJMse. 175 

liegende Kanten gerade ab, wie die Längsflftche (010) am Vertikal- 
prisma (MO) (Fig. 230). An Oktaedern stampfen sie je zwei gegen- 
überliegende Ecken gerade ab (Fig. 231). Alle drei Pinakoide geben 
ein oblonges Prisma mit Basis (Fig. 232), das sich vom quadratischen 
Prisma mit Basis and vom Würfel nur dadurch unterscheidet, daß 
alle Flächenpaare verschieden sind, während beim Würfel alle drei 
gleich, beim quadratischen Prisma zwei gleich sind ; aufeinander senk- 
recht sind sie bei allen dreien (134). 

In Fig. 233 ist ein komplizierterer rhombischer 
Erystall, dem Topas zugehörig, abgebildet. Die Achsen- 
richtungen sind durch die Symmetrieebenen gegeben, 
deren Verlauf unmittelbar ins Auge f&Ut. Die Achse, 
welche parallel der Kante der Prismen M und l ver- 
läuft, soll die Yertikalachse c sein, M und l sind Fig. 23a 
dann Vertikalprismen und P ist die Basis, n ist 
ein Doma, o, s und x sind Oktaeder, und zwar haben o und 
8 mit M teilweise gleiche Indizes, denn die Flächen M, o, s, P 
liegen in einer Zone (schneiden sich in parallelen Kanten). Ist 
o = hkl^ so ist 8 = hkl, und Jf=A^. Zur Bestimmung des Achsen- 
verhältnisses wählt man eines der vorhandenen Oktaeder als Haupt- 
oktaeder, z. B. 0, dann ist o = P (111), und das Achsenverhältnis 
a:b:c ergibt sich aus den Neigungswinkeln der Flächen o; if ist 
= ooP (110) und n ist ein Brachydoma, denn das Prisma Jfcf hat seinen 
stumpfen Winkel vom, auf seiner scharfen seitlichen Kante ist die 
Fläche n gerade aufgesetzt, also geht n in der Tat der Brachydiagonale 

parallel, «ist = a : 6 : y c (/ > 1) und zwar = ^P = (112), und x = 

(AM) und Z = WO wo Ä < Ar. Die Indices für die Flächen : s, x^ n und l 
folgen meist aus den Neigungswinkeln, da der Zonenzusammenhang hier 
vielfach unterbrochen ist; doch liegt x in der Zone [oxn] und l in der 
Zone [üäx]. Man hätte auch s als Hauptoktaeder nehmen können, 
oder Xy jedesmal hätte sich ein anderes Achsenverhältnis aibic und 
damit andere Indices f&r die anderen abgeleiteten Flächen ergeben. 
Statt der Kante MjM hätte man aber auch eine andere Achse als 
Vertikalachse wählen können, z. B. die Kante des Prismas n (oder die 
Kante Pln\ das dann Vertikalprisma z. B. = oo P (HO) geworden wäre. 
Da die Flächen n sich aber P in einem stumpfen Winkel schneiden, 
so müßte P in diesem Fall Makropinakoid sein , also : P «= oo P öo 
(100) und M und l wären Brachydomen; o, «, x wären nach wie vor 
Oktaeder. Je nach dem Achsenverhältnis a:b:c kann n aber auch 
einen anderen Ausdniek als (HO) erhalten, P kann dann auch Brachy- 
pinakoid werden, und damit werden dann M und l Makrodomen. 



176 Rhombisches Erystallsystem. Hemiedrie. 

Hemiedrische Klassen. 
Von solchen sind zwei möglich, die auch beide im Mineralreich vertreten sind. 

Rhombisch'hemimorphe (rhombisch-pyramidale) Klasse. 

142. Bhombisclie Hemimorphie. Die Erystalle sind an beiden 
Enden einer der drei krystallographischen Achsen verschieden; sie 
werden nach dieser Achse, der Achse des Hemimorphismus , polar. 
An jedem Ende derselben herrscht noch die Symmetrie des rhombischen 
Systems, aber zu jeder Fläche des einen Endes sind die parallelen 
Gegenflächen am anderen Ende weggefallen, oder sie sind von jenen 
physikalisch verschieden geworden. Eine der drei Symmetrieebenen, 
und zwar diejenige senkrecht zur Achse des Hemimorphismus ist also 
weggefallen, die beiden anderen, die durch diese Achse hindurch gehen, 
existieren noch. Von den drei zweizähligen Symmetrieachsen ist nur 
noch die mit der Achse des Hemimorphismus parallele vorhanden. 
Ein Symmetriecentrum besteht nicht mehr. 

Die Achse des Hemimorphismus wird meist als Vertikalachse c auf- 
recht gestellt, so daß an den Krystallen eine Verschiedenheit zwischen 
oben und unten vorhanden ist. Aus den Oktaedern werden dann 
zwei nach unten resp. nach oben offene rhombische Pyramiden, deren 
Spitzen auf dem oberen (-f) resp. unteren ( — ) Aste der Achse c liegen, 
und die man wie diese als obere und untere mit den Zeichen o und u 
unterscheiden kann. Das Oktaeder mFn {hJcl) gibt z. ß. die beiden 
hemimorphen Hälften o . mPn (hkl) und u . mPn (hU). 

Die Vertikalprismen behalten ihre Gestalt bei. Die Domen zer- 
fallen in eine obere positive und in eine untere negative dachförmige 
Hälfte (Hemidoma), die nach unten resp. nach oben geöffnet sind. Das 
Makrodoma mPöö (hOl) gibt z. B. die beiden Hälften o . mPöö (hOl) und 
u . mPoö(ÄOQ, das Brachydoma wPoo(OW) gibt o . mPo6 (Ofe?) und u . mPSo 
(0kl). Das basische Pinakoid OP (001) zerfällt in die beiden Einzel- 
flächen o.OP(OOl) und w.0P(001), während die der Achse des Hemi- 
morphismus parallelen Pinakoide, das Makro- und das 
Brachypinakoid unverändert bleiben. 

Als Beispiel des Hemimorphismus im rhombischen System 
haben wir schon oben (68) einen KrystaJl von Kieselzinkerz kennen 
gelernt. Ein anderes Beispiel liefert der Struvit^ dessen Formen 
JJig. ^&k, ^^y^ Yig^ 234 ohne weiteres klar sind. 

Rhombisch'hemiedrische (rhombisch-bisphenoidische) Klasse. 

143. Bhombisehe Hemiedrie« Diese Hemiedrie des rhombischen Systems 
entspricht ganz der tetraedrischen Hemiedrie der quadratischen und der regulären 
Krystalle und wird daher auch hier wohl die tetraedrische Hemiedrie genannt. Die 
sämtlichen in einem Oktanten liegenden Flächen jeder einfachen Form verhalten sich 




Monoklines Erystallsystem. 



177 



gleich md Ton denen in den umliegenden Oktanten verschieden. Daher fallen die 
drei Symmetrieebenen nnd das Symmetriecentmm weg, aber die drei aufeinander 
senkrechten zweizähligen Symmetrieachsen parallel den krystallographischen Achsen 
a, b und c bleiben als die einzigen Symmetrieelemente erhalten. Aus jedem Oktaeder 
werden zwei rhombisehe Tetraeder oder Sphenoide (Fig. 236), die von Tier nngleich- 
schenkligen Dreiecken begrenzt werden. Die beiden 
gegenüberliegenden Kanten schneiden sich hier nicht 
mehr rechtwinklige sondern unter den schiefen Win- 
keln der Oktaederkanten in den drei Hauptschnitten. 
Korrelate Tetraeder können also nicht durch Drehung 
zur Deckung gebracht werden, sie sind enantiomorph. 
Alle anderen einfachen Formen außer den Oktaedern 
ändern ihre Gestalt nicht. 

Diese Hemiedrie trifft man u. a. beim Bittersalz 
(Fig. 236), wo ein rhombisches Yertikalprisma (110) 
mit einem Tetraeder (111) kombiniert ist, dessen Fl&chen auf die Prismenflächen 
abwechselnd nach oben und nach unten gerade angesetzt sind. 




■J»«?. 

./W 



ita 




Fig. 236. 



Fig. 236. 



Monoklines System. 

(KlinorhombiBches, monosymmetrisehes, zwei- und eingliedriges System). 

Im monoklinen System sind alle diejenigen Erystallklassen ver- 
einigt, die sieh auf drei angleiche Achsen beziehen lassen, welche sich 
in zwei rechten nnd einem schiefen Winkel schneiden. Das Achsen- 
schema ist: 

a:6:c; -^a/6 = J/c = 90®; ^alc = ß. 

144. Achsen des monoklinen Systems. Eine der drei Achsen 
steht auf den beiden anderen senkrecht. Sie wird mit b bezeichnet 
und geht bei der gewöhnlichen Anfstellung quer yon rechts nach 
links. Man nennt sie die Querachse^ die Orthodiagonale oder Orthoachse 
oder die Symmetrieachse, Von den beiden anderen schief gegen- 
einander geneigten wird die eine, beliebig welche, aufrecht gestellt; 
es ist die Vertikalachse c. Die zweite, a, geht dann schief von vom 
nach hinten; sie wird als Längsachse, Klinodiagonale oder Klinoachse 
bezeichnet. Die Achsenebene oc, die fcLr das Achsensystem Symmetrie- 
ebene ist» läuft dann gerade auf den Beschauer zu. Das Achsen- 
system wird dabei in den meisten Fällen so orientiert, daß der 
stumpfe Winkel ajc = ß der beiden schiefen Achsen a und c nach 
vom gekehrt ist (Fig. 57). Die beiden anderen Achsenwinkel a;b = y 
und c:b ==> a sind Rechte. Das Schema eines monoklinen Achsen- 
systems ist also: 

a:b:c; -^ a/6 = J/c = 90® ; ^ajc^ß. 

Hierin sind die beiden Winkel ajb und bic als Rechte bekannt, es 
bleiben also noch drei unbekannte Stücke übrig : das Achsenverhältnis, 
also z. B., wenn 6 = 1 gesetzt wird, a und c, sowie der Winkel ajc = ß. 

Bauer, Mineralogie. 12 



178 Monoklines Ej^ystallsystem. 

Diese drei Unbekannten können aus drei an dem betreffenden Krystall 
gemessenen voneinander unabhängigen Winkeln berechnet werden. 
Achse a kann >6 oder <ii sein. 

Die drei Achsenebenen bilden acht Oktanten, die zu vier und vier 
einander gleich sind: je zwei in der Achsenebene ajc aneinander- 
stoßende und die beiden diametral gegenüberliegenden. Die eine 
Gruppe von vier Oktanten enthält den stumpfen Winkel (+ a)lc = /?, 
die andere den spitzen Nebenwinkel ( — a)/c = ß' = 180 — ß (stumpfe 
und spitze Oktanten). 



Monohlin-üollflächige (prismatische) Klasse, 

145. Allgemeine TerhUtnisse der holoedrisehen Klasse. Es 

ist außer einem Symmetriecentrum eine Symmetrieebene und eine auf 
dieser senkrechte zweizählige Symmetrieachse vorhanden. Mit letzterer 
muß die Orthodiagonale, mit der Symmetrieebene die Achsenebene a/c 
parallel sein. Bei der gewöhnlichen Aufstellung der monoklinen 
Krystalle ist es also so, daß die Symmetrieebene auf den Beschauer 
zuläuft, während die Symmetrieachse quer von rechts nach links geht. 
Die voUflächig-monoklinen Krystalle sind dann rechts und links gleich 
ausgebildet, aber nicht mehr wie im rhombischen System auch vorn 
und hinten, da eine entsprechende Symmetrieebene fehlt. 

Wenn an einem monoklinen Achsensystem eine Fläche -r-y-T 

= hJcl auftritt, die von allen drei Achsen endliche Werte abschneidet, 
so erfordert die Symmetrie nur noch das Auftreten einer zweiten 
gleichen und gleichliegenden Fläche auf der anderen Seite der 
Symmetrieebene : 

h — Je l 

Diese beiden Flächen mit ihren parallelen Gegenflächen begrenzen 
ein Prisma von rhombischem Querschnitt, das sich von einem Prisma 
des rhombischen Systems in der Form durch nichts unterscheidet, das 
aber schief an den Achsen liegt und dessen vier Flächen im all- 
gemeinen in die vier gleichen stumpfen resp. spitzen Oktanten fallen. 
Geht man von den vier oberen um + c herumliegenden Oktanten aus, 
so kann man diese beiden Arten von schiefen Prismen als vordere 
und hintere unterscheiden. Sie sind charakterisiert durch ihren 
Schnitt auf den Achsenästen 4-a und — a, also durch die Ausdrücke: 

VVl = ^f^ und -^:|:| = (ÄAO. 
(yorderes schiefes Prisma) (hinteres schiefes Prisma). 

Ein rhombisches Prisma ist die flächenreichste einfache Form 



Monoklines Kiystallsystem. 



179 



des monoklinen Systems. Es kann verschiedene besondere Lagen an 
den Achsen haben, wodurch seine Indices gewisse spezieUe Werte 
erhalten. Dadurch, daß der vordere Prismenwinkel = 180® wird, wo- 
mit je zwei Flächen in ein Niveau fallen, entstehen aus den Prismen 
neue spezielle Formen, die nur von einer Fläche und ihrer parallelen 
Gegenfläche begrenzt sind : Pinakoide, die der Orthodiagonale parallel 
laufen. Wird die seitliche Prismenkante = 180®, so entsteht jederzeit 
das Pinakoid senkrecht zur Orthodiagonale (parallel mit der Symme- 
trieebene). Da die einfachen Formen des monoklinen Systems, Prismen 
und Pinakoide, alle offen sind, so müssen sämtliche monoklinen Krystalle 
Kombinationen darstellen. 



146. Einfache Formen. 1. Prismen. Der allgemeinste FaU ist 
der, den wir schon betrachtet haben (145), wo die Flächen die drei 
Achsen ungleich und im Endlichen schneiden. Dies sind die schiefen 
Prismen, die auch nach ihrem ausgezeichneten Vorkommen am Augit 
als augitartige Paare, oder, weil sie in Kombination mit einem zweiten 
Prisma eine Pyramide geben, Hemipyramiden genannt werden. Eine 
spezielle Lage an dem Achsensystem erhalten die Prismen, wenn sie 
entweder der Vertikalachse c oder der Klinodiagonale a parallel 
gehen. Dies sind die Vertikalprismen resp. die Jlorizontalprismen, 
die auch den Namen Klinodomen erhalten haben. Danach können an 
einem monoklinen Achsensystem folgende Prismen auftreten: 

a. Schiefe Prismen (Hemipyramiden, augitartige Paare). Bei ihnen 
tritt nach der Lage an der Achse a der Unterschied zwischen vorn 
und hinten ein (145). Man unterscheidet danach vordere und hintere 
schiefe Prismen, von denen man, unnattirlicherweise, nach dem Vor- 
gange von Naumann die ersteren, die an + « anliegen, als negative, 
die letzteren an — a als positive Hemipyramiden zu bezeichnen pflegt. 
Danach hat man: 

vordere schief e Prism/en (vordere augitartige Paare, — Hemipyramiden): 

|:-|:| = (ÄÄZ) (Fig. 237). 




<fO 






Fig. 238. 



Fig. 239. 



Fig. 240. 



hmtere schiefe Prismen (hintere augitartige Paare, -j- Hemipyramiden): 

_^:^:| = (MZ) (Fig. 238). 

12* 



180 



Monoklines EjrystaUBjstem. 



Liegen die Prismen den Achsen c oder a parallel, dann kann 
lelbstverständlicli der Unterschied zwischen vom und hinten nicht zur 
Oeltong kommen. Man hat dann: 

b. VerUhalprismen, parallel der Vertikalachse c (Fig. 239). Ihr 
Ausdruck ist : ^ : -r- : ooc = (ÄiO). 

c. HorizofiMprismen (Klinodomen), parallel zur Klinodiagonale a 

b c 
(Fig. 240) mit dem Ausdruck : ooa : -r- : y = (OM). 

Diese drei Arten Yon Prismen sind nicht absolut voneinander yerscMeden ; 
ihr spezieller Charakter hängt von der Wahl der Achsen a und c ab und ändert nch 
mit dieser. Ein Vertikalprisma wird zum Klinodoma, wenn man die bisher als 
Vertikalachse betrachtete Richtung als Elinoachse, oder zu einem schiefen Prisma, 
wenn man eine andere in der Symmetrieebene liegende Kante als Achse c annimmt, 
was man jederzeit tan kann etc. 

2. Querpinakoide. Flächenpaare parallel der Orthodiagonale b, 
also senkrecht zur Symmetrieebene (Achsenebene ac). Es sind ge- 
wissermaßen Prismen, deren vorderer Winkel = 180® ist und deren 
Flächen längs der vorderen in der Symmetrieebene liegenden Kante 
in eine zusammengefallen sind. In derselben Weise wie bei den 
Prismen kann man dann auch hier drei verschiedene Lagen an den 
Achsen a und c unterscheiden: 

a. Schiefendflächen (Hemidomen, Orthodomen, Hemiorthodomen, da 
zwei zusammen eine domatische Form parallel der Orthodiagonale 
geben). Sie entsprechen den schiefen Prismen und haben den all- 

gemeinen Ausdruck ' it-^'t- J® nachdem sie an den Achsen vom 

oder hinten liegen, zerfallen sie in 

vordere Schiefendflächen (negative Hemidomen): 

jioob :j = {m) (Fig. 241) und 

hintere ScMefendflächen (positive Hemidomen): 

-^-^:oob:j = (hOl) (Fig. 242). 




UL^m. 




Fig. 242. 




Fig. 243. 




Fig. 244. 



b. Querfläche (Orthopinakoid); den Achsen b und c parallel. 
a:oob:ooc = (100) (Fig. 243). Entspricht den Vertikalprismen. 



Monoklines Krystallsystem. IgX 

c. Geradendfläche (Basis) ; den Achsen a und b parallel, ooaioohic 
= (001) (Fig. 244). Entspricht den Klinodomen. 

Anch bei diesen drei Formen h&ngt wie bei den Prismen der spezieUe Charakter 
Ton der Wahl der Achsen a nnd c ab; ihr Unterschied ist wieder kein absoluter. 

5. ifl^njFs/locÄß(Klinopinakoid); senkrecht zur Achse ^ «i^« ^ 

6, also der S. E. ac parallel, oo a : 6 : ooc = (010) (Fig. ^ 

245). Entspricht einem Prisma, an dem der seitliche /itf — 

Winkel = 180 «ist. V ** i 

Dieses Pinakoid unterscheidet sich absolut von den Qner- ^^J a^ 

pinakoiden, seine Stellung ist von der Wahl der Achsen a und c 
ganz unabhängig, mit denen es parallel geht, diese Achsen mögen in der S. E, 
gewählt sein wie sie wollen. Das Elinopinakoid bleibt bei jeder Achsenwahl ein 
solches und ändert seinen Charakter niemals. 

Andere einfache Formen als die genannten sind im monoklinen System un- 
möglich. Weder ist eine andere Flächenlage denkbar, als in diesen Formen, noch 
ein wesentlich anderer Flächenausdruck, der sich nicht auf die obigen zurückführen ließe. 

Die Basis, die Längsfiäche und die Querfläche sind die Fundamentalflächen des 
Achsensystems, eine Hemipyramidenfläche dient als Einheitsfläche. 

147. Namnannsche Bezeidmnng und Übersicht. Die Naumann- 
sehe Bezeichnung der monoklinen Formen ist ganz ähnlich der der 
rhombischen , nur hat man hier stets statt der Brachy- und Makro- 
diagonale, die Elino- und Orthodiagonale zu setzen. Ganz ebenso wie 
im rhombischen System werden auch hier drei Reihen der Pyramiden 
(hier Hemipyramiden) und der Vertikalpiismen unterschieden, die man 
die Hauptreihe, die orthodiagonale und die klinodiagonale Nebenreihe 
nennt. Man geht auch hier von denjenigen Formen der Hauptreihe 
aus, deren Flächen von der Achse die Achseneinheiten abschneiden. 
Dies sind die beiden schiefen Prismen: das negative: -f-a:6:c und 
das positive: — a:ft:c, die zusammen die Grundform (Grundpyramide, 
primäre Pyramide) bilden. Naumann bezeichnet nun das vordere schiefe 
Prisma ( — Hemipyramide) : +a:6:c mit — P, das hintere schiefe 
Prisma (-j-Hemipyramide) : — a :h:c mit +^- Alle Pyramiden mit anderen 
Ableitungszahlen als 1 werden nun wieder in der Weise ausgedrückt, 
daß man die Ableitungszahl m für die Vertikalachse c vor P, die Ab- 
leitungszahl n 5 1 fär die Achse a oder b hinter P schreibt. Je nach- 
dem sich n auf die Orthodiagonale b oder die Klinodiagonale a be- 
zieht (orthodiagonale oder klinodiagonale Nebenreihe) wird P gerade 
oder schief durchstrichen oder auch wohl über das n ein horizontaler 
oder schiefer Strich gesetzt. Der allgemeine Naumannsche Ausdruck 
einer beliebigen Hemipyramide (eines beliebigen schiefen Prismas) wäre 
demnach : 

Orthodiagonale Nel)enreihe: +wPyi oder wPfl = +a:«6:mc. 
KÜDodiagonale Nebenreihe: +wP» oder mPn = +na:b:inc. 
In der Hasptreihe ist n = l, also: +mP==+a:6:mc. 



182 Monoklines Erystallsystem. 

Bei den Vertikalprismen hat man dieselben drei Reihen, aber der 
Unterschied der negativen oder positiven Formen fällt hier weg, da 
die hinteren Flächen die parallelen Gegenflächen der vorderen, also 
zu diesen selbstverständlich zugehörig sind. 

Danach hat man die folgende Übersicht über die einfachen mono- 
klinen holoedrischen Formen: 

1. Prismen und zwar: 

a. Schiefe Prismen (Hemipyramiden) : 
a, Hauptreihe: 

vordere schiefe Pr. ( — Hemipyr.) : — mP ^^-^a-.himc od. QM). 

hintere schiefe Pr. (-f- Hemipyr.) : + mP = — a:h:mc od. (hM). 

hierher die Grundform : — P='^a:b:c = (111) und -|- P = — a.b:c 

= (111). 
ferner z. B.: — 2P=a:6:2c = (221); + iP= — a:6:-^c = (113). 

ß, Orthodiagonale Nebenreihe: 
vord. schiefe Pr. ( — Hemipyr.): — »??Pn = a:n6:mc od. Qikl)h'^k. 
hint. schiefe Pr. (+ Hemipyr.): -f-wPn = — a:nb:mc od. (äAZ)ä>>ä:. 
z. B.: — 2P3 = a:36:2c = (623); + P2 = — a:26:c = (212). 

y. KlinodiagoncHe Nebenreihe: 
vord. schiefe Pr. ( — Hemipyr.) : — mlS!n = na : 6 : mc od. (hkl) h<^k 
hint. schiefe Pr. (+ Hemipyr.): -^-m^n^i — naibimc od, (ää?)ä<[ä;. 

b. Vertikalprismen: 

a. Hauptreihe: ooP = a:6:ooc = (110). 

ß, OtÜl N. E.: o6Pn = a:nb:coc oder (ä«))A>ä-. 

z. B.: c»P2 = a : 2ö : ooc == (210). 
y. Klinod.N.E.: o6Sn = naib:ooc oder (hkO)h<:ik 

z. B.: ooP^ = ^:6:ooc = (230). 

c. Klinodomen: m^oo = ooa:b:mc oder (OW). 

z. B.: 2Poo = ooa : ft : 2c = (021). 
Ä QuerpincJcoide : \ 

a. Schiefendfläehen (Hemidomen) und zwar: 

vordere Schiefendfl. ( — Hemid.): — mPoo oder (AO/), 

z. B. — Poo(lOl); — ^oo = (102); etc. 
hintere Schiefendfl.(4- Hemid.) : +mPoo oder (äOQ, 

z. B. Poo = (101) ; poo = (302) ; etc. 

b. Querfläche (Orthopinakoid) : c»Poo = (100). 

c. Basis (Geradendfläche): 0P=(001). 1 

5. Längsflüche (Klinopinakoid) : oo5oo = (010). | 

i 

148. Kombinationen. Die Kombinationen dieser einfachen Formen 
kann man sich leicht vorstellen. Ein vorderes und hinteres schiefes 
Prisma geben ein monoklines Oktaeder (Pyramide) (Fig. 246, 247), wo 



Monoklines Erystallsjstem. 



183 



bei den idealen Formen die Achse h zwar stets durch die zwei seit- 
lichen Ecken gehen mnß, die Achsen a und c gehen aber nicht not- 






Fig. 246. 



Fig. 247. 



Fig. 248. 



r-m«c 





Fig. 249. 



Fig. 250. 



wendig durch die anderen Ecken (Fig. 246). Eine Schiefendfläche 
(ÄjO/i) ist auf die vordere, in der Syrametrieebene gelegene Kante eines 
Prismas, z. B. eines Vertikalprismas (^0) gerade, aber schief zu den 
Prismenkanten- und -flächen aufgesetzt (Fig. 248). Das Klinopinakoid 
(010) und zwei Querpinakoide z. B. (hOl) und (100) geben ein oblonges 
Prisma mit schiefer Endfläche (Fig. 249). In dem monoklinen Feldspat- 
IrystaU (Fig. 250) geht die Symmetrie- 
ebene durch die Kanten T/T senk- 
recht über die Flächen P, k, x, y hin- 
weg, und verläuft parallel mit der 
Fläche M\ notwendig müssen P, t, x, y 
auf M senkrecht sein, sonst wäre ja 
keine Symmetrie rechts und links von 
der mit -M" parallelen Symmetrieebene ; der Krystall wäre nicht monoklin. 
Die Symmetrieachse h steht senkrecht auf üf, M ist stets das Klinopina- 
koid (Längsfläche) ooPoo (010). Achse h ist mit den Flächen P, x, y, Je, 
also mit Kanten Pjx etc. parallel, die Flächen P, x, y. Je sind somit 
Querpinakoide. Die Flächen T, ebenso n und o bilden Prismen. 
Wählt man nun T als Vertikalprisma ooP (110), dann wird die 
Kante T/T (|| TjM) Vertikalachse c und Je wird Querfläche (Orthopinakoid) 
ooPoo(lOO). Wählt man ferner die Kantenrichtung P/n ( 1 1 Jtf/n) • als 
Achse a, dann ist P als Basis = OP (001) und n wird ein Klinodoma 
mSoo oder (fiJcl) und o ein hinteres schiefes Prisma oder eine -f-Hemi- 
pyramide. x und y sind hintere Schiefendflächen oder +Hemidomen: 
+ mPoo oder (ÄOf). Nimmt man nun an, daß z. B. die Hemipyramide o 
einen bestimmten Ausdruck, etwa (111) habe und zieht z. B. die drei 
unabhängigen gemessenen Flächenwinkel ojo, njn und P/Ä in Betracht, 
so ergibt sich das Achsenverhältnis a:h:c durch Rechnung. ^ ß kann 
dann als ^PfJc direkt gemessen werden. Die Indices der anderen 
Flächen folgen ebenfalls aus deren Neigungswinkeln oder aus den 
Zonenverhältnissen. Würde man für o oder T andere Ausdrücke zu 
Grunde legen, so würde man andere Werte für das Achsensystem 
und auch fär die Indices der übrigen Flächen finden. Statt T kann 



Xg4 Monoklines Krystallsystem. 

tnan aber auch n oder o etc. als Vertikalprisma auffassen; man 
könnte eine oder die andere || h verlaufende Fläche als Basis etc. 
wählen und würde dadurch wieder andere Achsensysteme erhalten, 
welche alle dem Krystall im allgemeinen gleich gut zu Grunde gelegt 
werden können. 

Hemiedrische Klassen, 

Es Bind zwei hemiedrische Klassen möglich, indem das eine Mal die Symmetrie- 
achse, das andere Mal die Symmetrieebene nnd beide Male gleichzeitig das Symmetrie- 
centnun verschwindet 

Monoklin-hemiedrisohe (domatische) Klasse. 

149« Monokline Heniedrie« An jedem Prisma (schiefen Prisma, Vertikalprisma, 
Elinodoma) bleiben nnr die beiden in der Symmetrieebene zusammenstoßenden Flächen 
einander gleich, die beiden parallelen Gegenflächen werden Ton diesen verschieden 
nnd entsprechend bei den anderen einfachen monoklinen Formen, die man dabei als 
spezielle Fälle der Prismen betrachtet. Die Symmetrieebene bleibt dann bestehen, 
aber die Symmetrieachse nnd das Symmetriecentmm fallen weg. Die sämtlichen 
Prismen geben dann je zwei korrekte Hemiprismen, die sich durch eine Drehnng 
um 180^ nm die Orthoachse znr Deckung bringen lassen nnd die als vordere nnd 
hintere (resp. obere nnd untere) unterschieden werden können. Die Pinakoide parallel 
der Orthodiagonale zeriallen je in eine vordere und eine hintere (obere und untere) 
Einzelfläche. Das Elinopinakoid tritt stets mit seinen beiden Flächen auf. Der 
Skokzit ist ein Beispiel dieser Hemiedrie. 

Mono/ilin-hemimorphe (monoklin-sphenoidfsche) Klasse. 

ISO, MoBokllne Hemimorphie. Die Erystalle sind in der Bichtung der Ortho« 
diagonale hemimorph geworden; diese ist Achse der Hemimorphie, an ihren beiden 
Enden ist die Ausbildung verschieden. Von jedem Prisma sind die beiden am Ende der 
Symmetrieachse zusammenstoßenden Flächen einander gleich und von den parallelen 
Gegenflächen am anderen Ende verschieden und entsprechend bei den anderen ein- 
fachen monoklinen Formen. Die Symmetrieebene ist weggefaUen und damit gleich- 
zeitig das Symmetriecentrum ; die Symmetrieachse ist als einziges Symmetrieelement 
erhalten geblieben. Die Prismen zerfallen in je zwei rechts und links liegende 
enantiomorphe Hemiprismen (Sphenoide) und das Elinopinakoid in die beiden 
Einzelflächen, während die Pinakoide parallel der Orthodiagonale alle mit ihren 
beiden Flächen auftreten. Beispiele: Milchzucker, Rohrzucker, Weinsäure. Ein 
hierher gehöriges Mineral ist noch nicht bekannt geworden. 



6. TriUines System. 

(Klinorhomboidisches, asymmetrisches, eingliedriges System). 

Es umfaßt alle diejenigen Erystalle, die auf drei ungleiche sich 
anter drei verschiedenen schiefen Winkeln schneidende Achsen a, b, c 
bez(^en werden können. Das Achsenschema ist also: 

a:b:c; ^ blc = a^ c^a = /?, ajb = y. 



Trikliues Erystallsystem. 185 

Wir haben hier den allgemeinsten Fall, daß fünf unbekannte 
Größen in dem Achsensystem vorhanden sind; die drei Achsenwinkel 
und zwei Achsen (die dritte z. B. ft = 1 gesetzt). Es sind also zur 
Bestimmung des Achsensystems fünf voneinander unabhängige Winkel 
zu messen (38). 

151. Achsen des triklinen Systems. Die drei ungleichen Achsen 
a, &, c schneiden sich unter den ungleichen und schiefen Winkeln 
a!b = y, bjc = a, c/a = ß. Sie bestimmen acht Oktanten, von welchen 
jeder nur dem diametral gegenüberliegenden gleich ist. Eine der 
Achsen denkt man sich aufrecht und nennt sie die Vertikalachse c^ 
die beiden anderen a (Brachydiagonale, Brachyachse oder Längsachse, 
von vom nach hinten) und b (Makrodiagonale, Makroachse oder Quer- 
achse, von rechts nach links) verhalten sich wie im rhombischen 
System. Man stellt die Krystalle gerne so auf, daß die Winkel a, ß, y 
im vorderen, oberen, rechten Oktanten stumpf sind. 

Trihlin-uollflächige (pinakoidale) Klasse. 

152. Triklin - vollflächige (pinakoidale) Klasse. Keine Sym- 
metrieebene und keine Symmetrieachse, sondern nur noch ein Sym- 
metriecentrum. Da die Flächen nicht mehr zu gewissen Ebenen 
symmetrisch angeordnet sind, so ist zu jeder nur ihre parallele und 
gleiche Gegenfläche mit Notwendigkeit vorhanden und bildet mit dieser 
zusammen eine einfache Krystallform, die einzige, die es gibt, ein 
Flächenpaar. Der ganze Kry stall wird umgrenzt von solchen 
Flächenpaaren, welche nur dem Gesetz der rationalen Achsenschnitte 
unterworfen sind, er ist also stets eine Kombination. Je drei beliebige 
Kantenrichtungen können, wenn sie nicht in einer Ebene liegen, als 
Achsen angenommen werden. An solchen haben dann die Krystallflächen 
(Flächenpaare) eine bestimmte Lage, und danach werden sie mit ver- 
schiedenen Namen belegt Viertelpyramiden (Tetartopy ramiden) schneiden 
alle drei Achsen. Ihrer vier, die in einer Ecke zusammenstoßen, 
geben eine vollständige Pyramide. Hemiprismen schneiden a und & 
und gehen c parallel ; Hemidamen schneiden a und c, resp. b und c und 
gehen mit 6, resp. mit a parallel. Sie sind als Makro- und Brachy- 
domen (Quer- und Längsprismen) zu unterscheiden. Je zwei solche 
derselben Achse parallele Flächenpaare geben ein Prisma resp. ein 
Doma. Pinakaide gehen den Achsenebenen parallel und bilden die 
Fundamentalflächen des Achsensystems. Dies alles gilt aber immer 
nur für ein ganz bestimmtes Achsensystem. Nimmt man andere Kanten 
zu Achsen, so können die Flächen an dem neuen Achsensystem eine 
ganz andere Lage und damit andere Namen haben; die Hemiprismen 
können Pinakoide, die Viertelpyramiden Hemidomen etc. werden, so 



186 Triklines Eürystallsystem. 

daß also keinerlei absoluter Unterschied zwischen diesen Flächen- 
paaren vorhanden ist. 

152 a. Nanmannsclie Bezeichnung und Übersicht. Nach der 
Nanmannschen Methode wird eine Fläche, welche von den Achsen die 
Einheiten abschneidet (die Einheitsfläche) mit P bezeichnet. Dieses 
P kann nun in irgend einem der vier vorderen Oktanten liegen, also 
oben rechts oder links, oder unten rechts oder links; die parallelen 
Gegenflächen liegen dann in den vier hinteren Oktanten. Um die 
Lage in einem der vorderen Oktanten anzudeuten, wird an dem P oben 
oder unten, rechts oder links ein Akzent ' angebracht, so daß P' eine 
Fläche a:h:c ist, welche in dem vorderen Oktanten oben rechts liegt ; 
also wenn der hintere Zweig von a, der linke von h und d^r untere von c 
negativ sind :P=a:6:c = (111) ;,P=a:— 6: — c = (111) etc. Andere 
Achsenschnitte als in der Einheit werden durch Ableitungszahlen m 
vor P und n hinter P angegeben, genau wie im rhombischen System. 

Erstere, ml^lj, beziehen sich immer auf die Achse c, letztere, « (^ 1), 

auf 6 oder a, je nachdem sie mit der speziellen Bezeichnung — oder 
^-^ versehen sind (140). Dies entspricht ganz einer makrodiagonalen 
(n) und einer brachydiagonalen {fi) Nebenreihe, die neben der Haupt- 
reihe (n = 1) hier ganz in derselben Weise bei den Pyramiden und Ver- 
tikalprismen unterschieden werden können, wie im rhombischen System. 
Die Flächen von Hemiprismen und Hemidomen liegen gleichzeitig in 
zwei vorderen Oktanten, die ebenfalls durch Akzente an P in ent- 
sprechender Weise bezeichnet werden. Bei den drei Pinakoiden, die 
gleichzeitig in vier Oktanten liegen, ist eine solche Unterscheidung 
durch Akzente überflüssig ; hier ist das Naumannsche Symbol für sich 
schon unzweideutig. 

Demnach hat man über die an triklinen Krystallen vorkommen- 
den einfachen Formen die folgende Übersicht, wo a, b, c die Haupt- 
reihe resp. die makro- und die brachydiagonale Nebenreihe bezeichnen : 

1. Viertelpyramiden (Tetartopyramiden) : 
oben rechts : a) mP* ^^a.bimc oder (hM) Ih = A 

b) wP'n = a:nh:mc oder (hU) {h > k). 

c) mP*n =na:b:mc oder (hkl) {h < Ä). 

oben links : a) niT =a: — b:mc oder (hhl). 

b) mTn = a: — nbimc oder (hM) (h > Je), 

c) ni'Pfi = na: — bimc oder {hM) (ä <[ Je). 

unten rechts : a) mP, =a:b: — mc oder QiJiT), 

b) mlfn = a:nb: — mc oder (ä/J) (ä >> Je). 

c) mP,fi = na:b: — mc oder (Äi/) (A < Je). 



Triklines Krystallsystem. 187 

unten links : a) m,P =a: — h: — mc oder (IM). 

b) fn,Pn = a: — nb: — mc oder (hkl) (h > Je). 

c) m^fi = i\a: — 6 : — mc oder QM) (h <[ k). 

z. B. 3P' = (331); 'P=(lll); 2P,2(211); i,P3 = (136). 

Die vier Flächen P\ P, i?, ,P begrenzen miteinander die Grund- 
form, der man das Zeichen /P/ geben könnte. 

2. Hemiprismen und Hemidomen: 

rechte Hemiprismen: 
a) ooi?' = (110); b) ool^n oder (ä*0) (Ä>i;); c) ooP/n oder (ääO) (A<ä) 

linke Hemiprismen: 
a) oo,P = (110) ; b) oo/P/i_oder (hlO) (h > ä) ; c) oo/Ptt oder (AÄO) (A < Je) 

z. B. ooij'2 = (210); oo/P3 = (130) etc. 
obere Makrodoraen: mP^ oder (äOO z. B.: 2P'to = (201). 
untere Makrodomen : m,P^ oder (fiOT) z. B. : i,i?öö = (103). 
rechte Brachydomen : m,P*oo oder (OiZ) z. B. : 2,P'oo = (021). 
linke Brachydomen : m'^^ oder (OJcl) z. B. : ^'iJoS == (013). 

3, PinaJcoide: 

Makropinakoid (Querfläche): ooPöo = (100). 
Brachypinakoid (Längsfläche) : ooPäo = (010). 
basisches Pinakoid (Basis) : OP = (001). 

Beispiel« Wählt man in dem Fig. 251 als Beispiel einer triklinen Kombina- 
tion dargesteUten ErystaU von Kupfervitriol die Kanten T/n, TjP nnd MjF als 
Achsen c, &, a, dann ist T, Mj F der Reihe nach Quer- und ^^r->,»^ 
Längsfläche und Basis (Fundamentalflächen). n ist ein linkes, /x V^^^X 
r ein rechtes Hemiprisma; v ein rechtes Brachydoma; 8 ist eine 
rechte obere Hemipyramide ; tr, g, o sind rechte untere, und p 
ist eine linke untere Hemipyramide. Irgend eine der Viertel- 
Pyramiden wäre dabei die Einheitsfläche. Wäre dagegen wieder 
Tjn Vertikalachse, aber njF als Makro- und vjr als Brachy- 
diagonale genommen, so wäre n die Quer- und r die Längs- 
fläche; F wäre ein vorderes oberes Makrodoma, p die Basis, M pig. 251. 
und T zwei Hemiprismen etc., und so wäre für jede andere 
Achsenwahl die Bezeichnung der Flächen eine andere. Die Neigungswinkel der 
Flächen geben jedesmal die Achsenlängen und -Winkel. Die Symbole der einzelnen 
Flächen, welche an jedem speziellen Achsensystem andere werden, folgen aus den 
Zonen, oder ebenfalls aus gemessenen Winkeln. 



Trihlin-hemiedmohe (asymmetrische, hemipinalioidale, pediale) Klasse. 

153» Trikline Hemiedirie« Hemiedrie kommt im triklinen System an Mine- 
ralien nach unseren bisherigen Erfahrungen nicht vor, wohl aber an künstlichen 
Krystallen. Jedes Flächenpaar zerfällt in zwei Einzelflächen. Jede Fläche ist von 
allen anderen, auch von den etwa noch vorhandenen parallelen Gegenflächen, ver- 
schieden und bildet für sich allein eine einfache Krystallform. Da zu den einzelnen 
Flächen die parallelen Gegenflächen entweder fehlen oder verschieden geworden sind, 



Igg PirallelverwachiDng. 

so ist hier anch das letzte Sjmiinetnedement, diu Sjminetriecentmin yerscbwimden; 
die Erystftlle sind vollkommen asjmmetrüch. 



E. aesetsmäTsige Verwachsung der Erystalle. 

Parallel Terwachsnng. 

154. FarallelTerwachsnng. Ki-ystalle derselben Snbstanz findet 
man znveilen vollkommen parallel miteinander verwacbsen, d. h. so, 
daß die physikalisch gleichen Eichtungen in beiden Individuen 
parallel sind (5). Dann sind die Achsen des einen Individuums 
parallel den entsprechenden Achsen des anderen und damit auch die 
Begrenzangselemente des einen parallel den entjiprechenden Begren- 
zungselementen des anderen Individuums. So findet man z. B. häufig 

# reguläre Oktaeder von Alaun in der Fig. 252 dar- 
gestellten Weise verwachsen. Es entstehen dabei 
einspringende Winkel, die so beschaffen sind, daS 
je eine Fläche derselben an einem Individuum 
parallel einer Fläche am anderen Individuum ist, 
also hier z. B. an dem einspringenden Winkel aJcC^ 
die Flächen a, || a\, a', || o, etc. Diese Art der 
Parallelverwachsnng ist sehr häufig und es sind 
Fig. 252. hierauf sehr viele einspringende Winkel an Krystall- 

individuen zurückzuführen ; letztere haben ja sonst lauter ausspringende 
Winkel (12). Durch solche Parallelverwachsung entstehen zuweilen 
eigentttmliche Gebilde, wie z. B. die sog. Scepterquarze» 
bei welchen auf einem langen dfinnen Quarzsäulchen ein 
kurzer dicker Qaarzkrystall aufgesetzt ist (Fig. 253) etc. 
(vei^l. auch 172). 

Nicht selten ist eine grofie Anzahl einzelner kleinerer 

Individuen parallel verwachsen und diese bilden dann 

einen größeren Krystall, der zuweilen eine ganz ander© 

Form zeigt, als die kleinen Einzelkrjställchen , aus 

^' welchen er aufgebaut ist, und welche auch wohl als 

Subindtviäuen bezeichnet werden. So findet man zuweilen Oktaeder 

von Flußspat, welche von lauter untereinander parallelen Würfelchen 

gebildet sind, deren Ecken alle im Niveau der Flächen des Oktaedere 

liegen, so daß dadurch die Gestalt des letzteren, aber von lauter 

Schemflächen begrenzt, hervorgebracht wird (Fig. 254). Ebenso findet 

man vielfach rhomboedrisch oder skalenoedrisch begrenzte Ealkspat- 

krystalle, welche aus kleinen Ehomboederchen, zuweHen von derselben 



Zwil]ing:irerwacb8iuig. 189 

Form wie die von ihnen gebildeten groSen Rbomboeder, oder ans 
andere gestalteteo SabindiTiduen zusammengesetzt erscheinen. Man 
bringt diese Erscheinungen in Znsammenhang mit dem allmählichen 
Wachstam der Eiystalle, das dnrch Auflagerung neuer Substanz auf 
der Oberfläche der alten vor sich geht, und nennt sie Wackslums- 
ersi^nungm. Auch bezeichnet man wohl das ganze Gebiet der hier- 
her gehörigen Erscheinungen mit dem Namen Kry^aUcteJctontk, um den 
Aufbau der Krystalle aas den Snbindividaen anzudeuten. Die Sub- 
individnen sind übrigens nicht immer groß nnd einzeln deutlich er- 
kennbar und von den anderen deutlich nnterscheidbar. Die durch ihre 
Verwachsung gebildeten größeren Krystalle zeigen häufig eigentüm- 
liche Oberflächenerscheinimgen (drusig, fazettiert, parkettiert etc.) (17ö). 



Fig. 254. Fig. 266. (Nach Q. Tsctiennak.) Fig. 256. 

Häufig kommt es vor, daß kleine Eryställcheo, welche einen 
.größeren Erystall zusammensetzen, nicht vollkommen, sondern nur 
annähernd parallel (hypoparallel) miteinander verwachsen. Dann sind 
die Flächen der so gebildeten größeren Krystalle nicht eben, sondern 
-mehr oder weniger stark gekrümmt. Auf diese Weise entstehen x. B. 
die sattelförmig gekrümmten Flächen der Ehomboeder des Braunspats 
und anderer Mineralien (Fig. 255), femer Gruppen, wie z. B. die sog. 
garbenftrmigen Krystalle des Desmin (Fig. 256), wo von der Mitte 
eine Anzahl prismenförmiger Krystalle in nahezu paralleler Richtung, 
aber doch etwas divergierend, nach oben und unten ausstrahlen, so 
daß in der Mitte eine Einschnürung entsteht, und anderes ähnliches 
mehr. Doch dürfen nicht ohne weiteres alle krummen Flächen auf 
diese Weise erklärt werden ((116), (134)). 

Sadebeck, Angewandte Erystallographie. Berlin 1876 pag. Iö6ff. 



ZwilllngsverwaehBnng. 

(Yergl. Sadebeck, Angewandte KrystaUottraplüe. 1876. Tscbennak, Min. nnd 
petr. Hitteilnngen II, 499. 1879. BrSgger, Zeitschr, £. Kiyst. 16. 1890. 24. Klein, 
Über Zwillingsverbiudnngen nnd Verzemuigen, 1868. Liebiscb, Zeitschr, 1. Kryrt. 
2. 1677 pag. 74; Bd.' 4. 1879 pag. 201). 



190 Zwülingsfläcbe. 

155. Zwillinge. Erystallindiyidaen derselben Sabstanz kommen 
nicht nur in paralleler, sondern auch in nichtparalleler Stellung, aber 
in ganz bestimmter, krystallographisch gesetzmäßiger Weise mitein- 
ander verwachsen vor. Letztere Verwachsungen nennt man ZtmUmge. 
Wenige Fälle ausgenommen, besteht die Gesetzmäßigkeit darin, daß 
die zwei Individuen, welche den Zwilling bilden, zu einer an beiden 
in gleicher Weise krystallonomisch deflnierbaren Ebene symmetrisch 
(umgekehrt) liegen. Diese Ebene heißt die Zwillingsfläche (Zw. FL), 
die Normale derselben die ZmUingsachse (Zw. A.). Die Begrenzungs- 
elemente des ersten Individuums auf der einen Seite der Zwillings- 
fläche entsprechen gleichen Begrenzungselementen des zweiten auf der 
anderen Seite. Die Zwillingsfläche halbiert die Winkel der sich 
symmetrisch gegenüberliegenden Flächen und Kanten und liegt in 
Zonen, die ununterbrochen über den ganzen Zwilling hinweg gehen, 
so daß dadurch ihr Ausdruck sich nicht selten ohne weiteres ergibt. 
Die symmetrische Lage beider Individuen tritt oft auf den ersten 
Blick hervor, ist aber auch häufig durch Verzerrung, durch die Art 
ihrer Ausbildung und Verwachsung etc. versteckt und dann schwierig 
und nicht ohne sorgfaltiges Studium zu konstatieren. Dreht man das 
eine Individuum eines solchen Zwillings um die Zwillingsachse um 
180^ herum, so wird es dem anderen Individuum parallel, und um- 
gekehrt: Sind beide Individuen parallel und dreht man das eine um 
180** um die Zwillingsachse, so kommt es in die Zwillingsstellung 
gegen das andere. In den verschwindend wenigen Fällen, in denen 
die beiden Individuen eines Zwillings nicht gegen eine Ebene sym- 
metrisch liegen (166), wo also keine Zwillingsfläche existiert, ist 
wenigstens eine Linie vorhanden, welche die angegebene Eigenschaft 
der Zwillingsachse hat, und welche man daher auch hier als Zwillings- 
achse bezeichnet. 

Die Zwillingsfläche ist in den meisten Fällen eine wirklich vor- 
handene oder eine mögliche Krystallfläche beider Individuen und zwar 
ist es stets in beiden Individuen eine Fläche derselben einfachen Form, 
sie ist in beiden gleichnamig, z. B. bei regulären Krystallen vielfach 
eine Oktaederfläche, bei Aragonitkrystallen eine Fläche des Vertikal- 
prismas ooP (110) etc. Ist die Zwillingsfläche als Krystallfläche aus- 
gebildet, dann ist sie in beiden Individuen parallel und daran als 
Zwillingsfläche meist ohne weiteres leicht erkennbar. Ist sie nicht 
als Krystallfläche vorhanden, so ist häufig eine eingehende Unter- 
suchung am Goniometer nötig. Als Zwillingsfläche kann im all^' 
gemeinen jede Fläche eines Krystalls auftreten, doch kann niemals die 
Zwillingsfläche einer Symmetrieebene desselben parallel sein. Denn, 
wenn zwei Individuen symmetrisch zu einer in beiden gleichartigen 
Symmetrieebene verwachsen sind, sind sie stets parallel und nicht in 



Zwillingsgesetz. IQX 

Zwillingsstellung gegeneinander. Wenn das eine Individuum aus der 
Parallelstellung heraus um eine Achse senkiaBcht zu einer Symmetrie- 
ebene um 180*^ gedreht wird, so ist es immer wieder dem anderen 
Individuum parallel Für den Fall, daß die Zwillingsfläche parallel 
mit einer Krystallfläche ist, ist die Zwillingsachse meist entweder einer 
wirklich vorhandenen oder einer möglichen Krystallkante parallel und 
zwar wieder derselben Kante in beiden Individuen. Die Richtung der 
Zw. A. entspricht aber auch zuweilen keiner möglichen Kantenrichtung 
in den Einzelkrystallen. Selten, besonders bei den Zwillingen trikliner 
Krystalle vorkommend, sind die Fälle, in denen die Zwillingsfläche 
keiner möglichen Fläche der Individuen parallel ist In diesem Falle 
ist dann entweder die Zwülingsachse wie vorhin einer in beiden Indi- 
viduen gleichartigen Kante parallel; oder auch sie ist einer Kante 
nicht parallel, läßt sich aber kiystallonomisch so definieren, daß sie 
in einer beiden Individuen gemeinsamen Fläche auf einer ebenfalls 
beiden gemeinsamen Kante derselben Fläche senkrecht steht. 

Durch die Angabe der Zwillingsfläche oder -achse ist der 
Zwilling unzweideutig bestimmt. Man nennt diese Angabe das 
Ztvüüngsgesetjs. 

Häufig sind die beiden Zwillingsindividuen nach der Zwillings- 
fläche miteinander verwachsen, in vielen Fällen geschieht dies auch 
nach einer anderen Fläche. Von der Zwillingsfläche ist also die 
Verumhsungsfläche zu unterscheiden. Sie ist nicht selten an ein- 
springenden Winkeln zu erkennen. Wenn die Verwachsungsfläche 
der Zwillingsfläche parallel ist, ist das Zwillingsgesetz meist leicht 
zu erkennen, indem rechts und links von ihr gleiche Begrenzungs- 
elemente beider Individuen sich unmittelbar gegenüberliegen. Wenn 
beide Flächen nicht miteinander übereinstimmen, können verschiedene 
Verhältnisse eintreten. Die Verwachsungsfläche ist dann oft auf der 
Zwillingsfläche senkrecht; man muß sich dann hüten, sie für die letztere 
zu nehmen. In sehr vielen Fällen ist sie aber auch anders gerichtet. 
Sie ist dann entweder noch mehr oder weniger eben, oder kann 
auch einen ganz unebenen Verlauf nehmen; sie kann sehr stark ge- 
krümmt sein und sogar aus mehreren getrennten Teilen bestehen. 
Bei solch komplizierter Verwachsung ist das Zwillingsgesetz meist 
nicht mehr ohne weiteres erkennbar und es bedaif dann gleichfalls 
einer eingehenden gonlometrischen Untersuchung, um zu flnden, zu 
welcher Fläche oder zu welcher Achse die beiden Individuen sym- 
metrisch liegen, d. h. welches die Zwillingsfläche oder die Zwillings- 
achse isty mit anderen Worten das ZwiUingsgesetz zu bestimmen. 

Die in den folgenden Paragraphen angeführten Beispiele werden 
das Qesagte und noch weitere Verhältnisse der Zwillingskrystalle er- 
läutern. 



192 



Zwillinge. 



Beispiele. 156. Ein einfaches Beispiel einer Zwillingsbildnng 
bietet der in Fig. 257 nnd 258 dargestellte Augührystall^ bei dem der 
Augenschein lehrt, daß er ans zwei monoklinen Individuen von der 
Form der Fig. 259 zusammengesetzt ist, an welchen T ein vertikales 
Prisma, M die Längsfläche, K die Querfläche und o ein schiefes Prisma 
(augitartiges Paar) darstellen. Die Grenze beider Individuen wird 
deutlich markiert durch die einspringenden Kanten der Flächen o 
und Q. Die nähere Untersuchung lehrt, daß die Flächen K {K und Z) in 
beiden Individuen parallel sind und daß KooK in einer Zone liegen, 
da die Kanten Klo und Kjo den einspringenden Kanten ojo parallel 
laufen. Somit ist die beiden Individuen gemeinsame Fläche, die Zwillings- 
fläche, zu der sie beide symmetrisch liegen, in diesem Fall parallel 
mit der Querfläche K. Rechts und links von dieser in Fig. 257 auf 
M gestrichelt dargestellten Fläche ist alles, Flächen, Kanten und 
Ecken, in beiden Individuen gleich. Das Zwillingsgesetz würde also 
hier lauten: „Zwillingsfläche ist die Querfläche Jl^, oder man sagt 
auch: „Beide Individuen haben die Querfläche K gemein und liegen 







Fig. 258. 



Fig. 269. 



Fig. 260. 



umgekehrt (d. h. zu Z^ symmetrisch)". Die Zwillingsfläche ist hier 
auch zugleich die Verwachsungsfläche. 

Man kann nun auch mit Hilfe der auf der Zwillingsfläche senk- 
rechten Zwillingsachse zu einer klaren Vorstellung über die gegen- 
seitige Lage der Individuen im Zwilling gelangen und das Zwillings- 
gesetz auch mit Hilfe dieser Achse angeben. Denkt man sich nämlich 
beide Individuen dieses Zwillings erst in vollkommen paralleler Stellung 
nebeneinander liegend, so daß sie sich in der Fläche iT, welche 
Zwillingsfläche sein soll, berühren (Fig. 260), so kann man sich offen- 
bar den Zwilling dadurch entstanden denken, daß man das eine Indi- 
viduum (mit den unterstrichenen Flächenbuchstaben) um eine Achse 
senkrecht zu f um 180^ herumdreht. Berührten sich vor der Drehung 
beide Individuen nach der Fläche K^ so ist dies auch nachher noch 
der Fall ; und wie vorher, so werden sich hier auch nachher die Um- 
risse von K in beiden Individuen vollkommen decken. Statt der nach 
oben links liegenden stumpfen Ecke wird aber durch die Drehung die 
scharfe von unten nach oben gebracht werden etc., und es entsteht 
die in Fig. 258 dargestellte Verwachsung. Diese unterscheidet sich 
offenbar in keinem wesentlichen Punkt von dem in Fig. 257 dar- 



Zwillinge. 193 

gestellten Zwilling. Die einzige Abweichung ist nur die, daß im 
einen Fall (Fig. 258) die beiden Individuen ganz vollständig vorhanden 
sind, während im anderen Fall (Fig. 257) nur Stücke derselben den 
Zwilling bilden. Es ist aber eine sehr häufig vorkommende Erschei- 
nung, daß an einem Zwilling die beiden Individuen in der Richtung 
der ZwilliDgsachse stark verkürzt erscheinen, so daß man besser die 
in der Natur tatsächlich beobachtete Form des Zwillings erhält, wenn 
man ein Individuum durch eine Schnittfläche parallel mit der Zwillings- 
fläche (senkrecht zur Zwillingsachse) halbiert und die eine Hälfte, die 
nun wie die andere für sich ein Individuum darstellt, gegen die andere 
um 180® verdreht. Mit Hilfe der Zwillingsachse wird das Zwillings- 
gesetz so ausgesprochen: „Zwillingsachse senkrecht zu K^^ wobei die 
Drehung um 180® selbstverständlich ist, oder : „beide Individuen haben 
K gemein und sind in K (um eine Achse senkrecht zu K) um 180® 
verdreht". Wegen dieser Drehung um einen halben Kreisumfang 
heißen solche Zwillinge auch wohl Hemitropieen. 

Selbstverständlich ist die Idee der Drehung des einen Individuums nur eine 
geometrische Abstraktion, um sich die gegenseitige Lage der beiden Individuen im 
Zwilling klar zu machen. An eine Entstehung der Zwillinge in der Natur auf diese 
Weise wird wohl niemand denken. 

Im vorliegenden Beispiel war die Zwillingsfläche eine tatsächlich 
vorhandene ErystaUfläche, dagegen ist die Zwillingsachse, also die 
Normale zur Querfläche, wie die spezielle Betrachtung der mono- 
klinen Erystalle zeigt, keiner krystaUographisch möglichen Kante der 
Individuen parallel. 

157. Betrachten wir jetzt den in Fig. 261 dargestellten Krystall, 
der z. B. bei dem regulären Sodalüh vorkommt, so flnden wir, daß 
derselbe von sechs in einer Zone liegenden Trapezen 
mit abwechselnd langen und kurzen Parallelkanten 
und aus je drei beiderseits auf die kurzen Trapez- 
kanten aufgesetzten Bhomben begrenzt ist, welch 
letztere sich aber nicht parallel gegenüberliegen, 
wie das die Trapeze tun. Sowohl die trapez- als die 
rhombenformigen Flächen schneiden sich unter 120^ 
Hier sieht man nun keine einspringenden Winkel, ^^' ^^^• 

aber ebenso wie diese vorher, deutet hier der Mangel an gegenseitiger 
Parallelität bei den Bhombenflächen auf Zwillingsbildung hin. Man 
sieht in der Tat leicht, daß sich dieser Krystall nach einer strich- 
punktiert angegebenen, auf den Parallelkanten der Trapeze senk- 
rechten Ebene in zwei symmetrische Hälften teilen läßt, deren jede in 
iI^*en wesentlichen Beziehungen, in den Winkeln etc. einem halben 
Granatoeder entspricht. Jene Ebene ist also hier Zwillingsfläche. Weil 
sie auf den sechs parallelen Kanten der beiden granatoedrischen Einzel- 

Baner, Mineralogie. ^^ 




1Ö4 ZwiUiBge. 

iadividueu senkrecht steht, muß sie offenbar, parallel mit sich selbst 
verschoben, die rechts und links liegenden dreikantigen Ecken gerade 
abstumpfen, wie die punktierten Dreiecke andeuten; sie ist also in 
beiden Granatoedern eine Oktaederfläche. Die Zwillingsachse ist hiei- 
parallel mit den sechs parallelen Kanten der Trapeze, d. h. parallel 
mit den Granatoederkanten. Dreht man die eine Hälfte des Krystalls 
um 180^ um eine solche Achse, so erhält man ein vollständig regel- 
rechtes Granatoeder. Aus einem solchen kann man sich umgekehrt 
den Zwilling entstanden denken, wenn man das Granatoeder senk- 
recht zu sechs parallelen Kanten halbiert und die beiden Hälften 
gegeneinander um 180® in der Halbierungsebene (d. h. um eine jener 
sechs Kanten als Achse) verdreht. Hier ist die Zwülingsfläche zwar 
auch eine Krystallfläche, aber nur eine mögliche, nicht eine wirklich 
vorhandene Ebenso ist aber auch gleichzeitig die Zwillingsachse 
eine Kante und zwar eine tatsächlich existierende, in beiden Individuen 
gleichnamige, eine Grauatoederkante. Auch diese Granatoederzwillinge 
sind häufig stark v^kürzt, nicht selten so stark, daß von den sechs 
Fläche senkrecht zu der Zwillingsfläche nichts oder fast nichts mehr 
übrig ist und der Zwilling aus einer, über einer gemeinsamen, gleichseitig 
dreieckigen Basis errichtetenDoppelpyramide besteht (z..B. beimDiamant). 

158. Ein Beispiel eines Zwillings, bei dem zwax die Zwillingsachse, 
aber nicht die Zwillingsfläche krystallonomisch möglich ist, liefert der 
trikline Feldspat (Albit oder Anorthit) (Fig. 262). Zwei Krystalle» 
gebildet von den vertikalen Prismenflächen T und ?, der Basis P und 
der Längsfläche M und zuweilen auch der hier nur gestrichelt an- 
gedeuteten Qu€a:*fläche K, sind mit d^ Basis P so verwachsen,, daii T 




Fig. 268. Fig. 268. 

und l einspringende Winkel machen und da£ die Kanten PjK und 
PjK beid^ Individuen parallel sind. Die Kanten PIM und PfM fallen 
daj^: nicht aiifeinander, sondern schneiden sich rechts und links unter 
sehr spiten, Winkeln ; M und M machen sehr stumpfe einerseits aus-, 
anA^rseitQ. einsprinkgende Winkel. Daß P hier nicht Symmetrieebene^ 
ist^ si^ht. man^ so&rt, die Anordnung beider Individuen symmetrisch 
ZU: einßF Bben^ tritt dagegen hervor, wenn man: das obere Individuum 
pai^lel mit. sich so neben das untere, verschiebt, daß^ in der neuen 
Lage die Fl$cheo P und P zusammenfallen und . die Kanten JE/P und 
KfP paralW sißd (Fig. 26S^. 



Zwillinge. 



195 



Man kann dann eine mit KjP und KjP parallele Linie bbb^b^ un- 
unterbrochen über P und P hinziehen, und die Anordnung der stumpfen 
und spitzen Winkel der Flächen an beiden Individuen in Verbindung 
mit der Flächenverteilung selbst zeigt, daß in dieser Lage beide 
Individuen symmetrisch sind zu einer Ebene, die senkrecht zu bb^ 
(Kante PIK) den schmalen keilförmigen Raum zwischen ihnen halbiert, 
welcher der Kreuzung der Kanten PjM und PIM bei der ursprfing'- 
lichen, in Fig. 262 dargestellten Lage entspricht. Diese Halbierungs- 
ebene ist also hier Zwillingsfläche. Sie ist keine krystallonomisch 
mögliche Fläche, dagegen ist die Zwillingsachse 66*, wie erwähnt, der 
Kante PjK in beiden Individuen parallel, also eine mögliche (oder 
faktisch vorhandene) Kante derselben. Dreht man das eine Indi- 
viduum um die Zwillingsachse 66* um 180® herum, so wird es dem 
anderen vollkommen parallel. Hier hat man auch zugleich ein Bei- 
spiel daffir, daß die beiden Individuen nicht mit der Zwillingsfläche, 
sondern mit einer auf dieser senkrechten Fläche miteinander ver- 
wachsen sind. 

Zwillinge, bei denen sowoU Zwillingsebene, als Zv^ingsacbse keine krystallo- 
nomiscb mOglicben Flächen resp. Kanten sind, sind zu selten, als daß hier ein Bei- 
spiel daf&r elrforderlich wäre. Sie finden sich n. a. gleichfaUs beim triklinen AnortMt. 

15Ö. Übrigens lassen sich viele Zwillinge auf mehr als nur eine 
einzige Weise erklären, d. h. es laßt sich auf mehrfache Weise die 
Art der Verbindung der Individuen krystallographisch definieren; 
das Zwillingsgesetz kann in verschiedener Fassung ausgesprochen 
werden. So findet man sehr häufig einen Zwilling des moÄoklinen 
OrihöklaSj den sog. Karlsbader Zwilling, in dem zwei Individuen, be- 
grenzt von den Prismenflächen T, der Längsfläche M und der vorderlen 
und hinteren Schiefendfläche P und y, in der Fig. 264 und 265 an- 
gegebenen Weise vereinigt sind. Beide 
Individuen sind zwar nach der Fläche 
JfcT verwachsen, diese ist al)er nicht Zwil- 
lingsfläche, zu der beide Individuen 
symmetrisch liegen, und kann auch gar 
nicht Zwillingsfläche sein (155), da sie 
in beiden Individuen Symmetrieeberie ist. 
Z'willingsfläche ist die auf M senkrechte, 
hier nicht gezeichnete Querfläche Jt, welche die stumpfe Kante T/T jedes 
einzelnen Individuums und ebenso die Kante T/ T des Zwillings gerade 
abstumpfen Würdö. Die Vei-^achsungSfläche M ist also hier glfeich&lls 
attf der ZwiMingsfläche senkrecht' (Fig. 264), oder sie hat, wie in 
Fig. 265, wo die beiden Individuen etwas" ineinander hineingewachsen 
sind, einerf uaregeKnäßigen, jedoch M naheliegendeti Verlauf Die" 
Normale zu K (d; hv eine in M atrf' der Kante \2li/jP senkrechte; ate'^ 

13* 




Fig: 264. 




Fig. 265. 



196 Zwillingsgrenze. 

Erystallkante unmögliche Linie) ist die Zwillingsachse. Wenn man 
das eine Individuum um diese Achse um 180^ herumdreht, so werden 
beide Individuen parallel, und umgekehrt, wenn man eines aus der 
ParaUelstellung beider ebenso herausdreht, so entsteht der Zwilling. 
Derselbe entsteht aber ganz ebenso, wenn man das eine Individuum 
aus der Parallelstellung heraus um 180® um die Kante MjT dreht. 
Letztere ist dann Zwillingsachse; sie ist auf der anderen Zwillings- 
achse senkrecht. Eine zu ihr senkrechte Ebene, welche übrigens 
krystallonomisch unmöglich ist, wäre Zwillingsfläche; auch zu ihr 
liegen beide Individuen symmetrisch. Diese zweite Zwillingsfläche ist 
auf der ersterwähnten K senkrecht. Während bei der obigen Deutung 
die Zwillingsfläche eine mögliche Erystallfläche K, die Achse dagegen 
eine krystallonomisch unmögliche, jedoch in der angegebenen Weise 
definierbare Richtung war, ist es hier umgekehrt: die Zwillingsachse 
ist eine Eantenrichtung, die Zwillingsfläche ist als Erystallfläche un- 
möglich. Auch den oben betrachteten Augitzwilling (Fig. 257) kann 
man ganz genau in derselben Weise wie hier nach dem Gesetze er- 
klären: Zwillingsachse die Vertikalkante MjT oder TjK 

160. Zwillingsgrenze. Die Verwachsungsfläche beider Zwülings- 
individuen und der Verlauf dieser Fläche auf der äußeren Begrenzung 
des Zwillingskrystalls, die sog. Zwillingsgrenze oder Ztoülingsnakt, ist 
an den Zwillingskrystallen manchmal auf den ersten Blick zu er- 
kennen, manchmal liegt sie auch mehr versteckt. Ersteres ist nament- 
lich dann der Fall, wenn die Flächen der beiden Individuen an der 
Grenze einspringende Winkel bilden, wie z. B. bei dem oben be- 
schriebenen Augitzwilling und bei dem häufig vorkommenden 
Zwilling zweier regulärer Oktaeder des Spinells und anderer Mine- 
ralien nach der Oktaederfläche (Fig. 266), welche hier gleichzeitig 
Verwachsungsfläche und Zwillingsebene ist, etc. Es ist dasselbe Ge- 
j< setz wie in Fig. 261: Zwillingsfläche die Oktaeder- 

y7 \v fläche. Der Unterschied liegt allein in der Begrenzung 
y/y ,//^^ der Individuen, die dort eine dodekaedrische, hier 
H'""~'/y // ^^^ oktaedrische ist. Ein Zwilling dieser letzteren 
O.^ // ^\ // Art (Fig. 266), bei dem zwei Oktaeder mit einer 
^vf \ V Oktaederfläche als Zwillingsfläche verwachsen sind, 

^^ heißt nach dem Vorkommen am Spinell Spindhwilling, 

Fig. 266. g^y^jj Yfenn er an einem anderen Mineral auftritt. 

Die einspringenden Winkel an Zwillingen unterscheiden sich von 
den einspringenden Winkeln parallel verwachsener Individuen (154) 
wesentlich dadurch, daß bei letzteren immer eine Fläche rechts von 
der einspringenden Kante einer solchen links parallel ist (Fig. 252); 
bei Zwillingen flndet dies nicht statt. Solche einspringenden Winkel 




Verwachsnngsfläche. 197 

fehlen, wie wir schon (157) nnd Fig. 261 gesehen haben, häufig ganz. 
Dann gibt zuweilen die sog. federartige Streifung (Fiederstreifung) 
den Verlauf der Grenze an. Geht nämlich die Zwillingsgrenze über eine 
beide Individuen des Zwillings in ununterbrochener Fortsetzung be- 
grenzende Fläche am Zwillingskrystall hin, so ist nicht selten eine 
etwaige Streifung dieser Fläche rechts und links von der Grenze 
schief, aber beiderseits symmetrisch zu derselben gestellt 
(Fig. 267. Harmotom). Ähnliche federartige Streifung kommt 
indessen manchmal auch bei einfachen Erystallen (Chabasit, 
Glimmer etc.) vor. Statt ihrer deuten zuweilen abwechselnd 
matte und glänzende Partien derselben Fläche die Zwillings- 
bildung an (166); öfters ist auch die über beiden Indivi- 
duen gemeinsame Flächen hinlaufende Zwillingsgi'enze j.^^^~^7 
etwas eingekerbt. Bei manchen Zwillingen ist ein solches 
äußeres Zeichen für die Erkennung der Zwillingsfläche überhaupt 
nicht mehr vorhanden, wie z. B. bei dem oben beschriebenen 
Granatoederzwilling (Fig. 261), wo nur noch der Mangel paralleler 
Gegenflächen an beiden Enden des Krystalls auf Zwülingsbildung 
hindeutet, ihn aber nicht mit Sicherheit beweist, da auch durch 
Hemiedrie etc. geneigtflächige Krystalle entstehen. In derartigen 
Fällen ist es überhaupt oft schwierig, und es ist die genaueste Unter- 
suchung erforderlich, um zu erkennen, ob man es mit einem Zwilling 
oder einem einfachen Krystall zu tun hat. Dann sind die Blätter- 
brüche oft wichtig, die bei einem Zwilling nicht mehr alle ununter- 
brochen durch den ganzen Erystall hindurch gehen, sondern an der 
Zwillingsgrenze mitten im Krystall plötzlich aufhören und jenseits 
derselben in anderer Richtung weiterlaufen, entsprechend der Spal- 
tungsrichtung im zweiten Individuum, wie beim Sodalith, Feldspat, 
Kalkspat (5). Bei nicht regulären Krystallen f Qhrt die Untersuchung 
im polarisierten Licht oft leicht zum Ziel (256). 

161. Terwaehsungsfläclie. DieZusammensetzungs-(yerwachsungs-) 
fläche ist, wie wir gesehen haben, häufig eine ganz ebene Fläche. 
Sie ist entweder parallel mit der Zwillingsebene (Spinellzwilling, 
Fig. 266, Augitzwilling, Fig. 257) oder senkrecht darauf (Fig. 262 
und 264). Ist die Verwachsungsfläche eben, so ist die Zwillingsgrenze 
eine aus einzelnen geradlinigen Stücken zusammengesetzte ebene poly- 
gonale Figur (Fig. 266). Ist die Zusammensetzungsfläche etwas wellig 
gekrümmt, so ist die Grenze ebenfalls wellig hin- und hergebogen, 
wie z. B. häufig bei den Karlsbader Zwillingen des Orthoklases 
Fig. 268, die sich von den in Fig. 264 abgebildeten nur dadurch 
unterscheiden, daß statt der hinteren Schiefendflächen y die etwas 
weniger steilen Flächen x vorhanden sind. Weicht die Verwachsungs- 
fläche noch stärker von der Ebene ab, so wird die Grenze ziemlich 



198 



JDxtapoBition. Penetration. 



.kompliziert, so dafi die beidea Individaea z. T. förmlich einander 
durchdringen, indem Torsprilnge des einen Individnams in Yer- 
tiefungen des anderen eingreifen, vie 
dies bei vielen nach demselben Giesetz 
gebildeten Orthoklaskrystallen (Fig. 
265) oder dem Zwilling von Flußspat- 
Würfeln (Fig. 269) mit der Oktaeder- 
fiäcbe als Zwillingsääcbe der Fall ist. 
Diese stecken so ineinander, daß die 
Flg. 268. Fig. 269. Ecken des einen Individuums ans den 

Flächen des anderen naseni^rmig hervorrageD. 

162. Juxtapositlon und Penetration. Häufig hOrt ein Indivi- 
duum nicht an der Verwachsnngsfläche auf, in der es sich mit dem 
anderen Individuum berührt, sondern beide wachsen darüber hinaus 
fort und durchkreuzen sich vollständig, so daß zwei sich unter irgend 
einem Winkel durchschneidende ebene oder auch häufig komplizierte 
krnmme Verwachsnngsflächen entstehen. Dies zeigt z. B. der Stauro- 
lithkrystall (Fig. 270). Solche Zwillinge werden als Durchkreueungs- 

oder PenetraiiORSetcillinge von den Berührungs- oder 
JttxtapositionsgwnlHngen unterschieden, an denen sich die 
, Individuen nach einer Fläche mehr oder weniger innig 
I berühren. Zu den Penetrationszwillingen gehört u. a. 
f auch der Flußapatzwilling (Fig. 269), während der Ortho- 
klaszwilling (Fig. 268), der Spinellzwilling (Fig. 266) 
and der Augitzwilling (Fig. 257) Justapositionszwillinge 
^«- ^- sind. 
Zwei Individuen derselben Substanz können nach demselben 
Zwillingsgesetz bald Juztapositions-, bald Penetrationszwillinge bilden. 
So ist z. B. der Quarzzwilling Fig. 275 und der lilg. 276 demselben 
Gesetz unterworfen, aber der eine ist durch Juztaposition, der andere 
dnrch Penetration entstanden. 

163. ZwiUlnge hemiedrischer Kristalle. Bei hemiedrischen 
Eiystallen werden die Verhältnisse der Zwillingsblldung oft etwas 

modifiziert. So gilt zuweilen bei derartigen Zwil- 
lingMi die Symmetrie nach der Zw. Fl. nur noch in 
Bezug auf die Form der Zwillinge, nicht mehr in 
Bezug auf die physikalische BeschafTenbeit der 
Flächen. Bei der der tetraedrisch - hemiedrischen 
Klasse des regulären Systems uigeh&rigen ZinJAlende 
kommen Zwillinge vor (Fig. 271), welche ganz ebenso 
Fig. 271. gestaltet sind wie die Spinellzwillinge (Fig. 266). 

Während aber bei den Spinellzwillingen in der ZwiJiiugsgreaze an allen 




Zwillinge hemiedriBcher Kryat&lle. \gQ 

Kanten zwei gleiohe Flachen znsammenstoflen, treffen eich beim Blende^ 
Zwilling, dessen IndiTiduen eine Kombination beider koiTelaten Tetraeder 
darstellen, zwei infolge der Hemiedrie verschieden gewordene PlScfaen. 

M. a. W. die Flächen des einen Tetraeders + ■=■ am einen Individnnm 

etofien in der ZwUling^renze überall aof Flächen des Gegentetraeders 

— -a-Ava. anderen nnd umgekehrt, wie die Schrafflerang und Signierung 

in Figor 271 zeigt. 

164. ZwUlbige mit pwallcAen Aehs«». Bei sämtlichen bisher 
betrachtete Zwillingen waren die Achsen beider Individuen ver- 
si^ieden gerichtet und lagen zur Zwillingsfläche in derselben W^e 
eiouider symmetrisch gegenüber, wie die äuflere Begrenzung der Indi- 
viduen (Zwillinge mit gmeifften Achsen). Eemiedrische Krjstalle (and 
teilflächige überhaupt) bilden abu* zuweilen eigentümli^e Zwillinge, 
hei welchen die beiden Individuen mit paraiiden Achsen vereinigt 
sind. Ein derartiger Zwilling ist Fig. 272 dargestellt, wo zwei ßhom- 
boeder von K(äk3pat in dieser Weise zwillingsartig aneinander liegen. 
Die Basis ist hier ZwUlings- und Terwacbsnngsfiäche zugleich. 
Zwillinge mit parallelen Achsen bilden u. a. auch hemimorpbe 
Erystalle, wie z. B. das Kieaelsinkerg (Fig. 645). Bei rollflächigen 
Formen kann selbstverständlich eine Zwillingsbildnng mit parallelen 
Achsen nicht vorkommen; parallele Achsen bedingen bei ihnen einoi 
vollkommenen Parallelismus auch der äußeren Begrenzung. 

165. E^iunrngszwininge. Zwei gleiche hemiedrische Krystalle 
wachsen in Zwillingsstellnng mit parallelen Achsen nicht immer in 
der Weise aneinander, wie es Fig. 272 zeigt Häufig dorchdringen sie 
sieh in dieser gegenseitigen Stellung vollständig und bilden Fene- 




Fig. 272. ng. 273. tig. 274. 



trationszwillinge, bei denen die Ek^eo des einen Individunms nasen- 
f&rmig ans den Flftchen des anderen herausragen, wie dies iü Fig. 273 
ftr zwei Tetraeder und Fig. 274 für zwei Pyritoeder gezeichnet Ist. 
Man kann auch hier den Zwilling durch Drehnng um eine Achse oder 
durch Angabe der ZwÜiingsfl&che erklären, gegen welche beide lödi- 



200 



Erg;fliuniig8z willing^e . 



Tidnen der GestAlt nach synuDetriscli liefen. Zweckmäßiger und au- 
schalllicher scheint ea aber, hier zu sagen: beide Individnen haben 
alle Äcbsenrichtnngen gemein, aber die Raamabschnitte mit den sich 
ansdetmeoden Flächen des einen Individnnrns liegen so wie die ßaum- 
abschnitte mit den verschwundenen Flächen des anderen; die durch 
die Hemiedrie angleich gewordenen Oktanten beider Individuen haben 
die gleiche Lage. Bei genauerer Betrachtung sieht man, daß durch 
eine solche Zwillingsbildung diejenigen Symmetrieebenen am Zwilling 
wiederhergestellt werden, welche bei der Hemiedrie in jedem einzelnen 
Individuum verschwunden sind. Denkt man sich die auf den einzelnen 
Flächen aufsitzenden naseoartigen Hervorrf^ngen weg, so erhält man 
die entsprechenden vollflächigen £Crper, deren Kanten mit den ein- 
springenden Kanten dieser Zwillinge zusammenfallen. Die beiden 
hemiedrischen Formen ergänzen sich also in diesen Zwillingen gewisser- 
maßen zn der zngehürigen vollflächigen Gestalt: die beiden Tetraeder 
znm Oktaeder (Fig. 273), die beiden Pyritoeder zum PyramidenwOrfel 
(Fig. 274). Zwillinge dieser Art werden daher anch Ergäruungs- 
etoiUinge genannt. 



160. Zwillinge eaantlomorpfaer Krystalle. Zwillinge mit pa- 
rallelen Achsen liefert uns u. a. auch der der trapezoedrischen Te- 
tartoedrie des hexagonalen Systems zagehörige Quare. Aus ihnen sind 
gleichzeitig die aUgemeinen Verhältnisse der Zwillinge enantiomorpher 
Krystalle mit parallelen Achsen zu erkennen. In Fig. 275 sind zwei 
von dem Prisma r, dem größeren (und meist glänzenden) Rhomboeder 
P und dem kleineren (und meist mat- 
ten) Gegeorhomboeder s begrenzte 
Individaen so nach einer Fläche r 
verwachsen, daß die Prismenkanten 
r/r resp. rjr in beiden parallel sind 
und daß die Flächen n des einen 
Individuums den Flächen P des 
anderen der Lage nach entsprechen 
nnd umgekehrt. In beiden Indivi- 
duen haben dann die Achsen die- 
Die Individuen sind aber nicht parallel, sondern in 




Fig. 275. 



Fig. 276. 



selbe Bichtung. 

ZwUlingsstellung und zwar in der Weise, daß das eine um eine Achse 
senkrecht zu einer Prismenfläche r um 180° gegen das andere ver- 
dreht erscheint So lange an den Krystallen nur die genannten 
Flächen ausgebildet sind, haben sie die Symmetrie der rhomboedrischen 
Hemiedrie. Sie liegen symmetrisch zn der gemeinsamen Fläche r, die 
hier Zwillingsfläche ist Dies zeigt auch die Fig. 277, I und I^ wo 
zwei solche Qnarzkrystalle in dieser ZwUlingsstellung mit vertikal 



Zwillinge enantioiDorpher Erystalle. 201 

stehender Hauptachse abgebildet sind (die Flächen s sind vorläufig 
wegzudenken). 

Zu den Flächen P, /s und r treten nun aber nicht selten noch 
die Ehombenflächen s und ebenso Trapezflächen x ((129), Fig. 194), die 
in den einfachen Individuen auf die abwechselnden Prismenkanten 
oben und unten aufgesetzt sind und an den zwischenliegenden 
fehlen und die den speziell tetartoedrischen enantiomorphen Formen, 
Trigonoedern und Trapezoedem, angehören. An den beiden in Zwillings- 
stellung befindlichen Quarzkrystallen Fig. 277 I und II sind die 
Shomben- (Trigonoeder-) flächen s ausgebildet, durch welche sie einen 
ausgesprochen tetartoedrischen Charakter erhalten haben. 

Gleichzeitig hat aber auch die Symmetrie nach einer Fläche r 
aufgehört; r ist nicht mehr Zwillingsfläche, aber eine Gerade senk- 
recht zu r ist immer noch Zwillingsachse. Durch Drehung um eine 
solche um 180^ kann ein Individuum aus der Parallelstellung heraus 
in die Zwillingsstellung gebracht werden. Man kann dieselbe gegen* 
seitige Stellung beider Individuen auch durch Drehung um 180** um 
die Hauptachse c erhalten, so daß also auch c als Zwillingsachse an- 
gesehen werden kann. Aber die darauf senkrechte Fläche, die der 
Basis entsprechen wiirde, ist gleichfalls keine Zwillingsfläche ; auch zu 
ihr liegen die beiden Individuen im Zwillinge nicht symmetrisch. Es 
gibt nach dem Auftreten der enantimorphen Formen überhaupt keine 
Ebene mehr, zu der dies der Fall wäre. Ganz allgemein ist bei jeder 
derartigen Zwillingsverwachsung von gleichartigen enantiomorphen 
Formen (also von zwei rechten oder zwei linken Individuen) mit 
parallelen Achsen wohl eine Zwillingsachse vorhanden, um die das 
eine Individuum in die Zwillingsstellung gedreht werden kann. Es 
ist aber keine Zwillingsfläche denkbar, zu der beide Individuen des 
Zwillings symmetrisch liegen. 

Derselbe ZwiUing kann aber noch in anderer Weise auftreten, so daß er von 
einem einfachen QnarzkrystaU sich auf den ersten Blick gar nicht unterscheiden läßt 
(Fig. 276). Hier treten außer den Flächen r, P und z noch die Bhombenflächen 8 
und die Trapezflächen x auf. Bei genauerer Betrachtung sieht man an einem 
solchen Zwilling, daß die abwechselnden Bhomboederflächeu P und z nicht gleich- 
mäßig matt und glänzend sind, sondern daß auf derselben Fläche matte und glänzende 
SteUen miteinander in scharfer Umgrenzung abwechseln. Dabei stoßen in den End- 
kanten ausnahmslos glänzende Flächenelemente einerseits mit matten andererseits 
zusammen, und wo eine Linie, welche auf einer Fläche matte und glänzende SteUen 
voneinander trennt, eine Endkante trifft und überschreitet, da wechselt auf beiden 
in dieser Endkante zusammenstoßenden Flächen die Beschaffenheit: ist unter dieser 
Grenze die Fläche links glänzend und rechts matt, so ist über der Grenze die Fläche 
rechts glänzend, links matt und umgekehrt. Außerdem sieht man auch, daß hier 
die Flächen 8 und x nicht mehr nach der Kegel an den abwechselnden Prismen- 
kanten rjr oben und unten vorkommen und an den zwischenliegenden fehlen, sondern 
daß sie ganz regeUos verteilt sind. Dies aUes ist die Folge einer innigen Durch- 
dringung zweier nach dem obigen Gesetz verwachsener gleichartiger Quarzindividuen. 




202 



Zwillinge enantiomorpher KryBtalie. 



Von dieser Verwachsung kann man sich anf folgende Weise eine Vorstellung maehen : 
die beiden Individuen I und II (Fig. 277), befinden sich gegeneinander in der oben 
angegebenen und Fig. 275 abgebildeten Zwillingsstellung. Schneidet man aus dem einen 
Individuum I Stücke längs der beliebigen durch die krummen Linien angedeuteten 









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Fig. 277. 

Flächen heraus und setzt dafür ganz gleiche Stücke des anderen Individuums H 
ein, welche aus diesem nach den entsprechenden Flächen herausgeschnitten wurden, 
so entsteht der Zwilling III (resp. Fig. 276), der offenbar in allem Wesentlichen mit 
dem in Fig. 275 abgebildeten Übereinstimmt, nur daO hier die Verwachsungsflächen 
ganz unregelmäßig sind. Derselbe unterscheidet sich in der Tat von einem ein- 
fachen Elrystall der Gestalt nach nur durch die unregelmäßige Verteilung der 
Flächen s und x, und auch dieser Unterschied fällt an Erystallen fort, an welchen, 
wk in Fig. 275, diese Flächen nicht ausgebildet sind. Die Ungleichmäßigkeit der 
Verteilung von s (und x) entsteht dadurch, daß statt einer jeden ausgeschnittenen 
Ecke mit 8 (und x) eine solche eingesetzt ist, wo s (und x) fehlen (rechts am Zwilling TU) 
und umgekehrt (links), wie die Vergleichung von I und n zeigt. Da dies in ganz 
willkürlicher Weise geschehen kann, so wird die Verteilung der Flächen 8 xmd x am 
Zwilling ganz regellos. Ganz ähnlich erklärt sick auch die Abwechslimg matter und 
glänzender Stellen, den Flächenstttcken z und P entsprechend, auf einer und derselben 
Fläche der dihexaediischen Begrenzung. Solche Zwillinge sind zuerst an Krystafien 
aus dem Dauphin6 beobachtet worden, sie heißen daher auch wohl Dcuu^hinSer 
ZwÜlinge. 

Symmetrisch zu einer Ebene und zwar hier zu der des zweiten 
hexagonalen Prismas liegen aber wieder die beiden Individuen, wenn 
diese ungleichartig sind, wenn also ein rechter und ein linker Quarz- 
krystall mit parallelen Achsen verwachsen (Fig. 278). Je die Flächen 
P und die Flächen a der beiden Individuen fallen dann 
zusammen. Die beiden Individuen lassen sich nun aber 
nicht durch Drehung um eine Achse, etwa die Hauptachse 
oder irgend eine andere, in ihre gegenseitige Lage bringwi. 
Diese Verwachsung ist zuerst an brasilianischen ErystaUen 
beobachtet, daher der Name brasilianische Ztcülinge. Hier 
wie bei allen solchen Verwachsungen ungleichartiger enantio- 
morpher Krystalle (d. h. eines rechten und eines linken) ist 
im Gegensatz zu der Verwachsung gleichartiger Formen, wohl eine 
Symmetrieebene, aber keine Symmetrieachse vorhanden, wie man sich 
durch ein analoges Schema wie in Fig. 277 leicht klar machen kann. 
Fig. 278 stellt einen Penetrationszwilling dieser Art dar. 

Eine solche Form (Fig. 278) könnte übrigens auch dadurch entstehen, daß an 
einem Qoai-zkrystall das rechte und linke Trapezoeder desselben Skalenoeders gleioh- 
zeitig auftreten. Den Zwilling unterscheidet man aber hier leicht auf optischem 




Fig. 278. 



Fortgesetete Zwülingsbildang. 203 

Wege, da beide Individuen die Polarisationsebene in yerscMedener Bichtong dreben, 
80 daß auch unter Umständen Airjsche Spiralen entstehen (247). Am einfachen 
Erystall und am Dauphin^er Zwilling kann etwas derartiges nicht beobachtet werden. 
Mittels der Ätzfignren (200) und der Untersuchung der pyroelektrischen Verhältnisse 
(270) ist diese Unterscheidung ebenfalls möglich. 

167. Fortgesetzte Zwillingsbildung. Im vorhergehendeD waren 
immer nur zwei Individuen zu einem Zwilling verwachsen. Die 
Zwillingsbildung kann aber noch weiter gehen, indem sich nach dem- 
selben Gesetz, oder nach einem anderen an ein zweites Individuum 
ein drittes, an dieses ein viertes etc. anschließt. Derartige Bil- 
dungen nennt man dann Drülmge, Vierlinge etc., allgemein VieUinge, 
Wir betrachten zunächst die fortgesetzte Zwillingsbildung nach dem- 
selben Gesetz, d. h. nach Zwillingsflächen, die alle derselben ein- 
fachen Form angehören. 

Diese Verwachsung kann auf zweierlei Weise geschehen: einmal 
indem die Zwillingsfläche (resp. Achse), nach welcher das dritte an 
das zweite Individuum angewachsen ist, parallel läuft mit der Zwillings- 
fläche (resp. Achse), nach welcher die Verwachsung des zweiten und 
ersten Individuums stattgefunden hat, und so fort für alle anderen 
Individuen. In diesem Fall ist die Verwachsung aller Individuen 
eine reihenförmige (polysynthetische). Oder aber die Zwillingsfläche 
(resp. Zwillingsachse) des zweiten und dritten Individuums hat nicht 
dieselbe Richtung, wie die Zwillingsfläche (resp. Zwillingsachse) des 
ersten und zweiten Individuums, sie ist einer anderen Fläche derselben 
einfachen Erystallform parallel, der die erste Zwillingsfläche angehört. 
In diesem Falle ist dann die Verwachsung aller Individuen eine 
hreisformige (cyklische). 

168. Polysynthetische Zwilliiigsbildiuig. Ist z. B. ein Zwilling 
gebildet von den zwei rhombischen Prismen 1 und 2 (im Querschnitt 
dargestellt, so daß die Flächen auf der Ebene des Papiers senkrecht 
sind) (Fig. 279), deren Zwillings- und Verwachsungsfläche die gemein- 
same Prismenfläche ist, so kann an die dieser 
Zwillingsfläche parallelen anderen Prismenfläche 
des zweiten Individuums ein drittes zwillings- 
artig anwachsen, an dieses ebenso ein viertes, 
f&nftes etc., immer je zwei benachbarte in pig. 279. 
ZwiUingsstellnng und stets nach derselben 
Zwillingsfläche, so daß alle Zwillings- und Verwachsungsflächen der 
Beihe einander parallel sind und die Zwillingsachse stets dieselbe 
Richtung hat. Dann muß, wie leicht zu sehen, das dritte Individuum 
mit dem ersten parallel sein, das f&nfte mit dem dritten etc., ebenso 
auch das zweite, vierte etc., kurz, es mfissen alle Individuen mit un- 
geraden und alle mit geraden Nummern je untereinander parallel und 





204 PoljBynthelische ZwUlingsbildnng. 

zQ den entgegengesetzten in Zwillingsstellung sein. In Zwillingsstellnng 
sind die anmittelbar benachbarten, in Parallelstellung die abwechselnden 
Individuen. Solche häufig vorkommenden reihenfönnig wiederholten 
Zwillingsverwacbsungen heißen polysyntbeiische Zwillinge (Wieder- 
holnngszwillinge). Ihre spezielle Ausbüdung ist Terschiedeu: hänfig 
sind es nur drei ludividnen, von denen das mittlere nicht selten als 
papierdünne Lamelle parallel der Zwülingsfläcbe in ein gr5ßeres Indi- 
viduum eingeschoben erscheint (Fig. 280, 281); dies kommt z. B. bei 
manchen Krystallen des Aragmit vor. Besondei-s wichtig sind 
Zwillinge dieser Art, bei denen viele solche dünne Lamellen zwillings- 
artig in ein größeres Individuum eingewachsen sind oder wo der 
ganze Krystall aus einer außerordentlich großen Zahl derartiger 
Lamellen aufgebaut ist, wie bei den trtklinen Feldspaten (Plagioklasen). 
Diese Krystalle sind rhomboidische Prismen T und l mit schiefer 
Abstumpfung der scharfen seitlichen Kanten durch die Längsfläcbe M, 
mit einer auf die stumpfe vordere Kante Tß schief aufgesetzten End- 
fläche -P (Fig. 506), so daß FjM = 94* resp. 86", und einer ent- 




Fig. 280. Fi«. 281. Fig. 282. Fig. 283. 



sprechenden hinteren schiefen Endfläche x resp. y. Das hier am 
häufigsten vorkommeDde Zwillingsgesetz Ist das, wonach die Individuen 
die Fläche M gemein haben und umgekehrt liegen (Albitgesetz). Beim 
Zwilling müssen dann an dem unteren Ende die beiden scharfen, an 
dem oberen die beiden stumpfen Winkel PjM in der Zwillingsgrenze 
zusammenstoßen. Am letzteren Ende machen die beiden Flächen P 
einen einspringenden Winkel FjP von 188* längs den Kanten PjM 
and FjM (Fig. 282). Wächst an das zweite Individuum ein drittes 
nach demselben Gesetz, so legt sich neben den einspringenden Winkel 
PjF nun ein ausspringender FIP von 172*, während am anderen 
Ende ein einspringender Winkel entsteht, und beim Anwachsen noch 
weiterer Individuen bilden sich parallel mit der Kante FjM immer 
wieder neue abwechselnd ein- und ausspringende Kanten der Flächen 
P und P zweier aneinander stoßender Individuen (Fig. 283). Werden 
diese nun durch Zusammenrücken der Flächen M papierartjg dünn, 
lamellenfSrmig, so folgen die aus- und einspringenden Kanten sehr dicht 
aufeinander, und das Ganze macht dann den Eindruck, als wäre eine 
einheitliche Fläche P vorhanden, auf welcher eine Streifung ganz 



Cyklische ZwiUingsbildnng. 



205 



geradlinig in der Eichtang der Kante PjM hinläuft. Eine derartige 
Streifung wird ZtviUingsstreifung (Zwillingsriefung) genannt. 

169. Cyklische Zwillingsbildung. Ist die Verwachsung eine 
kreisförmige, dann kann im allgemeinen kein Individuum der Reihe 
einem anderen mehr parallel sein. Die auf diese Weise gebildeten 
cyMischen Zwillinge werden auch wohl Wendezwillinge genannt. Dabei 
wachsen die rhombischen Prismen, die wir auch hier als Beispiele 
benützen wollen, so aneinander, daß die Zwillingsfläche zwischen 2 
und 3 diejenige Prismen fläche ist, welche bei der Verwachsung von 
1 und 2 nicht Zwillingsfläche war (Fig. 284). Die drei Individuen 
liegen dann alle um einen gemeinsamen Mittelpunkt herum und bilden 
einen Drilling. Da der Prismenwinkel nicht genau gleich 120 ^ ist, 
so bleibt zwischen dem ersten und dritten Individuum ein kleiner 
keilförmiger Raum. Dieser wird aber ausgefüllt durch Ausdehnung 
dar beiden Individuen 1 und 3, die dann längs einer unregelmäßig 
verlaufenden Fläche aneinander stoßen. ZuweUen wächst an das zweite 
Individuum ein drittes, gleichzeitig aber an das erste nach der 
anderen Fläche ein viertes an (Fig. 285), einen Vierling bildend, 




1I7»4«' 




104*4»' 





|2SQ^ 




Fig. 284. 



Fig. 285. 



Fig. 286. 



Fig. 287. Fig. 288. 



wobei sich dann die Individuen 3 und 4 nur unvollständig entwickeln 
können; auch sie stoßen dann nach einer unregelmäßigen Grenzfläche 
aneinander. Eine noch größere Anzahl von Individuen kann cyklisch 
verwachsen, wenn die scharfe Prismenkante nach dem gemeinsamen 
Mittelpunkt des so gebildeten Viellings gewendet ist (Fig. 286, wo 
s^chs Individuen einen Sechsling bilden). Auch bei solchen Ver- 
wachsungen bleibt, je nach der Größe des Prismenwinkels, zwischen 
dem ersten und letzten Individuum ein kleiner keilförmiger Zwischen- 
raum (wie Fig. 284), oder es hindern sich das erste und letzte Indi- 
viduum an der vollständigen Ausbildung (Fig. 285); davon ist aber 
hier der Einfachheit wegen abgesehen. Häuflg sind bei solchen 
Sechslingen die nach außen gekehrten scharfen Kanten sehr stark 
abgestumpft, so daß die Abstumpfungsflächen, die an jedem einzelnen 
Individuum Brachypinakoide sind, an den Zwillingsgrenzen aneinander 
stoßen (Fig. 286). Es entstehen dann häufig scheinbar regelmäßig 
sechsseitige Prismen, bei denen aber ebensowenig wie bei den in 
Fig. 284 und 285 abgebildeten alle Gegenflächen streng parallel und 
die Winkel genau = 120® sind. 



206 



Cykliscfae Zwillingsbildung. 



Lidessen können solche sechsfache Verwachsungen wie Fig. 286 
auch in etwas anderer Weise gebildet sein. Es kommt nämlich auch 
bei diesen Bildungen vor, daß die Individuen, über die Zwillings- 
grenze hinaus sich fortsetzend, Penetrationszwillinge bilden (162). 
Sind zunächst die drei Individuen 1, 2, 3 (Fig. 286) in der ange- 
gebenen Weise miteinander verwachsen und setzen sich dieselben 
über den gemeinsamen Mittelpunkt hinaus fort, so daß 4 die Fort-* 
Setzung von 1, 5 von 2, 6 von 3 ist, so entsteht eine ganz ähnliche 
Bildung wie jener Sechsling. Es müssen aber dann hier zwei dia- 
metral gegenüberliegende keilförmige Zwischenräume zwischen 1 und 
6 und 3 und 4 entstehen, die indessen auch hier stets, durch Fort- 
wachsen der Individuen bis zur gegenseitigen Berührung, ausgefüllt 
sind. Ob ein solcher durch Juxtaposition gebildeter Sechsling oder 
ein durch Penetration gebildeter Drilling vorliegt, ist im konkreten 
Fall oft schwer zu erkennen. Eine Entscheidung ist möglich durch 
Messung der Prismenwinkel oder durch Beobachtung des Verhaltens im 
polarisierten Licht (256). Eine andere Art von Penetration ist noch 
Fig, 287 abgebildet, wo in ein großes Individuum 1 zwei kleinere 2 
und 3 rechts und links keilförmig eingeschoben sind, beide über den 
Mittelpunkt hinweg zusammengehörig, aber beide Hälften 2 resp. 3 
sich gar nicht berührend. Verhältnisse wie die der Fig. 286 kommeri 
z. B. beim Witherit vor, die der anderen genannten Figuren beim 
Araganit. Hier ist zuweilen noch eine andere Art dieser cyklischen 
Verwachsung zu beobachten, nach welcher in ein großes Individuum 
nach beiden Prismenflächen Zwillingslamellen eingeschoben sind 
(Fig. 288), nicht bloß nach einer wie in Fig. 280 und 281. 

Nicht immer liegen alle cyklisch verwachsenen Individuen eines Viel- 
lings um einen gemeinsamen Punkt herum, sondern sie bilden zuweilen 
einen mehr oder weniger geöffneten Kreis. So gibt es quadratische 
Prismen von Rtdil, welche nach einer Oktaederfläche zwillingsartig 
verwachsen sind (Fig. 289). An das vom 1. Individuum abgdcehrte 
Ende des 2. heftet sich ein 3. mit einer anderen Fläche desselben 

Oktaeders als Zwillingsfläche, 
daran in derselben Weise ein 4. 
und so fort. Diese Aneinander- 





reihung kann so vor sich gehetf, 
daß die Hauptachsen aller Indi- 
viduen in einer Ebene liegen 
(Fig. 289); oder es kann auch 
^- ^^- ^- 2^- so geschehen, daß nur die Achsen 

der Individuen 1 und 2, 2 und 3 etc. je in einer Ebene liegen, daß 
aber diese Ebenen nicht zusammenfallen, so daß die Individuen 
zickzackförmig hin und her gebogen erscheinen (Fig. 290). 



Doppels wiliinge. Himeeie. 207 

170. DoppelzwitllD^re. Zuweilen koniiiit es auch vor, daB ein 
aoB zwei Individnen nfich einem gewissen Gesetz gebildeter Zwilling 
mit einem zweiten gleich gebaaten Zwilling dei-selben Substanz nach 
einem anderen Gesetz verwachsen ist. Die Fläche, zu der die beiden 
Zwillinge symmetrisch liegen, gehört hier im Gegensatz zom bisherigen, 
einer anderen einfachen Krystallform an, als die Zwillingsflfichen jedes 
einzelnen Zwillings. Es entstehen dann DoppehtmSinffe oder Zwillinge 
höherer Ordnung, in denen jeder der beiden Zwillinge sich verhält, 
wie die beiden Individuen in einem gewöhnlichen Zwilling. So findet 
man nicht selten, daS beim AJlnt Zwillinge zweier, dem Albitgesetz 
gemftS, nach M verwaclisener Individuen, wie sie oben beschrieben 
worden (Fig. 282), so verbunden sind, daß sie wieder eine Fläche M 
gemein haben, daneben auch eine Kaute Mil (oder MjT), daß aber der 
eine Zwilling seine Hinterseite mit den Flächen x (oder y) nach vorn 
wendet, also nach derselben Seite, nach welcher der andere 
Zwilling seine Vordei-seite mit den Flächen P kehrt (Fig. 

291). Der eine Zwillingskrystall kommt aus seiner Farallel- 
stellung mit dem anderen in die Stellung, die er am Dop< 
pelzwilling hat, wenn man ihn um 180 <* um die Kante 
Tjl ^= MjT dreht, welche somit für den Doppelrwilling ^ 
Zwillingsachse ist Die damuf senkrechte Fläche ist seine p. ^^ 
Zwillingaflädie; sie ist hier krystallonomisch unmöglich. 

171. Mimest«. DieFolge der symmetrischen Verwachsnng einzelner 
Individuen in den Zwillingen ist, daß die letzteren häufig eine höhere 
Symmetrie zeigen, als die ersteren, aus denen sie zusammengesetzt 
sind. So zeigt z. B. der gewj^hnliche Albitzwilling (Fig. 282), gebildet 
von zwei triklinen Individnen, Symmetrie nach einer Ebene Jf, also 
die Symmetrie numokliner Krystalle. Während aber hier der ein- 
springende Winkel auf P deutlich die Zwillingsbildung zeigt, gibt es 
andere Uinlidie Verwachsungen, wo nor ausspringende Winkel tot- 
handen sind, wie' z. B. an dem Erystall von HarmaUm (Fig. ^17), 
welcher aus zwei durcheinander hindurch gewachsenen monc^linen 
lodividaui besteht Darch diese Verwachsung hat der Zwilling die 
ein^riaigenden Kant» verloren und die Symmetrie rhombischer Kry- 
stalle angenommen. Solche Zwillinge kann man leicht für rhomtusche, 
ei^tkcfae Krystalle halten und hat dies auch beim Harmotom in der 
Tat' luge getan, bis eine g^iaue, namenitieh optische, Untersuchung 
des vrirklichen Sachverhalt klarstellte. 

In den genannt«! b^den Fällen ist die Symmetrie des Zwillings 
gun genau die des höber symmetrisdien Krystallsystems, in anderen 
FiUen ist dies dagegen nnr ^nähwnd der Fall. So gibt es z. B. KrystaUe 
dca- rhoiBbisdieit Aragmit (Fig. 285), w^he ^n seheiBber r^ehnftfligr 



208 Mimesie. 

sechsseitiges Prisma bilden, das aber nicht lauter gleiche Kanten von 
120^ sondern solche von 127« 40', 116<> 10' und 104« 40' hat und 
welches aus vier rhombischen Prismen in der in der Figur angedeuteten 
Weise cyklisch verwachsen ist: 4,1; 1,2; 2,3 sind in Zwillingsstellung, 
4,3 grenzen unregelmäßig aneinander. Ahnlich bildet der rhombische 
Alstonü durch Zwillingsbildung scheinbar hexagonale Dihexaeder, 
und nur genaue Untersuchung der Winkel und der optischen Ver- 
hältnisse (256) zeigt, daß man es hier mit einer Verwachsung rhom- 
bischer Krystalle zu tun hat. 

Wenn die Zwillingsbildung einfach ist, wie in den bisher be- 
trachteten Beispielen, wird die Symmetrie nur wenig gehoben, da nur 
eine oder doch nur wenige Symmetrieebenen neu hinzutreten. Ver- 
einigt sich aber eine größere Anzahl von Individuen durch cyklische 
Verwachsung nach einem oder mehreren Gesetzen, dann kann sich die 
Zahl der Symmetrieebenen so vermehi*en, daß eine bedeutende Stei- 
gerung der Symmetrie des Zwillingsstocks gegenüber derjenigen der 
einzelnen Individuen stattfindet. Ist damit eine Fortwachsung der 
Individuen über den gemeinschaftlichen Mittelpunkt hinaus verbunden, 
so daß die sämtlichen einspringenden Winkel in den Zwillingsgrenzen 
dadurch verschwinden, so ahmt der komplizierte Zwilling in zahl- 
reichen Fällen Formen einfacher KrystaUe von weit höherer Sym- 
metrie täuschend nach. Ein Beispiel hierfür liefert uns ebenfalls der 
Harmotom, Wie wir bei der speziellen Betrachtung dieses Minerals 
unten sehen werden, sind häufig Zwillinge wie Fig. 267 zu kompli- 
zierten Doppelzwillingen (Zwölflingen) verbunden, welche sehr nahe 
die Gestalt des Rhombendodekaeders besitzen und so die Symmetrie 
des regulär-vollflächigen Systems zeigen. Die Zahl der Symmetrie- 
ebenen ist dabei von einer bei einem Individuum auf neun in dem von 
zwölf Individuen gebildeten Zwillingsstock gewachsen. Voraussetzung 
hierbei ist stets, daß die Individuen niederer Symmetrie Winkel be- 
sitzen, die den Winkeln der durch die Zwillingsbildung nachgeahmten 
Formen höherer Symmetrie so nahe wie möglich entsprechen. So 
schneiden sich zwei Prismenflächen beim Harmotom unter 120** 1'. 
Es sind dieselben Flächen, die beim Zwölf ling die Flächen, und deren 
Kanten die Kanten des scheinbar einfachen Rhombendodekaeders 
bilden ; bei einem wirklichen regulären Rhombendodekaeder ist dieser 
Winkel genau = 120 ^. Solche scheinbar einfache und einheitlich 
gebaute Krystalle, die durch derartige mehr oder weniger komplizierte 
Zwillingsbildung Formen höherer Symmetrie annehmen oder nach- 
ahmen, nennt man mimetische, die Erscheinung selbst Mimesie, Mi- 
metisch ist also z. B. der KrystaU von Harmotom (Fig. 267), der wie 
ein rhombischer einfacher Krystall aussieht und das erwähnte Rhomben- 
dodekaeder, das an manchen anderen Krystallen desselben Minerals 



Nachahmende Gestalten. 209 

auftritt. Nicht mimetisch ist der Zwilling von Älbit (Fig. 237), dessen 
einspringende Winkel ihn sofort als nicht einfach, als Zwilling, er- 
kennen lassen. 

Bei manchen Mineralien, z. B. beim Harmotom, ist es sicher, daß 
ihre, höhere Symmetrie zeigenden, scheinbar einfachen Krystalle in 
der Tat mehr oder weniger komplizierte Zwillingsbildungen der er- 
wähnten Art darstellen, daß sie also mimetisch sind. Bei anderen 
Mineralien ist es jedoch zweifelhaft, ob ihren Krystallen die Eigenschaft 
der Mimesie zukommt^ oder ob sie tatsächlich die höhere Symmetrie 
besitzen. So nehmen manche Mineralogen an, daß die quadratischen 
Formen des Apophyllit aus monoklinen, die rhomboedrischen Formen 
des Chabasü aus triklinen Individuen zwillingsartig aufgebaut und 
also nur mimetisch-quadratisch resp. mimetisch-rhomboedrisch seien. 

Der Grund, warum man diese Krystalle nach dem Vorgang von 
MäUard (Explication des ph6nomönes optiques anomaux 1877) in der 
angedeuteten Weise auffaßt, ist der, daß sie gewisse Erscheinungen, 
kleine Winkelunterschiede, Blätterbrüche, und besonders gewisse op- 
tische Eigenschaften etc. zeigen, welche sich nicht mit dem Krystall- 
system der höheren Symmetrie direkt vereinigen lassen, dagegen un- 
gezwungen mit der niedrigen Symmetrie der verwachsenen Einzel- 
individuen. So sind viele Apophyllitkrystalle (nicht alle) optisch zwei- 
achsig, ebenso viele Chabasitkrystalle, während sie dem quadratischen 
resp. rhomboedrischen System entsprechend einachsig sein müßten etc. 
Die Untersuchungen hierüber sind aber noch nicht abgeschlossen, und 
solche mimetischen Krystalle werden durchaus nicht von allen Mine- 
ralogen in der angedeuteten Weise aufgefaßt. Viele halten den 
Apophyllit wirklich für quadratisch und den Chabasit wirklich für 
rhomboedrisch etc. und erklären jene mit der höheren Symmetrie 
nicht zu vereinbarenden Erscheinungen, namentlich die optischen, durch 
Störungen, welche die Krystalle bei ihrer Bildung oder später erlitten 
haben, um so mehr, als man ganz ähnliche abweichende Erscheinungen 
an sicher quadratischen, rhomboedrischen etc. Krystallen beliebig 
künstlich nachmachen kann. 

(Vergl. (257) optische Anomalien; ferner Tschermak^ Ztschr. d. deutsch, geol. 
Ges, Bd. 31. 1879. pag. 637; Becke, Chabasit; Rumpfe Apophyllit etc.) Vergleiche 
auch Boracit, Leucit, Granat, Perowskit etc., wo aber z. T. noch andere Verhältnisse 
mit zn berücksichtigen sind. Siehe auch Grenzformen (80). 

172. Nachahmende Gestalten. Dnrch teils paralleles , teils 
zwillingsartiges, allerdings häufig nicht immer ganz vollkommen regel- 
mäßiges Verwachsen kleiner Kryställchen entstehen zuweilen eigen- 
tümliche Krystallaggregate , welche namentlich bei den gediegenen 
Metallen eine Rolle spielen. Sie werden mit allerlei organischen oder 
anderen Gebilden verglichen, deren Gestalt sie nachahmen und nach 

Bauer, Mineralogie. ^^ 



210 Nachahmende Oeatalteii. 

denen sie benannt werden. Sie werden deswegen (Dbrigens mit 
einigen anderen Formen) unter der Bezeichnung der „naclialimenden 
Gestalten" zusammengefaßt 

Wenn kleine ErystäUchen mit ihren diametral gegenüberliegen- 
den Ecken, Kanten oder Flächen in einer Reihe parallel aneinander 
wachsen, so z. B. kleine Oktaederchen gediegenen Silbers mit ibren 
Ecken, so entstehen tanggezogene Erystallstrahlen, welche teils ganz 
gerade, teils anch mehr oder weniger stark gebogen Bind. Die einzelnen 
KrystSllcheu einer solchen Reihe sind vielfach ganz scharf aasgebildet, 
häufig sind sie auch stark gerundet, und schließlich gibt es solche 
Strahlen, wo jede Spur von Kanten und Ecken verschwunden ist, so 
daß müde droht- oder kaarförmige Gebilde vorliegen. Diese, mit den 
scharf aaskrystallisierten durch alle möglichen Übergänge verbunden 
und also nicht wesentlich in der Bildnng von ihnen verschieden, sind 
meistens stark gekrümmt, die feinen Haare des gediegenen Silbers 
sind sogar zuweilen in dichte Ballen zusammengerollt und ineinander 
verschlangen. Derartige Bildungen werden moosförmig genannt Manch- 
mal haben solche Drähte eine ziemlich erhebliche Dicke; sie sind dann 
oft einfach gebogen wie Eberzähne and werden daher ebenfalls als 
Zähne bezeichnet; oft sind sie anch stärker gekrfimmt und sogar 
pfropfenzieherfbrmig eingerollt. Zahnförmige und ähnliche Gestalten 
bildet nnter den Metallen besonders das Silber, Übrigens auch bei- 
spielsweise das Steinsalz. 

Krystallstrahlen wie die oben genannten darchkrenzen sich nun 
nicht selten. Dies geschieht häufig in einer Ebene, wobei sie Winkel 
von 60" und von 90" mitein- 
ander machen; es entstehen 
dann sog. (2etuirät$cA« Bildungen 
(vergl. auch 188), welche be- 

1 sonders bei dem gediegenen 
Knpfer nud anderen regulär 
krystallisierten Metallen ans- 
\ gezeichnet zu beobachten sind 
^ (Fig. 292) : mehr oder weniger 
dicke Sti-ahlen schneiden sich 
i nnter 60" und bilden in der 
Ebene ein mehr oder weniger 
I dichtes Maschenwerk. Diese 
krystallisierten Dendriten sind 
aber fast durchweg so gebaut, 
daß sie einen Zwilling bilden, 
dessen Zwillings- und Ver- 
^^' *^ wacbsnugsebene parallel der 



Verwachsung ungleichartigeT Erystalle. 211 

Fläche der Hanpterstreckung des Maschenwerks durch dasselbe hindurch- 
geht. Die obere Hälfte dieses letzteren bildet ein trotz des maschigen 
Baues einheitliches von dem Würfel a, dem Oktaeder o und dem Rhomben- 
dodekaeder d begrenztes Individuum, ebenso die untere, aber diese 
beiden Hälften sind Zwillinge nach der erwähnten Fläche, die einer 
Oktaederfläche parallel geht. Die Maschen sind zuweilen sehr eng, 
die Zwischenräume zwischen den einzelnen Strahlen verschwinden 
häufig ganz und es entstehen Bleche^ besonders ausgezeichnet beim 
gediegenen Gold. Solche Bleche sind ganz in derselben Weise ge- 
baut, wie die erwähnten Dendriten, die obere und untere Hälfte sind 
in Zwillingsstellung zueinander : die Hauptausdehnungsfläche des Blechs 
ist Zwillingsfläche, die das Blech in zwei halb so dicke Hälften teilt. 
Bei dem regulären Gold sind die Flächen des Blechs parallel einer 
Oktaederfläche. Vielfach sind auf ihnen die einzelnen miteinander ver- 
wachsenen Individuen durch regelmäßige Dreiecke und die Zwillings- 
stellung der oberen Hälfte zur unteren durch deren gegenseitige 
(parallele) Lage auf der Ober- und Unterseite angedeutet 

Durchkreuzen sich die Strahlen nach mehreren Richtungen, welche 
nicht alle einer Ebene angehören, so geschieht dies entweder, wie 
z. B. beim gediegenen Silber, in der Art, daß von einzelnen Punkten 
eines Hauptstammes Seitenäste unter 90** oder 60^ ausstrahlen, von 
welchen wieder in ähnlicher Weise kleinere Zweige abgehen können. 
Dies sind die regelmäßig baumförmigen Bildungen. Oder die in drei 
oder mehr Raumrichtungen durcheinander gewachsenen Strahlen bilden 
ein mehr oder weniger dichtes räumliches Maschengewebe, wie beim 
Speiskobalt, Bleiglanz, Gediegen Wismuth etc. Solche Bildungen nennt 
man gestrickt oder GitterhrysiaXle. 

Yerwachsang ungleichartiger Krystalle. 

173. Verwachsung nngleichartlger Mineralien. Zuweilen verwachsen auch 
Erystalle von yerschiedenen Substanzen, deren Zusammensetzung und KrystaUform 
gar keine Beziehungen zueinander erkennen lassen, in regelmäßiger, krystallo- 
graphisch definierbarer Weise miteinander, und die häufige Wiederholung der Ver- 
wachsung von Erystallen zweier bestimmter Substanzen in stets gleicher Art zeigt, 
daß man es nicht mit einer zufälligen, sondern mit einer gesetzmäßigen Erscheinung 
zu tun hat. Die Gesetzmäßigkeit pflegt darin zu bestehen, daß die beiden Erystalle 
bestimmte Flächen, und in diesen bestimmte Eanten gemein haben, oder daß diese 
Eanten sich rechtwinklig kreuzen. 

Ein Beispiel hierzu bildet der trikline langprismatische Cyanit und der rhom- 
bische, ebeufidls langsäulenförmige Staurolith, Stets liegt bei dieser Verwachsung 
der Staurolithkrystall so auf dem Cyanit, daß seine Flächen o (Fig. 17) mit der 
Hauptspaltungsfläche des letzteren und bei beiden die langen Prismenkanten paraUel 
sind. Auf vielen rhomboedrischen EisenglanzkrystaUen sind quadratische Butü' 
hrystaüe so aufwachsen, daß dieselben mit einer Fläche des Prismas 2. SteUung 
auf der Basis des Eisenglanzes liegen, und zwar mit ihrer Hauptachse senkrecht zu 

14* 



212 Habitus der Krystalle. 

den Kanten dieser Basis gegen die flächen des nächsten stumpferen Bhomboeders. 
Ähnliche gesetzmäßige Verwachsungen zeigen noch Quarz und Kalkspat, Fahlerz 
und Kupferkies etc. (Sadebeck, Angew. Krystallographie 1876 pag. 244 ff.) Eine 
andere gesetzmäßige Verwachsung ungleichartig zusammengesetzter Krystalle ist 
die isomorphe Fortwachsung (288). 



F. Beschaffenheit und Ausbildung der Krystalle. 

Wir betrachten hier die allgemeinen Verhältnisse der Krystallformen , der 
KrystaLlf ächen und der inneren Beschaffenheit der Krystalle namentlich in ihrer 
Abweichung von dem oben Torausgesetzten idealen Zustande, sowie die Art und 
Weise des Auftretens der Mineralien in der Natur und der dadurch bedingten Aus- 
bildung der Krystalle. 

174. Habitns. Die Krystalle haben nur selten ihre ideale Form 
(24). Die meisten weichen infolge der verschiedenen Größe gleich- 
artiger Flächen hiervon mehr oder weniger stark ab; sie sind ver- 
zerrt. 

Durch die besondere Art der Ausbildung der Krystallflächen 
nach relativer Größe und Gestalt wird ganz allgemein der Habitus 
der Krystalle hervorgebracht, wobei aber allerdings auch oft Zwillings- 
bildung und anderes eine EoUe spielen. Der Habitus ist eine niclit 
ganz unwichtige Eigenschaft. Er ist mehr oder weniger von der Art 
der Entstehung der Krystalle abhängig und kehrt daher bei ein und 
demselben Mineral unter den gleichen Bildungsumständen vielfach in 
tibereinstimmender Weise wieder, während unter abweichenden Be- 
dingungen ein anderer Habitus zur Entwicklung gelangt. Bei der 
Beschreibung des Habitus werden leicht verständliche Ausdrücke be- 
nutzt, wie: prismatisch oder säulig, nadeiförmig, spießig und haar- 
förmig; plattig oder taflig, blättchenförmig, pyramidenförmig etc. 
Eine und dieselbe Krystallform kann, wie wir schon oben bei der 
Betrachtung der hexagonalen und quadratischen Formen gesehen haben, 
sehr verschiedenen Habitus zeigen. Ein hexagonales Prisma mit der 
Basis kann säulig, nadel- oder haarför'mig, taflig oder blättchenförmig 
ausgebildet sein, je nachdem die Prismen dick oder dünn und die Basis- 
flächen weit voneinander entfernt sind, oder einander nahe liegen. — 
Ein quadratisches Oktaeder mit der Basis zeigt pyi^amidenförmigen 
Habitus, wenn die Endecken nur wenig, dagegen taf ligen oder blättchen- 
förmigen Habitus, wenn sie stark bis sehr stark abgestumpft sind, so 
daß von den Pyramidenflächen schließlich nur äußerst schmale Streifen 
übrig bleiben. Ähnliche Verschiedenheiten in der Ausbildung können 



Beschaffenheit der Erystallfi&cheiL 213 

bei anderen Erystallformen vorkommen. Umgekehrt kann aber auch 
derselbe Habitus bei der verschiedenartigsten, krystallographischen 
Begrenzung wiederkehren. Eine Nadel kann ein hezagonales, quadra- 
tisches oder ein anderes Prisma von langer und dunner Gestalt^ eine 
Tafel eine hexagonale oder quadratische Pyramide oder irgend ein 
Prisma mit nahe beieinander liegenden Basisflächen darstellen etc. 
Wenn man Erystalle als Nädelchen, Täfelchen, Blättchen etc. be- 
schreibt, so ist das vollkommen unbestimmt. Es wird damit nur etwas 
über den verhältnismäßig gleichgültigen Habitus, aber nichts über die 
sehr viel wichtigere eigentliche Krystallform ausgesagt Eine und 
dieselbe Substanz kann unter gewissen Umständen Nädelchen, unter 
anderen Umständen Blättchen bilden und doch jedesmal krystallogra* 
phisch genau dieselbe Begrenzung haben. 

Durch die verschiedene Ausbildung gleicher Flächen bei der Ver- 
zerrung wird eine ganz andere Symmetrie, und zwar eine niedrigere 
nachgeahmt, als sie dem Krystall eigentlich zukommt Umgekehrt 
kann durch das Gleichwerden der Form krystallographisch ungleicher 
Flächen die Symmetrie scheinbar erhöht werden. Ein Würfel kann 
scheinbar quadratisch und rhombisch werden, wenn die Parallelflächen 
verschiedene Entfernung voneinander haben. Ein reguläres Oktaeder, 
bei dem zwei gegenüberliegende Flächen nahe zusammen oder weit 
auseinander rücken, bildet ein scheinbares Bhomboeder mit der Basis. 
Granatoeder geben, in der Richtung einer vierzähligen Sjrmmetrie- 
achse verkürzt oder verlängert, eine scheinbar quadratische, in der 
Richtung einer dreizähligen Symmetrieachse verkürzt oder verlängert 
eine scheinbar rhomboedrische Kombination etc. Ein Würfel kann 
daher regulären, quadratischen oder rhombischen, ein Oktaeder regu- 
lären oder rhomboedrischen, ein Granatoeder regulären, quadratischen 
oder rhomboedrischen, alle auch u. a. einen ganz unregelmäßigen Habitus 
annehmen etc. Die in der Idealform gleichen Winkel und die Flächen- 
beschaffenheit bleiben dabei jedoch selbstverständlich immer dieselben, 
so daß man daran, auch bei Verzerrung zu ganz symmetrielosen 
Formen, die richtigen Symmetrieverhältnisse zu erkennen vermag, 
wenn schon oft nur durch eingehendes und mühevolles goniometrisches 
Studium. 

Einen gewissen Einfloß anf den Habitos der ErystaUe hat auch das Euweilen 
zn beobachtende yoUkommen gesetzlose Fehlen einzelner von den der Symmetrie 
nach eigentlich za erwartenden Flächen. Anch diese Erscheinung wird zuweilen 
Meroedrie genannt (63). 

175. Krystallflachen. Die Krystallflächen sind, wie schon oben 
erwähnt wurde (8), kaum jemals vollkommen eben und glatt. Am 
meisten ist dies noch bei kleinen aufgewachsenen Krystallen der Fall, 
welche daher auch zu goniometrischen Messungen am geeignetsten sind. 



214 Beschaffenheit der Krystallflächen. 

Abweichungen von der Ebenheit, also krumme Flächen und da- 
mit auch krumme Kanten, kommen nicht so gar häufig vor; die ge- 
krümmten Flächen sind meist konvex, seltener konkay. So ist es 
beim Diamant, der fast ausschließlich krumme Begrenzungsflächen hat ; 
nur die an ihm vorkommenden Oktaederflächen sind stets eben. We- 
niger häufig finden sich krumme konvexe Flächen an Gypskrystallen, 
die zuweilen linsenförmig gerundet aussehen. Eigentümlich sind die 
sog. geflossenen Krystalle, deren Flächen und Kanten so abgerundet 
sind, wie wenn sie eine oberfiächliche Schmelzung erlitten hätten (was 
aber nicht immer der Fall ist); so bei manchen Krystallen des Apatit, 
des Augit^ der Hornblende, des Bleiglanzes etc. Namentlich die in 
Eontaktzonen (302) im kömigen Kalk eingewachsenen Krystalle zeigen 
häufig diese Erscheinung. 

Vielfach ist die Flächenkrümmung nur eine scheinbare; die 
Flächen sind aus einer größeren Anzahl von kleinen ebenen Flächen- 
elementen zusammengesetzt, welche annähernd aber nicht ganz voll- 
kommen in ein Niveau fallen. Dies ist einmal der Fall, wenn eine 
größere Anzahl von kleinen ebenflächigen Krystallen in nicht voll- 
kommen paralleler (hypoparalleler) Stellung miteinander verwachsen. 
So entstehen z. B. die krummen Flächen der sattelförmigen Braun- 
spatkrystalle (Fig. 265), ebenso diejenigen des kugeligen Prehnits, des 
garbenförmigen Desmins (Fig. 256) und mancher Bergkrystalle. In 
anderer Weise wird die scheinbare BjrümmuDg dadurch hervorgebracht, 
daß an völlig einheitlich gebauten Krystallen in einer Zone zahlreiche 
sehr schmale Flächen auftreten, welche zusammen den Eindruck einer 
kontinuierlichen cylinderförmigen Krümmung hervorbringen, z. B. beim 
hexagonalen Beryll (116), beim quadratischen Vesuvian (134). 

Abweichungen von der vollkommenen Glätte bei in ihrer Haupt- 
erstreckung ebenen Flächen, d. h. das Auftreten kleiner Rauhigkeiten 
auf in der Hauptsache ebenen Flächen ist häufiger, als die Krümmung. 
Nach der speziellen Beschaffenheit unterscheidet man : Drüsige Flächen, 
viele kleine von anders gerichteten Flächen begrenzte Krystallecken 
sitzen auf den Flächen auf. Solche drusige Flächen sind z. B. 
die Flächen der aus parallelen Würfelchen verwachsenen okta- 
edrischen FlußspatkrystaUe (Fig. 254). Bei rauhen Flächen sind 
diese kleinen Erhabenheiten scharfkantig und eckig, aber unregelmäßig 
begrenzt. Diese Unregelmäßigkeiten sind vielfach sehr fein und dann 
die Flächen stets matt. Kömige Flächen sind von kleinen rundlichen 
Erhabenheiten bedeckt. Manche Flächen tragen wenige regelmäßig 
gestaltete größere Erhabenheiten ; so die Dihexaederfiächen des Quarzes 
vielfach flache gerundet dreiseitige Schuppen {schuppige Flächen) etc. 
Auf manchen Flächen sitzen in großer Zahl und dicht nebeneinander 
kleine sehr niedrige Pyramiden, begrenzt von Seitenflächen, welche von 



Beschaffenheit der KrystaUfiächen. 215 

jenen Flächen nur um sehr kleine Winkel abweichen (vizinale Flächen, 
176), und an den Ecken parallel mit der betr. Fläche sehr breit ab- 
gestumpft. Solche Flächen heißen parkettiert oder facettiert; sie finden 
sich am Zinnstein, Vesuvian etc. 

Besonders hänfig bemerkt man auf den Erystallflächen eine mehr 
oder weniger regelmäßige Streifung oder Biefung, Sie ist teils fein, 
teils dick und grob, geradlinig oder auch wohl gebogen und krumm, 
und verläuft auf den Flächen meist in einer ganz bestimmten Sich- 
tung, so z. B. auf den Würfelflächen des Schwefelkieses parallel den 
Wurfelkanten, auf den Prismenflächen des Quarzes senkrecht zu den 
Prismenkanten und parallel den Kanten zu den Rhomboederflächen etc. 
Seltener ist es, daß auf einer Fläche in mehreren Richtungen Streifen 
gehen, die sich dann aber meist nicht schneiden, sondern längs einer 
geraden Linie zusammenstoßen und eine federartige Streifung bilden. 
Diese findet sich vorzugsweise bei Zwillingen (160), aber auch bei 
einfachen Erystallen (Glimmer, Chabasit). Die Streifen sind oft durch . 
auf den Flächen aufsitzende, feine, langgezogene Erhabenheiten ge- 
bildet, besonders die nicht ganz geradlinige Streifung. Nicht selten 
entsteht die Streifung aber auch dadurch, daß zwei Flächen vielfach 
wiederholt treppenförmig (oscillatorisch) miteinander abwechseln, so 
z. B. beim Quarz die Prismenfiächen und die darüber liegenden 
Rhomboederflächen. Je niederer und kleiner die Treppen sind, desto 
feiner die Streifung, die nach ihrer Entstehung als Kombinations' 
streifung bezeichnet wird. Diese treppenförmige Abwechslung von 
Flächen bringt zuweilen stark gestreifte Scheinflächen hervor. So 
findet man die Schiefendflächen P und x an manchen Feldspat- 
krystallen (Adular) derart miteinander oscillatorisch vielfach ab- 
wechselnd, daß aUe dadurch entstehenden Kanten in eine Ebene 
fallen, welche dann als eine scheinbare, in der Richtung dieser 
Kanten stark gestreifte Fläche an dem Krystall sich darstellt. 

Aber nicht nur durch Erhabenheiten wird die Glätte und Eben- 
heit der Krystallflächen gestört, sondern auch durch Vertieftmgen, In 
viele Flächen sind kleine mehr oder weniger regelmäßige Vertiefungen 
eingesenkt, zuweilen von ganz ebenen kleinen Flächenelementen be- 
grenzt, die sich in scharfen nach innen gerichteten Kanten und Ecken 
schneiden und die ganz bestimmten Krystallflächen parallel gehen. 
Zuweilen werden diese Vertiefungen aber auch von ganz unregel- 
mäßigen Flächen gebildet, besonders wenn sie größer sind. Es sind 
dies wahrscheinlich zum Teil nicht ursprüngliche Unregelmäßig- 
keiten, sondern sie sind durch die korrodierende Tätigkeit des 
Wassers und anderer Agentien später eingeätzt, es sind natürliche 
Ätzfiguren (200). Sind die Vertiefungen der Flächen zahlreich, 
groß, unregelmäßig, scharfkantig und eckig, wenn auch nicht 



216 Vudnale Flächen. Erystallskelette. 

gerade ebenflächig begrenzt, so heißt die Fläche eerfressen (zerfressene 
Krystalle). 

Eine eigentümliche Art von Rauhigkeit zeigen die Krystalle 
mancher Mineralien dadurch, daß ihre Flächen mit oft staubförmig 
feinen Teilchen einer fremden Substanz bedeckt sind. Dabei herrscht 
nicht selten die Gesetzmäßigkeit, daß auch hierin die gleichwertigen 
Flächen eines Erystalls sich gleich und von den anderen verschieden 
verhalten. Manche Flächen sind in dieser Weise bestäubt, andere an 
demselben Erystall nicht. So sind an zahlreichen Erystallen des 
alpinen Adulars (vgl. Fig. 496) die Flächen des Klinopinakoids M 
und des Prismas z mit grünem Chloritstaub überzogen, die anderen 
Flächen nicht etc. 

176. Tlsinale Flftehen* Eine eigentümliche Erscheinung, welche die Be- 
sch&tfenheit der Erystallflächen vieler Mineralien zuweilen beeinflaßt, sind die sog. 
vizinalen Flächen. Diese Erscheinung besteht darin, daß eine Fläche, welche nach 
ihrer Lage gegen die anderen Flächen einen durch einfache Indices bestimmten 
Ausdruck zu haben scheint, nach mehreren über sie hinweggehenden sehr stumpfen 
geraden Kanten gebrochen oder geknickt ist und dadurch in eine Anzahl von Flächen- 
stücken zerfällt, welche miteinander und mit der Fläche, welche auf den ersten 
Blick allein vorhanden zu sein scheint, sehr stumpfe Winkel machen. Diese Flächen- 
stücke sind vizinal zu der großen scheinbaren Gesamtfläche, der zuweilen eine der 
Facetten genau parallel geht, zuweilen auch nicht. Diese Teilflächen liegen oft in be- 
stimmten Zonen und haben rationale Indices, sind also echte ErystaUflächen, die 
Ausdrücke sind aber sehr kompliziert. So sieht man z. B. an Adularkrystallen häuflg 
die Prismenflächen T durch solche stumpfe Kanten abgeteilt. Es ist nicht mehr die 
Fläche T mit dem Ausdruck ooP (110) rechts und links von der Querfläche K 

vorhanden, sondern in dem Fig. 293 als Beispiel gezeichneten Fall 
sind statt T die diesem sehr nahe liegenden Flächen | = 43 . 42 . 1 ; 
S = 71 . 70 . 1 etc. vorhanden. Eine dieser Facetten ist auch genau 
mit T paraUel und hat also den Ausdruck: r=110. Eine ähn- 
liche Erscheinung etwas anderer Art ist mit dem Namen Polyedrie 
Fig. 293. belegt worden. (Websky, Ztschr. d. deutsch, geol. Ges. Bd. 15, 1863, 
pag. 677. A. Scacchi, ibid. pag. 16.) 

177. Krystallskelette. Eine eigentümliche Beschaffenheit nimmt 
oft die Oberfläche der Krystalle an, wenn beim Wachstum derselben 
die neue Substanz sich vorzugsweise an einzelnen Stellen anhäuft. 
Geschieht dies an den Kanten, so ist die Folge, daß die Flächen nach 
ihrer Mitte hin vertieft erscheinen (Quarz). Ist diese Anhäufung an 
den Kanten so regelmäßig, daß die Vertiefung nach dem Innern der 
Flächen in ebenflächigen und geradlinigen Treppen erfolgt, wie z. B. 
nicht selten am Bleiglanz, dann heißt die Fläche kastenförmig vertieft 
Zuweilen ist die Einsenknng der Fläche nur gering und seicht, zu- 
weilen ist die Substanz des KrystaUs so sehr an den Kanten koncen- 
triert, daß von den Flächen aus tiefe Höhlungen oft bis zum Krystall- 
mittelpunkt reichen. Dann ist der Krystall durch die Kanten ge- 




Krystallschalen. ZonarstniktiLr. 217 

wissermaßen nur im umriß angedeutet, aber die Umrisse sind nicht 
mit Masse ausgefüllt. Solche Bildungen heißen KrystcdlsMette (Berg- 
krystall; Bleiglanz). Einsenkungen der Krystallflächen werden übrigens 
auch zuweilen durch teilweise Wegführung der Substanz aus dem 
Krystall hervorgebracht; so sind z. B.bei den in Malachit verwandelten 
Krystallen von Rotkupfererz aus Chessy bei Lyon die Flächen in der 
Mitte vertieft, weil bei der Umwandlung mehr Substanz weg- als zu- 
geführt wurde, so daß die entstehende Verbindung (der Malachit) den 
durch die Kanten des Rotkupfererzkrystalls im Umriß angegebenen 
Raum nicht mehr völlig ausfüllen konnte. 

Häuft sich die Masse mehr auf den Flächen an, so sind diese 
in ihrer Mitte erhöht, und an den Kanten sind infolgedessen die 
Krystalle vertieft — eingekerbte Kanten — . Solche beobachtet man 
bei manchen Quarzen, beim Rotkupfererz, Gold, Silber etc. (siehe da- 
gegen die infolge von Zwillingsbildung eingekerbten Kanten des 
Diamaut). 

178. Krystallschalen. Sehr verbreitet ist der schalige Aufbau 
vieler Krystalle, der die Folge der allmählichen, z. T. sogar einer 
intermittierenden Bildung ist. Häufig ist nur der Kern von der 
Hülle verschieden, wie bei den amerikanischen Turmalinen, wo eine 
äußere grüne Schicht eine innere rote Partie umgibt Oft liegen 
aber auch einzelne dünnere Schichten parallel der äußeren poly- 
edrischen Umgrenzung in größerer Anzahl übereinander. Diese 
hängen meist fest zusammen, sie treten aber auf dem Bruch der 
Krystalle deutlich hervor, wenn sie kleine Unterschiede im Aussehen, 
also in Farbe, Durchsichtigkeit etc. erkennen lassen (ZonarstruUur). 
So ist es z. B. bei den Krystallen des gemeinen Quarzes, die häufig 
aus einer sehr großen Zahl solcher dünnen Lagen aufgebaut sind 
Bei manchen Mineralien tritt die Schichtenbildung erst bei der Ver- 
witterung deutlich hervor oder bei künstlichem Anätzen der Brnch- 
flächen. Bei manchen anderen Krystallen sind die Schichten nament- 
lich in der Farbe so verschieden, daß sie auf den ersten Blick und 
mit größter Deutlichkeit ins Auge fallen, so bei manchen Amethysten, 
in denen vielfach einzelne Lagen weißen Quarzes parallel mit den 
äußeren E[rystallflächen eingeschaltet sind. Manchmal trägt ein 
Kemkrystall nur Ecken desselben Minerals von anderer Farbe, z. B. 
gibt es violette Würfel von Flußspat mit weißen Ecken etc. Sehr 
deutlich tritt diese allmähliche Bildung der Krystalle hervor, wenn 
die Oberfläche eines im Innern steckenden Kernes mit einer dünnen 
Schicht eines anders gefärbten fremden Minerals bedeckt ist. So findet 
man nicht selten Bergkrystalle, in denen ein kleinerer Bergkrystall- 
kem steckt, dessen Rhomboederflächen mit Ghloritstaub bedeckt sind. 



218 Sandührstniktiir. 

SO daß ein kleines grfines, der äußeren Begrenzung paralleles Dihexa- 
eder durch die äußere wasserhelle Substanz durchscheint. Am deut- 
lichsten wird aber der Aufbau aus einzelnen Schichten, wenn diese 
nicht fest zusammenhängen, sondern nur lose übereinander liegen und 
sich voneinander abheben lassen, wie z. B. bei dem sog. Eappenquarz, 
bei manchen E[rystaUen von Epidot^ Vesuvian, Wolframit etc. 

Als eine häufige Erscheinung zeigt sich die Schalenbildung (Zonar- 
struktur) der Mineralien unter dem Mikroskop. Die Leucite, Feld- 
spate, Granaten, Augite etc. in den Gesteinen erweisen sich häufig 
als aus einzelnen dünnen Schichten aufgebaut, welche sich koncentrisch 
um einen centralen Kern herumlagem und die in ihrer äußeren Form 
mehr oder weniger vollkommen mit dem Kern und miteinander über- 
einstimmen. 

Die Schalenbildung kommt dadurch zu stände, daß bei der Ent- 
stehung der ErystaUe das Wachstum durch Ablagerung immer neuer 
Schichten auf der jeweiligen Oberfläche erfolgt Sind diese Schichten 
alle vollkommen gleichartig und wird der Bildungsprozeß in keiner 
Weise gestört oder gar unterbrochen, dann sind sie einzeln nicht be- 
merkbar; derErystall erscheint vollkommen homogen und zusammen- 
hängend. Ändert sich dagegen während des Prozesses die Lösung 
oder der Schmelzfluß, worin der Krystall wächst, dann werden auch 
die neugebildeten Schichten von den älteren Teilen des Krystalls ver- 
schieden sein können und sich in Farbe, Durchsichtigkeit etc., kurz 
im ganzen Aussehen und z. T. auch in ihren physikalischen Eigen- 
schaften von der letzteren mehr oder weniger deutlich abheben. 
Tritt eine solche Änderung nur einmal ein, dann ist ein Kern von 
einer davon abweichenden Hülle umgeben. Geschieht dies öfter, dann 
entspricht jeder einzelnen Änderung eine in ihrer Beschaffenheit von 
der benachbarten verschiedene Schicht und umgekehrt Tritt eine 
Unterbrechung im Wachstum ein, wächst der Krystall nicht stetig, 
sondern intermittierend, und bedeckt sich dabei die Oberfläche des- 
selben mit einer noch so dünnen Schicht einer fremden Substanz, so 
hängen die neugebildeten Schichten vielfach nicht mehr fest an ihrer 
Unterlage und lassen sich nun kappenförmig von dem Kern abheben. 

179. Sanduhrstruktnr. Die Ablagerung der neuen Substanz bei 
der Vergrößerung eines Krystalls geht von dessen Flächen aus. Über 
jeder Fläche schreitet das Wachstum in der erwähnten Weise weiter. 
Die neuen Schichten über jeder Fläche werden immer größer und 
ausgedehnter und grenzen in den Kanten und Ecken an die zu den 
benachbarten Flächen gehörigen gleichalteu Schichten. Der ganze 
Krystall kann so als zusammengesetzt aus einer der Anzahl seiner 
Flächen entsprechenden Zahl von Pyramiden gedacht werden, deren 



EiiiBchlttBse. 



219 




Fig. 294. 



Spitzen im Krystallmittelpnnkt liegen, deren Basis die betr. Fläche ist 
und die sich nach außen allmählich immer mehr vergrößern und er- 
weitem (Fig. 294). Sie werden danach als AmoachS' 
Pyramiden oder Anwachskegel bezeichnet. Wie die Krystall- 
flächen in ihrer Beschaffenheit verschieden sein können 
(8), so können u. U. auch die zu ihnen gehörigen An- 
wachskegel in ihrer Beschaffenheit und in ihrem Aus- 
sehen, besonders in der Färbung, verschieden werden. 
Die sich gleichzeitig ablagernden Schichten sind dann 
auch nicht mehr rings um den Erystall herum einander 
gleich, sondern von den anstoßenden über den benach- 
barten Flächen etwas verschieden. Die Folge eines 
derartigen Aufbaues aus verschiedenen Anwachskegeln 
ist dann nicht selten eine Struktur des Erystalls, die sich, wie 
Fig. 294 deutlich zeigt, mit der einer Sanduhr vergleichen läßt 
und die danach als Sanduhrstruktur bezeichnet wird. Sie kann beim 
Chiastolith, bei manchen Augiten und auch bei sonstigen Mineralien 
beobachtet werden. 

ISO. Einschlüsse. Auch die Eigenschaft der Homogenität ist 
bei den Krystallen oft nur unvollkommen ausgebildet. Dies zeigt 
schon der soeben betrachtete schalige Aufbau vieler derselben. Noch 
größer ist jedoch die Störung der gleichmäßigen Beschaffenheit durch 
die Anwesenheit fremder Substanzen im Innern der Erystalle, die 
man als MnsMüsse (Interpositionen) bezeichnet und die beim Wachs- 
tum der Erystalle in diesen eingehüllt wurden. Sie können fest, 
flüssig oder gasförmig sein. Zwischen ihnen ist die Substanz des 
umhüllenden Erystalls, des sog. Wirts, vollkommen homogen, aber die 
Homogenität des ganzen Gebildes wird durch ihre Anwesenheit mehr 
oder weniger beeinträchtigt. Sie finden sich häufig nur vereinzelt, 
oft sind sie aber auch in beträchtlicher Zahl vorhanden und in manchen 
Fällen bilden sie sogar einen größeren Teil des Ganzen, als der Wirt. 
Sie sind entweder regellos durch den ganzen Erystall zerstreut oder 
auf einzelne Stellen beschränkt. Häufig sind sie auch in einer ge- 
wissen Gesetzmäßigkeit in demselben angeordnet: mehr nach der Mitte 
oder mehr nach der Peripherie hin angehäuft, oder in Schichten, die 
durch einschlußarme oder -freie Schichten voneinander getrennt sind, 
oder in zusammenhängenden Schwärmen, die den Erystall durch- 
ziehen etc. Manchmal sind sie schon mit bloßem Auge deutlich zu 
sehen, sehr viel häufiger sind sie jedoch mikroskopisch klein und nur 
in bis zur Durchsichtigkeit dünn geschliffenen Platten der betreffenden 
Mineralien, sog. Dünnschliffen, unter dem Mikroskope erkennbar. 

181. Feste Elnschlttsse. Die festen Einschlüsse sind teils amorph, 
teils krystallisiert Amorph sind sie hauptsächlich in solchen Mine- 



220 Feste Einschlüsse. 

ralien, welche die aus fearigem Fluß erstarrten Lavagesteine zu- 
sammensetzen und denen daher ebenfalls eine derartige Entstehung 
zuzuschreiben ist. Es ist hier glasartig erstarrte Gesteinsmasse, 
welche nicht Zeit hatte, sich bei der Festwerdung des Ganzen in 
Krystallen auszubilden. Feldspate, Leucite, Quarze etc. aus Basalten, 
Trachyten, Lipariten, Felsitporphyren etc. zeigen solche Einschlüsse, 
nicht selten in mehr oder weniger großer Zahl. Die einzelnen Ein- 
schlüsse sind mikroskopisch klein, erreichen aber auch zuweilen eine 
erhebliche Größe. Manchmal haben sie die Gestalt, welche die äußere 
Begrenzung des umgebenden Krystalls zeigt (Glaseinschlüsse von der 
Form des Wirts). In diesem sind sie auch in einzelnen Fällen in 
irgend einer regelmäßigen Weise eingelagert z. B. in Zonen parallel 
mit der äußeren Begrenzung etc. Solche Glaseinschlüsse sind sichere 
Beweise für die Erstarrung der betr. Mineralien und Gesteine aus 
dem Schmelzfluß, also für ihre vulkanische Entstehung. 

Häufiger sind Einschlüsse von Krystallen in anderen Krystallen. 
Die Formen der Einschlüsse sind verschieden. Nicht selten sind es 
lange Prismen z. B. von Strahlstein, oder Eutil, oder Turmalin etc., 
besonders im Bergkrystall, welche manchmal mit einem Ende aus 
diesem mehr oder weniger weit hervorragen. In anderen Fällen sind 
es dünne Plättchen und Schüppchen, wie z. B. die Eisenglanz- oder 
Goethitschuppen in dem Oligoklas (sog. Sonnenstein) von Tvedestrand 
in Norwegen, in welchem alle diese Schüppchen parallel mit der 
Hauptspaltungsfläche des Oligoklas eingewachsen sind. Auch im 
Camallit findet man solche dünnen roten Schüppchen. Kömchen von 
Magneteisen, Quarz etc. trifft man in vielen Mineralien, 

Sind die eingeschlossenen Kryställchen sehr klein und nur noch 
unter dem Mikroskop erkennbar, so nennt man sie Mihrolithen, Man 
spricht so von Augit-, Nephelin- etc. Mikrolithen, doch sind diese 
kleinen Gebilde oft ihrer mineralogischen Natur nach nicht sicher be- 
stimmbar. Auch die Mikrolithen sind zuweilen in regelmäßiger Weise 
in den Krystallen eingewachsen, so z. B. die Eisenglanzschuppen in 
dem oben erwähnten Sonnenstein, Magneteisenkörnchen in Flächen 
parallel mit den Kry stallflächen des einschließenden Leucits; in manchen 
Glimmern findet man in drei unter 60® gegeneinander geneigten 
Kichtungen parallel den Hauptblätterbrüchen sehr dünne Nädelchen 
eines anderen Minerals in zahlloser Menge eingelagert, welche den 
Asterismus (264) dieser Glimmer hervorbringen etc. Nicht ungewöhn- 
lich ist eine Verteilung in einzelnen Schichten, die durch einschluß- 
freie, reine Schichten voneinander getrennt sind. 

Die Zahl der eingeschlossenen Kryställchen ist manchmal gering, 
manchmal sehr groß, so daß nicht selten der ganze an sich farblose 
und durchsichtige Wirt von ihnen scheinbar gleichmäßig getrübt und 



Flüssigkeitseinschlfisse. 221 

gefärbt erscheint. So ist der schon erwähnte Gamallit durch die 
Eisenglanz- oder Goethiteinschlüsse rot, der Sonnenstein erhält dnrch 
diese Schüppchen einen eigentümlichen rötlichen Lichtschein, mancher 
Bergkrystall wird durch Einschluß massenhafter staubartiger Chlorit- 
partikelchen dunkelgrün; ebenso wird mancher Quarz grün durch 
Strahlsteinnädelchen etc. Ist aber die Zahl der Einschlüsse auch oft 
sehr groß, so ist wegen der äußersten Kleinheit oder Dünne derselben 
ihre Masse doch gering. So beträgt z. B. im Sonnenstein der Oehalt 
an Fe^O^ nur ca, ^U^U^ trotzdem die Eisenoxydschüppchen so zahl- 
reich eingewachsen sind, daß sie den roten Schiller in dem Mineral 
erzeugen können, aber diese Plättchen sind eben äußerst dünn. Viel- 
fach ist die Masse der Einschlüsse allerdings größer, am größten 
wohl bei dem sog. krystallisierten Sandstein von Fontainebleau : Kalk- 
spatkrystalle mit eingeschlossenen Sandkörnern, welche ca. -/b ^^^ 
ganzen Masse der Krystalle ausmachen ; ähnlich die zu rosenähnlichen 
Gruppen verbundenen Schwerspatkrystalle von Eockenberg bei Butz- 
bach in Oberhessen. 

(Söchting, Seyffert, Leonhard und Blum, Einschlüsse von Mineralien in krystaUi- 
sierten Mineralien. Haarlem 1854. Yergl. auch die in (3) angeführten Werke über 
die mikroskop. Verhältnisse der Mineralien, bes. von y. Lasanlx, Rosenbusch and 
Zirkel, auch in Bezug auf den nächsten Abschnitt.) 

182. Flttssigkeltselnschlüsse. Man findet in den Mineralien 
vielfach Hohlräume, welche selten ganz, meist nur teilweise mit einer 
Flüssigkeit erfüllt sind. Namentlich in mikroskopischer Kleinheit sind 
solche Einschlüsse sehr häufig, besonders im Quarz, Olivin und noch 
in vielen anderen Mineralien. Sie finden sich teils einzeln, teils in 
größerer Zahl nebeneinander, vielfach gleichmäßig durch den Wirt 
zerstreut, oder stellenweise angehäuft, oder in zusammenhängenden 
Zügen oder Schwärmen gruppiert, endlich auch ganz unregelmäßig 
verteilt. Indessen sind solche Einschlüsse von makroskopischen 
Größen, die mit bloßem Auge beobachtet werden können, gleichfalls 
nicht selten, so z. B. im Quarz von Poretta bei Bologna, in manchen 
Steinsalzkrystallen und anderen aus wäßriger Lösung gebildeten 
Mineralien. Am größten sind die Flüssigkeitseinschlüsse wohl beim 
sog. EnhydroSj einem Ghalcedon, der als dünne Hülle linsenförmig 
rundliche halb mit Flüssigkeit erfüllte Hohlräume, oft von mehreren 
Eubikcentimetem Inhalt, umschließt. Sind solche Hohlräume nicht 
ganz mit der Flüssigkeit erfüllt , so steht in ihnen an der höchsten 
Stelle eine Luft- oder Gasblase, die sich beim Neigen des Stückes 
hin- und herbewegt, eine sog. Libelle, An dieser wird die flüssige 
Natur eines solchen Einsclüusses oft am sichersten erkannt. Dies 
ist auch unter dem Mikroskop möglich, wo man die Libellen häufig 
ohne erkennbaren äußeren Anlaß lebhaft hin und her zittern und 



222 Gasförmige Einschlttsse. 

schwanken sieht. Die Flussigkeitseinschlflsse sind oft von einfach 
rundlicher Form, nicht selten aber auf das komplizierteste nach allen 
Richtangen verästelt und schlauchförmig verzweigt. Gar nicht un- 
gewöhnlich sind sie aber auch von regelmäßig ebenen Flächen parallel 
der äußeren Begrenzung des Wirts begrenzt; auch sie haben nicht 
selten die Form des Wirts, wie z. B. in manchen Quarzen, besonders 
schön in manchen Steinsalzkrystallen etc. Die eingeschlossene Flüssig- 
keit ist von verschiedener Natur, bald fast reines Wasser, bald NaCl- 
Lösung, bald flüssige Kohlensäure etc. Meist hat sie die Beschaifen- 
heit der nach der Ausbildung der Erystalle übrig gebliebenen Mutter- 
lauge. 

183. Gasförmige Elnschlfisse. Neben den Flüssigkeitseinschlüssen, 
vielfach aber auch ganz anabhängig und getrennt von ihnen trifft 
man leere Einschlüsse, d. h. solche, die nur von einem Gas oder einem 
Dampf erfüllt sind. Derartige Einschlüsse werden daher auch wohl 
Gasporen oder Dampfporen genannt. Ihre Form ist meist rundlich, 
gewöhnlich einfach, selten kompliziert verzweigt und verästelt wie 
bei den Flüssigkeitseinschlüssen. Nicht ungewöhnlich haben auch 
sie die Form des Wirts, wie z. B. in den Bergkrystallen von Middle- 
ville, New York, wo sie bis 3 mm groß werden. Sie bilden dann die 
sog. negativen Krystalle, von denen man aber in derselben Weise 
auch bei Flüssigkeitseinschlüsaen von der Form des Wirts spricht. 
Außer im Quarz sind solche leere negative Erystalle ganz besonders 
auch im Gips, im Topas und im Eis beobachtet worden. Wie die 
Flüssigkeitseinschlüsse, so sind auch die Dampfporen meist mikro- 
skopisch klein, nicht selten aber auch mit bloßem Auge zu sehen; 
wie diese sind auch sie, bald einzeln, bald reichlicher und in ähn- 
licher Verteilung vorhanden. Es ist meistens Wasserdampf, Kohlen- 
wasserstoff, Kohlensäure, Stickstoff und Sauerstoff. Manchmal sind 
diese Gase unter einem höheren Druck in den Hohlräumen ein- 
geschlossen, wie dies das sog. Knistersalz von Wieliczka zeigt. Dies 
ist ein Steinsalz mit zahlreichen Einschlüssen von Sumpfgas und Stick- 
stoff. Bringt man davon ein Stück ins Wasser, dann werden die 
Hüllen, welche die Einschlüsse umgeben, von diesem aufgelöst und 
daher immer dünner, bis das hochgespannte Gas die einschließenden 
Wände des Steinsalzes, unter Erregung deutlicher Töne sprengt Bei 
dem ganzen Lösungsprozeß hört man daher fortdauernd ein knisterndes 
Geräusch und sieht gleichzeitig Gasblasen in großer Menge aufsteigen 
und entweichen. 

184. Ansbildung der Krystalle. Die in der Natur vorkommenden 
Krystalle finden sich in zweierlei Weise ausgebildet: einmal ringsum 
mit allen von der Symmetiie erforderten Flächen ausgestattet^ sodann 



Eing^ewachsene ErystaUe. 223 

an einer Stelle mehr oder weniger verkflmmert oder verstümmelt. 
Dies hängt auf das Engste mit der Art nnd Weise des Vorkommens 
nnd der Bildung der Krystalle zusammen. Bingsum vollständig aus- 
gebildet sind diese, wenn sie sich in einer weichen und nachgiebigen 
Umgebung schwebend oder schwimmend entwickelt haben, in der sie 
später nach Festwerdnng des Ganzen eingebettet liegen (eingewachsene 
KfTfstaUe). Unvollständig sind sie, wenn sie im freien Raum auf einer 
Unterlage sitzend entstanden sind, von der aus sie mit ihrem freien 
Ende in diesen leeren Raum hineinragen (aufgewachsene Krystalle), 
Manche Mineralien finden sich nur eingewachsen (Boracit); manche 
nur aufgewachsen (Kalkspat); manche andere endlich, und zwar die 
meisten, bald in der einen, bald in der anderen Weise, je nach der 
speziellen Art ihrer Entstehung. 

185. Eingewachsene Krystalle. Die eingewachsenen Krystalle 
finden sich zum Teil nur vereinzelt in der sie umgebenden Masse 
(Grundmasse, Muttergestein), zum Teil sind sie darin in größerer Zahl 
vorhanden; man nennt dies dann auch wohl eingesprengt. Sind sehr 
viele kleine KrystäUchen (oder derbe Kömchen) eines Minerals in 
einem anderen Mineral oder in einem Gesteine eingesprengt, so sagt 
man, das letztere Mineral oder Gestein sei mit dem ersteren Mineral 
imprägniert. Eingewachsene Krystalle, wie z. B. Feldspat und Quarz 
im Porphyr, Granat im Glimmerschiefer, Magneteisen im Chlorit- 
schiefer, Schwefelkies im Tonschiefer etc. sind rundum vollkommen 
ausgdnldet, zu jeder Fläche, Kante und Ecke ist das parallele Gegen- 
stück vorhanden, aber die Flächen sind infolge der innigen Berührung 
mit der Umgebung meist matt, sogar rauh. Diese Krystalle müssen 
sich in einer nachgiebigen Masse (meist ist es ein Schmelzfluß) 
schwimmend oder schwebend gebildet haben, sonst hätten sie sich 
nicht nach allen Richtungen hin in der Hauptsache ungehindert ent- 
wickeln können. 

Die eingewachsenen Krystalle liegen entweder getrennt und ohne 
Znsammenhang in der Grundmasse, wie z. B. der Granat im Glimmer- 
schiefer etc., oder sie sind zu mehreren miteinander verwachsen. Der- 
artige aus mehreren Krystallen bestehende, in einer Grundmasse ein- 
gelagerte Zusammenhäufungen nennt msn KrystaUgruppen-^ sie können 
die verschiedenartigste Gestalt haben, sind aber meist kugel- oder 
knollenförmig. Solche Gruppen bildet z. B. der Gips im Ton, die 
Kupferlasur von Chessy ebenfalls im Ton etc. Mehr oder weniger 
zahlreiche Krystallspitzen, jede einem der zusammengewachsenen Indi- 
viduen angehörig, ragen an ihrer Oberfläche weiter oder weniger weit 
hervor. Werden diese Individuen kleiner, resp. die polyedrische Be- 
grenzung der aus der Oberfläche der Gruppe herausragenden Krystall- 



224 Aufgewachsene Erystalle. 

spitzen anregelmäßig, unyoUkomnien and nndeatlich, so nähern sich 
die Grappen immer mehr krystallinischen Aggregaten mit randlicher 
Oberfläche (187). 

186. Anfgewachsene Krystalle. Die aufgewachsenen Erystalle 
sitzen an dem einen Ende mit einer mehr oder weniger aasgedehnten 
Fläche, der Ansatzstelle, aaf der Unterlage anf und ragen mit dem 
anderen Ende frei in einen Hohlraam hinein. Die Ansatzstelle ist 
oft nnr klein, manchmal aber anch sehr aasgedehnt Nimmt man 
einen solchen Krystall von der Unterlage ab, so ist er an der Ansatz- 
stelle unvollständig ausgeMdet, da hier sich natürlich keine Flächen 
entwickeln konnten. Man kann aber, wie wir schon gesehen haben, 
ein solches Krystallbruchstück nach den Gesetzen der Symmetrie und 
des Flächenparallelismas meist leicht ergänzen (8). Die Flächen der 
anfgewachsenen KiystaUe sind meist glatt und glänzend und daher 
zur krystallographischen Untersuchung mit dem Goniometer besonders 
geeignet, trotz ihrer UnvoUständigkeit. 

Selten sieht man einen einzelnen Krystall aufgewachsen, meist 
sind mehrere vereinigt und bilden eine Drtise (Krystalldruse, z. B. 
Kalkspat-, Bleiglanz- etc. Druse). Wenn die Krystalle der Druse sehr 
klein sind und gi'ößere Flächen der Unterlage bedecken, so spricht 
man wohl von einem Rasen. Die einzelnen Krystalle einer solchen 
Druse sind meist ganz regellos gegeneinander gestellt, zuweilen zeigen 
sie aber doch eine gewisse Begelmäßigkeit in der Anordnung; man 
nennt dies dann wohl einen KrystaUstock, So sind manchmal, aber 
selten, alle Krystalle einer Druse parallel, oder sie konvergieren alle 
nach einem Punkte, wobei sie entweder langprismenförmig (z. B. 
Natrolith) oder dünn tafelförmig sind (Eisenglanz bei den sog. Eisen* 
rosen der Alpen), oder die Krystalle bilden dünne Tafeln, welche 
fächerförmig von einer allen gemeinsamen Linie ausstrahlen (wie z. B. 
der sog. kammförmige Schwerspat). Dabei entstehen nicht selten 
ziemlich regelmäßige kugelige oder ellipsoidische Gebilde; oder es 
sind tropfsteinartige Zapfen, deren einzelne Krystalle senkrecht zur 
Achse der Zapfen nach allen Richtungen radial hinausragen. Andere 
solche Gruppierungen kommen noch vor, welche in leicht verständ- 
licher Weise durch Vergleich mit bekannten Gegenständen von cha- 
rakteristischer Gestalt beschrieben werden, so garbenförmig (154), 
rutenförmig etc. Rosettenförmig angeordnet nennt man eine Anzahl 
von meist kleinen, dünnen und lang gezogenen Krystallen, welche 
alle, auf einer ebenen Unterlage aufgewachsen, radial von einem 
Centrum ausstrahlen (Wavellit, Kobaltblüte) etc. 

Die Krystalle der Drusen sind oft groß und lang, z. B. beim 
Quarz, oft sind sie nur kurz und niedrig, z. B. beim Schwefelkies. 



AnfgewachMiie Erjertalle. ^5 

Zuweilen werden die Krystalle sehr klein und bilden nur eine dfinne 
Haut, welche auf größere Erstreckung Gesteine und Mineralien über- 
zieht. Solche Häute werden v. a. vom Quarz gebildet, der auf diese 
Weise die von ihm flbei*zogenen Mineralien förmlich abgießt und ab- 
formt 

Die Gestalt der Drusen hängt ab von derjenigen ihrer Unter- 
lage. Ist diese nahezu eben, wie z. B. die Wand einer Spalte im Ge- 
birge, so ist auch die Druse eben und meist stark ausgedehnt. Sitzt 
sie auf der runden Wand eines kleinen Hohlraums im Gestein, so ist 
auch die Druse rund, wie z. B. die sog. Mandeln (300, 301). Indessen 
sind solche runden Drusenräume nicht immer klein, sondern zuweilen 
von gewaltigem Umfang, wie z. B. die sog. Erystallkeller in den 
Alpen, deren Wände mit centnerschweren Quarzkrystallen besetzt sind. 
Die Unterlage der deutlich ausgebildeten Krystalle ist entweder mit 
dem aufsitzenden Mineral gleichartig oder nicht Ersteres ist der Fall, 
wenn z. B. Quarzkrystalle auf derbem Quarz sitzen, letzteres, wenn 
Flußspatkrystalle auf Sandstein, Ealkspatkrystalle auf Granit auf- 
gewachsen sind, oder bei den Mineralien in den Mandeln (300). Im 
ersteren Fall ist die herausragende Erystallspitze häufig die direkte 
Fortsetzung eines individualisierten Stücks der die Unterlage bildenden 
derben Masse, welche sich mit deutlichen Flächen nach außen hin aus 
Mangel an Platz nicht ausbilden konnte, sondern nur nach innen in 
den leeren Drusenraum hinein. Sehr häufig beobachtet man so, daß 
in großen derben Massen eines Minerals auf Hohlräumen dasselbe 
Mineral in drusenförmig aufgewachsenen Krystallen ausgebildet ist, 
welche letztere sich unregelmäßig begrenzt in die derbe Masse hin- 
ein fortsetzen, wie z. B. Bleiglanzkrystalle auf Drusen im derben 
Bleiglanz etc. 

Manchmal ist ein Mineral in Fonn einer dünnen ausgebreiteten, zusammen- 
hängenden oder aach pnlverförmigen Decke oder eines sehr dünnen Häntchens anf 
der Oberfläche eines anderen Minerals abgelagert, z. B. eine dünne Haut von Bot- 
gültigerz, Glaserz etc., oder ein feiner Staub von Pharmakolith. Man nennt dies 
einen Anflug. — Zuweilen bilden sich einzelne Krystalle oder ein feines Mehl auf 
der Oberfläche eines Minerals durch chemische Umwandlung oder teilweise Auflösung 
und Wiederabsatz des letzteren, z. B. Kobaltblüte auf Speiskobalt, Steinsalz auf dem 
Boden von Salzsteppen etc.; man nennt dies eine ÄMshluhimg oder Efflorescenz. 

187. Derbe Aggregate. Krystalle mit regehnäßigen Flächen 
können nnr dann entstehen, wenn die Umstände, welche bei der 
Bildung herrschten, dazu günstig sind. Ist dies nicht der Fall, bilden 
sich z. B. gleichzeitig viele Krystalle auf beschränktem Baum, oder 
ist die Substanz zwar fähig zu krystallisieren, aber nicht, regelmäßige 
Krystalle zu bilden, wie z. B. der Brauneisenstein, so entstehen un- 
regelmäßig begrenzte, derbe (6) Krystallindividuen und durch Zu- 

Baaer, Mineralogie. ^^ 



226 Bethe Aggregate. 

sammenhäafang von vielen solchen die sog. derien oder hrystdllinischen 
Aggregate. 

Die Individuen, welche diese Aggregate bilden, nennt man die 
Zusammensdetmgssiücke derselben. Sie haben sehr verschiedene Größe. 
Je nachdem man sie noch mit bloBem Auge oder erst mit dem Mikro- 
skop erkennen und von den benachbarten unterscheiden kann, nennt 
man die Aggregate phanerohrystaUinisch resp. mihrokrystaUimsch oder 
hrypiokrystaUinisch oder meist dicht. Sie sind aber auch von sehr ver- 
schiedener Gestalt und in mehr oder weniger regelmäßiger Weise mit- 
einander verbunden; danach ergeben sich die StnMurformen der 
Aggregate. 

Sind die Zusammensetzungsstücke eines Aggregats isometrisch, 
d. h. nach allen Seiten ziemlich gleichmäßig ausgedehnt, so heißt die 
Struktur Mmig^ und man unterscheidet nach der abnehmenden Größe 
des Korns groß-, grob-, mittel-, und feinkörnig (Kalkspat als Marmor, 
Augit, Magneteisen etc.). Dichte (krypto- oder mikrokrystallinische) 
kömige Aggregate bildet u. a. der Kalkspat als Kalkstein, der Blei- 
glanz als Bleischweif etc. 

Sind die Zusammensetzungsstücke dünn und tafelförmig, so nennt 
man das Aggregat schalig, und zwar je nach der Form und Größe 
der Schalen: geradschalig (Apophyllit, Kalkspat), nicht mit Blätter- 
bruch zu verwechseln (194) ; krummschalig (Eisenglanz, Achat, Arsen) ; 
femer dick- und dünnschalig; parallel- und verworrenschalig etc. 
Besteht die ganze Masse aus einzelnen kleinen und dünnen Blättchen, 
so heißt das Aggregat schuppig (Glimmer). Auch schalige und schuppige 
Massen können dicht werden. 

Sind die Zusammensetzungsstücke nur nach einer Eichtung ausge- 
dehnt, so heißt das Aggregat stenglig oder auch wohl strahMg wenn 
sie dick, fasrig wenn sie sehr fein sind. Man unterscheidet nach der 
Größe der Stengel dick- und dünnstenglige, sowie kurz- und lang- 
stenglige Aggegrate; nach ihrer Anordnung: parallelstenglig und 
-strahlig, excentrisch- oder radial-stenglig und -strahlig, oder ver- 
worrenstenglig und -strahlig. Dieselben unterschiede gelten für fas- 
rige Aggregate. Stenglig ist der Pyknit, mancher Kalkspat etc., 
fasrig mancher Gips, ebenso mancher Kalkspat etc. Manche ver- 
worrenfasrige Mineralien sind auch dicht, z. B. der Nephrit 

Zuweilen sind die Zdsammensetzungsstücke eines Aggregats gleich- 
zeitig auf mehrere verschiedene Arten miteinander verbunden, so daß 
zunächst kleinere Teile in einer bestimmten Weise zu größeren Zu- 
sammensetzungsstücken (höherer Ordnung) vereinigt sind, die dann, 
auf eine andere Art verbunden, das Aggregat bilden (mehrfache Zu- 
sammensetzung, doppelte Struktur). So ist z. B. der Achat fasrig 
dicht und zugleich schalig. Mikroskopisch kleine Kömchen bilden 



Derbe Aggregate. 227 

beim Arsen dünne krnmme Schichten oder Schalen, welche in viel- 
facher Wiederholung übereinander liegen. Manche Vorkommnisse des 
Eoteisensteins sind schalig und fasrig; einzelne krumme Schalen liegen 
übereinander, jede aus radial zu den koncentrischen Schalenoberflächen 
gestellten Fasern bestehend. Dieselben beiden Strukturformen geben 
auch die Struktur der OoUthe oder Pisölithe (z. B. Erbsenstein, Eogen- 
stein). Diese bestehen ganz aus zusammengehäuften Engeln; die 
Kugeln sind koncentrischschalig, jede einzelne Schale ist radial- 
fasrig. 

Manchmal sind solche Aggregate in bestimmter regelmäßiger 
Weise nach außen abgegrenzt. Besonders häufig beobachtet man 
rundliche Knollen, die zuweilen fast regelmäßig kugelförmig werden 
(Wawellit) oder die auch eine cylindrische, röhrenförmige, pilzförmige, 
nierenförmige, traubige etc. Gestalt haben. Nierenförmig nennt man 
solche Knollen, wenn sie aus einzelnen Abschnitten großer Kugeln, 
iratMg, wenn sie aus vielen kleinen Kugeln verwachsen scheinen 
(Brauneisenstein, Psilomelan). Die rundliche Oberfläche ist oft voll- 
kommen glatt, zuweilen auch rauh durch hervorstehende Krystall- 
spitzchen, die mehr oder weniger deutlich zur Ei*scheinung kommen 
können und welche dann den Übergang zu den Krystallgruppen und 
-drusen herstellen (185, 186). Solche runde, nierige und traubige 
Aggregate sind sehr häufig im Innern radialfasrig, doch auch nicht 
selten körnig, dicht oder von anderer Struktur. 

Diese rundlichen Massen sind teils auf einer Unterlage auf- 
gewachsen, teils sind sie eingewachsen in gleicher Weise wie aus- 
gebildete Krystalle. Aufgewachsen sind z. B. die radialfasrigen 
Kugeln des Wawellits, die ebenfalls radialfasrigen traubigen Massen 
des Sphärosiderits auf Hohlräumen im Basalt etc. Zu den auf- 
gewachsenen Aggregaten dieser Art gehört der Glaskopf. Man ver- 
steht darunter radialfasrige Mineralien mit einer runden (nieren- 
förmigen oder traubigen) Oberfläche, parallel mit welcher im Innern 
schalige Absonderungs- und Verwachsungsflächen verlaufen. Diese 
doppelte Strukturform flndet sich besonders bei einigen Eisenerzen, 
welche man durch ein Beiwort näher bezeichnet (roter, brauner Glas- 
kopf etc.). Krystallinische Aggregate mit rundlicher Oberfläche bilden 
auch die krustenförmigen Überzüge, welche häufig z. B. aus Kalk- 
spat durch Sickerwasser auf große Erstreckung hin gebildet werden 
{Sinter, speziell Kalksinter); ebenso die aus tropfendem Wasser ab- 
gelagerten zapfenförmigen Tropfsteine (Stalaktiten), welche mit solchen 
Sinterkrusten oft in Verbindung stehen. Viele lösliche Mineralien 
bilden derartige Krusten und Stalaktiten: Vitriole, Steinsalz etc., be- 
sonders aber, wie erwähnt, Kalkspat. Sie sind im Innern teils kömig, 

teils radialstrahlig und -fasrig von der Achse des Zapfens aus, und 

15^ 



228 Derbe Aggregate. 

nieht selten auch parallel der Zapfenoberfläche schalig. Endlich seien 
hier die vielfach verästelten, sog. zackigen Gebilde der runden dAnnen 
Stengel der Eisenblflte, einer Abart des Aragonits, erwähnt. 

Eingewachsene rundliche Knollen von ähnlicher Form und Be- 
schaffenheit (Konkretionen, vergl. auch (299)) bildet vielfach der 
Schwefelkies im Ton (der übrigens auch in ganz gleicher Weise auf- 
gewachsen vorkommt) und manche andere Mineralien. Sie unter- 
scheiden sich nur durch den Mangel regelmäßiger äußerer Begren- 
zung der einzelnen Individuen von den bei der Betrachtung der 
eingewachsenen Krystalle (185) erwähnten ähnlich gestalteten Ag- 
gregaten. 

Die Zusammensetzungsstücke der Aggregate sind zum Teil sehr 
fest miteinander verwachsen, z. B. die Kalkspathkömer im Marmor, 
zum Teil sind sie locker und lose und lassen sich durch Drücken in 
der Hand trennen, z. B. der kömige Augit (Kokkolith), oder sie lassen 
sich zwischen den Fingern zu Pulver zerreiben (Kreide). Ersteres ist 
"der Fall, wenn die Grenzen der Zusammensetzungsstücke gegen- 
"^inander (die Zusammensetzungsflächen) kompliziert sind und in- 
einander eingreifen, letzteres, wenn die einzelnen Stücke nach fast 
ebenen Flächen zusammenstoßen oder doch so, daß nicht weit hervor- 
ragende Teile des einen Korns in entsprechende Vertiefungen des 
anderen hineinragen. Daher sind namentlich schalige und fasrige 
Aggregate in der Richtung der Schalen und Fasern häufig leicht zu 
trennen. Beim Arsen z. B. lassen sich sogar vielfach einzelne Schalen 
voneinander abheben. Beim roten Glaskopf sieht man ^dielfach fast 
ebene Trennungsflächen in der ungefähren Richtung der radial ver- 
laufenden Fasern durch die Masse hindurchgehen. Diese Flächen sind 
ganz glänzend und glatt und machen daher auf den ersten Blick den 
Eindruck von Krystallflächen. Davon ist aber keine Rede, die Flächen 
liegen unregelmäßig gegeneinander und die zwischen den einzelnen 
Flächen liegenden keilförmigen Stücke bilden nicht je ein Krystall- 
individuum, sondern ein radial fasriges Aggregat. Derartige Flächen 
sind nur Scheinflächen. 

188. Formen der amorphen Minerallen. Die amorphen Mine- 
ralien zeigen zuweilen, trotzdem ihnen an sich gar keine regel- 
mäßige Gestalt zukommt^ ähnliche Formen wie die krystallinischen 
Aggregate. So findet man solche Körper häufig in Form von runden 
Knollen eingewachsen (Opal als Menilit) oder aufgewachsen (Opal 
als Hyalith); schön traubig beim letzteren und beim PsUomelan; auch 
bilden sie ausgedehnte sinterartige Krusten und Überzüge. Man findet 
zwar hier dieselben nierenförmigen und traubigen etc. Oberflächen wie 
bei jenen krystallinischen Aggregaten, aber keine Spur von innerer 



Formen der amorphen Mineralien. 229 

fasriger, kömiger etCw Struktur, die stets ein Anzeichen von Krystalli- 
sation ist. Auch tropfsteinartige Gestalten finden sich. Vor allem 
sind aber die Dendriten zu erwähnen, braune oder schwarze moos- 



oder baumfSrmige Anfluge von Eisen- und Manganerzen, welche aus 
Lösungen abgeschieden wurden, die infolge der Kapillarität auf ganz 
engen Spalten sich in dieser eigentttmlichen Weise ausgebreitet haben. 
Man findet die Dendriten nur auf den Wänden solcher ganz engen 
Spalten, kann auch den Prozeß kunstlich nachahmen. (Dendritische 
Bildungen anderer Art, aus Erystallen zusammengesetzt, haben wir 
oben schon kennen gelernt (172)). 



n. Abschnitt. 

Mineralphysik. 



Die Mineralphysik hat die Anfgahe, die physikalischen Eigenschaften der Mine- 
ralien soweit zn erforschen, als es zu deren Charakterisiernng, zu ihrer Erkennung und 
Unterscheidung notwendig ist. Wichtig ist dahei die Beziehung der physikalischen 
zu anderen Eigenschaften, hesonders zur Krystallform und zur chemischen Zusammen- 
setzung. Sofern die Zahl der amorphen Mineralsuhstanzen den krystaUisierten gegen- 
üher fast verschwindet, handelt es sich hier hauptsächlich um die physikalische 
Beschaffenheit krystallisierter EOrper. Die Mineralphysik ist somit in dem oben be- 
zeichneten Umfang beinahe identisch mit Erystallphysik. 

Vergl. hierzu außer den eingangs genannten Werken: Wüttner, Lehrbuch der 
Experimentalphysik, letzte Aufl. FouiUet-MiäUi'f Lehrbuch der Physik (neueste 
Auflage, bearbeitet Ton Pfaundler). Beer, Einleitung in die höhere Optik (2. Aufl., 
bearbeitet Ton V. t. Lang). Lommel, Das Wesen des Lichts. Badicke, Handbuch 
der höheren Optik. Bület, Trait6 d'optique physique. Verdetf Oeuvres compl^tes. 
Merschelj Vom Licht (übersetzt von Schmidt). Brewster, A treatise on optics. 
Voigt, Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Erystalle, und manche 
andere Lehr- und Handbücher der Physik und einzelner Zweige derselben, be- 
sonders der Optik. Besonders hervorzuheben sind die der Erystallphysik speziell 
gewidmeten Werke von Chroth, Liebisch, Linck, Mallard, Schrauf und Soret 
(siehe (3) B). (Neu erschienen: Becker, Erystalloptik.) 

189. Hauptgesetz der Erystallphysik. Die physikalischen 
Eigenschaften der Mineralien stehen z. T. zu der Struktur derselben 
in keiner Beziehung, wie z. B. das spezifische Gewicht ; z. T. sind sie 
von der Struktur abhängig. Diese letzteren Eigenschaften hängen 
in bestimmter gesetzmäßiger Weise mit den Sichtungen zusammen, 
nach welchen sie in den Krystallen beobachtet werden, und stehen 
daher in der engsten Beziehung mit der Krystallform ; so die optischen 
und thermischen Eigenschaften, die Verhältnisse der Kohäsion etc. 
Amorphe Mineralien verhalten sich nach allen Richtungen physikalisch 
gleich, krystallisierte im allgemeinen verschieden. In einfachen Kry- 
stallen (Individuen) sind jedoch stets parallele Richtungen physikalisch 
von derselben Beschaffenheit, weshalb es gleichgültig ist, an welcher 
Stelle eines Krystalls man dessen physikalische Untersuchung vor- 



Hauptgeaetz der Erystallphysik. 231 

Bimmt. Es gilt hier aber auch femer durchaus das Gesetz : Kryställo- 
grapkisch gleiche Richtungen verhatten sich in jeder BedAwng physikalisch 
gleich, so daß also die krystallographischen Symmetrieebenen auch in 
Beziehung auf die physikalischen Eigenschaften solche sind. 

Bezflglich der Umkehrung dieses Hauptsatzes der Erystallphysik 
hat man zwei Gruppen von Eigenschaften zu unterscheiden. Für 
die eine Gruppe, in die vorzugsweise die Eohäsion und alles 
was damit zusammenhängt, ferner das Wachstum der Erystalle und 
ihr Widerstand gegen die Auflösung (chemische Kohäsion) und endlich 
die Pyroelektrizität gehören, gilt auch die ümkehrung ganz allgemein : 
Alle hrystaHographisch verschiedenen Richtungen sind auch physikalisch 
verschieden. Die Symmetrie ist hier in physikalischer Hinsicht genau 
dieselbe wie fftr die Krystallform. Für diese Gruppe von Eigen- 
schaften sind alle Erystalle anisotrop und unterscheiden sich dadurch 
von den amorphen Substanzen, die in diesem Sinne allein isotrop 
sind (4). 

Für die optischen, thermischen und magnetischen Eigenschaften 
und für die Leitung der Elektiizität sind zwar in den meisten Fällen 
die krystaliographisch verschiedenen Richtungen ebenfalls physikalisch 
verschieden, aber dies gilt hier nicht mehr allgemein; es gibt auch 
Fälle, in denen dies nicht mehr zutrifft. So sind namentlich sämtliche 
Bichtungen eines regulären Erystalls in optischer etc. Beziehung ein- 
ander gleich, während dies in krystallographischer Beziehung keines- 
wegs der Fall ist. Der Würfelkante entspricht z, B. eine krystalio- 
graphisch andere Richtung, als der Würfelflächendiagonale; Licht- 
schwingungen nach diesen beiden Richtungen bewegen sich aber mit 
ganz gleicher Geschwindigkeit, die Wärmeleitung und die Leitung für 
die Elektrizität sind in beiden Richtungen dieselben etc. 

In Bezug auf die zweite Gruppe physikalischer Eigenschaften 
unterscheidet sich ein regulärer Erystall nicht mehr von einem 
amorphen Eörper; er ist isotrop wie letzterer. Seine physikalische 
Symmetrie ist für diese Eigenschaften höher, die Zahl der Symmetrie- 
ebenen größer, als für die Erystallform. Dasselbe ist auch bei allen 
Erystallen mit einer Hauptachse der Fall. Bei ihnen verhalten sich 
alle zur Hauptachse gleich geneigten, namentlich also auch alle auf 
der Hauptachse senkrechten Richtungen einander physikalisch gleich 
und von allen Richtungen mit anderen Neigungen zur Hauptachse 
verschieden. Bei Erystallen des rhombischen, monoklinen und triklinen 
Systems sind auch für diese zweite Gruppe von Eigenschaften alle 
krystaliographisch verschiedenwertigen Richtungen physikalisch gleich- 
falls verschieden; die physikalische Symmetrie stimmt mit der krystallo- 
graphischen vollkommen überein. (Vergl. Sohnke, Entwicklung einer Theorie 
der ErystaUstroktar 1879.) 



232 SpeEiÜBcbes Gewicht 

Der innige Zusammenhang der physikalischen Eigenschafben mit 
der Erystallform ermöglicht es oft, ans der ph3rsikalischen Beschaffen- 
heit eines Krystalls allein seine Zugehörigkeit zu dem oder jenem 
Krystallsystem mit Sicherheit abzuleiten. Man ist darauf sogar aus- 
schließlich angewiesen, wenn die regelmäßige äußere Form fehlt; und 
wenn sie mangelhaft ausgebildet ist, wird eine Ergänzung und Kon- 
trolle der krystallographischen Untersuchung durch die physikalische 
stets wünschenswert sein. Die Ermittlung der physikalischen Eigen- 
schaften der Krystalle stellt daher nicht nur an sich, sondern auch 
aus dem genannten Grunde eine der wichtigsten Aufgaben des Mine- 
ralogen dar. Von besonderer Bedeutung sind hierbei für die Praxis 
(neben dem spezifischen Gewicht) das optische Verhalten, sowie die 
mechanische und chemische Eohäsion (Spaltbarkeit und Ätzflguren) 
Wir werden im folgenden die einzelnen physikalischen Eigenschaften 
in ihren Beziehungen zu den Mineralien, soweit es für die Mineralogie 
nötig ist, mehr oder weniger eingehend betrachten. 

Spezifisches Gewicht. 

190. Spezifisehes Gewicht. Das spejrifische Oewickt eines Minerals 
ist die Zahl, welche angibt, wievielmal schwerer ein gewisses Volumen 
desselben ist, als dasselbe Volumen Wasser. Sie ist konstant for alle 
Stücke einer und derselben Spezies, aber die Mineralien unterscheiden 
sich voneinander in Bezug hierauf bedeutend. Die spezifischen Ge- 
wichte sind daher zur Charakterisierung der einzelnen Mineralspezies 
von großer Wichtigkeit Das höchste spezifische Gewicht (G.) ist bei 
dem natürlich vorkommenden Iridium beobachtet worden: G. = 22,8^ 
woran sich die Gewichte der anderen schweren Metalle und die von 
deren Verbindungen anschließen. Eines der schwersten Mineralien, 
welche kein schweres Metall enthalten, ist der Zirkon, G. = 4,6—4,7. 
Diejenigen Mineralien, welche am massenhaftesten vorkommen, welche 
also in der Zusammensetzung der festen Erdkruste die bedeutendste 
EoUe spielen, haben ein viel geringeres spez. Gewicht: Quarz und 
Feldspat 2,65; Kalkspat 2,7; Hornblende 3,0 und Augit 3,3. Diese 
niederen Zahlen sind mit Bücksicht auf das hohe spezifische Gewicht 
der ganzen Erde, welches etwa 5,5 beträgt, sehr auffallend, um so 
mehr, als sogar die schwersten in größeren Mengen in der Erdkruste 
vorhandenen Mineralien, Eisenglanz, Magneteisen etc., nur spezifische 
Gewichte von 5 — 57« haben. Noch geringer als die genannten Ge- 
wichte ist das des Gypses (2,3) und der meisten wasserhaltigen Silikate, 
des Schwefels, des Graphits etc. An der untersten Stufe stehen die 
Mineralien organischen Ursprungs, die Harze, Naphta, Asphalt etc., 
deren spezifische Gewichte zwischen 1,4 und 0,5 schwanken. Die ge- 



Spezifisches Gewicht. Eohäsioii. 233 

ringste Zahl, welche überhaupt angegeben wird, ist die für den 
Pyropissit von Halle, dessen 6. = 0,49—0,52. Es ist aber nur wegen 
zahlreicher innerer Poren so niedrig. 

Das spezifische Gewicht eines Minerals wird an gr(SOeren Stttcken in bekannter 
Weise mittels der hydrostatischen Wage bestimmt. Genauer ist in vielen Fällen 
die Bestimmung an gri^blichem Pulver mittels des Pyknometers, Dies ist ein kleines 
dünnwandiges Glasflftschchen mit einem weit herausragenden sorgfältig eingeriebenen 
Glasstöpsel, der in seiner Achse von einem feinen langen Kanal durchzogen ist. 

Bei der Gewichtsbestimmung wird zuerst das absolute (Gewicht p der Substanz 
ermittelt. Dann wird das Pyknometer mit destilliertem Wasser gefttUt, so daß das- 
selbe in dem Kanal des Stöpsels bis an den oberen Rand geht und das Ganze ge- 
wogen. Das Gewicht sei » a. Endlich wird die Substanz vom Gewicht p in das 
Fläschchen geworfen, wodurch ein Teil des Wassers verdrängt wird, und dafür 
gesorgt, daß nach dem Aufsetzen des Stöpsels das Wassemiveau wieder genau das 
obere Ende desselben erreicht; dann sei das Gewicht des Ganzen ^6. Nun ist 
P'\'a — h das Gewicht des durch die Substanz verdrängten Wassers, und man hat: 

6r.= — — £- — -. Die an der Substanz adhärierende Luft ist durch Auskochen oder 

unter der Luftpumpe zu entfernen und die Temperatur etc. in bekannter Weise zu 
berücksichtigen. 

In neuerer Zeit wird das spezifische Gewicht von Mineralien auch durch Ein- 
tauchen in Flüssigkeiten ermittelt, deren spezifisches Gewicht man durch Verdünnen 
oder Koncentrieren genau dem des Minerals gleich macht, das dann darin eben noch 
schwimmt. Das Abwägen eines bestimmten Volumens der Flüssigkeit gibt das 
spezifische Gewicht. Bequemer erhält man es mittels der WestphäUcheti Wage, die 
am einen Ende des Balkens einen gläsernen Senkkörper trägt, der in die Flüssigkeit 
eintaucht; durch Auflegen von Gewichten auf derselben Seite, die dann das spezi- 
fische (Gewicht ergeben, wird die Wage wieder zum Einspielen gebracht Zu der- 
artigen Untersuchungen sind Flüssigkeiten von besonders hohem spezifischen Gewicht 
am geeignetsten, so eine Lösung von Kaliumquecksilbeijodid (Thouletsche Lösung) 
oder von borwolframsaurem Cadmium (Kleinsche Lösung), Methylenjodid etc. Diese 
Flüssigkeiten eignen sich namentlich auch zur Trennung von lockeren Mineral- 
gemengen nach dem spezifischen Gewicht in ihre einzelnen Bestandteile. 

Verschiedene Stücke eines und desselben Minerals geben nicht 
selten etwas verschiedene Zahlen f&r G. Dies hängt anßer mit kleinen 
Messnngsfehlem hauptsächlich mit den Verunreinigungen zusammen, 
welche die Mineralien als mechanische Verunreinigungen und als iso- 
morphe Beimischungen (180. 289) enthalten. 

{Kohlrausehf Praktische Regeln zur Bestimmung des spezifischen Gewichts 1866. 
Webgky, Mineral. Studien, L: Die Mineralspezies nach den für das spezifische Ge- 
wicht gefundenen Werten 1868. CHseviuSf Methode der Bestimmung des spezifischen 
Gewichts. Diss. Bonn 1883. Ooldschmidt, Verwendbarkeit einer Kaliumquecksilber- 
jodidlösung bei mineral. Untersuchungen. Diss. Heidelberg 1881. R. Brauns^ Über 
die Verwendbarkeit des Methylenjodids etc. N. Jahrb. f. Min. 1886, II, 72; 1888, 
I, 263.) 

Kohäsion. 

lOl. KohteioD« Die Kohäsion ist diejenige Eigenschaft der 
Mineralien, vermöge deren sie einer Trennung oder Verschiebung 



234 Elastirit&t. 

ihrer Teilchen Widerstand entgegensetzen. Die Kräfte, welche den 
Zusammenhalt der kleinsten Teile der Körper bedingen, werden all- 
gemein die Köhäsianskräfte genannt Auf ihnen beruhen u. a. die 
Aggregatzustände, von welchen hier aber nur der feste von Bedeutung 
ist. Je nach der speziellen Beschaffenheit der Kohäsion verhalten sich 
die Mineralien verschieden gegen äußere Einwirkungen, welche auf 
eine Trennung oder Verschiebung der kleinsten Teilchen oder auf eine 
Gestaltungsänderung des vorliegenden Stücks gerichtet sind. Wir 
haben danach die Elastizität, die Spaltbarkeit, die Zersprengbarkeit, 
die Gleitflächen, die Härte und die Tenazität, endlich auch die 
chemische Kohäsion, den Widerstand gegen Auflösung, d. h. die Ätz- 
figuren als spezielle Äußerungsformen der Kohäsion kennen zu lernen. 

192. Elastizität. Unter Elastmtät versteht man die Eigenschaft 
der Mineralien, einer Gestalts- und Volumenänderung einen Wider- 
stand entgegenzusetzen. Je größer dieser Widerstand ist, je größer 
also die äußeren Krafteinwirkungen sein müssen, um eine solche 
Änderung herbeizuführen, desto größer ist die Elastizität des be- 
treffenden Körpers; je leichter die Änderung vor sich geht, desto 
geringer ist sie. Demnach ist also Stahl im physikalischen Sinne 
elastischer als Kautschuk. Sind die Änderungen nicht zu groß, so 
nimmt der Körper nach dem Aufhören der äußeren Kraftwirkungen 
seine ursprüngliche Form und Größe wieder an. Gehen sie über einen 
bestimmten Betrag hinaus, so ist dies nicht mehr der Fall; die 
kleinsten Teile nehmen dann eine neue stabile Gleichgewichtslage ein, 
man sagt, die Elastizitätsgrenze ist überschritten. 

Die Elastizität innerhalb der Elastizitätsgrenze wird gemessen 
durch den ElastiaüätsTcoeffisienten (Dehnungskoeffizienten). Derselbe 
gibt das Verhältnis der Verlängerung oder Verkürzung eines Stabes 
zu der Kraft an, welche die Verlängerung oder Verkürzung hervor- 
gebracht hat. Er sagt aus, wie groß das Gewicht sein muß, aus- 
gedrückt in Grammen, das quadratische Stäbe von 1 Dmm Quer- 
schnitt auf das Doppelte ihrer Länge auszudehnen oder auf die Hälfte 
ihrer Länge zusammenzudrücken im stände wäre, vorausgesetzt, daß 
dabei die Elastizitätsgrenze nicht überschritten würde. Je größer der 
Elastizitätskoefflzient, um so größer die Elastizität. Bestimmt wird 
derselbe durch Beobachtung der Ausdehnung, der Kompression oder 
der Biegung von Stäbchen des betreffenden Minerals von bekannten 
Dimensionen unter dem Einfluß bekannter Gewichte. 

Dabei stellt sich heraus, daß man bei einem amorphen Körper 
stets denselben Elastizitätskoefflzienten findet, wie auch die Richtung 
sein mag, in welcher das Stäbchen aus dem Stück herausgeschnitten 
ist. Anders bei Krystallen, bei denen nur dann gleiche Elastizitätskoeffi- 



Brach. Spaltbarkeit. 235 

zienten erhalten werden, wenn alle entsprechenden Dimensionen der 
Stäbchen parallel oder sonst krystallographisch gleich gerichtet sind. 
In allen anderen F&Ilen erh&lt man verschiedene Elastizitätskoeffl- 
zienten. Die Elastizität ist also nach sämtlichen krystallographisch 
gleichwertigen Bichtangen eines Krystalls dieselbe, nach anderen 
Bichtnngen hat sie einen anderen Wert, ganz wie es dem Haupt- 
gesetz der Krystallphysik und seiner Umkehrung entspricht (189): 

Sehr genau ist in dieser Beziehung a. A. das Tegviü&reSteinsaUs untersucht. Stäbchen 
parallel den Würfelkanten (senkrecht zu den Wttrfelflftchen) ergaben gleiche Zahlen, 
der Koeffizient ist =4170000 gr; Stäbchen senkrecht zu den Granatoederflächen 
geben: 3403000 gr, und solche senkrecht zu den Oktaederflächen: 3186000 gr. 
Ähnliche Beziehungen gab auch der rhomboedrisch krystallisierte Kalkspat. In 
der Richtung der drei Endkanten des Hauptrhomboeders ist der Elastizitätskoeffizient 
derselbe, aber größer als der in der Richtung der kleinen Diagonale der Haupt- 
rhomboederflächen, bei denen wieder untereinander Gleichheit herrscht. ( Voigt, Unter- 
suchungen über die Elastizitätsverhältnisse des Steinsalzes, Diss. Königsberg 1874 
und Pogg. Ann. Erg. Bd. 7 pag. 177. Baumgarten (Kalkspat), Pogg. Ann. Bd. 162 
pag. 369. Coromilas. Diss. Tübmgen 1877 etc.) 

193. Brach. Die Formen der Bruchflächen, welche die Mineralien 
beim Zerschlagen oder Zerreißen erhalten, sind für dieselben vielfach 
charakteristisch. Sie sind entweder regelmäßig ebenflächig {BlMter- 
hrüche) (194), oder unregelmäßig. Diese unregelmäßigen Formen der 
Bmchflächen nennt man kurz den Bruch der Mineralien. Man unter- 
scheidet in dieser Beziehung: 

1. MuscKligen Bruch. Die eine Bruchfläche ist rundlich erhaben, 
die andere entsprechend ebenso vertieft, ähnlich wie das Innere einer 
Muschelschale, und auf der Bruchfläche gehen von der Ansatzstelle 
des Hammers koncentrische Runzeln aus wie die Anwachsstreifen auf 
einer solchen. Die Vertiefungen sind groß oder klein, flach oder tief; 
man unterscheidet danach: groß- und klein-, flach- und tiefmuschligen 
Bruch. Sehr vollkommen großmuschlig ist z. B. der Bruch des Feuer- 
steins. 2. Unebener Bruch verläuft in den kleinmuschligen (Kalkstein, 
Schwefelkies). 3. Ebener Bruch (Jaspis). 4. SpUUriger Bruch. Auf 
den Bruchflächen sind halblosgerissene Splitter hängen geblieben, 
welche sich als hellere Stellen auf dem dunkleren Hintergrunde ab- 
heben (Homstein). Es ist der GegensatSs zum glatten Bruch, bei dem 
dies nicht der Fall ist. 5. Hackiger Bruch, bei geschmeidigen Metallen. 
6. Erdiger Bruch bei erdigen Mineralien (Kreide, Tripel etc.) Der 
Bruch hängt vielfach in bestimmter Weise mit der Struktur des be- 
treffenden Minerals zusammen. 

194. Blätterbraeh. Zerschlägt man einen Kalkspat-Krystall, so 
zerbricht derselbe stets nach vollkommen ebenen Bruchflächen, welche 
man Blätterbrüche oder Elätterdurchgänge oder auch wohl Spaltungs- 



296 Spaltbarkeit 

flächen nennt, da man sie vielfach durch Spalten mit einem Meißel 
darstellt. In gleicher Weise zerbrechen Krystalle von Steinsalz, Blei- 
glanz, Flußspat etc. nach ebenen Flächen, während Quarz, Granat 
und andere Mineralien etwas ähnliches nicht deutlich beobachten 
lassen. 

Die Leichtigkeit der Herstellung der Blätterdurchgänge ist bei 
verschiedenen Mineralien und bei einem und demselben Mineral in 
verschiedenen Richtungen eine sehr verschiedene. Manchmal ent- 
stehen sie schon beim unregelmäßigen Schlag (Kalkspat) oder durch 
Zerreißen (Glimmer); manchmal nur wenn man einen scharfen Meißel 
in der geeigneten Richtung in das Mineral eintreibt; manchmal erhält 
man sie überhaupt nur mehr zufallig, aber kaum, wenn man sie mit 
Absicht darzustellen sucht. Je leichter die Darstellung ist, desto 
regelmäßiger, ebener und glatter, kurz desto vollkommener sind die 
erhaltenen Flächen. Je schwieriger jene vor sich geht, desto unvoll- 
kommener, unterbrochener und rauher sind dieselben, so daß nur ein- 
zelne vollkommen ebene Flächenteilchen, die aber alle in einer Rich- 
tung liegen, mit umfangreicheren unebenen Stellen des Bruchs ab- 
wechseln. Ein derartiger Blätterbruch ist dann auf den ersten Blick 
sehr ähnlich dem gewöhnlichen unregelmäßigen, unebenen Bruch, aber 
dieser letztere ist durchaus uneben und enthält gar keine ebenen 
Flächenelemente mehr. Die Existenz von solchen erkennt man an 
auf ihnen reflektierten vollkommen regelmäßigen Spiegelbildern, welche 
auf unebenem Bruch nicht entstehen können. Man unterscheidet ver- 
schiedene Grade der Vollkommenheit der Spaltbarkeit: dieselbe ist 
vollkommen z. B. beim Kalkspat, Glimmer, Gips etc., ziemlich voll- 
kommen z. B. beim Flußspat, Rutil (in der Richtung der Prismen- 
flächen) etc.; deutlich z. B. beim Augit, Kryolith etc.; ziemlich deut- 
lich z. B. beim Nephelin, Skapolith etc. und undeutlich z. B. beim 
Granat, Fahlerz etc. Spuren von Blätterbrüchen fehlen wohl bei 
keinem Krystall. 

Diese ebenen Trennungsflächen, die Blätterbrüche, gehen stets 
(wirklichen oder möglichen) Flächen der betreffenden Krystalle parallel, 
und zwar bei allen Krystallen einer jeden hier in Betracht kommen- 
den Mineralspezies stets den* Flächen derselben einfachen Krystall- 
form. Parallel mit den sämtlichen krystallographisch gleichwertigen 
Flächen einer solchen einfachen Form geht die Spaltbarkeit auch 
stets mit derselben Leichtigkeit und Vollkommenheit vor sich. So 
sind die Blätterbrüche des Kalkspats den Flächen eines Rhomboeders 
mit dem Endkantenwinkel von 105^ 5', die des Steinsalzes und 
Bleiglanzes den Flächen des Würfels, die des Flußspats denen 
des Oktaeders parallel. Es gilt demnach das Gesetz: Geht einer 
Fläche ein Blätterbruch parallel, so geht auch allen anderen ihr 



Spaltbarbeit. 237 

gleichen Flächen ein solcher parallel, und zwar ein gleich leicht dar- 
stellbarer. Zuweilen gehen auch krystallographisch verschiedenen 
Flächen eines ErystaUs Blätterbrüche parallel, wie z. B. beim Schwer- 
spat Dann sind zwar alle diejenigen, welche gleichen Flächen ent- 
sprechen, auch gleich leicht darstellbar, aber solche, welche zu ver- 
schiedenen Flächen gehören, lassen sich verschieden leicht herstellen. 
Allgemein kann man also sagen: Gleichwertige Flächen eines Krystalls 
verhalten sich bezttglich der Spaltbarkeit einander gleich, verschieden- 
wertige verschieden. 

Die einfachen ErystaUformen, parallel mit deren Flächen Blätterbrüche von 
mehr oder weniger großer Vollkommenheit beobachtet worden sind, sind die 
folgenden : 

Regtdärta System. Würfel (Steinsalz); Oktaeder (Flnfispat); Granatoeder 
(Blende). 

Hexagonales System. Dihexaeder (Pyromorphit) ; hexagonales Prisma (Zinnober) ; 
Bhomboeder (Kalkspat); Basis (Beryll). 

Quadratisches System. Oktaeder (Scheelit); qnadr. Prisma (Butil); Basis 
(Apophyllit). 

Rhombisches System. Oktaeder (Schwefel); Prisma (Schwerspat); Pinakoid 
(Schwerspat, Topas). 

Monoklifies System. Prisma (Hornblende); Längsfläche (Gips); parallel mit 
der Achse b (Glimmer, Orthoklas). 

TriMines System. (Plagioklas.) 

An den Blätterbrüchen der verschiedenen Mineralien kann man sich ebensogut 
krystallographisch orientieren, wie an den ursprünglichen Begrenznngsflächen. Man 
kann mit ihrer Hilfe auch vielfach Individaen von Zwillingen unterscheiden. In 
ersteren gehen die Spaltungsflächen durch die ganze Masse ununterbrochen hindurch ; 
in letzteren (aber auch in Aggregaten) gehen sie bis zur Grenze der Individuen, um 
jenseits derselben in anderer Richtung weiter zu laufen. Außerdem ist die Spaltbar- 
keit eine charakteristische Eigenschaft, die in allen Exemplaren einer Spezies in 
derselben Weise wiederkehrt. Sie kann daher zur Bestimmung und Unterscheidung 
der Mineralien dienen und ist hierzu ihrer im allgemeinen leichten Erkennbarkeit 
wegen sogar ganz besonders wichtig. Man sieht hieraus, daß die Spaltbarkeit eine 
Eigenschaft von ganz hervorragender Bedeutung bei dem Studium der Mine- 
ralien ist. 

Gehen durch ein Mineral Blätterbrüche (Bl. Br.) nach mehr als 
zwei nicht in einer Zone liegenden Flächen, so kann man aus ihm ringsum 
ebenflächig begrenzte sog. Spaltungsstücke herausspalten, welche die 
Gestalt derjenigen einfachen Krystallform haben, mit deren Flächen 
die Bl. Br. parallel gehen. So gibt es z. B. beim Kalkspat rhombo- 
edrische, beim Flußspat oktaedrische, beim Steinsalz hexaedrische 
Spaltungsstiicke. Man muß sich hüten, solche mit echten Krystallen 
zu verwechseln (6). 

Ihrem physikalischen Charakter nach sind die Blätterbioiche 
Flächen, senkrecht zu welchen die absolute Festigkeit des be- 
treffenden Minerals ein Minimum, d. h. kleiner ist» als nach allen 
unmittelbar benachbarten Richtungen. Die Krystalle lassen sich somit 



238 Spaltbarkeit 

senkrecht zu diesen Flächen mit einem Minimum von Kraft aus- 
einander reißen. Aus dem Verhalten der Erystalle bezüglich der 
Spaltbarkeit ergibt sich das Gesetz, daß die Festigkeit nach gleich- 
wertigen Richtungen dieselbe, nach verschiedenwertigen Richtungen 
eine verschiedene ist, wie man durch direkte Versuche u. a. am Stein- 
salz auch zahlenmäßig festgestellt hat. Da die Blätterbrüche auf 
Eohäsions-(Festigkeits-)unterschieden beruhen, so können amorphe 
Substanzen keine solchen Erscheinungen zeigen, denn bei ihnen ist 
die Eohäsion (Festigkeit) nach allen Richtungen dieselbe (4). Blätter- 
brüche sind daher stets ein Beweis für Krystallisation. Je rascher die 
Festigkeit von der Richtung eines Minimums nach den benachbarten 
Richtungen hin zunimmt, desto vollkommener ist im allgemeinen die 
Spaltbarkeit. In einem vollkommen intakten Krystall ist von der Spalt- 
barkeit äußerlich nichts zu bemerken. Hat er aber durch eine mecha- 
nische Einwirkung schon eine Veränderung erlitten, dann ist sie viel- 
fach an geradlinigen Rissen (Spaltungsrissen) zu erkennen und man 
sieht auf diesen das lebhafte Farbenspiel des Irisierens (264) und eine 
eigentümliche Art des Glanzes, den Perlmutterglanz (258), was beides 
für vollkommene Spaltung charakteristisch ist. 

Die Blätterbrüche sind demnach keine präexistierenden Flächen 
leichtester Trennbarkeit von bestimmter Lage; es sind Richtungen 
von dem angegebenen physikalischen Charakter. Die leichte Teilung 
ist nicht auf gewisse Stellen im Krystall beschränkt, sondern unter 
Anwendung der geeigneten Hilfsmittel an jedem Punkt in der be- 
treflfenden Richtung ausführbar. Dadurch unterscheiden sich spalt- 
bare (blättrige) Mineralien von sog. geradschaligen Aggregaten (187), 
welche aus einzelnen , oft sehr dünnen parallelflächig begrenzten 
Lamellen verwachsen sind. Hier findet eine leichte Trennung nur 
nach den Flächen statt, in denen sich zwei solche Platten beruhigen, 
nicht aber auch durch deren Mitte hindurch. Die Möglichkeit der 
ebenflächigen Teilung ist demnach hier eine endliche, durch die Zahl 
der übereinander liegenden Lamellen bedingte. Bei spaltbaren Mine- 
ralien dagegen ist sie unbegrenzt; jedes Spaltungsplättchen läßt sich 
wieder weiter spalten, bis die Unzulänglichkeit der mechanischen 
Hilfsmittel eine Grenze setzt. Scheinbare Spaltbarkeit entsteht auch 
dadurch, daß einem Krystall in einer Richtung zahlreiche äußerst 
dünne Plättchen einer fremden Substanz eingewachsen sind. Nach dieser 
Richtung findet dann leicht eine ebenflächige Trennung statt, ohne 
daß sie einer Fläche geringster Kohäsion entsprechen würde, z. B. 
beim rhombischen Hypersthen nach der Querfläche. Man> pflegt dann 
von ebener oder schäliger Absonderung zu sprechen. 

(Für Spaltbarkeit siehe q. a.: Sohrike, Ztschr. f. Kryst Bd. 13. 1887. pag. 214; 
Viola, N. Jahrb. f. Min. etc. 1902. I. pag. 9; Sadebeck, Über die Teilbarkeit der 
Krystalle. Berlin 1876.) 



GldtflächeB. 239 

195. GleltflSehen. Wie es in den Erystallen Flächen der ge- 
längsten absoluten Festigkeit gibt^ parallel mit welchen durch Spaltung 
die Blätterbrüche dargestellt werden können, so existieren auch Minima 
der Festigkeit anderer Art nach anderen Flächen, in deren Bichtung 
ebene Trennungsflächen durch andere mechanische Prozesse als durch 
Spaltung hergestellt werden können, während durch Spaltung dies 
nicht möglich ist. 

Preßt man einen Steinsalzw&rfel w (Fig. 295) senk- ^^^^ 
recht zu zwei gegenüberliegenden Würfelkanten v (welche 
man zweckmäßig durch Abfeilen gerade abstumpft), so j^ 
erfolgt eine Trennung des Würfels in zwei Stücke nach 
ganz ebenen und glatten Flächen, welche der durch 
die beiden Kanten v gehenden Granatoederfläche g ^. ^^ 
parallel sind. Diese Trennungsflächen sind dadurch 
entstanden, daß infolge nie ganz zu vermeidender Unregelmäßig- 
keiten des Drucks die beiden Hälften in der Richtung der Pfeile 
gegeneinander verschoben worden sind, und man hat daher in 
dieser Granatoederfläche eine Fläche leichtester Verschiebbarkeit 
•oder leichtesten Gleitens, eine sog. Gleitfläche (Gleitbruch) zu 
sehen. Jeder Granatoederfläche des Steinsalzes geht eine Gleit- 
fläche parallel, alle lassen sich mit gleicher Leichtigkeit dar- 
stellen, und zwar so leicht, daß man zuweilen an Steinsalzstücken 
solche granatoedrischen Gleitflächen von natürlicher Entstehung in- 
folge des Gebirgsdrucks sieht, die ganz ebenso glatt und glänzend 
sind, wie Blätterbrüche. Durch keinen anderen mechanischen Prozess 
als durch das Verschieben lassen sich diese Flächen herstellen, also 
namentlich nicht durch Spalten, während man umgekehii; eine ebene 
Trennungsfläche parallel den Würfelflächen des Steinsalzes nie durch 
Abschieben erhalten kann. Man sieht hieraus, daß hier zwei ganz 
verschiedene Erscheinungen vorliegen. Gleitflächen sowohl wie Blätter- 
brüche sind wohl Flächen, nach denen eine Trennung der kleinsten 
Teilchen der Krystalle mit der größten Leichtigkeit, mit der ge- 
ringsten Kraft bewerkstelligt werden kann. Der Unterschied liegt 
darin, das beim Spalten die trennenden Kräfte senkrecht, beim Ab- 
schieben parallel zu den dabei entstehenden Trennungsflächen gehen. 
Auf der Existenz von Gleitflächen beruht bei manchen Mineralien, 
z. B. dem Gips, Glimmer, Antimonglanz etc., die Erscheinung, daß 
ihre KrystaUe z. T. eine deutliche Biegung, ja eine sehr starke 
Krümmung zeigen. Für die Gleitflächen und die ihnen entsprechende 
Gleitfestigkeit gilt genau dieselbe Gesetzmäßigkeit wie fui* die Blätter- 
brüche. Auch sie sind auf Krystalle beschränkt und ein Beweis für 
Krystallisation. 

Ähnliche aber etwas kompliziertere Erscheinungen als das Stein- 




240 Gleitflftchen. 

salz^ dem der Bleiglanz in dieser Beziehung vollkommen gleicht, zeigt der 
Kalkspat. Feilt man an zwei gegenüberliegenden Seitenecken E eines 

rhomboedrischen Spaltnngsstücks B Flächen an 
parallel zu zwei Flächen des ersten hexagonalen 
Prismas und preßt in der Bichtung der Pfeile 
(Fig. 296), so entsteht zunächst eine eingeschaltete 
Zwillingslamelle zwischen r und r^y welche in der 
FiiT^e Richtung einer Fläche des nächsten stumpferen 

Rhomboeders — ^B (0112) verläuft. Wird der 
Druck vermehrt, so findet eine Trennung des Rhomboeders in zwei Stucke 
längs einer solchen Fläche — ^jR statt, welche also ebenfalls eine 
Gleitfläche ist. Hier geht aber nun der Trennung in der Nähe der 
nachmaligen Trennungsfläche eine Umlagerung der Moleküle in eine 
Zwillingsstellung voraus, für welche ebendieselbe Fläche Zwillings- 
fläche ist (Druckzwillinge). Diese Umlagerung scheint vor der durch 
die Schiebung bewirkten völligen Trennung immer dann vor sich zu 
gehen, wenn die betreffende Gleitfläche überhaupt Zwillingsfläche sein 
kann, wenn sie also keine Symmetrieebene ist (155), so z. B. außer 
beim Kalkspat auch beim Glimmer, Cyanit etc. Beim Steinsalz etc. 
dagegen kann die Gleitfläche parallel der Granatoederfläche, da sie einer 
Symmetrieebene entspricht, nicht Zwillingsfläche sein ; hier findet also 
eine solche vorläufige Umlagerung nicht statt, sondern sofort die Trennung. 

Nach dieser Methode lassen sich in einem Eaikspatkrystall durch Pressen leicht 
ZwillingsIameUeu herstellen. Aber auch dnrch natürliche Vorgänge sind solche viel* 
fach entstanden. EalkspatkrystaUe, die dem Gebirgsdruck ausgesetzt gewesen sind, 
enthalten Lamellen nach den Flächen des nächsten stumpferen Rhomboeders stets in 
größerer Anzahl, so daß ihre Flächen (Blätterbrüche) mit feinen geradlinigen Streifen 
parallel der großen Diagonale der Spaltnngsflächen bedeckt sind, die durchaus auf 
eine natürliche Pressung zurückgeführt werden müssen. 

Noch deutlicher als durch diese Zwillingslamellen zeigt sich die Umlagerung 
durch das Verfahren von Baumhatier^ bei dem ein ganzes Stück eines großen Kalkspat- 
krystalls durch Druck zu letzterem in Zwillingsstellung nach demselben Gesetz ge- 

„1 bracht werden kann. Setzt man (Fig. 297) auf einer stumpfen 
~ Kante Ee eines Spaltungsrhomboeders von Kalkspat in M nahe 
bei der stumpfen Ecke E ein Messer senkrecht zu der Kante auf, 
und drückt dasselbe in den Krystall hinein, so wird die bei £ 
liegende stumpfe Ecke infolge der leichten Verschiebbarkeit der 
p. oQ« Teilchen in der Richtung der Fläche r nach rechts gedrängt. 

* E kommt nach E^ und das rechts liegende verschobene Stück 

befindet sich gegen das Ganze in Zwillingsstellung, wobei wieder die Fläche r des 
nächsten stumpferen Rhomboeders, welche die Kante Eie abstumpfen würde, Zwil- 
lingsfläche ist. Die stumpfe Ecke E verwandelt sich dabei in die scharfe JSJK 

(i2eu«cA, Pogg. Ann. 132 pag. 441. 1867. Sitzungsber. Berl. Ak. 1872. Bauer, 
Zeitschr. deutsch, geol. Ges. 1878 p. 283. Baumhauer, Zeitschr. Kryst. Bd. HL 588, 
1879. Bauer, N. Jahrb. Min. etc. 1882, I. Bd. 138. Müyge, ibid. 1883, I. Bd. 32, 
U. Bd. 13; 1884, I. Bd. 60 und 216 und an anderen Orten der Jahrg. 1883 u. 1884. 
Miiggt, N. Jahrb. f. Min. etc. 1898, I, pag. 71. Coromüas, Diss., Tübingen 1877.) 




EOrnerprobe. Härte. 241 

196. KOmerprobe. Eine eigentümliche Methode, Gleitf ächen und Blätter- 
brfiche darsnstellen, besteht darin, eine stampfe Stahlspitze, z. B. eine Schneider- 
n&hnadel oder einen Körner, wie ihn die Metallarbeiter verwenden, durch einen 
leichten Schlag in das Mineral einzutreiben. Für härtere Mineralien hat man anch 
eine Diamantspitze angewendet. Dabei entstehen in bestimmten Richtungen knrze, 
mit jenen Trennnngsflächen parallele Sprünge, welche auf der Fläche, auf welcher 
die Spitze aufgesetzt war, ein fttr das Mineral charakteristisches Liniensystem hervor- 
bringen. Diese Linien heißen ScMaglinien^ zusammen bilden sie die Schlagfigur, 
Setzt man den Körner auf eine Steinsalzspaltnngsfläche auf, so entstehen sechs von 
dem Angriffspunkt ausgehende und den Granatoederflächen parallel verlaufende 
Spalten, also den Gleitflächen entsprechend, und ebenso kann man die Gleitflächen 
auch beim Gips, Kalkspat etc. auf diesem Wege mittels der sog. Kömerprobe sichtbar 
machen. Legt man eine dünne Glimmerplatte (siehe Glimmer) auf eine elastische 
Unterlage, so bekommt man durch die Kömerprobe einen sechsstrahligen Stern, der 
aber einem System von Blätterbrüchen, nicht von Gleitflächen entspricht. Drückt 
man dagegen langsam auf ein solches GHmmerblättchen mit einem vom gerundeten 
Stift, so entsteht ein anderer sechsstrahliger Stem, der gegen den ersteren um 30® 
verdreht ist und dessen Strahlen Gleitflächen des Glimmers entsprechen (Drucklinien, 
Druckpgur). Die Kömerprobe ist für die krystallographische Orientierung in un- 
regelmäßig begrenzten Mineralien z. B. gerade beim Glimmer nicht ohne Wichtig- 
keit. Ob dabei in den verschiedenen Mineralien jeweilig Spaltungs- oder Gleitflächen 
hervorgebracht werden, hängt von den speziellen Kohäsionsverhältnissen des be- 
treffenden Minerals ab, ist aber für diesen praktischen Zweck gleichgültig. 

{Bausch, Pogg. Ann. 132 pag. 441; 136 pag. ^130 u. 632. 1868. Bauer, 
Pogg. Ann. 138. 1869 pag. 337. Zeitschr. d. deutsch, geol. Ges. 1874 pag. 138. 
Mugge, N. Jahrb. f. Min. etc. 1884, I, pag. 63. YergL auch die Lit in (195).) 

197. Hftrte. Die Härte ist die Eigenschaft der Mineralien, dem 
Eindringen einer Spitze eines fi'emden Körpers einen Wideratand ent- 
gegenzusetzen. Ist die Spitze härter, so dringt sie bei einem gewissen 
Druck in das Mineral ein; dasselbe wird geritzt, und zwar um so 
leichter, je größer der Unterschied der Härte ist. Ist das Mineral 
härter als die Spitze, so gleitet letztere ohne einzudringen darüber 
weg. Es ist nicht möglich, die in dieser Weise aufgefaßte Härte so 
einfach zu definieren, wie die Elastizität, die Spaltbarkeit und die 
Gleitung, da sie auf komplizierte Art von allen Äußerungen der 
Eohäsion abhängt Aber wie alle mit der letzteren zusammen- 
hängenden Eigenschaften ändert auch sie sich in krystallisierten 
Substanzen gesetzmäßig (189) mit der Bichtung. Gleichzeitig ist sie 
eine wichtige charakteristische Eigenschaft der Mineralien und wird 
daher auch praktisch zum Erkennen und Unterscheiden der ein- 
zelnen Spezies vielfach verwendet. 

Zu diesem letzteren Zweck vergleicht man die Härte des be- 
treffenden Minerals mit der Härte von zehn bestimmten verschieden 
harten und vom ersten bis zum zehnten allmählich an Härte zu- 
nehmenden Mineralien, die von Möhs nach den praktischen Bedürf- 
nissen der Mineralogie zweckmäßig ausgewählt worden sind und welche 
die Mohssche Härteskala bilden. Die Glieder derselben repräsentieren 

Bauer» Mineralogie. 16 



242 Härte. 

die Härtegrade. Diese zehn fiir die einzelnen Härtegrade typischen 
Glieder der Härteskala sind vom weichsten zum härtesten: 

1. Talk; 2. Gips; 3. Kalkspat; 4. Flußspat; 5. Apatit; 6. Feld- 
spat; 7. Quarz; 8. Topas; 9. Korund; 10. Diamant 

Der Talk ist das weichste, der Diamant das härteste der be- 
kannten Mineralien; innerhalb dieser Skala müssen also die übrigen 
alle liegen. 

Man bestimmt die Härte der Mineralien in Graden der stets 
vorrätig zu haltenden Skala, indem man mit einer spitzigen Stelle 
der Mineralien derselben von Nr. 1 anfangend und der Eeihe nach 
zu den härteren fortschreitend über eine möglichst glatte und aus- 
gedehnte Fläche des zu untersuchenden Minerals hinfährt, bis bei 
irgend einem, z. B. dem 4. Gliede der Skala, ein Ritzen erfolgt. Dann 
ist das zu untersuchende Mineral weicher als dieses letztere. Ist es 
genau so hart wie das vorhergehende, also das 3. Glied der Skala 
war, durch welches noch kein Ritzen hervorgebracht wurde, so findet 
auch kein Ritzen statt, wenn man umgekehrt über dieses letztere mit 
dem zu untersuchenden Mineral hinstreicht. Erhält man jedoch hierbei 
eine Einwirkung, so ist das Mineral des dritten Härtegrades weicher 
als das zu untersuchende, und die Härte des letzteren liegt zwischen 
der des 3. und 4. Gliedes der Skala. Man sagt im ersten Fall, das 
Mineral hat den dritten Härtegrad (H. = 3); im anderen Fall ist 
H.«»3 — 4 oder =3Va. Weitere Unterabteilungen lassen sich zwar 
schwer, aber immerhin zuweilen noch mit einiger Sicherheit fest- 
stellen: H. = 3 Vi oder 3*/4. Hierdurch soll aber nur ausgedrückt 
werden, daß die Härte des zu untersuchenden Minerals näher beim 
dritten resp. beim vierten Härtegrad liegt. 

Annähernden Aufschluß üher die Härte der Mineralien gehen folgende Be*- 
merkungen. Mineralien des .1. Härtegrades fühlen sich fettig an (Graphit, Talk); 
die des zweiten lassen sich noch mit dem Fingernagel ritzen, nicht mehr aher die 
des dritten; bis £. = 4 leicht mit einem Messer ritzbar, 5 schon nicht mehr gut, 
aber mit einer harten Feile. Für gewöhnliches Fensterglas ist ziemlich genau 
^. = 5; Mineralien, welche Fensterglas ritzen, haben also mindestens etwas mehr 
als H.s^b, Von B.,^1 an geben die Mineralien am Stahl reichliche Funken, z. B. 
Quarz. Härter als Quarz sind nur einige wenige Mineralien, meist Edelsteine 
(Edelsteinhärte), denen allen weit voran der Diamant. 

Die Mohssche Methode der Härtebestimmnng ist zwar praktisch von hohem 
Wert, aber doch zu wenig genau, als daß die Gesetze der Verteilung der Härte an 
den KrystaUen nach ihr könnten ermittelt werden. Dies ist nur bei sehr großen 
Härtedifferenzen der FaU, z. B. beim Cyanit, wo an verschiedenen Stellen die Härte 
zwischen den Graden 4 Vs und 7 schwankt, und in wenigen anderen Fällen, in denen aber 
immer die unterschiede weit geringer sind, als beim Cyanit. Bei dem rhomboedrisch 
krystallisierenden Kalkspat findet man z. B., daß die Härte am größten ist auf den 
Flächen des ersten Prismas, am kleinsten auf den Flächen des Hauptrhomboeders 
(Spaltungsrhomboeders) in der Richtung der kleinen Diagonale von der Seitenecke 
zu der Endecke; in der umgekehrten Richtung, von der Endecke zur Seitenecke, 



Härte. 248 

geht auf derselben Fläche das Ritzen schwieriger von statten. Dieser Unterschied 
entspricht der krystallographischen Verschiedenheit der beiden Richtungen längs 
der kleinen Diagonale; längs der großen Diagonale ist wie krystallographischi so 
auch in Bezug auf die Härte kein Unterschied, ob man Ton rechts nach links geht 
oder entgegengesetzt: beide Endpunkte sind Seitenecken, also gleichwertig. 

Die Möglichkeit solcher größerer Differenzen an demselben Krystall ist bei der 
Härtebestimmung mittels der Mohsschen Skala stets im Auge zu behalten, tn den 
meisten Fällen zeigen aber die Krystalle dabei überall ziemlich dieselbe Härte, da ge- 
ringere Unterschiede bei diesen verhältnismäßig rohen Versuchen nicht mehr hervor- 
treten ; es ist die charakteriatische Härte des Minerals, die durch den Mohsschen Härte- 
grad angegeben wird. Handelt et sich aber darum, behufs Ermittlung der Änderung der 
Härte auf der Oberfläche eines Krystalls auch die feineren Unterschiede festzustellen, 
so hat man zu diesen genaueren Untersuchungen besondere Instrumente, sog. Skkro- 
meter, zu benützen. Diese ermöglichen das Messen der Kraft, die nötig ist, um eine 
Spitze von Stahl oder Diamant eben noch in das Mineral eindringen zu lassen, wenn 
dieselbe in einer bestimmten Richtung über eine ebene Fläche desselben hinweg- 
gezogen wird. Die Spitze wird solange mit Gewichten beschwert, bis sie bei ihrem 
Wege eben noch einen Ritz hervorbringt, und diese Gewichte werden als Maß der 
Härte betrachtet, gleiches Material der Spitze vorausgesetzt. Auf diese Weise hat 
man ermittelt, daß die Krystalle in krystallographisch gleichen Richtungen stets 
dieselbe Härte haben; ob die Härte in ungleichen Richtungen stets verschieden ist, 
ist noch unsicher, da eben auch das Skierometer ganz kleine Unterschiede nicht mehr 
angibt; doch ist dies durchaus wahrscheinlich. 

Die Härte auf jeder Fläche kann graphisch mittels der sog. Härtekurve da- 
durch dargestellt werden, daß man die zum Ritzen in jeder Richtung nötigen Ge- 
wichte als Radien in dieser Richtung von einem gemeinsamen Mittelpunkt aus auf- 
trägt und die Endpunkte dieser Radien miteinander durch eine Linie verbindet. Die 
Härtekurven stellen die Verteilung der Härte in den verschiedenen Richtungen jeder 
Kjystallfläche unmittelbar anschaulich dar. Ihre Symmetrie ist stets dieselbe wie 
die der Fläche, auf der sie liegen. Amorphe Substanzen haben nach allen Rich- 
tungen die gleiche Härte, die Härtekurven sind demnach bei ihnen stets 
Kreise. Härteunterschiede an homogenen Körpern beweisen, daß letztere krystalli- 
siert sind. 

Vermittelst des Skierometers hat man auch die Härtegrade der Mohsschen 
Skala miteinander verglichen und gefunden, daß zwischen ihnen keineswegs gleiche 
Härteunterschiede liegen. Als allgemeines Vergleichsobjekt diente das Gußeisen, 
dessen mit dem Skierometer gemessene Härte = 1000 Einheiten (Gewichtseinheiten) 
gesetzt wurde. Dann ergaben sich die Härten anderer Objekte gemessen mit dem 
Skierometer einerseits und anderseits mit der Mohsschen Härteskala: 

Stabeisen 948 Einheiten = 5 Grad. 



Platin 


376 


n 


= 4-4'/, 


Kupfer 


301 


n 


= 2V,-3 


SUber 


208 


n 


= 2'/.-3 


Gold 


167 


n 


= 2V.-3 


Wismuth 


52 


n 


= 2". 


Zinn 


27 


n 


<=2 


Blei 


16 


n 


= 1'/. 



n 



Hieraus sieht man, daß innerhalb des Mohsschen Härteintervalls 2»/2— 3 Sklero* 
meterhärten von 167 bis 301 Einheiten mit einer Differenz = 134 Einheiten liegen 
und daß die Härteunterschiede zwischen den Mohsschen Graden in der Tat recht 
erheblich verschieden sind. Es stellen sich folgende Differenzen heraus: 

16* 



244 Härte. Zenprengbarkeit 

Zwischen IVt und 2 Grad 11 Einheiten. 

„ 2 „ 2V. „ 26 „ 
„ 2V« , 3 „ 249 „ 
, 3 „ 4V. „ 74 „ 
n ^V« »6 »673 „ 

Dnrch die genauere Härteuntersnchung mittels des Skierometers sind anch 
Begehungen zwischen der Härte und SpcUtbarkeit (194) konstatiert worden. Nur 
deutlich spaltbare Erystalle zeigen auch deutliche Härteunterschiede, und zwar findet 
man die geringste Härte auf den Flächen, die den Blätterbrüchen parallel gehen, 
die grüßte auf denen, die zu diesen senkrecht sind. Ist ein Blätterbruch senkrecht 
zu einer Erjstallfläche, so findet man auf ihr in der Richtung des Blätterbruchs die 
geringste, senkrecht dazu die größte Härte. Ist ein Blätterbruch schief zu einer 
Krystallfiäche, so daß er mit ihr einerseits eine spitze, anderseits eine stumpfe Kante 
bildet, so ist auf einer Linie senkrecht zu diesen beiden Kanten auf der Fläche die 
größte Härte zu finden, wenn man die Spitze von der Mitte nach der spitzen, die 
geringste, wenn man sie nach der stumpfen E^ante bewegt. Hier ist also ebenfalls 
auf einer Linie in beiden entgegengesetzten Bichtungen yerschiedene Härte und dies 
ist immer dann der Fall, wenn die beiden Enden dieser Linie krystallog^phisch un- 
gleichartig sind. Sind mehrere Blätterbrttche vorhanden, so summieren sich ihre 
Wirkungen auf der betreffenden Fläche. Ist nur eine einzig^ deutliche Spaltungs- 
richtung vorhanden, so sind auf ihr keine deutlichen Härtennt6rschiede zu beobachten. 

Solche Härteunterschiede an einem und demselben Krystall sind den Edelstein- 
schleifem längst bekannt. Diese haben z. B. die Erfahrung gemacht, daß sich der 
Diamant auf den Oktaederflächen viel leichter schleift, als auf den Wtlrfelflächen, 
daß erstere also erheblich weicher sind, als letztere. Schleifversuche sind auch 
schon zu vergleichenden Bestimmungen der Härte ganzer Flächen benützt worden 
und man hat auch besondere Instrumente dafür konstruiert (Usometer). Doch hat 
diese Methode bis jetzt für die praktischen Zwecke der Mineralogie noch keine Be- 
deutung erlangt, ebensowenig wie der Pfaffsche Begriff der „absoluten Härte** in 
einer linearen Richtung und der „mittleren Härte** einer Fläche und der Bestimmung 
der letzteren durch das Mesosklerometer. Dasselbe gilt auch für die von Hertz ein- 
geführte streng wissenschaftliche Definition des Begriffs der Härte in einem anderen 
Sinne, als dem obigen, nämlich als der Elastizitätsgrenze eines Körpers bei der 
Berührung einer ebenen Fläche desselben mit einer kugelförmigen Fläche eines 
anderen Körpers. (Verhandlgn. d. pbys. Ges. Beriin 1^, pag. 67, sowie Auerbach, 
Ann. d. Phys. Bd. 43, 1891,. pag. 61 Bd. 4ß, 1892, pag. 262 u. 277; Bd. 58, 1896, 
pag. 357.) Hiervon soll daher hier nicht weiter die Rede sein. 

{Exner, Untersuchungen über die Härte an Krystallflächen 1873. Franz, Pogg. 
Ann. Bd. 80, 18ö0, pag. 37. Grailich und Pekarek, Sitzgsber. Wien. Akad. 13 Bd. 
1854, pag. 410. Pfaff, Sitzgsber. München. Akad. 1883, pag. 55 u. 372, 1884, pag. 226 
(Mesosklerometer). Bosival, Verhandlgn. k. k. geol. Reichsanst. Wien. 1896 Nr. 17 
u. 18. Jannettaz, Association fran^se pour Tavancement des sdences. Aug. 1895 
(Usometer).) 

198. Zersprengbarkeit« Von der Härte im allgemeinen verschieden ist die 
Zersprengbarkeit der Mineralien, die größere oder geringere Leichtigkeit, mit der 
durch Hammerschläge Stücke losgelöst werden können. Manche Mineralien sind 
zwischen den Fingern zerreiblich, lockere Massen, z. B. Kreide. Leicht zersprengbar 
ist z. B. Schwefel, Feuerstein etc., schwer zersprengbar (fest^ zähe) z. B. Nephrit. 
Diese Eigenschaft scheint mit der Tenazität (199) und d^ Struktur in naher Beziehung 
zu stehen, l^pröde Mineralien sind häufig leichter zersprengbar als milde, dehnbare 



Tenazität. AtEfig^nren. 246 

lassen sich überhaupt nicht mehr in Stücke zerschlagen. Besonders fest und z&he 
sind gewisse yerworren fasrige Aggregate, wie z. B. der Nephrit, der sich viel 
schwieriger zertrümmern l&ßt, als kiystallisierte Hornblenden, zn denen er als Varie- 
tät gehört Auch die verschiedenen Varietäten des Quarzes zeigen sich in Bezug 
auf Zersprengbarkeit sehr verschieden, was ebenfalls mit Strukturverhältnissen zu« 
sammenhängen dürfte. Jedenfalls sind nicht immer härtere Mineralien auch schwerer 
zersprenghar (fester), als weichere. 

199. Tenazltat Unter Tenazität versteht man das auf der 
Eohäsion beruhende Verhalten der Mineralien gewissen besonderen 
äußeren mechanischen Einwirkungen gegenüber. Es zeigen sich dabei 
mancherlei charakteristische Eigenschaften, die für das Erkennen und 
Unterscheiden der Mineralkörper von Bedeutung sind und die man 
daher mit besonderen Namen belegt hat. 

Spröde heißen solche Mineralien, von denen das beim Einritzen 
mit dem Messer erzeugte Pulver unter Geräusch weggeschleudert 
wird (Feldspat, Blende etc., überhaupt die Mehrzahl der Mineralien). 
Müde sind solche, bei welchen das Pulver neben der durch das Eitzen 
entstandenen Einne ruhig liegen bleibt (Speckstein, Graphit etc.). An 
manchen Mineralien entsteht beim Eitzen überhaupt kein Pulver, 
sondern nur eine vertiefte Einne. Von solchen kann man am Eande 
Spähne abschneiden. Zerbrechen diese auf dem Amboß beim Schlagen 
mit dem Hammer, so ist das Mineral geschmeidig (z. B. Kupferglanz); 
zerbrechen sie nicht, sondern lassen sie sich zu einer Platte hämmern, 
so heißt das Mineral dehnbar (duktil) (edle Metalle); doch wird 
zwischen dehnbar und geschmeidig nicht immer scharf unterschieden. 
Mineralien, welche sich in dünnen Platten umbiegen lassen, heißen 
biegsam^ und zwar elastisch biegsam, wenn sie nach Aufhören der 
Wirkung der biegenden Kräfte ihre ursprüngliche Gestalt wieder an- 
nehmen (Glimmer) ; gemein biegsam^ wenn sie dauernd gebogen bleiben 
(Chlorit). Manche Mineralien sind nach gewissen Eichtungen biegsam, 
nach anderen brechen sie ohne Biegung durch, z. B. Gips. 

200. Atzflgruren. In nahem Zusammenhang mit den bisher be- 
trachteten Verhältnissen der Kohäsion steht das Verhalten der Mine- 
ralien gegen den Einfluß von Lösungsmitteln, durch welche die sog. 
Ätafiguten hervorgebracht werden. Diese sind mehr oder weniger 
regelmäßig geradlinig, scharfkantig und -eckig begrenzte Ver- 
tiefungen auf den Flächen der Mineralien. Sie entstehen, wenn man 
die Krystallflächen kurze Zeit mit einem passenden gasförmigen oder 
flussigen Lösungsmittel in Berührung bringt. Diese Figuren folgen 
mit ihrer Symmetrie genau der Symmetrie der Krystalle, auf denen 
sie gebildet werden. Sie werden begrenzt von kleinen Flächen, den 
Auflachen, welche parallel mit möglichen Krystallflächen in das Innere 
des Krystalls hineingehen. Die Ätzflächen liegen in bestimmten Zonen, 



246 



Ätzfiguren. 



den Ätzeonen des betreffenden Krystalls. Alle gleichen Flächen eines 
Krystalls tragen cet. par. stets die gleichen Ätzflguren, und die 
anf jeder Fläche befindlichen Figuren sind untereinander parallel und 
haben stets dieselbe Symmetrie, wie die betreffende Fläche selbst. 
Treten die Ätzfiguren dicht zusammen, so daß sie sich berühren, so 
lassen sie zwischen sich regelmäßig ebenflächig begrenzte Erhaben- 
heiten, die man Ätzhügel nennt und die gleichfalls dieselbe Symmetrie 
zeigen müssen, wie die Flächen, auf denen sie sitzen. 

So haben die drei rhomboedrischen Spaltlingsflächen des Kalkspats durch Ätzen 
mit HCl Figuren von der Fig. 298 abgebildeten Form, welche symmetrisch znr 
kleinen Diagonale dieser Flächen liegen: rechts und links gleich, oben und unten 
Terschieden ausgebildet. Eine Glimmerplatte erhält durch Ätzen mit HFl Ätzein- 
drücke, welche nur zur kleinen Diagonale der natürlichen rhomblBchen Spaltungs- 
plättchen symmetrisch sind, nicht aber zur großen, ganz der monoklinen Erystalli- 
sation des Glimmers entsprechend (Fig. 299). Die Ätzflguren auf den Pinakoidflächen 








A A. 




;• 


A 



Fig. 298. 



Fig. 299. 



Fig. 300. 



Fig. 301 



des Schwerspats sind der rhombischen Symmetrie entsprechend stets nach zwei auf- 
einander senkrechten Richtungen symmetrisch. Auf einer Prismenfläche von Apatit 
sind sie der pyramidalen Hemiedrie entsprechend oben und unten gleich, rechts und 
links verschieden (Fig. 300). Auf der Querfläche von Kieselzinkerz sind sie endlich 
rechts und links gleich, aber dem Hemimorphismus nach der aufrecht stehenden 
Achse entsprechend oben und unten verschieden (Fig. 301) etc. 

Wegen der Übereinstimmung der Symmetrie der Ätzfiguren mit 
der des betreffenden Krystalls, resp. der betreffenden Krystallfläche 
kann man aus ersterer auf letztere, also auf die Zugehörigkeit zu der 
oder jener Krystallklasse schließen. Man stellt zu diesem Zweck viel- 
fach an den Mineralien solche Figuren dar. Diese üntersuchungs- 
methode hat sogar neuerer Zeit eine erhebliche Wichtigkeit erlangt, 
und die Kiystallisation mancher Mineralien ist durch sie erst richtig 
erkannt worden. So hat z. B. die Gestalt der Ätzeindrücke auf den 
Spaltungsflächen des Glimmers zuerst auf die Vermutung geführt^ daß 
derselbe monoklin sei, und niclit rhombisch, wie man früher geglaubt 
hatte. Die Ätzflguren an dem seiner äußeren Begrenzung nach 
scheinbar hexagonal- vollflächigen Nephelin haben gezeigt, daß er mit 
Wahrscheinlichkeit pyramidal-hemiedrisch und zugleich hemimorph ist, 
also der pyramidal hemimorphen Klasse angehört Beim Quara kann 
man an den Ätzflguren die beiden korrelaten Rhomboeder voneinander 
unterscheiden und erkennen, daß er trapezoedrisch-tetartoedrisch sein 
muß. Auch für die Erforschung von Zmllingen bieten die Ätzflguren 



Ätzfi^ren. 247 

ein gutes Hilfsmittel durch ihre symmetrische Lage zur Zwillings- 
grenze statt der durchweg parallelen über die ganze Fläche weg; 
daher eignen sie sich auch vorzüglich zur Untersuchung des Baues 
mimetischer (171) Krystalle. 

Die voUkommene Übereinstimmung der Symmetrie der Ätzfignren mit derjenigen 
der Fläcbe, an! der sie liegen, zeigt, daß die Ätznng, der Angriff der KrystaUe durch 
Lösungsmittel, nach krystallographisch gleichen Richtungen gleich, nach yerschieden- 
wertigen verschieden leicht vorwärts schreitet. Durch die LOsung wird der Zu- 
sammenhang der kleinsten Teilchen der KrystaUe auf chemischem Wege aufgehoben. 
Die Ätzfiguren geben uns also einen Einblick in die chemische Kohäsion der 
•KrystaUe und zwar sind die Atzflächen solche Flächenrichtungen, senkrecht zu 
denen die Auflösung am schwierigsten fortschreitet; senkrecht zu ihnen gehen Rich- 
tungen der größten chemischen Kohäsion. Fftr letztere gelten also in ihren Be- 
ziehungen zur Krystallform dieselben Gesetzmäßigkeiten, wie fRr die mechanische 
Kohäsion. Daß auf gleichwertigen Flächen eines Krystalls die Lösung mit gleicher 
Leichtigkeit, auf verschieden wertigen in zuweilen sehr stark verschiedenem Maße 
einwirkt, kann man auch direkt zahlenmäßig nachweisen. Auf den vollkommen 
spaltbaren Rhomboederflächen R von Kalkspat (CaCO^) wird durch HCl unter 
gleichen Umständen siebenmal so viel CO^ entwickelt, als auf der Basis OR. 
Krystalle des rhombischen Äragonit (gleichfaUs CaCO^), werden auf den Prismen- 
flächen viel leichter von HCl angegriffen als auf der Längsfläche. HF wirkt auf 
die Frismenflächen beim Qitarz (StO«) viel schwieriger ein, als auf die Endflächen 
etc. Immer verhalten sich dabei aber gleichwertige Flächen ganz gleich, also alle 
Rhomboederflächen R des Kalkspats, alle Prismenflächen des Quarzes etc. Auf 
amorphen Mineralien können niemals regelmäßig ebenflächige Atzfiguren entstehen. 
Bei ihnen dringt die Auflösung stets nach allen Richtungen gleich leicht in die 
Substanz ein. 

Auch wenn nicht einzelne Krystallflächen, sondern ganze KrystaUe mit einem 
Lösungsmittel behandelt werden, tritt die genannte Gesetzmäßigkeit deutlich hervor. 
Der Angriff erfolgt dabei häufig besonders an den Kauten und es entstehen an ihrer 
Stelle Flächen, sog. Frärosionsflächen. Dabei verhalten sich stets gleiche Kanten 
gleich etc. Behandelt man z. B. einen Quarzkrystall mit HF, so werden dadurch 
die abwechselnden Kanten F/z, sowie die Kanten FjF, Fjs und r/z abgestumpft, 
j^anz wie es der trapezoedrischen Tetartoedrie des Minerals entspricht (siehe die Be- 
schreibung des Quarzes). Nicht minder beweisend sind Versuche an Kugeln, die 
aus Krystallen herausgeschnitten sind. Diese nehmen in einem Lösungsmittel all- 
mählich eine der Symmetrie der betreffenden Substanz entsprechende Form an. 
Kalkspatkugeln erhalten nach längerem Liegen in HCl rhomboedrische Formen etc. 

Die Ät^eindrtlcke sind im allgemeinen um so schärfer, je kleiner sie sind und 
durch je kürzere Einwirkung des Lösungsmittels sie entstanden sind. Einige Augen- 
bUcke der Einwirkung des letzteren genügen vielfach. Verlängert man die Ein^ 
Wirkung, so werden die Figuren groß, aber unregelmäßig und verschwommen. 
Manchmal sind sie von mikroskopischer EUeinheit und werden dann gerne in Hausen- 
blasenabdrücken der Flächen beobachtet. Ihre spezielle Gestalt auf einem Mineral 
hängt z. T. von der Natur und von der Koncentration des Lösungsmittels ab, aber 
für aUe Lösungsmittel sind die Verhältnisse der Symmetrie so, wie wir sie oben 
kennen gelernt haben. Als gasförmiges Lösungsmittel dient u. a. der Sauerstoff, 
so beim Glühen eines oxydierbaren Körpers, z. B. des Diamants, an der Luft. 

Viele kleine Ätzfiguren auf einer Fläche beeinflussen die Reflexion des Lichts 
auf dieser. Die Folge davon ist häufig eine charakteristische Art von Glanz, den 
man Krystalldamast genannt hat, sowie eigentümlich gestaltete Reflexbilder 



248 Verwittenmg. Yerst&abuiig. OptiBche Eigenschaften. 

einer Lichtflamme, die Lichtfiffuren, die gleichfalls in derselben Weise symmetrisch 
gestaltet sind, wie die Flächen, auf denen sie erscheinen. 

Viele Mineralien (Kalkspat, Flußspat, Qnarz, Topas, Schwerspat etc.) zeigen 
nicht selten natürliche Ätzfignren, hervorgebracht durch die Gebirgsfeuchtigkeit und 
andere natttrliche Einflüsse. Dieselben sind meist groß und ihre Begrenzung ist 
unregelm&ßig und undeutlich. Durch längeres Andauern solcher natürlicher Atzung 
werden die Krystalle nicht selten ganz zerfressen (korrodiert) und gleichen dann 
Krystallskeletten (177). 

(Leydolt, Sitzungsber. Wiener Akad. Bd. 15. 1865. pag. 59 und 19. 1855. pag. 70; 
Baumhauer, Zusammenfassung zahlreicher Arbeiten in : die Resultate der Atzmethode 
in der krystallographischen Forschung, 1894; ExncTf Sitzungsber. Wiener Akad. 69. 
pag. 6; Birschwald, Fogg. An. Bd. 137. 1869. pag. 248; G. Rose, Sitzungsber. 
Berl. Akad. 1872. pag. 520; Tschermak, Min. u. petr. Mittig. Bd. 4. 1882. pag. 99; 
Becke, ibid. Bd. 5. 1883. pag. 457; 6. 1886. pag. 237; 7. 1886. pag. 200; 8. 1887. 
pag. 239; 9. 1888. pag. 1; Bamberg, Geol. Foren i. Stockholm FörhandL, Bd. 12. 
1890. pag. 617; Bd. 17. 1895. pag. 53 u. 453; und noch viele andere Aufsätze, die 
z. T. noch bei der Beschreibung der einzelnen Mineralien genannt werden sollen.) 

200 a. Terwittenmg. Terstäabiing« Mit der chemischen Eohäsion hängt 
auch der Wasserverlust zusammen, den manche Ersrstalle schon bei niederer Tempe- 
ratur erleiden und der einen Teil der Verwltterungsprozesse (310) bildet. Man hat 
die Erscheinung auch wohl als Verstaubung bezeichnet. Der Vorgang beginnt zu- 
weilen wie die Auflösung (200) von einzelnen Punkten der Oberfläche und schreitet 
Ton hier aus allmählich vorwärts, bis das ganze Stück entwässert und gleichzeitig 
in ein trübes Pulver zerfallen ist. Um die Anfangsstellen bilden sich zunächst rund- 
liche, halbkugelfBrmig oder ellipsoidisch erscheinende mit diesem trüben Pulver er- 
füllte Vertiefungen, die sog. VeruntterungseUipsoide, die erst punktförmig klein sind 
und allmählich immer größer werden, bis sie sich berühren und schließlich die ganze 
Krystalloberfläche bedecken. Bei Entfernung des Pulvers sieht man in ihnen zu- 
weilen deutliche ebene Begrenzungsflächen, so daß sie der Form nach ganz den Ätz- 
figuren entsprechen. Sie sind dann auch denselben Gesetzmäßigkeiten unterworfen, 
wie diese. An künstlichen Erystallen von Alaun, Eupfer- und Eisenvitriol etc. ent- 
stehen die Verwitterungsellipsoide sehr häufig. An eigentlichen Mineralien ist es 
seltener der Fall, doch lassen sie sich an ihnen zuweilen künstlich herstellen, wie 
z. B. am Gips durch vorsichtiges Erwärmen. 

(Pape, Fogg, An. 124. pag. 329 und 125. 1865. 513; Sohrücey Zeitschr. f. Eryst 
Bd. 4. 1880. 225; Blasius, ibid. Bd. 10. 1885. pag. 221; Bouman, Min. Mag. 
Nr. 58. 1900. pag. 353.) 

Opttsche Eigenschaften. 

Von allen physikalischen Eigenschaften sind die optischen diejenigen, deren Be- 
ziehungen zur Erystallform am eingehendsten studiert und am leichtesten und ein- 
fachsten, wenigstens an durchsichtigen Erystallen, zu konstatieren sind. Sie dienen 
daher vielfach zur Kontrolle der krystallographischen Untersuchungen unvollkommen 
ausgebildeter Erystalle und erlauben sogar häufig die Erkennung des Erystall- 
Systems an solchen, die gar keine regelmäßigen Formen mehr erkennen lassen. Die 
optischen Verhältnisse sind somit von besonderer Wichtigkeit und sollen daher ein? 
gehender besprochen werden, als die anderen physikalischen Eigenschaften. 

201. Isotrop. Anisotrop. In Bezag auf die Art der Fort- 
pflanzung einer im Innern einer Substanz erregten Lichtbewegung 
unterscheidet man in optischer Hinsicht zwei Klassen von Körpern: 



Isotrope Medien. 249 

1. Isotr&pe. Bei ihnen hat der Äther nach allen Blchtnngen hin 
dieselbe Elastizität ; das Licht pflanzt sich daher nach allen Richtungen 
mit derselben Geschwindigkeit fort (Gase, Flüssigkeiten, amorphe 
Körper, reguläre Krystalle). 

2. Anisotrope (heterotrope). Bei diesen ändert sich die Elasti* 
zität des Äthers mit der Richtung, die Fortpflanzungsgeschwindigkeit 
des Lichts ist also für Schwingungen nach verschiedenen Richtungen 
verschieden. (Alle Krystalle außer den regulären.) 

202. Welle. Strahl. Eine in einem beliebigen Punkt im Innern 
einer Substanz erregte Lichtbewegung pflanzt sich durch die Quer- 
schwingungen des Äthers nach allen Seiten fort, und in jedem ein- 
zelnen Moment ist die Bewegung in jeder Richtung bis zu einem 
bestimmten Punkt gelangt. Die Fläche, welche alle diese Punkte 
verbindet, heißt die WeVerifiäche (Strahlenfläche) der Substanz. Der 
erregte Punkt ist der Mittelpunkt derselben, ihre Gestalt ist die 
nämliche für alle Exemplare derselben Substanz und in jedem ein- 
zelnen Stück für jeden Punkt desselben als Mittelpunkt. Alle auf der 
Wellenfläche liegenden Punkte befinden sich im gleichen Schwin- 
gnngszustand. Die gerade Fortpflanzungsrichtung vom Gentrum der 
Wellenfläche nach einem Punkt derselben heißt ein Strahl. Die 
Richtung der Wellenfläche in diesem Punkt wird durch die Tangential- 
ebene derselben gegeben. Das vom Mittelpunkt auf diese Tangential- 
ebene gefällte Lot ist die WeOennormale, sie gibt die Richtung an, 
in welcher die Welle an dem betreffenden Punkt vorwärts schreitet. 

Strahlen nach benachbarten Punkten der Wellenfläche divergieren 
unter einem gewissen Winkel, welcher um so kleiner ist, je weiter 
sich die Welle vorwärts bewegt hat. Ist die Welle unendlich weit 
fortgeschritten, so werden diese Strahlen parallel und das betreffende 
Stück der Wellenfläche wird eben. Eine ebene Welle besteht also 
aus einem Bündel paralleler Strahlen. 

Sehr weit entfernte LichtqneUen, z. B. die Sonne oder anch entfernte terrestri- 
sche Lichtquellen, liefern sehr annähernd parallele Lichtstrahlen; die Kollimatoren 
sind zur Herstellung yon Bündeln paralleler Lichtstrahlen bestimmte Instrumente 
(siehe Beleuchtnngsfemrohr des Goniometers etc. (16)). 

Isotrope Medien. 

Verhalten sich nach aUen Richtungen optisch gleich. In regulären Erystallen 
ist also jede krystallographische Symmetrieebene auch eine für die optischen Ver- 
hältnisse, aber nicht umgekehrt. Jede beliebige Ebene ist eine Symmetrieebene für 
die letzteren. Die optische Symmetrie, bestimmt durch unendlich yiele Symmetrie- 
ebenen, ist demnach höher als die krystallographische. 

aOS. Fortpflanznngsgeschwindigkeit. Da in isotropen Sab- 
stanzen die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichts nach allen 



250 Isotrope Medien. 

Richtungen dieselbe ist, so ist die Wellenfläche eine Kugel und die 
Strahlen fallen stets mit den entsprechenden Wellennormalen zu- 
sammen, denn die Eugelfläche ist ja in jedem Punkte senkrecht zum 
betreffenden Eadius. 

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v einer in einem isotropen 
Medium sich fortpflanzenden ebenen Welle geht nach der Formel: 

t; = 1/ — vor sich, wo e die Elastizität des Äthers und d die Dichte 

djsselben bedeutet. Nach der Annahme von Fresnel ist in allen 
isotropen Substanzen die Elastizität des Äthers die gleiche, seine 
Dichte d dagegen in verschiedenen Substanzen verschieden. Man 
unterscheidet danach optisch mehr oder weniger dichte Körper. In 
dichteren Substanzen pflanzt sich das Licht langsamer fort als in 
dünneren, z. B. ist Wasser (!; = 225000 Kilometer) dichter als Luft 
{v = 300 000 Kilometer). Alle Mineralien sind optisch dichter als Luft 

204. Reflexion. Trifft eine ebene Welle die ebene Grenzfläche 
zweier durchsichtiger isotroper Körper, z. B. von Luft und Steinsalz, 
unter irgend einem Winkel, so dringt ein Teil der Welle in die 
zweite Substanz ein, der andere Teil wird an der Grenzfläche in das 
erste Mittel zurückgeworfen (reflektiert). Die Reflexion geht nach 
dem bekannten Gesetze in der Art vor sich, daß die Normale der 
reflektierten Welle in der Einfallsebene liegt und mit dem Einfalls- 
lot denselben Winkel macht wie die Normale der einfallenden Welle, 
und dasselbe gilt auch für die einzelnen Strahlen der beiden ebenen 
Wellen. Hierauf beruht das Reflexionsgoniometer (14), das übrigens 
auch zur Messung der Flächenwinkel an anisotropen Krystallen be- 
nutzt werden kann, da auch die Reflexion einer aus Luft einfallenden 
Lichtwelle an Flächen anisotroper Krystalle nach demselben Gesetz 
vor sich geht. 

Die Reflexion des Lichts geht in voller Gesetzmäßigkeit nur vor sich, wenn 
die reflektierende Fläche Yollkommen eben und glatt ist. In diesem Fall entsteht 
von einem gespiegelten Objekt, z. B. von einer Lichtflamme, ein scharfes und rich- 
tiges Bild. Unregelmäßigkeiten der Flächen veranlassen Störungen im Zustande- 
kommen der Bilder. So wird z. B. durch eine Flächenkrümmung das Spiegelbild in 
der Eichtung der Krümmung auseinander gezogen; auf rauhen Flächen entstehen 
nur undeutlich umgrenzte Spiegelbilder. Zerfällt eine Fläche in mehrere nicht voll- 
kommen parallele Facetten, so gibt jede Facette ein besonderes Spiegelbild, die 
Fläche reflektiert dann mehrere Bilder desselben Objekts etc. Durch derartige Un- 
regelmäßigkeiten wird die Genauigkeit der Winkelmessung mit dem Reflexions- 
goniometer vielfach sehr beeinträchtigt. 

Durch gewisse bestimmte Unregelmäßigkeiten der Erystallflächen werden viel- 
fach eigentümlich gestaltete, von der Beschaffenheit der Flächen abhängige Reflex- 
bilder von Lichtflammen (sog. Lichtfiguren) erzeugt, die man namentlich auch oft 
auf durch Ätzen künstlich matt gemachten Kryatallflächen beobachtet, und welche 
in derselben Weise symmetrisch gestaltet sind, wie die Erystallflächen selbst (200). 





Reflexion. Refraktion. 251 

205. Refraktion. Der Teil einer an der ebenen Grenze zweier 
isotroper Medien in schiefer Richtung ankommenden ebenen Welle, 
welcher in das zweite Medium eindringt, wird dabei aus seiner 
ursprünglichen Eichtung abgelenkt (gebrochen), er erleidet eine 
Refraktion. Diese findet nicht statt, wenn die ankommende Welle 
senkrecht einfällt; in diesem Fall geht die Welle im zweiten Medium 
in der ursprünglichen Richtung weiter. Bei jeder Refraktion liegt 
dem Brechungsgesetze zufolge die Normale der einfallenden und die 
der gebrochenen Welle oder, was hier dasselbe ist, der einfallende 
und der gebrochene Strahl in der Einfalls- l| 
ebene. Macht die Normale der einfallen- 
den ebenen Welle (der einfallende Strahl) AO 
(Fig. 302) mit dem Einfallslot LL^ (der Nor- 
male zur Grenzfläche MM) den Einfallswinkel 
i und die Normale der gebrochenen ebenen 
Welle (der gebrochene Strahl) OC den Brechungswinkel r, so ist stets : 

• • 

— — = n, wo n eine konstante von dem Einfallswinkel i unabhängige 
stn r ^ ° ° 

Zahl ist, die der Brechungshoeffisfient (Brechungsindex) der zweiten 

Substanz Z>, gegen die andere L heißt. Er ist abhängig von der 

Natur der beiden Medien und von der Farbe (Schwingungsdauer oder 

Wellenlänge) des angewendeten Lichts. Man pflegt den Brechungs- 

koefflzienten meist anzugeben für den Fall, daß das erste Medium 

Luft ist, und wenn von dem Brechungskoefflzienten einer Substanz 

ohne speziellere Angabe die Rede ist, so meint man stets diesen. Der 

absolute Brechungskoeffijsietd einer Substanz ist dagegen derjenige, 

welcher sich beim Übergang des Lichts aus einem luftleeren Raum 

(aus dem freien Äther) in diese ergibt. 

Die Brechnngskoeffizienten der Mineralien Bind alle ^ 1 ; sie schwanken bei 
isotropen zwischen : n = 1,3305 (Wasser) und n = 2,849 (Rotkupfererz). Werte, 
welche sich der 2 nähern oder sie gar überschreiten, sind nicht sehr häufig. 

Sind Vj und r, die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten des Lichts 

im ersten und zweiten Medium, so ist: n=-. — = — . So ist z. B. 

800000 
der Brechungskoefftzient von Wasser gegen Luft: ^ = ööTooö ^^ ^'^^ 

= "0- ca. und da v« =— , so ist auch: 225000 = — ttk — = -^-i 

3 * n' 4/3 4 

Wenn das erste Medium wieder Luft ist und wenn die Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit des Lichtes in der Luft : r^ = 1 gesetzt wird, dann 



ist 



: n = — oder t?2 = — , d. h. der Berechnungskoefflzient ist der 



v^ n 



reziproke Wert der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichts im 
zweiten Medium, und umgekehrt. 



252 Isotrope Medien. 

Aus der Formel: n = —. — = -i ergeben sich die speziellen Ver- 

«n r t?2 ® 

hältnisse der Brechung, je nachdem das Licht ans einem optisch 
dttnneren in ein dichteres Medium übergeht oder umgekehrt Ist das 
erste Medium das dünnere, dann ist v, ^t;,, also n^l und i'^r. 
Der gebrochene Strahl OC liegt dem Einfallslot näher, als der ein- 
fallende OA, das Licht wird nach dem Einfallslot hin gebrochen 
(Fig. 302). Ist umgekehrt das erste Medium das dichtere, dann ist 
^i<*^9> somit w<l und i<r. Der gebrochene Strahl OC liegt von 
dem Einfallslot femer, als der einfallende OA, das Licht wird von 
dem Einfallslot weggebrochen (Fig. 303). Wenn beide Medien gleich 
dicht sind, findet beim Übergang überhaupt keine Ablenkung statt 
Ist beim Übergang von einem Medium A in ein zweites B der 
Brechungskoeffizient =.n, dann ist er beim umgekehrten Übergang 

von -B in -4 = —, und wenn das Licht von A aus den Weg AOG 

durchläuft (Fig. 302, 303), dann durchläuft es von C ausgehend den- 
selben Weg COAj aber in umgekehrter Richtung. 

Je größer der Unterschied der Dichte in beiden Medien ist, desto 
größer ist der Brechungsindex. Haben zwei Substanzen verschiedene 
BrechungskoeMzienten gegen Luft (oder eine beliebige andere dritte 

isotrope Substanz), dann ist nach der Formel n = — die Substanz 

mit dem größeren Brechungskoeffizienten die dichtere, und umgekehrt. 

206. Dispersion. Der Brechungskoeffizient ist von der Farbe 
d. h. von der Wellenlänge des Lichts abhängig und also nur durch 
Angabe der Art des Lichts vollkommen bestimmt Er ist am kleinsten 
für rotes, am größten für violettes Licht Eine Welle roten Lichts 
wird ceteris paribus weniger stark abgelenkt, als eine Welle violetten 
Lichts. Fällt ein Bündel weißer Lichtstrahlen ein, so wird es bei 
der Brechung zerlegt und die verschieden stark abgelenkten roten 
bis violetten Strahlen folgen in ununterbrochener Eeihe nebeneinander. 
Diese Erscheinung heißt die Farbeneerstreuvmg oder Dispersion, Je 
mehr sich dabei die roten von den violetten Strahlen entfernen, 
desto stärker ist die Dispersion. Diese wird durch die Differenz 
der Brechungskoeffizienten für rotes und violettes Licht gemessen 
(vergl. 209). 

Nach Cauchy mid die Abhängigkeit der absoluten Brechnngskoeffizienten n 
einer Substanz ron der Farbe des betreffenden Lichts (WeUenlänge A im freien Äther) 

ausgedrückt durch die Formel :»» = « + ^ , wo a und ß zwei von der Natur der 

Substanz abhängige konstante Koeffizienten sind. Kennt man n einer Substanz für 
zwei Terschiedene Farben (fttr zwei Werte von X), so erhält man zwei spezieUe 




Dispersion. Polarisation. Planparallele Platte. 253 

Gleichimgen, welche «und ß ergeben. Mit deren Hilfe läßt sich dann ans der 
Formel fttr jedes weitere X (jede andere Farbe) der zugehörige Brechnngskoeffisient 
n berechnen. 

207. Polarlsatioii. Wenn an der ebenen Grenzfläche zweier 
dnrchsichtigen isotropen Medien einfallendes Licht teils reflektiert^ 
teils gebrochen wird, so sind diese beiden Teile des einfallenden 
Lichts, der reflektierte nnd der gebrochene, polarisiert, und zwar 
senkrecht zueinander; das reflektierte Licht in der Einfallsebene, das 
gebrochene in einer darauf senkrechten. Die Schwingungen des re* 
flektierten Lichts gehen also (nach Fresnel) senkrecht, die des ge- 
brochenen Lichts parallel mit der Einfallsebene vor sich. Bei den 
meisten Einfallswinkeln ist jedoch die Polarisation im reflektierten 
Lichte nur eine teilweise, es ist dem polarisierten Licht 
natürliches beigemischt. Vollständig flndet die Polari- 
sation des reflektierten und des gebrochenen Lichts 
nur statt, wenn die reflektierten Strahlen OB auf den 
gebrochenen OG senkrecht stehen (Fig. 304). In diesem 
Fall ist r = 90<> — i, also: ^^' ^• 

sin i-=n «in ra=w sin (90® — i) =n cos % oder: n = ^ ♦. 

Der Einfallswinkel i, welcher diese Gleichung befriedigt, bei 
welchem also vollständige Polarisation des reflektierten Lichts statt- 
findet, heißt der Pölarisationsmnkel der betreffenden Substanz. Er ist 
z. B. für Glas =54V/, fttr Diamant =68<> 1' flir Licht von mittlerer 
Brechbarkeit (grün). 

Vollständige Polarisation namentlich auch des hindurchgegangenen Lichts kann 
ttbrigens auch bei anderen Einfallswinkeln erhalten werden, wenn man statt einer 
einfachen Platte z. B. von Glas ein System übereinander geschichteter Glasplatten, 
einen sog. Glassatz anwendet, dessen einzelne Scheiben wiederholte Eeflexionen und 
Brechungen veranlassen. Solche Glassätze werden zuweilen als polarisierende Appa- 
rate statt der Nicols (219) verwendet. Der Polarisationswinkel i kann bestimmt 
und aus ihm der Brechungskoeffizient n ermittelt werden nach der Gleichung: 
ni=tgi; doch ist diese Methode, die Brechungskoeffizienten zu bestimmen, ungenau 
und wenig ausgebildet, [ßeehtck^ Pogg. Ann. 20, 18B0, 27.) 

206« Planparallele Platte. Nach den Anseinandersetzungen in 
(205) kann man sich die Vorgänge klar machen, welche man be- 
obachtet, wenn das Licht eine planparallele Platte MN eines Minerals, 
die ttberall von Lnft umgeben ist, durchstrahlt (Fig. 305). 
Der unter dem Einfallswinkel i auf der Fläche NN^ an- 
kommende Strahl AB wird unter dem Brechungswinkel r 
nach BC gebrochen ; er kommt an der Fläche MM^ unter 
dem Einfallswinkel r an und wird beim Austritt unter „, ^^ 
dem obigen Winkel i nach CD gebrochen, so daß ^' 
AB II CD. Wenn ein Strahl also nach dem Durchgang durch eine 
planparallele Platte in dasselbe Medium austritt, aus welchem er ein- 




254 Isotrope Medien. 

getreten war, so geschieht dies ohne Ablenkung aas seiner ursprüng- 
lichen Eichtüng, es findet nur eine geringe seitliche Verschiebung 
des Strahles statt Man kann also stets planparallele Glasplatten 
(Objektträger, Deckgläschen etc.) in den Gang der Lichtstrahlen ein- 
schalten, ohne daß dadurch eine Ablenkung des Lichts erfolgt. 

Dasselbe findet statt, wenn man drei oder mehrere verschiedene plauparaUele 
Platten, z. B. Glastafeln oder eine Tafel von Glas nnd eine solche von einer anderen 
durchsichtigen Substanz, übereinander legt. Aach in diesem Falle erleidet ein hin- 
durchgehender Strahl beim Austritt in dasselbe Medium (Luft) keine Ablenkung. 
Daraus läßt sich ermitteln, daß, wenn tn und n« die Brechungskoeffizienten zweier 
Substanzen A und B (gegen Luft) sind und n^ der Brechungskoeffizient beim Über** 

gang aus der ersten A in die zweite B, man erhält: na = -- , wo n, ^1, aber n^ 

und n^ stets >> 1. Ist z. B. der Brechungskoeffizient von Wasser: ni = 1,3305, der 

von Flußspat n^ = 1,433 (gegen Luft), so ist der Koeffizient beim Übergang von 

ru 1433 
Wasser in Flußspat (von Flußspat gegen Wasser) : = — = ' = 1,077. Diese 

Formel gibt auch den absoluten Brechungskoeffizienten (n«) einer Substanz, wenn 

der gewöhnliche Brechungskoeffizient derselben (gegen Luft) (n^) und der absolute 

Brechungfikoeffizient der Luft gegeben ist. Letzterer ist ein für allemal bekannt 

= 1,000294; (bei 0» C und 760«"» Druck), der Koeffizient für den Übergang aus 

l no 
Luft in den freien Äther ist also : n^ = ^ nmo bj. » so^it ng = ^ — ~ 1,000294 n^. 

i;ÖÖ0^94 
Der absolute Brechungskoeffizient des Wassers ist danach = 1,000294. 1,33Q5 
= 1,3311. 

209. Prisma. Geht dagegen ein Lichtstrahl durch einen von 
zwei konvergierenden ebenen Flächen begrenzten Körper, ein sog. 
Prisma hindurch, so wird er beim Wiederaustritt in die Luft nicht 
mehr in seine ursprüngliche Richtung zurückgeführt, sondern in der- 
selben Ebene noch weiter aus ihr abgelenkt. 

Man läßt die Lichtstrahlen meist zur brechenden Kante senkrecht 
auf die erste Fläche des Prismas einfallen. Der Durchschnitt des 

Prismas durch eine zu dieser Kante senkrechte Ebene 
sei MNP (Fig. 306), N sei die brechende Kante. Fällt 
ein Strahl roten Lichts in der Sichtung AB ein, so wird 
er nach BCr gebrochen und verläßt das Prisma in der 
Richtung CrDr und ABCrDr liegt in jener zur brechenden 
Kante senkrechten Ebene. Der Winkel A^ErDr = «r, den 
Fig. 306. der austretende Strahl CrDr mit dem einfallenden AB macht, 
heißt die Ahlmhung des Strahls. Fällt nach AB ein Strahl violetten 
Lichts ein, so wird dieser in B stärker, nach BC^ gebrochen und verläßt 
das Prisma nach einer abermaligen stärkeren Brechung bei C» in der 
Richtung CDp. Auch ABCJ), liegt in der Ebene ABCrDr. Die Ab* 
lenkung ist hier a„ = A^EJ)„ und zwar ist stets ar>«r. Läßt man 
auf dasselbe Prisma in der Richtung AB ein Strahlenbündel weißen 




Prisma. Totalreflexion. 255 

Lichts einfallen, so wird dasselbe infolge der Dispersion zerlegt (206). 
Die dabei entstehenden roten Strahlen werden wieder nach CrDr, die 
violetten nach CpDp gebrochen, die gebrochenen Strahlen der zwischen- 
liegenden Farben liegen zwischen diesen beiden Geraden in derselben 
Ebene mit ihnen. Wenn man diese zerlegten Strahlen auffängt, so 
entsteht ein Spdctrum, dessen rotes Ende der ursprünglichen Einfalls« 
richtung stets näher ist, als das violette. Je weiter vom roten Ende 
das violette entfernt ist, je länger das Spektrum ist, desto größer ist 
die Dispersion der Substanz ; diese ist z. B. beim Diamant viel größer 
als beim Steinsalz. Sie wird durch die Differenz des Brechungs* 
koeffizienten für rotes und violettes Licht gemessen. Eine plan« 
parallele Platte kann kein Spektrum geben, weil das beim Eintritt 
zerlegte weiße Licht beim Austritt sich wieder vereinigt, wodurch 
das ursprungliche Weiß wiederhergestellt wird. 

Die Ablenkung eines Lichtstrahls durch das Prisma ist für jeden 
Einfallswinkel eine andere. Sie ist ein Minimum, wenn der Strahl im 
Innern des Prismas gegen beide brechenden Flächen 
gleich geneigt ist, wie der Strahl BC in Fig. 307. Dann 
macht auch der einfallende Strahl z. B. ArB mit der 
Ebene MN des Prismas denselben Winkel, den der ent- 
sprechende austretende Strahl CDr mit der Ebene NP 
macht. Die Minimalablenkung ist für Prismen aus der- 
selben Substanz um so gi*ößer, je größer der brechende p. ^^ 
Winkel MNP des Prismas ist. Ein violetter Strahl 
JÜ^, der durch das Prisma nach BC hindurchgehen soll, muß nach 
dem Obigen mit BC einen etwas größeren Winkel machen, als ein 
roter Strahl ArB\ entsprechend ist es mit den austretenden Strahlen 
CDf, und CDr. Bei der Minimalablenkung ist ArBCDr der Gang 
eines Strahles von rotem, A^BCD^ der eines Strahles von violettem 
Licht 

210. Totalreflexion. Tritt ein Lichtstrahl AB (Fig. 308) aus 
einem dichteren Medium in ein dünneres nach J?(7, so ist i •< r (205). 
Fällt ein zweiter Strahl A^B unter einem größeren Ein- 
fallswinkel A^BL ein, so wird er nach BC^ gebrochen; 
der Brechungswinkel C^BL^ ist ebenfalls größer geworden. 
Nimmt so der Einfallswinkel stetig zu, so geschieht dies 
auch beim Brechungswinkel und bei einem gewissen Ein- „. "^^^ 
faUswinkel A^BL wird der betreffende einfallende Strahl 
A^B nach BD in der Richtung der Trennungsfläche DD^ beider 
Medien gebrochen: der Brechungswinkel ist für diesen Fall =DBL^ 
= 90^ Wird nun der Einfallswinkel noch größer, fällt z. B. ein 
Strahl in der Sichtung MB ein, so wird derselbe überhaupt nicht 
mehr gebrochen, sondern der einfallende Strahl wird in B^ ohne daß 





256 Isotrope Medien. 

eine Lichtbewegung in das zweite, dünnere Medium eintritt, nach dem 
gewöhnlichen Brechnngsgesetz vollständig und ohne Schwächung in der 
Richtung BN reflektiert und kehrt in das erste dichtere Medium 
zurück, so daß ^NBL = ^MBL. Diese Erscheinung heißt die 
Totalreflexion. Der Einfallswinkel A^BL, für welchen der Brechungs- 
winkel DBLi = 90® ist, heißt der Grensncinkd der totalen Beflexion. 

1 * * 

Für diesen Grenzwinkel ist : — = . ^^ = «w i> wenn n den 

n s%n 90*^ 

Brechungskoefifizienten aus dem dünneren in das dichtere Medium be- 
deutet, so daß also n ;> 1. Je größer der Brechungskoefßzient, desto 
kleiner ist der Grenzwinkel A^BL, bei desto steilerem Einfallen wird 
das Licht bereits total reflektiert. Für Wasser mit dem Brechungs- 
koefi^ienten n = 1,33 ist der Grenzwinkel A^BL «= 48® 35'. Beim 
Diamant, wo n = 2,5, ist letzterer nur nahe =24®. 

Totalrefiezion ist nnr mOglich, wenn Lichtstrahlen von einem dichteren Medium 
her an der Grenze gegen ein dünneres Medinm ankommen. Beim Übergang ans 
einem dünneren in ein dichteres Medium kann niemals Totalreflexion eintreten« 
Wenn in diesem Falle der Einfallswinkel seinen größten Wert: i = 9(P erreicht hat 
(streifende Incidenz), ist stets noch der Brechungswinkel r <^ 90^. Aus einem 
dünneren Medium kann somit das Licht stets in ein dichteres eintreten. 

211. Brechnngskoefflzienten. Ein isotroper Körper ist in der 
Hauptsache optisch bestimmt, wenn man seine Brechangskoef&zienten 
für die verschiedenen Farben kennt. Diese und damit implicite die 
Lichtgeschwindigkeit in der betreffenden Substanz werden nach ver- 
schiedenen Methoden ermittelt (vergl. außerdem 207), die alle ergeben, daß 
in jeder isotropen Substanz die Brechnngskoeffizienten stets denselben 
Wert haben und daß sie von der Richtung der Schwingungen ganz 
unabhängig sind. Hieraus folgt, daß auch die Elastizität des Äthers 
in den isotropen Körpern nach allen Sichtungen dieselbe ist Dies 
entspricht ja auch der oben zu Grunde gelegten Annahme von Fresnel, 
deren Zulässigkeit damit bewiesen ist. 

1. Methode mit dem Prisma, Aus der Substanz wird ein Prisma 
mit zwei vollkommen glatten und ebenen und möglichst großen 

Flächen, die miteinander den brechenden Winkel ß 
machen, geschliffen (Fig. 309). Das Prisma wird so auf 
dem Objekttisch eines Qoniometers (16) befestigt, daß 
die brechende Kante der in gelegenen, in der Ver- 
längerung durch das Prisma hindurchgehenden Dreh- 
achse des Instruments parallel ist. Es ist dabei gleich- 
gültig, welche Lage die Flächen des Prismas und 
ihre brechende Kante im Krystall haben; stets erhält 
man dieselben Brechungskoeffizienten. Auf die erste 
Prismenfläche fällt ein Bündel paralleler Lichtstrahlen AB durch 




Bestimmung der Brechnngakoeffizienten. 257 

einen anf die Drehachse gerichteten Kollimator AS mit einer der 
brechenden Kante parallelen Spalte A, Diese Strahlen werden nach 
BC gebrochen und treten nach CD^ aus. Man kann nun den Träger mit 
dem Prisma leicht so drehen, daß dabei die Ablenkung ein Minimum 
wird. Die Kichtung des Strahls CB^ für die Minimalablenkung wird 
durch das ebenfalls auf die Drehachse gerichtete Femrohr bei D^ 
fixiert. Dieses muß aber um den Winkel Dj OB = a um die Achse 
bis in die ursprüngliche Richtung OD des einfallenden Strahls gedreht 
werden, indem man nach Wegnahme des Prismas die Spalte bei A 
anvisiert, und dieser Winkel a ist die Ablenkung. Aus den Winkeln 
et und ß ergibt sich dann: 

sin ic (a-\- ß) 
Sin ^ß 

Der brechende Winkel ß darf nicht zu groß sein, weil sonst der Strahl BC 
wegen Totalreflexion (210) nicht ans dem Prisma austreten kann. Für jede Farbe 
ist der EiufaUswinkel bei der Minimalablenkung ein anderer (209), daher ist für jede 
Farbe die Minimalablenknng besonders aufzusuchen und einzusteUen. Eine kleine 
Ungenauigkeit in der Einstellung des Prismas auf die Minimalablenkung bat auf 
den Wert von n nur einen geringen Einfluß. Einen Zusammenhang zwischen den 
Brechungskoeffizienten für die einzelnen Farben mit bekannten Wellenlängen gibt 
die Dispersionsformel von Cauchy (206). 

Wenn das Prisma ein deutliches Spektrum gibt, so kann man für jede Farbe 
desselben besonders die Minimalablenkung suchen und daraus den betreffenden Wert 
von n bestimmen. Wenn die Beschaffenheit der Substanz ein solches nicht zu stände 
kommen läßt, so kann man die Spalte mit verschiedenem homogenen Licht beleuchten 
(mittels gefärbter Metallflammen, Xi-Flamme rot, iVa-Flamme gelb, 27-Flamme grün, 
oder mittels gefärbter Gläser, von weichen aber nur durch Kupfer gefärbte rote sehr 
annähernd homogene Farbe geben etc.). Vollkommen homogenes Licht liefert das 
Spektrum eines Glasprismas. (Wülfing, N. Jahrb. f. Min. etc. Beil. Bd. XU. 
1899. 343.) 

2. Methode mit dem Mikroskop (erfanden von dem Marquis von 
Chaulnes). Diese ist u. U. von Wert, wenn eine Substanz nur in 
Form planparalleler Platten erhalten werden kann und nicht die 
Herstellung eines Prismas gestattet. Sie beruht darauf, daß wenn 
ein im Mikroskop deutlich und scharf gesehener Punkt mit einer 
planparallelen Platte einer durchsichtigen Substanz bedeckt wird, man 
denselben nicht mehr sieht, um ihn wiederzusehen, ist es nötig, das 
Objektiv um einen gewissen Betrag v zu heben, der nur von der 
Dicke d der Platte und von deren Brechungskoefl&zienten n ab- 

1 /2 

hängt und zwar ist sehr annähernd: v = d (1 ) oder ^=='^^1'' 

Für jede Lage der Platte im Krystall erhält man denselben Wert 
für n. 

Bei der Erzeugung des Bildes von A im Mikroskop spielen alle von A aus 
auf die bei G (Fig. 310) gelegene Objektivlinse fallenden Strahlen eine RoDe 
so a. Bw der Strahl AD. Wird die Platte von der Dkke AB = d wä A gelegt, so 
Bauer, Mineralogie. l*? 




258 Isotrope Medien. 

wird AD abgelenkt. Wenn das Bild von A wie früher entstehen soll, so mnß für AD 
ein anderer Strahl von A ans eintreten, der durch die Platte hindurch die Linse 1) anter 
demselben Winkel und 2) in derselben Entfernung von der Mikroskopachse 
AQ trifft wie vorher AD. Das kann nur ein Strahl, der von A in einer sol- 
chen Richtung ^lIT ausgeht, daß er in M beim Austritt aus dem PlSttchen 
nach der Bichtung JELD^ || AD gebrochen wird, dann ist die erste Bedingung 
erfüllt Die zweite ist erfüllt, wenn man dann das Objektiv bis zu dem 
Punkt A zurückschiebt, der gegeben ist als Schnitt von HD^ mit 
DDi II AB. Die Länge, um welche das Objektiv hat zurückge- 
jjig. 6 u. 2ogen werden müssen, ist GGi=v = DDi. Zieht man nun KD^ bis 

AtM TTm 
C und JKK y AB, dann ist auch CA = DD^ = v. Femer ist : n = — — .„ ' = 

-57^ = -^Ti TTi = j • Denn offenbar sind stets die Winkel BAH etc., um 

BC BA — AC d — V * 

weiche es sich hier handelt, sehr klein, so daß mau AC=DD* sehr annähernd auch 

= GGi setzen kann. Ebenso sind sehr nahe die tg der Winkel = deren sin ; es 

. . j V ^ ^C'ir sin BCH d 

ist daher : . p^f y^ -= — bttt = » = j . 

tg BAH sin BAH d — v 

Bei der Ausführung der Messung wird d mit dem Sphärometer oder auf einem 
anderen Wege, v mittels einer auf dem Knopf der Mikrometerschraube des Mikroskops 
angebrachten Teilung geraessen, welche Bruchteile der bekannten Ganghöhe jener 
Schraube abzulesen gestattet. Das Zurückziehen des Objektivs muß natürlich um 
den vollen Betrag v mit dieser Schraube ausgeführt werden. 

(Bauer, Sitzgsber. Berl. Akad. 22. Nov. 1877 pag. 698 und Tschermak, Min. 
Mitt. I. 1878 pag. 28 ; vergl. auch : Bertin, Ann. chim. phys. ser. III. Bd. 26 pag. 228 
für eine kleine Abänderung dieser Methode.) 

3. Methode der Totalreflexion. Während beide genannte Methoden 
eine durchsichtige Substanz und zwei ebene Flächen voraussetzen, hat 
die Methode der Totalreflexion den Vorzug, auch an undurchsichtigen 
Substanzen ausführbar zu sein; auch ist nur eine einzige ebene Fläche 
erforderlich. 

Es sei MN (Fig. 311) eine ebene Fläche eines von einer stärker 
brechenden Flüssigkeit umgebenen isotropen Minerals, auf welche von 

allen Seiten her Licht einfällt, und das Auge sei fest 
in 0. Dann werden unter zu großem Winkel auf MN 
einfallende Strahlen total reflektiert (210) und ein unter 
einem bestimmten Winkel ankommender Strahl AI wird 
dabei nach gelangen, ebenso der etwas steiler ein- 
Fig. 311. fallende Strahl BE etc. Dagegen wird der noch steiler 
einfallende Strahl DG nicht mehr total reflektiert werden, sondern in das 
optisch dfinnere Mineral nach GH eintreten, wenn sein Einfallswinkel 
kleiner als der Grenzwinkel ist. Die linke Hälfte der Fläche MN ist also 
durch die in das Auge gelangenden totalreflektierten Strahlen hell, 
die rechte Hälfte, welche keine Strahlen ins Auge reflektiert, dunkel, 
und beide Hälften sind durch eine Grenzlinie bei F geschieden, deren 





Bestimmang der Brechungskoeffizienten. 259 

Lage dem Grenzstrahl CFO entspricht, welcher unter dem Grenz- 
"winkel einfäUt. Bei Anwendung homogenen Lichts ist diese Grenz- 
linie ziemlich scharf, bei weißem Licht ist sie farbig gesäumt, weil 
die Grenze für jede Farbe eine etwas andere Lage hat 

Man kann nun die Beobachtung der Grenze der Totalreflexion 
in folgender Weise zur Ermittlung der Brechungskoeffizienten benützen. 

Man befestigt das zu untersuchende Mineral an einer in (Fig. 
312) projizierten vertikalen Drehachse, welche senkrecht zu einem 
horizontalen Teilkreis durch dessen Mittelpunkt geht. 
Diese Achse fällt in die ebenfalls senkrechte reflek- 
tierende Fläche MN, welche in ein mit einer stark 
brechenden Flüssigkeit, etwa Schwefelkohlenstoff (n = 
1,6274) oder Monobromnaphtalin (n = 1,65724) oder 
Methylenjodid (n = 1,73798 , je für gelbes JVo-Licht 
bei 20® C) etc., gefülltes zylindrisches Gefäß einge- Fig. 312. 
taucht ist. Dieses ist ringsum von mattgeschliffenem 
Glas gebildet, durch welches diffuses Licht von allen Seiten 
auf H/DJ fallen kann, nur bei BQ ist eine yertikalstehende plan- 
parallele durchsichtige Glasscheibe, auf welche normal das hori- 
zontale auf Unendlich eingestellte Fernrohr P gerichtet ist Hat die 
Fläche MN zuerst die Stellung M^N^^ so werden die von rechts 
kommenden Strahlen die Grenze der Totalreflexion erzeugen, und man 
kann diese Grenze durch Drehung der Fläche MN um die Achse 
auf das Fadenkreuz des Femrohrs einstellen. Ist m^n^ die Normale 
zu M^N^, so ist iWj OP der Grenzwinkel i. Dreht man nun die Fläche 
M^N^ an der Drehachse in die Stellung M^N^, so geben die von 
links kommenden Strahlen ebenfalls eine Grenze, die man auf das 
Fadenkreuz einstellen kann. Ist m^n^ die Normale zu M^N^^ so ist 
m^ OP der Grenzwinkel i für diese Stellung. Man muß also, um von 
der einen Grenze auf die andere einzustellen, die Fläche MN um den 
doppelten Grenzwinkel, um m^ Om^ = 2i, drehen, und da man diese 
Drehung am Teilkreis ablesen kann, so ist damit i gegeben. Zu- 
nächst ist der Brechungskoefflzient v (v > 1) des Minerals gegen die 

stärker brechende Flüssigkeit bestimmt, und man hat: — = »n i. 

Sind aber N und n die Brechungskoefflzienten der Flüssigkeit und 

1 M 

des Minerals gegen Luft, so ist (208): — = ^=sini, a\so: n = Nsini. 

Die zu solchen Bestimmungen benutzten Instrumente werden im all- 
gemeinen ToUüreflekUmeter genannt. Bei jeder beliebigen Lage der 
reflektierenden Fläche erhält man denselben Wert für n. 

N ist ein für aUemal bekannt. Da sich dieser Wert mit der Temperatur 
wesentlich Ändert, so ist hierauf Bücksicht zu nehmen. Für g^elbes Licht beträgt 

17* 



260 Isotrope Medien. Brechnngskoeffizieiiten. 

beim Schwefelkohleiutoff die Yermindenmg von N bei 1^ C. Temperatormnahme: 
0,00080. Die entsprechenden Zahlen sind: 0,00045 beim Monobramnaphtalin und 
0,00073 beim Methylenjodid. 

(F. Kohlrausch, Verh. d. phys. med. Ges. Würzburg XII. 1877 pag. 1; Wied. 
Ann. IV. 1878 pag. 1 und XVI. 1882 pag. 603; W. Kohlrausch, Wied. Ann. VI. 
1879 pag. 94; LeiO, Zeitachr. f. Kryst. XXX. 1898 pag. 357.) 

Nach dem Vorschlag von Woüaston kann die Totalreflexion noch in anderer 
Weise zur Bestimmung der Brechungsexponenten benutzt nrerden, die den störenden 
Einfluß der Temperatur wesentlich vermindert. An die Fl&che I eines Glasprismaa 
A Ton bekannter möglichst starker Lichtbrechung wird die zu nntersnchende Sub- 
stanz B mit einer natttrlichen oder künstlichen ganz glatten und ebenen Fl&che an- 
gedrückt, und zur Herstellung eines vollkommenen Kontakts ein Tropfen C einer 
Flüssigkeit dazwischen gebracht. Der Brechungskoeffizient des Glases sowohl als 
der der Flüssigkeit muß mindestens etwas höher sein, als der der zu messenden Sub- 
stanz. Dann läßt man diffuses Licht auf der zweiten Fläche 11 des Prismas links 
von der zu untersuchenden Platte eintreten. Dieses erleidet an der letzteren z. T. 
Totalreflexion und tritt auf der dritten Fläche III des Prisma« wieder aus. In einem 
auf diese gerichteten Femrohre entsteht dann ganz wie bei der oben beschriebenen 
Methode eine Grenze zwischen hell imd dunkel, die dem Grenzstrahl entspricht und 
man kann auf dem Goniometer leicht den Winkel messen, den die der Grenze der 
Totalreflexion entsprechenden Strahlen mit der Normale zur dritten Fläche des 
Prismas, der Austrittsfläche, einschließen. Hieraus und aus dem Brechungskoefflzienten 
des Glasprismas ergibt sich dann der Brechungskoef&zient der Substanz. 

(K. Feußner, Diss. Marburg 1882; Liebisch, Zeitschr. f. Instrumentenk. IV. 1884 
pag. 185 und V. 1885 pag. 13; Danker, N. Jahrb. f. Min. etc. Beil. Bd. IV. 1885 
pag. 241 ; Liebisch, N. Jahrb. f. Min. etc 1886 II. pag. 51.) 

Pulfrich konstruierte ein auf ähnlichem Prinzip beruhendes Instrument, bei dem 
aber statt des Prismas ein Kreiszylinder aus stark lichtbrechendem Glase benutet 
wird, auf dessen Basis die zu untersuchende Substanz mit einer möglichst eben^ 
Fläche, gleichfalls mit einem Tropfen einer stark liohtbzechenden Flüssigkeit da- 
zwischen, gelegt wird. 

(Zeitschr. f. Instrumentenk. VII. 1887 pag. 16. 65. 392; Wied, Ann. 30. 31. 

1887 pag. 193. 317. 487, resp. pag. 724. 734; Mühlheims, Zeitschr. f. Kryst XIV. 

1888 pag. 206.) 

Das vollkommenste Instrument dieser Art ist das Abbe-Czapekisehe KrystaU- 
refrcüdometeTj wo der Zylinder Pulfrichs durch eine Halbkugel ersetzt ist, die oben 
eine nach einem Großkreis angeschliffene ebene Fläche trägt. Auf diese wird die 
zu untersuchende Substanz wie bei den anderen genannten Instrumenten gelegt 

(Czapski, Zeitschr. f. Instrumentenk. X. 1890 pag. 246. 269; W. Feußner, Sitzgsber. 
d. Ges. z. Beförderung d. ges. Natnrw. Marburg 1893 pag. 6; Viola, Zeitschr. f. 
Instrumentenk. 19. 1899 pag. 335; Zeitschr. f. Kryst. 30. 1899 pag. 417 und 32. 
1899 pag. 66.) 

Siehe auch die in (3) B angeführten Werke von Greth, Leiß, Liebisch, Soret etc. 
für die Theorie der Bestimmung der Brechungskoeffizienten mittels der Totalreflexion 
tmd die dazu dienenden Instrumente nicht nur bei isotropen, sondern auch bei 
anisotropen Substanzen, von denen unten eingehender speziell die Rede sein wird. 
Einfaches Refraktometer: Bertraud, Bull. soc. fran^. de min. Bd. %. 9. 10. 186&— 87. 

£ine Methode zur annähernden Ermittlung der Brechungskoeffizienten, wie sie 
für die praktischen Zwecke der Mineralbestimmung zuweilen wünschenswert ist, be- 
ruht darauf, daß ein fester Körper in einer gleich stark lichtbrechenden Flüssigkeit 
bei gleicher Farbe keine scharfen Umrisse mehr zeigt. Man verfilhrt in der Weise, 
daß man, etwa durch Verdünnen von Kaliumquecksüberjodid mit Wasser, eine nicht 



Anisotrope Medien. SchwiBgnngsrichtongen. 261 

zn geringe AnEabl von venchiedenen Flüssigkeiten mit bekannten möglichst all- 
mählich steigenden Brechongskoeffizienten herstellt und dann das zu nntersuchende 
Stück in die einzelnen Gläser der Beihe nach hineinwirft. Wo die Umrisse am 
Tollständigsten verschwinden — am besten ist es, die Beobachtung im homogenen 
Licht, etwa im iVitz-Licht, vorzunehmen — ist die größte Übereinstimmung der Licht- 
brechung. Der Brechungskoeffizient kann an dem betreffenden Olase abgelesen 
weiden. Diese Methode eignet sich am besten für farblose Substanzen. Sie kann 
in ganz analoger Weise auch für anisotrope Krystalle angewendet werden, bei denen 
man einen mittleren Wert für die Brechungskoeffizienten erhält. (Vergl. Schröder 
van der Kolk, Tabellen zur mikroskopischen Bestimmung der Mineralien nach ihrem 
Brechungsindex. 1900.) 



Anisotrope Medien. 

Verhalten sich nicht nach allen Richtungen optisch gleich. 

212. Schwingiingsrichtnngen. Nach der Ansicht von Fresnel 
ist der Äther in anisotropen Medien (201) so beschaffen, daß seine 
Elastizität nicht nach allen Richtungen gleich ist, sondern sich mit 
der Richtung ändert, während die Dichte für jede Substanz unab- 
hängig von der Richtung stets denselben Wert hat. Das Licht wird 
also nicht mehr nach allen Seiten mit derselben Geschwindigkeit fort- 
gepflanzt, sondern diese ändert sich ebenfalls mit der Richtung. Die 
Wellenfläche kann also keine Kugel mehr sein. Auch hier gilt 

noch die Gleichung: v «» 1/-^ (vergl. 203); aber während die Geschwin- 
digkeit in jedem isotropen Medium wegen der Konstanz von e und d für 
alle Richtungen denselben Wert hat, ändert sich hier der Wert von v 
gleichzeitig mit dem von e mit der Richtung. Sind v^ und v^ die 
Geschwindigkeiten, mit welchen in demselben anisotropen Medium 
Schwingungen fortgepflanzt werden, die in Richtungen mit den 
Elastizitäten e^ und e^ stattfinden, so ist, da hier d konstant: 



Vi : v^ =|/^: |/^ = |'ei : ]^e^, 



d. h. die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten zweier verschiedener Wellen 
in demselben anisotropen Medium verhalten sich wie die Quadrat- 
wurzeln ans den Elastizitäten des Äthers in den Richtungen, in 
welchen die Schwingungen der beiden Wellen vor sich gehen. Es 
handelt sich dabei stets nur um die Elastizität in der Richtung senkrecht 
zur Fortpflanzungsrichtung, in welcher die Schwingungen stattfinden, 
nicht nm die in der Fortpflanzangsrichtnng herrschende; diese ist 
vollkommen gleichgültig. Daher ist es auch möglich, daß in derselben 
Bichtnng in einem anisotropen Krystall sich zwei Wellen mit ver- 
schiedener Geschwindigkeit fortpflanzen, wenn die Schwingungen der 



262 Anisotrope Medien. 

beiden Wellen in zwei der unendlich vielen, auf der Fortpflanzungs- 
richtung senkrechten Richtungen vor sich gehen. 

In jedem anisotropen Krystall können sich in der Tat in der- 
selben Richtung zwei, und nur zwei, Wellen gleichzeitig und mit ver- 
schiedenen Geschwindigkeiten fortpflanzen, die ihre Schwingungen in 
zwei zueinander senkrechten Richtungen normal zur Fortpflanzungs- 
richtung ausführen. Diese beiden Richtungen sind die sog. Schwin- 
gungsricktungen des Krystalls für die betreffende Fortpflanzungs- 
richtung. Sie fallen zusammen mit den stets zueinander senkrechten 
beiden Richtungen, in welchen der Äther in einer zur Fortpflanzungs- 
richtung der beiden Wellen senkrechten Ebene die größte und die 
kleinste Elastizität besitzt. Sind e^ und et diese beiden Elastizitäten 
und Vg und vt die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten der beiden ent- 
sprechenden Wellen, dann ist: 

Beim Hindurchgehen durch einen anisotropen Krystall wird also 
das Licht polarisiert und zwar die beiden in derselben Richtung sich 
fortpflanzenden Wellen senkrecht zueinander. Wir haben somit ein 
zweites Mittel, gewöhnliches Licht in polarisiertes zu verwandeln 
(vergl. (207) und (219)). 

213. Doppelbrechung. Die Grösse der Ablenkung (Brechung) 
beim Übergang einer Welle aus einem Medium in ein anderes ist 
für jede Farbe und Temperatur lediglich von der Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit des Lichts in beiden Medien (205) abhängig. Somit 
müssen, wie die Huyghenssche Konstruktion in bekannter Weise zeigt, 
die beiden Wellen, welche sich in einem anisotropen Krystall in der- 
selben Richtung, aber mit verschiedener Geschwindigkeit fortpflanzen, 
beim Austreten in Luft verschieden stark abgelenkt werden, also 
ihren Weg in der Luft in zwei verschiedenen, einander allerdings 
sehr naheliegenden Richtungen fortsetzen. Dabei erleidet auch hier 
die rascher im Krystall sich fortpflanzende Welle eine geringere Ab- 
lenkung, als die langsamere. Ebenso werden aber auch, wenn auf 
einen solchen Krystall eine ebene Lichtwelle von außen einfällt, in 
demselben zwei Schwingungen erregt, welche zwei mit verschiedener 
Geschwindigkeit und in verschiedener Richtung im Krystall sich fort- 
pflanzende Wellen (resp. Strahlen) liefern. Diese können ebenfalls 
mittels der Huyghensschen Konstruktion aufgefunden werden. Bei 
jedem solchen Übergang aus dem anisotropen Krystall in ein anderes 
Medium, z. B. Luft, oder umgekehrt entstehen also im allgemeinen 
aus einer Fortpflanzungsrichtung des Lichts deren zwei, eine ein- 
fallende Lichtwelle (Lichtstrahl) zerfallt bei der Brechung in zwei 
Wellen, resp. Strahlen, die sich im zweiten Medium unter verschie- 



Doppelbrechung. Optische Achsen. 263 

denen Richtungen fortpflanzen. Die anisotropen Krystalle heiBen daher 
doppeltbrechend im Gregensatz zu den einfach lichtbrechenden isotropen 
Substanzen, wo jeder einfallenden Welle nur eine einzige des ge- 
brochenen Lichts entspricht Die Erscheinung selbst heißt die doppelte 
Lichtbrechung (Doppelbrechung). Dieselbe äußert sich u. a. darin, daß, 
wenn man durch einen doppeltbrechenden Körper hindurch einen 
leuchtenden Punkt betrachtet, derselbe doppelt erscheint (218). Je 
größer der Winkel ist, den die beiden so entstehenden Strahlen mit- 
einander machen, desto stärker ist die Doppelbrechung, desto weiter 
sind dann auch die beiden Bilder voneinander entfeint, die bei der 
Betrachtung eines Gegenstands durch einen doppeltbrechenden Körper 
hindurch erscheinen. Am bequemsten ist dies im allgemeinen mittels 
eines Spaltungsstficks von Kalkspat zu beobachten. Die beiden durch 
Doppelbrechung entstehenden Wellen (Strahlen) sind stets vollständig 
polarisiert und zwar senkrecht zueinander (212); Doppelbrechung ohne 
Polarisation ist undenkbai*. 

214. Optische Achsen. Es gibt in jedem doppeltbrechenden 
Krystall eine resp. zwei Richtungen, in welchen sich nur eine ein- 
zige Welle durch denselben hindurch bewegen kann, in welchen also 
nur einfache Lichtbrechung und keine Polarisation stattfindet, und 
in welchen daher auch nur einfache Bilder eines Lichtpunkts gesehen 
werden. Solche Richtungen heißen optische Achsen. Man unterscheidet 
nach der Zahl derselben einachsige und zweiachsige Krystalle. Die 
ersteren umfassen alle Krystalle mit einer Hauptachse, also alle, die 
dem hexagonalen und quadratischen System angehören, und die optische 
Achse ist stets der Hauptachse parallel. Die Richtung wird daher 
meist kurz als die Achse der einachsigen Krystalle bezeichnet. Zwei- 
achsig sind die sämtlichen Krystalle des rhombischen, monoklinen und 
triklinen Systems (vergl. (214) und (224)). 

Einachsige Krystalle. 

Die hierbergehdrigen hexagonalen und quadratischen Krystalle verhalten sich 
in Beziehung auf die allgemeinen optischen Eigenschaften vöUig gleich und kOnnen 
auf optischem Wege nicht unterschieden werden. Auch bei ihnen ist, wie bei den 
regulären Krystallen, die optische Symmetrie höher als die krystallographische. Bei 
beiden ist die zur Achse normale Ebene Symmetrieebene; in optischer Hinsicht ist 
auch jede durch die Achse gehende Ebene (Hauptschnitt) Symmetrieebene, aber nicht 
für die krystallographische Begrenzung. 

215. Allgemeine Eigenschaften. In einachsigen Erystallen ist 
nach den Annahmen von Fresnel der Äther so beschaffen, daß seine 
Elastizität in der Bichtnng der Achse = e und ein Maximom (resp. Mi- 
nimnm), in allen darauf senkrechten Eichtungen dagegen = o and ein 



264 Einachsige Erjstalle. 

Minimum (resp. Maximum) ist. In den Zwischenrichtungen ist die 
Elastizität eine intermediäre, und zwar ist sie in allen solchen Rich- 
tnngen gleich, die gegen die Achse gleiche Neigung haben. Danach 
ist die Elastizität in allen durch die Achse hindurchgehenden Ebenen, 
den sog. Hawptschnitten, ganz gleich verteilt. Sie nimmt in jedem 
Hauptschnitt von der Richtung der Achse nach der darauf senkrechten 
in der Ebene der Nebenachsen gelegenen Richtung ganz stetig und 
in ganz gleicher Weise ab (resp. zu) und zwar nach einem Gesetz, 
das wir unten speziell kennen lernen werden (216). 

Krystalle, bei denen die Elastizität des Äthers in der Richtung 
der Achse ein Maximum ist, wo also c>>o, heißen negativ ( — ), z. B. 
Kalkspat. Solche, wo die Elastizität in der Richtung der Achse ein 
Jffmmum, bei denen also « < o, heißen posüiv (+), z. B. Quarz. 

Die beiden nach irgend einer Richtung in einem solchen Krystall 
sich fortpflanzenden Wellen schreiten mittels Schwingungen vorwärts, 
welche senkrecht und parallel zu dem Hauptschnitt sind, in welchem 
die Fortpflanzungsrichtung liegt, d. h. senkrecht und parallel zu einer 
Ebene, welche man durch die Fortpflanzungsrichtung und die Richtung 
der Hauptachse legen kann. Die Schwingungsrichtungen der Wellen 
in einachsigen Krystallen sind also flir jede Fortpflanzungsrichtung 
senkrecht und parallel zu dem durch diese letzteren bestimmten 
Hauptschnitt. Der Grund liegt darin, daß die Elastizität des Äthers 
senkrecht zu dem Hauptschnitt, also senkrecht zu der in diesem 
liegenden Fortpflanzungsrichtung und der Achse des Krystalls, bei 
4- Krystallen den größten, bei — Krystallen den kleinsten in dem 
Krystall überhaupt möglichen Wert hat (212). Andere Lichtschwin- 
gungen als solche senkrecht und parallel zu diesem Hauptschnitt 
können in einem einachsigen Krystall in der betreffenden Richtung 
nicht fortgepflanzt werden. 

Alle senkrecht zu einem Hauptschnitt schwingenden Lichtbewe- 
gungen müssen sich im Krystall stets mit derselben Geschwindigkeit 
fortpflanzen, die Fortpflanzungsricbtung mag sein, welche sie will; 
denn diese Schwingungen gehen alle senkrecht zur Achse vor sich, 
und in allen diesen Richtungen ist ja die Elastizität des Äthers im 
ganzen Krystall dieselbe, nämlich = o. Eine solche Lichtbewegung 
verhält sich also, wie wenn sie in einem isotropen Medium stattfände ; 
ihre Geschwindigkeit ist konstant und von der Richtung der Fort- 
pflanzung im Krystall (von der Neigung derselben gegen die optische 
Achse) vollkommen unabhängig. Bei einer im Hauptschnitt schwin- 
genden Lichtbewegung ändert sich mit der Fortpflanzungsrichtung 
auch die Schwingungsricbtung in ihrer Neigung zur Achse und damit 
die Fortpflanzungsgeschwindigkeit Diese ist nur in allen solchen 
Richtungen gleich, welche zur Achse gleich geneigt sind, entsprechend 



WeUenfl&che. 265 

den Verhältnissen der Elastizität des Äthers, nnd nimmt von der 
Bichtung parallel der Achse bis zu der Richtung senkrecht darauf 
stetig ab bei + I^rystallen, resp. zu bei — Krystallen. Eine Licht- 
bewegung, deren Fortpflanzung durch Schwingungen im Hauptschnitt 
geschieht und deren Fortpflanzungsgeschwindigkeit sich daher mit der 
Tüchtniig ändert, heißt eine außerwrdenüiche (extraordinäre, außer- 
ordentliche Wellen und Strahlen). Dagegen wird eine Lichtbewegung, 
die mit Schwingungen senkrecht zum Hauptschnitt, also mit konstanter 
Geschwindigkeit fortschreitet, eine ordentliche (ordinäre, ordentliche 
Wellen und Strahlen) genannt. Das ordentliche Licht ist also stets 
in dem Hauptschnitt, das außerordentliche senkrecht zu dem Haupt- 
schnitt polarisiert, in dem die Fortpflanzungsrichtung liegt. 

' 216. Wellenfläehe (Strahlenfläehe). In positiven Krystallen 
wird sich eine Lichtbewegung in der Richtung der Achse, also mit 
Schwingungen senkrecht zur Achse, mit einer Geschwindigkeit o fort- 
pflanzen, die größer ist, als die Fortpflanzungsgeschwindigkeit e einer 
sdchen senkrecht zur Achse, also mit Schwingungen parallel der 
Achse, weil die Elastizität des Äthers e parallel der Achse kleiner 
ist, als diejenige o senkrecht dazu (215). Die Geschwindigkeit o ist die 
größte, c die kleinste überhaupt in dem betrefienden Krystall mögliche 
Fortpflanzungsgeschwindigkeit. Bei negativen Krystallen ist dies alles 
gerade umgekehrt. In beiden Fällen besteht aber das Verhältnis (212) : 

b : e =?= y : y^ 

Je größer die Diflferenz zwischen o und e, resp. o und e, desto 
größer ist die Doppelbrechung des Krystalls, desto weiter können die 
durch ihn hindurch gesehenen beiden Bilder eines leuchtenden Punkts 
auseinanderrücken. 

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit in einer intermediären Richtung 
erhält man, wenn man o = ^ö in der Richtung der Hauptachse, c = /c 
senkrecht dazu aufträgt und über beiden als Achsen eine Ellipse 
konstruiert. Eine außerordentliche Lichtbewegung, deren Fortpflan- 
zuogsrichtung mit der Achse den Winkel a macht, hat eine Ge- 
schwindigkeit, welche gleich ist dem Radius der Ellipse, welcher mit 
der Achse denselben Winkel a ein- 
schließt (Fig. 313 für einen posi- 
tiven, Fig. 314 für einen negativen 
Krystall). Die Fortpflanzungsge- 
schwindigkeit einer ordentlichen 
Lichtbewegung ist nach allen Rieh- 
tungen dieselbe, nämlich o. In der ^^' ^^^' ^'^' ^^^' 

Bichtung der Achse bewegt sich also alles Licht mit derselben Ge- 
schwindigkeit 0, hier hört der Unterschied zwischen ordentlicher und 




y^ 




266 Einachsige Krystalle. 

außerordentlicher Lichtbewegung daher auf. Es findet hier somit 
in der Tat keine Doppelbrechung statt. Das in der Richtung der 
Achse gehende Licht wird nicht polarisiert 

Wird also im Innern eines einachsigen Krystalls der Äther an 
einem Punkt erschüttert, so breitet sich gleichzeitig eine ordent- 
liche und eine außerordentliche Welle um herum aus. Die erstere 
schreitet nach allen Seiten mit der Geschwindigkeit o fort, die ordent- 
liche Wellenfläche (Strahlenfläche) ist also eine Kugel um mit dem 
Halbmesser o. Die letztere bewegt sich nur in der Richtung der 
Achse mit der Geschwindigkeit o, senkrecht dazu mit der Geschwindig- 
keit c, in allen intermediären Richtungen mit Geschwindigkeiten, welche 
man aus den oben genannten Ellipsen in der angegebenen Weise er- 
hält. Da sich in allen Hauptschnitten des Krystalls die außerordent- 
lichen Wellen ganz in derselben Weise fortpflanzen, so daß dies in 
gleich zu der Achse geneigten Richtungen auch stets mit derselben 
Geschwindigkeit geschieht, so muß die außerordentliche Wellenfläche 
ein Rotationsellipsoid sein, dessen Rotationsachse der Richtung nach 
die Hauptachse und dessen Meridiane die genannten Ellipsen sind; 
dessen Rotationsachse der Länge nach = o, dessen Äquatorialachse 
= e ist. In der Richtung der Achse ist die Fortpflanzungsgeschwindig- 
keit der ordentlichen sowohl als der außerordentlichen Welle =o, 
somit berühren sich beide Wellenflächen an den Enden der Haupt- 
achse, umfassen sich aber im übrigen, und zwar umgibt bei 
-+- Krystallen die kugelförmige ordentliche Wellenfläche die elliptische 
außerordentliche (Fig. 313), bei — Krystallen umgibt die elliptische 
außerordentliche die kuglige ordentliche (Fig. 314). Hieraus folgt 
dann unmittelbar, daß bei + Krystallen die Fortpflanzungsgeschwindig- 
keit der außerordentlichen Wellen stets kleiner, bei — Krystallen stets 
größer ist, als die ordentlichen Wellen. 

217. Charakter der Doppelbrechung. Wenn eine ebene Licht- 
welle in der Richtung AB (Fig. 315, 316) die irgendwie gelegene 

ebene Grenzfläche MN eines einachsigen 
Krystalls trifft, dessen Hauptachse nach BG 
gerichtet ist, so wird diese Welle doppelt 
gebrochen ; nach Bo geht die ordentliche, nach 

Fi 316 "^^ ^^® außerordentliche gebrochene Welle. Da 
bei negativen Krystallen die ordentliche Welle 
sich langsamer fortpflanzt, als die außerordentliche, so wird sie stärker 
gebrochen als letztere (213, 216), bei positiven Krystallen ist dies um- 
gekehrt. Die Fortpflanzungsrichtung der außerordentlichen Welle Be 
ist daher bei negativen Krystallen stets von der Hauptachse BG 
weiter entfernt, als die Richtung der ordentlichen Welle Bo (Fig. 316), 





Charakter der Doppelbrechung. Doppelbrechnng im Kalkspat. 267 

sie wird von der Achse gleichsam abgestoßen ; bei positiven Krystallen 
ist sie näher bei der Achse jBC, sie wird von der Achse gleichsam 
angezogen (Fig. 315) , daher heißen — Krystalle auch repfdsiv, 
+ Krystalle attraktiv. 

Die Fortpflanzangsrichtnngen der ordentlichen nnd anOerordenÜichen Wellen 
Bo nnd Be (die ordentliche und außerordentliche Wellennormale) folgen hei der 
Brechnng dem gewöhnlichen Brechnngsgesetz (205). Was die gebrochenen Strahlen 
betrifft, so füllt der ordentliche Strahl mit der ordentlichen Wellennormale Bo stets 
zusammen, er folgt also ebenfalls in jeder Beziehung dem allgemeinen Brechungs- 
gesetz. Der gebrochene außerordentliche Strahl fällt aber mit der außerordentlichen 
Wellennormale Be im allgemeinen nicht mehr zusammen und folgt nicht dem all- 
gemeinen Brechungsgesetz. Er liegt sogar nicht einmal stets in der Einfallsebene 
des Strahls AB. Dies geschieht nur, wenn AB in dem durch das Einfallslot be- 
stimmten Hauptschnitt oder senkrecht dazu einfällt; in allen anderen Fällen tritt 
der gebrochene außerordentliche Strahl aus der Einfallsebene heraus. Sein Brechungs- 
gesetz ist dann ziemlich kompliziert und wird mittels der Huyghensschen Konstruk- 
tion angegeben. 

218. Doppelbrechung im Kalkspat. Am geeignetsten zur Be- 
obachtung der Erscheinungen der Doppelbrechnng ist der rhombo- 
edrische, also einachsige Kalkspat. Er ist sehr stark doppeltbrechend 
und findet sich in großen durchsichtigen Massen, aus denen man schöne 
Spaltungsrhomboeder herstellen kann. Wegen der sehr starken Doppel- 
brechung nennt man die durchsichtige Varietät des Kalkspats Doppel- 
spat. An ihm beobachtet man bezüglich der Doppelbrechung folgendes: 
Legt man ein Spaltungsstück auf ein weißes, mit einem schwarzen 
Punkt versehenes Papier, so sieht man von oben aus zwei Bilder des 
Punkts, beide in dem vertikalen Hauptschnitt des Krystalls gelegen. 
Befindet sich das Auge senkrecht über dem Punkte m 
(Fig. 317), so sieht man das eine Bild senkrecht nach unten 
an der Stelle, wo der Punkt m selbst ist, das andere im 
vertikalen Hauptschnitt etwas nach der unteren stumpfen ^^ 
Ecke c des Spaltungsstücks hin verschoben bei m,. Die 
Entfernung der Bilder bleibt dieselbe, ob man das Auge *^' 
der Fläche nähert, oder von ihr entfernt, dagegen ist ihre Entfernung 
größer bei dickeren, als bei dünneren Stücken. Dreht man den Kalk- 
spat um eine Achse o^m senkrecht zu der Spaltungsfläche, auf welche 
man sieht, so bleibt das Bild m an seiner Stelle, das Bild m^ dagegen 
dreht sich mit, indem es immer in dem vertikalen Hauptschnitt bleibt. 
Beide Bilder m und m^ haben dabei stets dieselbe Helligkeit und die- 
selbe Entfernung voneinander. Das nicht abgelenkte Bild m ist das 
ordentliche, das abgelenkte Bild m^ das außerordentliche. Betrachtet 
man einen fernen Punkt durch einen Kalkspat, so sind die Erschei- 
nungen ganz ähnlich. Sieht man in einer anderen Richtung als senk- 
recht zum Blätterbruch durch den Krystall, so sind die beiden Bilder 




268 Einachsige Erjstalle. 

bei gleicher Dicke des letzteren um so entfernter, je mehr diese 
Richtung sich der Normale zur Achse nähert, bis zu einem bestimmten 
Punkt; von da ab nähern sie sich einander wieder. Senkrecht zur 
Achse, also durch zwei gegenüberliegende Prismenflächen gesehen, 
decken sie sich, wie die Huyghensche Konstruktion zeigt. Die beiden 
Bilder sind einander um so näher, je näher die Richtung, in der man 
durch den Krystall hindurchsieht, der Richtung der Achse ist Längs 
der Achse gesehen, erhält man überhaupt nur ein einziges Bild ; nach 
der Achse findet keine Doppelbrechung statt. 

Alle anderen einachsigen Krjstalle zeigen dieselben Eracheinnngen wie der 
Kalkspat, doch ist bei den meisten die Doppelbrechnng viel schwächer. Die beiden 
Bilder liegen sich dann näher und vielfach überdecken sie sich sogar teilweise, selbst 
in der Stellung, in der sie das Maximum der Entfernung haben. Die Erscheinung 
tritt dann vielfach nicht mehr in der angegebenen Weise hervor, und viele KrystaUe 
erscheinen bei dieser direkten Beobachtung einfachbrecheud, während sie doch tat- 
sächlich doppeltbrechend sind, oder sie lassen doch die Art ihrer Lichtbrechung 
zweifelhaft. Die beiden Bilder treten aber weiter auseinander und lassen dann die 
Doppelbrechung auch bei geringerer Stärke oft noch deutlich erkennen, wenn man 
einen Punkt statt durch eine planparallele Platte durch ein Prisma aus dem be- 
treffenden ELrystall betrachtet. (Erkennung der Doppelbrechung auf indirektem Wege 
im Polarisationsinstrument veigl. (237) ff.) 

210. Nicolsehes Prisma. Tormalinplatte. Der Umstand, daß doppelt- 
brechende Körper das durch sie hindurchgehende Licht vollkommen polarisieren (213), 
wird zur Herstellung von Apparaten benützt, welche Licht liefern, das in einer be- 
stimmten Ebene polarisiert ist. Es handelt sich dabei darum, die eine der beiden 
durch die Doppelbrechung erhaltenen WeUen zu eliminieren und nur die andere ins 
Auge gelangen zu lassen. Man benutzt dazu am häufigsten Turmalin- und Kalk- 
spatkrjstalle, beide dem hexagonalen Krystallsystem angehörig, doch können auch 
andere doppeltbrechende Krystalle verwendet werden. 

Schleift man eine Platte von Turmalin von dunkelbrauner oder -grüner Farbe 
(hellgefärbte sind untauglich) paraUel mit der Hauptachse, so wird beim Hindurch- 
gehen des Lichts die dabei entstehende ordentliche Welle total absorbiert (262) und 
nur die außerordentliche gelangt, stark gefärbt, ins Auge. Man hat also nur in die 
Fortpflanzungsrichtung eines Strahlenbündels gewöhnlichen Lichts eine solche Tur- 
malinplatte einzuschalten, um ein Bündel polarisierter Lichtstrahlen zu erhalten, 
deren Schwingungen parallel mit der Achse des Turmalins vor sich gehen. 

Um statt des gefärbten Lichts, das der Turmalin liefert, weißes zu erhalten, 
benützt man den Doppdapat^ in welchem man die Beseitigung des einen und zwar 
des ordentlichen Strahls künstlich bewirken kann. Man schleift an ein längliches 
Doppelspatspaltungsstück, dessen Umriß in dem durch die lange Endkante BD 
gehenden Hauptschnitt durch das Parallelogramm ABCD darstellt (Fig. 318), zwei 

neue Flächen ABi und CiD an, welche wie die beiden 
Spaltungsflächen AB und CD auf dem Hauptschnitt ABCD 
senkrecht stehen und mit AB und CD Winkel von je 3® 
machen. Dann zersägt man das Spaltungsprisma senkrecht 
Fig. 318. 2U ABCD, so daß die Trennungsfläche ByCi mit AB^^ 

und CiD Winkel von 90** macht, poliert die beiden Schnitt- 
flächen und klebt die beiden Hälften mittels Canadabalsam genau in der alten 
Lage wieder aufeinander. Der Balsam hat einen Brechungskoeffizienten, welcher 




Nicoisches Prisma. TnrmallnplaCte. Brechnngskoeffizienten. 269 

zwischen denen der ordentlichen nnd außerordentlichen Welle im EalksiMtt in 
deT Mitte steht. Fällt nnn anf die Fläche ABi ein gewöhnlicher Lichtstrahl ab 
parallel znr Kante BD ein, so wird er doppelt gehrochen, nnd zwar, weil der 
Kalkspat — ist, der ordentliche stärker nach &o, der außerordentliche weniger 
stark nach he. Der ordentliche Strahl ho wird an dem optisch weniger dichten 
Cknadabalsam total reflektiert und durch Ablenken nach od beseitigft; der außer- 
ordentliche Strahl be geht durch die Balsamschicht hindurch nach ef und ver- 
läßt den Kalkspat nach fg \\ ab. Dieser Apparat heißt nach seinem Erfinder ein 
Nicolachea Prisma oder kurz ein Nicol. Das durch einen solchen Apparat gegangene 
Licht ist senkrecht zum Hauptschnitt polarisiert, die Schwingungen gehen somit im 
Hauptschnitt, also in der von der kurzen Diagonale des Querschnitts des Spaltungs- 
rhomhoeders bestimmten Eichtung vor sich. Dieser Hanptschnitt wird auch wohl 
die Schwingungsebene des Nicols genannt Die Nicols sind die bequemsten und am 
häufigsten angewendeten polarisierenden Apparate, die znr Zeit bekannt sind. 

Übrigens sind diese Prismen zuweilen auch in etwas anderer Weise konstruiert, 
was aber in der Hauptsache ihre Wirkung nicht wesentlich ändert. (K. Feußner, 
Zeitschr. f&r Listrumentenkunde Bd. IV. 1884 pag. 41.) Auch aus anderen Sub- 
stanzen (Natronsalpeter etc.) werden sie zuweilen hergestellt, statt aus Kalkspat. 

220, BrechuiigskoefHzienteiL. Kennt man die Fortpflanzungs- 
geschwindigkeiten e und der in der Richtnng der Achse nnd senk- 
recht dazu schwingenden außerordentlichen Wellen in einem ein- 
achsigen EryBtall, so folgen daraus die Fortpflanzungsgeschwindig- 
keiten der in intermediären Kichtungen schwingenden Wellen nach 
(316). Durch die Kenntnis von e und o für jede Farbe und Temperatur 
sind somit einachsige Krystalle in der Hauptsache optisch bestimmt. 
Diese Werte werden aber ermittelt durch die Brechungskoeffizienten 
€ und (o der Wellen, welche parallel und senkrecht zur Achse 
schwingen, der sog. Hauptbrechungskoeffiaienten, Sie sind für alle 
Krystalle derselben Substanz dieselben, ändern sich aber von einer Sub- 
stanz znr anderen. Man bezeichnet sie auch als die optischen Kon- 
stanten der einachsigen Krystalle. 

Die Brechnngskoeffizienten sind wie bei isotropen Substanzen (205) 
die reciproken Werte der entsprechenden Fortpflanzungsgeschwindig- 
keiten und man. hat die Formeln : 

w und e sind die größten und kleinsten Brechnngskoeffizienten, 
die in einem Krystall überhaupt vorkommen können, w ist der ordent- 
liche (ordinäre) Brechungskoefftzient ; er gilt für ordentliche Wellen 
durchaus, b ist der außerardentlidie (extraordinäre) Brechungskoefft- 
zient; er gilt für diejenigen außerordentlichen Wellen, die sich, in 
der Bichtung der Hauptachse schwingend, senkrecht zu dieser fort- 
pflanzen. Für außerordentliche Schwingungen, die weder nach der 
Achse noch senkrecht dazu stattfinden, gelten Brechnngskoeffizienten, 
die zwischen (o und e liegen und zwar entsprechend dem durch die 



270 Einachsige Krystalle. 

Wellen- oder Strahlenfläche dargestellten Gesetz. Fttr + Krystalle 
ist stets w<€, z. B. beim Quarz: ct> = 1,54418; fi = 1,55328. Ffir 
— Krystalle ist w > ß, z. B. beim Kalkspat : (o = 1,6583 ; e = 1,4864, 
bei beiden Mineralien für Natriumlicht (Linie D des Spektrums). Da 
die Hauptbrechungskoeffizienten durch die obigen Formeln direkt ntit 
der Elastizität des Äthers in der Richtung der Achse und senkrecht 
dazu in Verbindung stehen, so geben sie auch ein Maß flir die Doppel- 
brechung. Ein Krystall ist um so stärker doppeltbrechend, je größer 
die Differenz der beiden Hauptbrechungskoeffizienten w — e für — , 
€ — 0) für -[-Krystalle. Der Kalkspat, wo w — « = 0,1719, ist viel 
stärker doppeltbrechend, als der Quarz, bei dem c — w = 0,0091 und 
die Doppelbrechung selbst ist = 0,1719 resp. = 0,0091. 

Unter den bisher bekannten einachsigen Erystallen ist das quadratische 
Calomel, die am stärksten doppeltbrechendei zugleich die am stärksten doppelt- 
brechende Substanz überhaupt; bei ihm ist: <» = l,9732d und c = 2,66618, die 
Doppelbrechung also: e — tt> = 0,68293 für i\ra-Licht, für 27-Licht ist sogar: « — » 
= 0,722. Sehr stark doppeltbrechend ist anch der Zinnober (diff. = 0,847) und der 
Rutil (0,287, beide für rotes Licht). Sehr schwach doppeltbrechend sind dagegen 
der Nephdin (a; = 1,541; «=1,Ö37; diff. = 0,004) und der Leucit (öi = 1,ö08; 
e = 1,509 ; diff. = 0,001). 

Die Bestimmung der Brechungshoefßjnenten einachsiger Krystalle 
erfolgt mut. mut nach denselben Methoden, wie die isotroper Sub- 
stanzen (211). Man erhält dabei stets dieselben Werte für alle 
Schwingungen senkrecht zur Hauptachse, sie mögen sonst in einer 
Richtung vor sich gehen, in welcher sie wollen, also stets dieselben 
Werte für w. Die Elastizität des Äthers ist demnach in allen Rich- 
tungen senkrecht zur Achse die gleiche, wie es der Annahme von 
Fresnel (215) entspricht. Ermittelt man die BrechungskoefBzienten 
für Lichtschwingungen, die in einem Hauptschnitt in allen Azimuten 
von der Hauptachse bis zur Richtung senkrecht dazu vor sich gehen, 
so findet man far die Schwingungen parallel der Achse stets einen 
größten und für die senkrecht darauf stattfindenden einen kleinsten 
Wert oder umgekehrt. Die Änderung der Ätherelastizität von 
einer Richtung zur anderen findet in allen Hauptschnitten in der 
gleichen Weise und stets ebenfalls der Ansicht von Fresnel gemäß 
statt, wie sie durch die Wellenfläche dargestellt ist. Die Methoden, 
um die es sich hier hauptsächlich handelt, sind nun die folgenden: 

1. Methode mit dem Prisma, Die Prismen müssen so geschliffen 
sein, daß bei der Minimalablenkung die senkrecht zur brechenden 
Kante hindurchgehenden Wellen das Prisma in der Richtung der 
Hauptachse oder senkrecht dazu durchziehen. Die Schwingungen der 
Wellen im Prisma müssen dann in der Tat senkrecht resp. parallel 
mit der Achse vor sich gehen, wie es fttr die Wellen, welche oi und b 
geben sollen, nach dem Obigen erforderlich ist. Dies wird am besten 



Bestiminnng der Brechnngskoeffizienten. 271 

erreicht, wenn man die brechende Kante der Hauptachse parallel 
macht oder unter Umständen auch, wenn man das Prisma so schleift, 
daß die Hauptachse in der den brechenden Winkel halbierenden 
Ebene auf der brechenden Kante des Prismas senkrecht steht. 
Weniger empfiehlt es sich, die brechende Kante senkrecht zur Haupt- 
achse zu legen, so daß diese letztere auf der Halbierungslinie des 
brechenden Winkels senkrecht steht. 

In Fig. 319 sei die brechende Kante N des Prismas der Haupt- 
achse des Krystalls parallel, die Prismenflächen MN und NP sind 
dann ebenfalls der Hauptachse parallel, können aber sonst ^^^ 

ganz beliebig liegen. Minimalablenkung findet auch hier 
statt, wenn die Wellen den Krystall in der Richtung BC ^,. 
durchziehen, welche gegen MN und NT? gleich geneigt und ^ 
zur brechenden Kante senkrecht ist. In dieser Richtung 
gehen aber zwei Wellen, die ordentliche und die außer- ^•^ 

ordentliche mit verschiedener Geschwindigkeit hindurch, ^ff* ^^^• 
die eine, außerordentliche, mit Schwingungen parallel der brechenden 
Kante N^ (Achse); die andere, ordentliche, senkrecht dazu nach ISO 
schwingend, welches so liegt, daß MNO — PNO^ also NO J_ BC ist. 
Wegen der verschiedenen Geschwindigkeit beider Wellen treten sie 
bei C nach verschiedenen Richtungen CDo und CD« aus, sie müssen 
also auch aus verschiedenen Richtungen AoB und AeB auf der Fläche 
MN in B ankommen. Man muß somit für die ordentliche und die 
außerordentliche Welle die Minimalablenkung getrennt aufsuchen und 
erhält daraus dann w und e nach der oben (211) mitgeteilten Formel, 
Man unterscheidet beide Wellen mittels eines auf das Okular des 
Beobachtungsfemrohrs aufgesetzten Nicols. Ist dessen Schwingungs- 
ebene der brechenden Kante parallel, dann können nur Schwingungen 
parallel dieser Kante d. h. parallel der Achse hindurch und man er- 
hält £. Ist dagegen die Schwingungsebene des Nicols senkrecht zur 
Kante, so sind die hindurchgehenden Schwingungen senkrecht zur 
Achse und man erhält w, wobei dann immer Farbe und Temperatur 
noch besonders zu berücksichtigen sind. 

Man erhält dabei stets denselben Wert fttr den ordentlichen Brechungskoeffi- 
zienten 07, d. h. für Schwingungen senkrecht zur Achse c, das Prisma mit der 
brechenden Kante parallel zu dieser mag in dem Krystall orientiert sein wie es will, 
die Flächen NM und NP mögen diese oder jene Lage || c haben und die Fortpflan- 
zungsrichtung BCj sowie die Schwingungsrichtung ON mögen, beide in der Ebene 
der Nebenachsen, also senkrecht zu c, irgendwie gerichtet sein. Dies ist nur mög- 
lich, wenn die Elastizität des Äthers in allen Bichtungen senkrecht zur Achse den 
gleichen Wert hat, wie es der Annahme von Fresnel entspricht. 

Ist dagegen die brechende Kante N auf der Hauptachse senkrecht, dann sei 
die letztere zunächst nach NO (Fig. 319) gerichtet, so daß sie den brechenden 
Winkel MNP halbiert. Nun sind die beiden Flächen MN und NP des Prismas 
gegen die Hauptachse NO gleich geneigt, können aber sonst beliebig liegen. In 



272 



Einachsige Krystalle. 




H 



Fig. 320. 



diesem Fall schwingt von den beiden bei der Minimalablenlnmg nach BC durch das 
Prisma gehenden Wellen die eine, ordentliche, senkrecht zur Adise, also parallel mit 
der brechenden Kante Ny die andere, anßerordentliche, parallel mit der Achse NO. 
Bei einem solchen Prisma muß die Schwingnngsebene des Nicols, umgekehrt wie 
vorhin, parallel mit der brechenden Kante des Prismas sein, wenn man oi, senkrecht 
dazu und parallel NO^ wenn man e erhalten will. 

Sind die beiden Prismenflächen MN und NP gegen die Achse nicht gleich 
geneigt, so daß die Achse nach NO gerichtet ist, wie in Fig. 320, so erhält mau 
zwar wieder den ordentlichen Koeffizienten co aus einer Welle, welche 
nach BC hindurch geht und parallel mit der brechenden Kante N, also 
^'^ senkrecht zur Achse NO schwingt. Aber man erhält aus einer in der 
Richtung der Minimalablenkung BC hindurchgehenden außerordentUcben 
Welle nun nicht mehr e, sondern einen Brechungskoeffidenten, der zwischen 
e und to liegt. Er entspricht den Schwingungen in der Richtung BS, 
welche in dem durch AB und NO bestimmten Hauptschnitt MNP 
senkrecht zu BC, aber schief zur Achse NO ist. Mittels Prismen dieser Art, in 
denen die Achse NO die verschiedenste Lage und daher die verschiedenste Neigung 
zur Fortpflanzungsrichtnng BC des Lichtes im Prisma hat, lassen sich die außer- 
ordentlichen Brechungskoeffixienten fftr alle in einem Hauptschnitt gelegenen 
Schwingungsrichtungen ermitteln. Aus ihnen folgt dann die Änderung der Elasti- 
zität des Äthers von der Richtung der Achse bis zu der Richtung senkrecht dam, 
gemäß der -\- und — Doppelbrechung und entsprechend der Annahme von Fresnel, 
auch in allen Hauptschnitten ganz in derselben Weise. 

Ist endlich die brechende Kante wieder senkrecht zur Hauptachse (Fig. 321), 
liegt diese aber so in BC, daß sie auf der Halbierungslinie NO das 
brechenden Winkels senkrecht steht, dann ist sie offenbar der Rich- 
tung BC der Minimalablenkung parallel. Geht nun in dieser Rich- 
tung das Licht durch das Prisma, so erhält man nur den Koeffi- 
zienten to, weil eben in der Richtung der Hauptachse BC nur Wellen 
durch den Krystall gehen, welche die Geschvrindigkeit o haben, keine 
anderen. 

2. Methode mit dem Mikroskop. Diese wird hier ganz ebenso an- 
gewendet, wie bei isotropen Substanzen (211). Eine Platte senkrecht 
zur Achse, parallel mit der Basis, gibt nur co. Eine solche parallel 
mit der Achse gibt w und e. Beide werden mit Hilfe eines am 
Mikroskop angebrachten Nicols unterschieden : ist dessen Schwingungs- 
richtung der Hauptachse des Krystalls parallel, so erhält man €, ist 
sie darauf senkrecht, so erhält man o. 

3, Methode der Totalrefieocion, Im allgemeinen gibt jede irgendwie 
am Krystall gelegene Fläche w und «. Die Fläche MN (Fig. 322) 

ip sei senkrecht zur Achse CC,. Eine aus der Flüssigkeit 

auf MN einfallende Welle AO gibt zwei vom Einfallslot 
weggebrochene Wellen im Krystall, welche sich nach 
OBo und OBt fortpflanzen. Die Schwingungen der ordent- 
lichen Welle OBo sind im Grenzfall, d. h. wenn sie 
sich nach ON bewegt, wie überhaupt immer, senkrecht zu CC^ und 
somit zur Ebene der Zeichnung; die Schwingungen der außerordent- 
lichen Wellen OB^ gehen im Grenzfall parallel CC^ vor sich. Die 



- -0 




CiiitaJl! 

ii 




C9. 



'S 



Fig. 322. 



Zweiachsige Erystalle. Elastizitätsellipsoid. 273 

Brechungsverhältnisse beider lassen sich wie bei isotropen Mineralien 
durch Totalreflexion bestimmen. Die den beiden gebrochenen Wellen 
entsprechenden Grenzen der Totalreflexion gehen beim liehen der 
Krystallplatte um die in vertikal stehende Drehachse des In- 
struments nacheinander durch das Sehfeld, hier zuerst f «, dann Bo^ 
denn in dem Moment, wo OBe bereits total reflektiert ist, wird OBo 
noch nach innen gebrochen, und erst bei einer weiteren Drehung der 
Fläche um die zur Zeichnungsebene senkrechte, durch gehende 
Achse tritt die Totalreflexion auch für OB^ ein. Die beiden reflek- 
tiei-ten Wellen unterscheidet man auch hier mittels eines auf das 
Beobachtungsfemrohr aufgesetzten Nicols ; ist dessen kleine Diagonale 
senkrecht, so geht die ordentliche Welle hindurch und man erhält cti, 
ist dieselbe horizontal, so erhält man e. 

Ist die reflektierende Fläche MN parallel der Achse und ist die 
Achse selbst horizontal, also senkrecht zur Drehachse des Instruments, 
somit parallel der Linie MN^ auf welcher die Drehachse des Instru- 
ments in senkrecht steht, so werden nur senkrecht zur Achse des 
Krystalls schwingende Wellen reflektiert und man erhält nui* eine 
einzige Grenze, die cu liefert Ist die Achse dagegen senkrecht und 
der Drehachse parallel, so erhält man wieder (n und «, und zwar 
nun, entgegengesetzt gegen vorhin, b bei senkrechter, u> bei wage* 
rechter Stellung der kleinen Diagonale des Nicols. 

Die WollastoDsche Methode kann in ganz entsprechender Weise 
angewendet werden. 

(Lit. vergl. (211)). Außerdem: Liebisch, N. Jahrb. Min. 1885, I, pag. 245 und 
n, 181; Born, N. Jahrb. f. Min. etc. Beilageband V, 1886, pag. 1. 

Eine andere Methode der Bestimmung von Brechnngskoeffizienten an einachsigen 
Erystalien, vergL Baner, N. Jahrb. für Mineralogie etc., Beilageband II, 1883, pag. 49. 

Zweiachsige Krystalle. 

In den hierhergehörigen rhombischen, monoklinen nnd triklinen Krystallen ist 
die Symmetrie fttr das optische Gesamtyerhalten genau dieselbe wie für die holoedrische 
krystallographische Begrenzung. Jede krystallographische Symmetrieebene ist eine 
optische und umgekehrt. 

22K ElastlzltStselllpsoid. In zweiachsigen Krystallen ist nach 
der Annahme von Fresnel der Äther so beschaffen, daß seine Elastizität 
in einer Richtung OX ihren größten Wert a, in einer zweiten darauf 
senkrechten Richtung OZ ihren kleinsten Wert c und in einer dritten, 
auf diesen beiden senkrechten Richtung OY irgend einen mittleren 
«wischen a und e liegenden Wert b hat, der aber nicht etwa das 
arithmetische Mittel zwischen a und c ist. Es ist also a>&>c. 
Diese drei aufeinander senkrechten Richtungen OX, OY und OZ der 
größten, mittleren und kleinsten Elastizität werden die Elasturims^ 

Bauor, Mineralogie. *-^ 



274 Zweiachsige Erystalle. 

ochsen, die drei ebenfalls aufeinander senkrechten Ebenen XOY, TOZ, 
ZOX werden die Hauptschnüte des Erystalls genannt. 

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten a, b, c der nach OX, OYy 
OZ schwingenden Wellen haben gleichfalls einen höchsten, mittleren 
und kleinsten Wert, so daß a > b > c. Sie stehen auch hier in einer 
einfachen Beziehung zur Elastizität und man hat: 

Die Lichtwellen, die durch Schwingungen in der Richtung OXy 
OYy OZ fortgepflanzt werden, sind charakterisiert durch die Brechungs- 
koeffizienten a, ß, y, die als die HaupibrechungsJcoeffmenten des 
Krystalls bezeichnet werden. Sie sind, wie bei isotropen Substanzen 
(205) und bei einachsigen Krystallen (220): 

1^1 1 

a' ^ b ' ' c 
so daß: a<;/?<;y. Man hat somit: 

a, b, c; Q, b, c; o, ß, y sind in allen Krystallen derselben Substanz 
gleich, aber mit der Farbe des angewandten Lichts und mit der 
Temperatur etwas verschieden. Die Doppelbrechung ist, analog wie 
bei den einachsigen Krystallen (220), durch die Differenz des größten 
und kleinsten Hauptbrechungskoeffizienten y — a bestimmt 

In allen zwischen den drei Elastizitätsachsen liegenden Richtungen 
ist die Elastizität zwischen a, h und c um so näher dem einen oder 
anderen dieser Werte, je näher die Richtung der Achse OX^ OY oder 
OZ ist. Den Wert der Elastizität in jeder beliebigen Richtung kann 
man nach dem Vorgang von Fresnel darstellen mit Hilfe der Elasti- 
eüätsfiäche. Diese erhält man, wenn man von einem Punkte aus 
auf den dreiJSlastizitätsachsen OX^ OY, OZ nach beiden Seiten die 
Stücke a=ya; b = y6; c = Yc abträgt und darüber ein Ellipsoid 
konstruiert. Li jeder Richtung ist die Quadratwurzel aus der 
Elastizität des Äthers, "j/e, gegeben durch den betreffenden Radius 
des Elastizitätsellipsoids und die in dieser Richtung schwingenden 
Lichtwellen pflanzen sich mit einer Geschwindigkeit t = ie fort. 
Überhaupt sind alle Radien des Elastizitätsellipsoids proportional den 
Fortpflanzungsgeschwindigkeiten der in den betreffenden Richtungen 
schwingenden Lichtwellen und nach dem Obigen auch proportional 
den reciproken Werten der für diese Richtungen geltenden Brechungs- 
koeffizienten. Speziell die Längen der drei Elastizitätsachsen a, b, c 

111 
verhalten sich wie — >-ö>,— • Aus dem Elastizitätsellipsoid lassen 

sich dann, wie wir sehen werden, die optischen Eigenschaften der 
zweiachsigen Krystalle ableiten. 



Elastkittttsellipsoid. Schwingongsrichtiuigren. 275 

Die entsprechende Elastizitätsilfiche bei einachsigen Krystallen, Ton der wir 
aber allerdings oben keinen Gebrauch gemacht haben (216), würde man erhalten, 
wenn zwei der drei Elastintätsachsen einander gleich würden. Das bei den zwei- 
achsigen Sjystallen dreiachsige Ellipsoid würde dann ein Rotationsellipsoid, dessen 
Jlotationsachse die dritte Elastizitätsachse wäre. Ein solches Botationsellipsoid würde 
die Beschaffenheit des Äthers in einem einachsigen Krystall znr Darstellung bringen. 
Ebenso eine Kugel für eine isotrope Substanz; alle drei Elastizitätsachsen sind hier 
gleich, der Äther hat nach allen Richtungen die gleiche Elastizität. 

Statt des Elastizitätsellipsoids benützt man zur Darstellung der optischen Ver- 
hältnisse zweiachsiger Krystalle häufig ein Ellipsoid, dessen Achsen nicht den reci- 
proken Werten der Hauptbrechungskoeffizienten, sondern diesen direkt proportional 
sind. Alle Radien sind dann den Brechungskoeffizienten der in den betreffenden 
Richtungen schwingenden Lichtwellen proportional und man kann sie danach aus 
den Hauptbrechungskoeffizienten a, ß^ y berechnen. Dieses Ellipsoid ist die Index- 
fläche oder Indicatrix, die ebenfalls wie die Elastizitätsfläche entweder dreiachsig, 
oder ein Rotationsellipsoid oder eine Kugel ist Sie führt genau auf dieselben Gesetz- 
mäßigkeiten im optischen Verhalten wie die letztere. 

(Fletcher, The optical indicatrix and the transmission of light in crystals, 
London 1892; Deutsch von Ambronn und König: Die optische Lidicatiix, Leipzig 
1892.) 

222. Schwingaiigsrichtaiigeii. Aach in einem zweiachsigen 
ErystaU bewegen sich nach jeder Bichtnng im allgemeinen zwei 
senkrecht zueinander polarisierte Lichtwellen mit verschiedener Ge- 
schwindigkeit fort, wenn der Äther an einem beliebigen Punkt er- 
schBttert worden ist. Die Schwingungsrichtangen dieser beiden Licht- 
wellen erhält man (212), indem man um den erschütterten Punkt im 
Innern des Erystalls, den Ausgangspunkt der Lichtbewegung, das 
Elastizitätsellipsoid des Erystalls beschreibt und durch denselben 
Punkt eine Ebene senkrecht zu der Fortpflanzungsrichtung legt. In 
dieser Ebene müssen die beiden Schwingungsrichtungen jedenfalls 
liegen und zwar sind es die beiden Achsen der Ellipse, in der die 
Ebene die Elastizitätsfläche schneidet. In deren Richtung hat ja die 
Elastizität des Äthers senkrecht zu der Fortpflanzungsrichtung ihren 
größten und ihren kleinsten Wert. Die Schwingungen parallel mit 
der größeren Ellipsenachse werden der in dieser Eichtung herr- 
schenden größeren Elastizität wegen rascher vorwärts schreiten, als 
die Schwingungen parallel mit der kleineren, und zwar sind die 
beiden Fortpflanzungsgeschwindigkeiten den Längen dieser beiden 
Ellipsenachsen, die ja den Quadratwurzeln aus den Elastizitäten iu 
diesen Bichtungen gleich sind (221), direkt proportional. Die in der 
Richtung der kleinen Achse schwingende Welle wird also hinter der 
in der Richtung der größeren Achse schwingenden um einen mit der 
Zeit wachsenden Betrag zurückbleiben müssen. 

Hierauf beruhen n. a die Viertelundülathnsglimmerplatten (V4 ^Plfttten), die 
man bei der optischen Untersachimg der Krystalle häufig eot Bestimmung des 
Charakters der Doppelbrechung (24S, 254) etc. benfitzt Es sind Spaltungsplättchen 

18* 



276 Zw«iu;lim^ SiyfltBlle. 

Ton QUmniär, Toa solcher Dicke, daQ bei senkncht hindnrehgehendem Licht die 
langsamere Welle beim AnBtritt ans der Platte hinter der rascheren genau nm «ne 
ViertelweileBläng^e ['Ul) larOckgehlteben ist (fttr Strahlen von mittlerer Brschbar- 
keit and bei gewShnlicher Temperatur). 

Die Elastizitätsaehsen werden wohl ancb als die Hauptschwingunffs- 
ricktungm der Krjstalle, der zweiachsigen und entsprechend der ein- 
achsigen, bezeichnet. 

22S. WelleHllfteke. FfStr die in den Hauptschnitten gelegenen 
Fortpäanzungsrichtnngen lassen sich nun die zugehSrigen Schwin- 
gnngsrichtnngen (senkrecht und parallel zu dem betreffenden Hanpt- 
scbnitt) und auch die zugehörigen FortpSanzungsgeschwindigkeiten 
ohne Schwierigkeit angeben, und man kann danach den Verlauf der 
Wellenfläche (Strahlenflftcfae) in den Hanptschnitten ermitteln und 
dadurch einen Einblick in die Oestalt dieser Fläche erlangen. 

In einer in einem Hanptschnitt gelegenen Richtung pflanzen sich 
zwei Wellen fort, welche nach dem obigen senkrecht und parallel 
zum Hauptschnitt schwingen. Liegt diese Richtung in dem Haupt- 
schnitt XOZ, so mOssen sich die senkrecht dazu, also parallel mit der 
Achse OY sehwingesden Wellen mit derselben Geschwindigkeit b im 
Krystall fortpflanzen, die Fortpäfunzungsricbtung mag in diesem Haupt- 
sebnitt sein, welche ^e will Eme solche Welle verhält sich in diese» 
Hanptschnitt als» wie die ordentliche Welle in einem einachsigeB 
Kristall. Die Wellenfläche gibt im Schnitt mit der Ebene XOZ 
einen Kreis um des erregten Punkt mit dem Radius b. Aber in 
dem Hauptschnitt XOZ können sich noch Wellen mit Schwingungen 
parallel dem Hanptschnitt fortpflanzen (Fig. 323}. Gieschieht dies in 
der Richtang OX, so Schwingt die Welle parallel OZ; pflanzt sie sich 
nach OZ fort, so schwingt sie parallel OX. Diese beiden Wellen 
haben also die Oescfawindigkeiten c und a, und in derselben Zeit, wo 
die parallel OY sehwingenden Wellen sich nach allen Seiten in du 




Fig. 323. Fig. 324. Pig. 826. 



Ebene XOZ bis zn einem Ereis mit dem Radina b ausgebreitet haben, 
entfernen sich die letzteren beiden Wellen ron um die Längen c 
auf OX und a auf OZ. Die Geschwindigkeiten der zwischen OX und 
OZ sich fortpflanzenden Wellen erhält man für jede Richtung wieder 
all Radios einer tiber a und c als Achsen konstraierten Ellips«. Die« 



Wel]«DflMie. Oirtift^e Achsen. 277 

imrallel dem iHaoptsduiitt tKshwiligenden Wellen pflanzen ^ch also je 
nach der Eichtnng verschieden rasch fort, sie verhalten sich in dieser 
Seddehnng wie die außerordentliche Welle in einem einachsigen 
Krystall (216). 

Der Verlauf der WeUenfläche in den Hanptschnitten XOZ nnd TOZ ergibt 
sich in ganz ähnlicher Weise. In YOZ erhält man (Fig. 324] einen Kreis mit dem 
Itadias a nnd eine Ellipse mit der Achse c anf OF nnd b anf OZ^ nnd in XOT 
einen Elreis mit dem Badins c nnd eine Ellipse mit den Achsen a nnd b anf OT 
nnd OX (Fig. 325). Setzt man die Hanptschnitte in der natürlichen Lage senkrecht 
aneinander znsammen, so gewinnt man eine genügende Vorstellnng von der Wellen- 
fläche zweiachsiger Krystalle. Diese besteht ebenfalls ans zwei Schalen, bis zn 
welchen die in jeder Richtnng mit yerschiedener (Geschwindigkeit fortschreitenden 
beiden Lichtbewegnngen in der Zeiteinheit gelangt sind. Die Verhältnisse sind 
ganz ähnlich wie bei den einachsigen Erystallen, aber bei den zweiachsigen durch- 
dringen sich die beiden Schalen gegenseitig, wie Fig. 323 zeigt. Die ganze Fläche 
ist symmetrisch zn den drei durch die Elastizitätsachsen OX, OY^ OZ gelegten 
Hanptschnitten. 

224. Optische Achsen. Von besonderem Interesse ist die Be^ 
wegnng der Lichtwellen in dem Hanptschnitt XOZ (Fig. 328). Während 
sich in jeder Bichtnng in einem zweiachsigen Krystall zwei Wellen 
parallel, aber mit verschiedener Geschwindigkeit fortpflanzen können, 
deren Lagen in einem bestimmten Moment durch die zwei Tangential- 
ebenen an jede der beiden Schalen der Wellenfläche bestimmt werden, 
gibt es in dem Hauptschnitt XOZ zwei Richtungen, in welchen sich 
*je nur eine einzige Welle fortpflanzen kann. Es gibt nämlich rechts 
und links von OZ resp. OX eine Bichtung, in wehdier beide Schalen 
der Wellenflächen von einer einzigen gemeinsamen Ebene berührt 
werden, was bei den beiden anderen Hauptschnitten (Fig. 324, 325) 
nicht möglich ist. Diese gemeinsame Berührungsebene erhält man, 
wenn man die gemeinsamen Tangenten MN und MN der Ellipse 
nnd des Kreises um zieht und in diesen Linien MN und MN* auf 
der Ebene XOZ senkrechte Ebenen errichtet Zu diesen parallel be- 
wegen sich die beiden in der betreffenden Bichtung allein sich fort- 
pflanzenden Wellen; ihre Fortpflanzungsrichtungen (Normalen) siAd 
OM und OM, beiderseits symmetrisch zu OZ und OX, so daß MOZ 
= MOZ, MOX^MOX. In diesen Richtungen OJlf und OM findet 
also keine Doppelbrechung statt. Die nach OJf und OM sich be- 
wegenden Wellen schreiten mit der mittleren Geschwindigkeit i = -ö 

vorwärts, die der auf dem Hauptschnitt XOZ senkrechten mittleren 
Elastizität b entspricht Diese beiden Bichtungen OM und OM', in 
denen keine Doppelbrechung der Lichtwellen stattfindet, sind die 
optischen Achsen des Krystalls. Diese liegen stets in der Ebene XOZ, 
die durch die größte und die kleinste Elastizitätsachse bestimmt und 
die daher auch die Ebene der optischen Achsen (optische Achsen- 



278 Zweiachsige Erystalle. 

ebene) genannt wird. Letztere ist daher auch stets senkrecht zur 
Achse der mittleren Elastizität OY. 

Die Bichtnng«n OM und OM* ergeben sich, wie eine mathematische Betrach- 
tong zeigt, aus dem Elastizitätsellipsoid. Legt man durch die Achse OY der mitt- 
leren Elastizität eine Ebene senkrecht zum Hauptschnitt XOZ, so schneidet diese 
das Ellipsoid im allgemeinen in einer Ellipse, deren anf XOZ senkrechte Achse == b 
ist. Es gibt aber auf beiden Seiten der Elastizitätsachse OZ resp. OX und gegen 
diese gleich geneigt je einen Schnitt, in welchem die im Hanptschnitt liegende 
Ellipsenachse ebenfalls = b ist, so daß dieser spezielle elliptische Schnitt in einen 
kreisförmigen mit dem Halbmesser b übergeht. Die Normalen zn diesen beiden Kreis- 
schnitten sind die Bichtungen OM nnd OM*, also die optischen Achsen des Erystalls. 
Bings nm diese ist die Ätherelastizität dieselbe. Es kann also in diesen beiden 
Bichtungen in der Tat nnr je eine Welle fortschreiten nnd zwar mit einer Ge- 
schwind^keit b =- ib. Einer solchen Welle muß daher der mittlere Brechnngs- 
koeffizient ß entsprechen. 

OM und OM yerhalten sich also in gewisser Beziehung optisch wie die Haupt- 
achsen einachsiger Erystalle. Aber während bei diesen zu der einzigen Welle auch 
nur ein einziger Strahl gehört, gehören bei den zweiachsigen Krystallen zu der 
einen Welle unendlich viele Strahlen. Die Ebenen MN und MN* berühren die 
WeUenfläche nach einem Kreis, und jeder von nach einem Punkt dieses Kreises 
gezogene Badius ist ein zu dieser Welle gehöriger Strahl, also z. B. die beiden in 
XOZ liegenden Badien OM und ON. AUe diese Strahlen liegen je auf einem Kreis- 
kege), dessen Spitze in und dessen Basis jener Kreis auf der Ebene MN und 
MN* ist. Sie erzeugen die Erscheinung der konischen Refraktion, indem sie beim 
Austritt aus einer der Tangentialebene MN paraUelen Fläche des KrystaUs den 
Mantel eines Kreiszylinders mit der Basis MN bilden. 

225, AchsenwinkeL Der Winkel der optischen Achsen MOM 
(Fig. 323) ist eine für die optische Charakterisierung der Erystalle 
sehr wichtige Größe, da er im allgemeinen, nicht immer, für alle 
Erystalle derselben Substanz konstant derselbe ist. Dieser Winkel 
hängt einzig und allein von den drei Hauptbrechungskoeffizienten 
a, /?, y (resp. von den Längen der Elastizitätsachsen a, 6, c) ab, mit 
welchen er gleichzeitig für verschiedene Farben und Temperaturen 
seine Größe ändert. Ist v der Winkel, den eine optische Achse OM 
oder OM mit der Achse OZ der kleinsten Elastizität macht, also 
v = ZOM=ZOM, so ist: 

"1 r 







a« y« 



/rix 






/IZX 



Oder auch ^ = V^-l/f4_iV'^ 



1—a){ß + a) 



ß) iy+ß) 





Achsenwinkel. Dispersion der optischen Achsen nnd Elastdzitätsachsen. 279 

Diejenige Elastizitätsaze, welche den spitaen Winkel der optischen 
Achsen halbiert, heißt die optische Mittellinie (M. L.) oder auch die 
erste Mitteüinie (Bisektrix); die darauf senkrechte Elastizitätsachse, 
welche den stumpfen Achsenwinkel halbiert, heißt die zweite Mittel- 
linie (Supplementarlinie). Die erste nnd die zweite Mittellinie liegen 
in der Ebene XOZ der optischen Achsen; sie sind stets die Achsen 
OX nnd OZ der größten und kleinsten Elastizität Die auf ihnen 
resp. auf der optischen Achsenebene stets senkrechte mittlere Elastizi- 
tätsachse OY wird auch die optische Normale genannt. Krystalle, bei 
welchen die Mittellinie die Achse OX der größten Elastizität ist, 
heißen ganz analog wie bei den einachsigen (215) negative, — ^ (Fig. 326), 
solche, bei denen sie die Achse OZ der kleinsten 
Elastizität ist, heißen positive, +, Krystalle — !^ \\ 

(Fig. 327). Für negative Krystalle ist somit .^^ ■""' "*" 

V > 45®, ifttr positive : v < 45®. Ein negativer 
Krystall wäre demnach auch in Fig. 323 dar- 
gestellt. ^«' 326. Fig. 327. 

226, Dispersion der optischen Achsen. In jedem zweiachsigen 
Krystall ist der Achsenwinkel für rotes Licht von dem für violettes 
verschieden, und zwar ist er bei manchen größer, bei manchen kleiner. 
Das erstere Verhalten, daß der Achsenwinkel für rotes Licht der 
größere ist^ bezeichnet man mit : ^ >> t; ; das letztere, daß der Achsen- 
winkel für rotes Licht der kleinere ist, mit Q<iv. Die Winkel für 
alle anderen Farben liegen zwischen denen für rotes und für 
violettes Licht in der Mitte. Diese ganze Erscheinung nennt man 
die Dispersion der optischen Achsen. 

Dieselbe kann so weit gehen, daß die Ebene der Achsen für rotes Licht anf 
der f&r violettes (blanes) Licht senkrecht steht bei gleich bleibender Mittellinie; so 
z. B. beim Brookit (Dispersion der AchHenebene). 

227. Dispersion der Elastlzitatsaclisen. Die Lage der Elastizitäts- 
achsen ist ebenfalls im allgemeinen von der Farbe des Lichts abhängig, 
ebenso auch von der Temperatur. Man nennt die Erscheinung, daß 
die Elastizitätsachsen ihre Lage mit der Farbe des angewandten 
Lichts ändern, die Dispersion der Elastimtiitsachsen. Für jede Farbe 
aber und für jede Temperatur stehen die Elastizitätsachsen in Be- 
ziehung auf ihre Lage im engsten Zusammenhang mit der Symmetrie 
des betreffenden Krystalls, derart, daß jede krystallographische Symme- 
trieebene auch eine solche in Bezug auf jene Achsen, also eine optische 
Symmetrieebene ist. Jede Elastizitätsachse parallel einer Symmetrie- 
achse und jeder Hauptschnitt parallel einer Symmetrieebene behalten 
konstant diese Richtung bei, da ja die krystallographische Symmetrie 
von Farbe und Temperatur unabhängig ist. Für jede andere 



280 Zwdkdttige ErjBtaUe. 

Elastizitätsachse resp. Haaptschnitt ist aber die Lage von diesen 
beiden Eigenscliaften &bhibi^ und mit diesen Terftnderlich. 

Far die einzelnen ErystAllsysteme verhält sich die Diqtersion 
der optischen und Elastizit&tsachsen folgendenuaßen: 

1. In rhombischen Krystallen sind för jede Farbe nnd für jede 
Temperatur die Slaatizitätsacbsen den brystallographischen Achsen 
parallel, Dispersion der Elastizitätsachsen findet also hier nicht statt. 
Jede der drei krystallographischen Achsenebenen ist ein optischer 
Hanptschnitt; die Ebene der optischen Achsen föllt stets mit einer 
solchen Achsenebene zusammen, nnd ebenso ist die Mittellinie stets 
einer Krysta,llach9e parallel. Nor die Länge der Elastizitfitsachsen 
ändert sich mit der Farbe nnd der Teroperatnr, nnd damit der 
Achsen Winkel. 

2. In monoklitteH Krystallen ist stets eine der drei Elastizitäts- 
achsen bei jeder Temperatnr and für jede Farbe anf der Symmetrie- 
ebene senkrecht (der Symmetrieachse parallel), die beiden anderen 
liegen irgendwie in der Symmetrieebene, aber fUr verschiedene Farben 
und Temperaturen verschieden. Die Symmetrieachse (Orthodiagonale) 
ist also stets eine optische Elastizitätsachse und die Symmetrieebeue 
ist stets ein optischer Haaptschnitt. In diesem findet fflr die zwei 
darin liegenden Elastizitätsachsen Dispersion statt, so daß die Elastizi- 
tätsachsen für rotes Licht mit den entsprechenden für blaues einen 
kleinen Winkel einschließen. Bezüglich der Lage der optischen 
Achsen und der optischen Mittellinie hat man hier drei verschiedene 
Fälle zu unterscheiden. Bei der bildlichen Darstellung derselben ist 
als Beispiel das Verhalten von ~\- Krystallen gewählt, wo die Mittel- 
linie der Achse OZ der kleinsten Elastizität parallel ist; die Ver- 
hältnisse der — Krystalle ergeben sich dann daraus von seihst. 

a. Die Ebene der optischen Achsen fällt mit der Symmetrieebeue 
des Krystalls zusammen. In dieser Ebene liegen dann auch die erste 
nnd die zweite MitteUioie nnd die optische Normale OY ist der 





Symmetrieachse parallel (Fig. 328). Die Mittellinien OZr and OZ, 
für rotes und violettes Licht haben eine etwas verschiedene Lage 



DispendoQ der EiaBÜeitftteachsen. 281 

(Disperskm der Elastizitätsachsen, speziell der Mittellinien); ebenso 
die Achsen OB und OF für rotes und violettes Licht (Dispersion der 
optischen Achsen (226)); anf der einen Seite der Mittellinien müssen daher 
die Achsen OR^ und OV^ etwas näher beieinander liegen, als auf der 
anderen Seite die Achsen OR und OV. Der Winkel ROR^^ ist stets 
von VOVj^ oder ZrOR von Z^OV etwas verschieden. Diese Art der 
Diversion heißt die geneigte Dispersion (z. B. beim Gips). 

b. Die Ebene der optischen Achsen ist senkrecht znr Symmetrie- 
ebene; sie geht fttr jede Farbe dnrch die Symmetrieachse b und ist 
gegen die Qnerfläche ooPoo(lOO) (Fig. 329 nnd 330) unter einem 
schiefen Winkel geneigt Aber dieser Winkel ist fftr rotes Licht 
anders als f&r violettes, so daß die Achsenebene RORi fttr rotes 
Licht mit der fttr violettes Licht TOV^ einen kleinen Winkel macht. 
Hier sind zwei Spezialfälle zu unterscheiden. 

cf. Die 1. Mittellinie OZ liegt in der Symmetrieebene (Fig. 329). 
OR und OÄji sind die optischen Achsen, OZr ist die Mittellinie für 
rotes Licht; OV und OV^ sind die Achsen, OZ^ ist die Mittellinie für 
violettes Licht. Die den Mittellinien entsprechenden Elastizitäts- 
achsen Zr und Zt, machen also hier in der Symmetrieebene einen 
kleinen Winkel ZrOZ^, miteinander; denselben Winkel machen die 
ebenfalls in der Symmetrieebene liegenden, hier aber nicht gezeich- 
neten Elastizitätsachsen OYr und OY^ Nur die dritte Elastizitäts- 
achse OX (die zweite Mittellinie) ist stets für alle Farben etc. die- 
selbe, sie ist parallel der Symmetrieachse b. Diese Art von Disper- 
sion heißt die horizontale Dispersion (z. B. beim Orthoklas). 

ß. Die 1. Mittellinie OZ ist auf der Symmetrieebene senkrecht und 
geht der Symmetrieachse parallel Dies gilt für alle Farben und 
Temperaturen. In Fig. 330 sind wieder OR und OR^ die optischen 
Achsen fftr rotes, OV und OV^ die für violettes Licht. Die Ebenen 
beider gehen durch die Achse b, welche ja die für alle Farben ge- 
meinsame Mittellinie OZ ist, und sie durchkreuzen sich in OZ unter 
einem kleinen Winkel VZR. Das weitere ergibt die Figur. Disper- 
sion der 1. Mittellinie findet hier nicht statt. Diese Art von Dispersion 
heißt die gehreuste (z. B. beim Borax). Andere als diese drei Arten 
der Dispersion sind mit der Symmetrie monokliner Krystalle unver- 
einbar. 

3. In iriklinen Krystallen ist irgend eine gesetzmäßige Beziehung 
zwischen der Lage der Elastizitätsachsen und der krystallographischen 
Begi'enzung überhaupt nicht mehr vorhanden; die Elastizitätsachsen 
liegen für jede andere Farbe und Temperatur immer etwas anders; 
es findet Dispersion der optischen Achsen, der Achsenebene, der 
Elastizitätsachsen und also auch der Mittellinien zugleich statt. 



282 Zweiachsige Krystalle. 

228. Opüsche Konstanten. Die optischen Verhältnisse eines 
zweiachsigen Erystalls sind im wesentlichen bekannt, wenn man die 
Länge der Elastizitätsachsen o, 6, c fQr alle Farben und Tempera- 
turen oder, was im Grunde dasselbe ist, die Hauptbrechungskoeffl- 

zienten a = —,ß = ^, y = — kennt, sowie die Lage der Elastizitäts- 
achsen gegen die krystallographischen Begrenzungselemente. Die 
Zahlen, welche die Richtung und Größe der Elastizitätsachsen in 
einem solchen Erystall angeben, heißen die optischen Konstanten des- 
selben. Die Richtung der Elastizitätsachsen, d. h. ihre Lage zu der 
Begrenzung des betreffenden Erystalls wird, soweit sie nicht schon 
durch die S3rmmetrie der Erystalle gegeben sind, nach den folgenden 
Abschnitten (230 ff.) mittels des Polarisationsinstruments ermittelt. 
Die Bestimmung der Hauptbrechungskoefflzienten geschieht auch hier 
am häufigsten nach den schon oben bei den isotropen und einachsigen 
Erystallen erläuterten Methoden (211, 220). Im konkreten Falle muß 
eine eventuelle Bestimmung der Lage der Elastizitätsachsen der Be- 
stimmung der Hauptbrechungkoeffizienten vorausgehen. 

In triklinen Ej-ystalleii) sJs dem allgemeinsten FaUe, sind die meisten, nämlich fttnf 
voneinander unabhängige optische Eonstanten zu bestimmen : die drei Hauptbrechungs- 
koeffizienten und die Lage zweier EJastizitätsachsen gegen die krystaUographische 
Begrenzung, gemessen etwa durch die Neigung der beiden Elastizitätsachsen zu 
zwei Kanten des Krystalls (die dritte auf jenen beiden senkrechte Elastizitätsachse 
ist dann in ihrer Lage ebenfalls gegeben). In monoklinen Erystallen sind vier un- 
abhängige optische Eonstanten vorhanden: die drei Hauptbrechungskoeffizienten 
und die Neigung einer in der Symmetrieebene liegenden Elastizitätsachse zu einer 
Eante in derselben Ebene (etwa die Vertikal- oder die Elinoachse); alles übrige ist 
durch die Symmetrie gegeben. Bei rhombischen Erystallen ist die Lage der Elasti- 
zitätsachsen bekannt, also sind nur drei Eonstanten, die drei Hauptbrechungskoeffi- 
zienten, noch zu bestimmen. 

In dem SpezialfaU der einachsigen Erystalle sind es der letzteren nur zwei, 
m und e, auf diese Zahl beschränkt sich also die Zahl der optischen Eonstanten und 
in isotropen Substanzen ist es endlich nur ein einziger Brechungskoeffizient, der für 
alle Lichtschwingungen in dem Eörper in derselben Weise wiederkehrt. 

Auch für die anisotropen Erystalle gilt die Dispersionsformel von Cauchy (206) ; 
sie wird für jeden einzelnen Hauptbrechungskoeffizienten genau in derselben Weise 
angewendet, wie bei den isotropen Eörpem. 

229. Brechungskoefflzienteii. 1. Methode mit dem Prisma. Die 

drei Hauptbrechungskoeffizienten erhält man mit Hilfe dreier Prismen, 
deren Kanten den drei Elastizitätsachsen parallel gehen, deren Flächen 
aber im Erystall sonst beliebig liegen können. Durch jedes solches 
Prisma gehen zwei Wellen, von denen die eine parallel mit der 
brechenden Kante resp. der betreffenden Elastizitätsachse schwingt. 
Nur diese kommt hier in Betracht, und sie kann leicht mit dem Nicol 
erkannt werden; sie liefert den Brechungskoefflzienten, welcher den 



Bestimmiuig der Brechungskoeffizienten. 283 

Schwingungen in der Richtung jener Achse entspricht Man kann aber 
auch mit nur zwei Prismen alle drei Hauptbrechungskoeffizienten, 
darunter sogar einen davon doppelt, bestimmen. Dabei gehen die Kanten 
der Prismen ebenfalls je einer Elastizitätsachse parallel, die Prismen- 
flächen NM und NP müssen aber so liegen, daß je eine zweite 
Elastizitätsachse NO^ welche auf der Prismenkante senkrecht ist, den 
Prismenwinkel MNF halbirt (Fig. 321). Ist z. B. die brechende 
Kante N parallel mit der Achse OY und ist NO parallel mit der 
Achse OX, so schwingt von den beiden Wellen, welche bei der Minimal- 
ablenkung das Prisma längs BC durchschreiten, die eine || N oder OF, 
die andere || NO oder 0X\ die erste gibt also /?, die andere a. Ist 
in einem zweiten Prisma die brechende Kante || OZ und entspricht 
NO der Achse OF, so erhält man y und /?, letzteres zum zweitenmal, 
was als Kontrolle wichtig sein kann. Die Unterscheidung von a, /S, y 
erfolgt auch hier mittels eines Nicols. Ist beim zweiten Prisma die 
Kante parallel OZ, liegen aber die Flächen desselben sonst beliebig, 
so erhält man aus ihm nur y. Man braucht also nur ein Prisma mit 
zwei orientierten Flächen, beim zweiten braucht bloß die Kante orien- 
tiert zu sein. 

2. Methode mit dem MihrosJcap. Hierbei sind mindestens zwei 
planparallele Platten, parallel mit zwei Hauptschnitten, z. B. XOY 
und XOZ nötig. Die erstere Platte gibt a und ß aus der Verschiebung, 
welche der Tubus des Mikroskops erleiden muß (220), wenn parallel 
mit OX resp. OY schwingendes Licht (mittels eines Nicols herzu- 
stellen) durch den Krystall geht Die zweite Platte gibt a (zum 
zweitenmal) und y. 

3. Methode der Totalreflexion. Eine einzige ebene Fläche parallel 
einem Hauptschnitt, für welche die Lage der Elastizitätsachsen be- 
kannt ist (zu ermitteln nach (234)), genügt zur Bestimmung von 
c, ß, y (220). Ist die Fläche parallel XOY und wird sie in die 
Flüssigkeit so eingetaucht, daß OY horizontal, also OX senkrecht ist, 
60 erhält man zwei Grenzen, welche Schwingungen || OX und || OZ 
entsprechen, und man findet daraus a und y. Ist dann bei einer 
zweiten Einstellung derselben Platte OX horizontal und OY vertikal, 
dann entsprechen die beiden Grenzen Schwingungen \\ OY und || OZ 
und man erhält ß und y (letzteres zur Kontrolle zum zweitenmal). 
Sogar mittels einer ganz beliebig gerichteten Fläche können alle drei 
Hauptbrechungskoeffizienten ermittelt werden, wenn diese Fläche nur 
einer der drei Elastizitätsachsen z. B. X parallel ist. Liegt diese 
Achse horizontal, also in der Einfallsebene des Lichts, dann bewegen 
sich beide Wellen in der Bichtung dieser Achse und man erhält die 
Brechungskoeffizienten ß und y für die beiden anderen Elastizitäts- 
achsen. Steht die Ache X vertikal, dann erhält man a. Die Messung 



284 PolarisatianBmBtriimente. 

kann nach der Methode des Eintauchens von Kohlransch oder nach 
der Methode von WoDaston mit dem Prisma ausgef&hrt werden. An 
beiden Instrumenten sind Vorrichtungen, um die Erystallplatte durch 
Drehung in ihrer Fläche aus einer Stellung in die andere ütbersn- 
führen. 

(Lit. yergl. (211) und (220), aowie TT. Kohlrauschj Wiedem. Ann. YII; Liebisch, 
N. Jahrb. f. Hin. etc. 1890, I, pag. 57; Zeitschr. f. Kryst. VII, 1883, pag. 433.) 

Eine Methode zur Bestimmung des mittleren Brechnngskoeffizienten fi ans dem 
Winkel der optischen Achsen vergl. (252). Andere Methoden zur Bestimmung der 
BrechungskoeMzienten zweiachsiger Erystalle: Batter, Sitzgsber. Berl. Ak. 1877, 
pag. 684; auch Tschemtakf Min. u. petr. Mitteilgn. I, 1878, pag. 14; lAehiBch, 
Zeitschr. Kryrt. Bd. VII, 1888, pag. 433; Viola, Zeitschr. f. Kryst. XXX— XXXIT, 
1898, 1899. 

Bei 4-Kry8tallen liegt ß näher an a, als an /, also /?—«</—/?; bei 
— Erystallen ist es umgekehrt: ß liegt n&her an y, als an «, also ß — «>y — A 

Beispiele: 
Schwefel: +.a = l,958; /9 = 2,038; y = 2,240; /?— « = 0,080, ;'— /ff = 0,202. 
Aragonit: — .a = l,5031; /9 = 1,6816; y = l,6859; /ff— « = 0,1786, y— (J = 0,0043. 



Folarisationsinstrumente. 

230. Zweck des Folarisationsinstraments. Um ein Mineral als^ 
einfach- oder doppeltbrechend zu erkennen, um bei doppeltbrechenden 
Substanzen die Ein- oder Zweiachsigkeit unabhängig von der Krystall- 
form zu unterscheiden, um die Lage der Elastizitätsachsen und der 
Hauptschnitte gegen die krystallographische Begrenzung resp. die 
Blätterbrüche zu bestimmen, um die Lage der optischen Achsen, den 
Achsenwinkel, die Dispersionsverhältnisse, endlich um den Charakter 
der Doppelbrechung (ob -^- oder — ) ohne Kenntnis der absoluten Werte 
der Längen der Elastizitätsachsen (der Hauptbrechungskoefßzienten) 
zu untersuchen, dienen die Pol4mscUi(ynsinsirumente, von denen einige 
auch fälschlicherweise Polarisationsmikroskope genannt werden. Bei 
ihnen fällt das durch eine polarisierende Vorrichtung (den Polarisator: 
einen Nicol, eine Turmalinplatte oder einen Glassatz) polarisierte 
Licht auf das meist in Form von planparallelen Platten angewendete 
Mineral, geht durch dasselbe hindurch, durchdringt eine zweite polari- 
sierende Vorrichtung, den Analyseur, und gelangt dann in das Ange. 
Dabei muß man, um alle hierher gehörigen Erscheinungen zu be- 
obachten, das polarisierte Licht teUs in parallelen Strahlen, teils in 
solchen durch das Mineral gehen lassen, welche im Innern desselben 
konvergieren (Polarisationsinstrument mit parallelem und konver- 
gentem Licht oder Orthoskop und Eonoskop). 

Da die Lage aller optischen Sichtungen mit der Symmetrie der 
Krystalle auf das innigste zusammenhängt, so bilden diese optischen 
Untersuchungen wichtige Ergänzungen zu den krystallographischen^ 



Polariflitioiisinstnimeiite. 285 

und nicht seltea kann man aas den optischen Erscheinungen, welche 
das Polarisationsinstrament zeigt, das Erystallsystem eines Minerals 
bestimmen, aach wenn keine Spur von einer regelmäßigen Begrenzung 
vorhanden oder wenn diese mangelhaft ausgebildet ist. In manchen 
Fällen hat die optische Untersuchung das Erystallsystem eines Mine- 
rals richtig kennen gelehrt, nachdem es durch bloße Beobachtung der 
äußeren Form zuerst unrichtig bestimmt worden war (vergl. z. B. Grenz- 
formen (80) und Mimesie (171)). Daher ist bei durchsichtigen Sub- 
stanzen die Eontrolle der krystallographischen Untersuchungen durch 
optische stets dringend geboten. Die optische Untersuchung der 
Mineralien im Polarisationsinstrument ist somit von großer Wichtig- 
keit und bildet heutzutage einen der wesentlichsten Teile der wissen- 
schaftlichen mineralogischen Forschung. 

{Des CloizeaviXj Memoire sur Temploi du microscope polarisant. Paris 1864 (ans : 
Aimales des mines 6. ser. Bd. 6). Snr Temploi des propri^t^s optiqnes bir^lrin- 
geantes pour la d^termination des espöces cristallis^es, I und n. (An. d. mines 6. ser. 
Bd. 14. 1868 und 1859.) NonveUes recherches snr les proprietes optiqnes d^ 
cristanx. H6moires des savants ^trangers Bd. 13, 1867, pag-. 511. Ferner die Werke 
Ton: Grailich, Groth, Liebisch, Schabns, Schranf etc. in (3) B.) 

Wenn die im Polarisationsinstrament zn nntersnehenden Elrystalle gew5hnhch 
in Form planparalleler Platten angewandt werden, so geschieht dies, damit 
das senkrecht zn ihrer Unterseite einfaUende nnd an ihrer Oberseite anstretende 
Licht keinen Intensitätsverlnst dnrch Totalreflexion etc. erleidet. Solche Platten sind 
meist mühsam herznsteUen nnd oft überhaupt nicht zn erlangen. Deshalb verf&hit 
man nach dem Vorgang von C Klein jetzt oft anch zweckmäßigerweise so, daß 
man die unregelmäßig begrenzten Kdmer der betreffenden Substanzen m kleinen 
Glasröhren in ein in der Lichtbrechung ihnen möglichst gleiches flüssiges Medium 
(Kaaadabalsam, Methylenjodid etc.) hinein und mit diesem in dasPolarisationsinstnunent 
bringt. Die Totalreflexion und der dadurch bedingte Lichtverlnst wird so bei- 
nahe vollständig vermieden. Das zn untersuchende Mineral wird dabei zweckmäßig 
an einem geeigneten Drehapparat befestigt, der erlaubt, ihm jede denkbare Lage 
gegen die einfallenden Lichtstrahlen zu geben. (Sitzungaber. Berlin. Akad. 1890, 
pag. 347 und 703.) 

231. FolarisatioBsiiistrainent fllr koiiTergentes Licht. Ein 

voll Mineralogen vielgebrauchtes Polarisationsinstrament ist Fig. 331 
abgebildet Die Einrichtung für konvergentes Licht ist links^ die 
ftr paralleles Licht rechts dargestellt. 

Das Polarisationsinstrnment für konvergentes Licht besteht aus einem schweren 
MetaUfnI{, auf welchem sich die dreiseitige Säule A erhebt. Längs dieser bewegt 
sich der Arm B^ der mittels einer Schraube festgeklemmt werden kann, nnd der 
Arm C, der sich mittels eines Triebes heben und senken läßt. An dem Arm B ist 
die abwärts gehende cylindnsche BiOure g befestigt, in der sich die zweite Bohre f 
verschiebt und dreht In dieser steckt der polarisierende Micol p nnd darüber nnd 
darunter je eine Linse e nnd &, deren gemeinsamer Brennpunkt in der Mitte von p 
liegt. In dem oberen Teil der Bohre ^ ist ein System Ton vier SammeUinsen n von 
sehr knrser Brennweite eingelassen, die zusammen nnd dicht übereinander in eine 
kunee MesiingrShre gefaßt sind, mittels welcher man sie beliebig aus g heranshebeii 



286 Polarisaticiiiaiiutnimente. 

nud wieder einaetEen kann. Daa obere Ende von g ist ferner noch nmg'eben von 

einem nm die Achae des Instnunents drehbaren Objekttiflch l, auf weichem oben der 

ErjBtallti^er k, eine Glasplatte, lie^ Der Objekttisch l hat am Kaade bei i eine 

KrebteiloDg, welche Dber den mit dem Arm B fest verbandenen Noninakreis k sich 

A hinwegpbewegt. Die Teilung anf 

i geht Tou rechte nach links. 

den Uhrzeigern entgegen, wie h 

rechts oben in Fig. 331 zeigt 

In der Dnrchbohmng dea 
oberen Armes G bewegt sich 
ebenfalls eine HessingriihTe b, 
die gerade Fortaetcnng von g 
bildend. Dieselbe trägt nnten 
ein System von vier Linaen von 
kurzer Brennweite o, welches 
dem Linsensystem n ganz gleich 
ist, aber die Linsen liegen hier 
umgekehrt. In der Brennebene 
dieser Linaen ist ein Olaamikro- 
meter r mit einem geteilten und 
einem darauf senkrechten onge- 
teilten Arm. In der Bflhre b ist 
die Okalarrühre v mit der Okn- 
larlinse t verschiebbar. Auf ihr 
ist der analysierende Nico! q auf- 
gesetzt, der mit seiner Fassnng 
t gedreht , aber anch beliebig 
aufgesetzt nnd abgenommen wer- 
den kann. Bei t ist ein Schlitz, 

in welchem eine -y A-Glimmer- 
platte (32SJ oder ein Qnarzkeil 
(240) znr Beatimmnng des Cha- 
rakters der Doppelbrechong (248, 
254) oder ein dünnes Oipapl&tt- 
chen eingeschoben werden kann. 
Der zu beobachtende Kryetall 
wird anf die Glasplatte k des 
Objekttischea gelegt; zur Er- 
zielnng einea mOglichat großen 
Sehfelds werden ihm die Linsen 
n und möglichst genähert. 
Die Belenchtnng geschieht von 
nnten durch den Spiegel rS (Lit 
Fig. 331. siehe (232)). 

Ein sehr viel einfacheres, aber zn vielen Zwecken sehr gut brauchbares Polari- 
sationsinstnunent ftkr konvergentes Licht ist die Tumuüinzange. Zwei parallel 
der Achse geschnittene Tnrmalinplatten (319) in geeigneter Fassung werden von 
einem federnden Draht in paralleler Lage nuammengehalten; zwischen beiden wird 
die zu beobachtende Erystallptatte eingeklemmt. Beide Tnrmalinplatten sind in 
ihrer Ebene drehbar und die Achsen (Schwingnngs- resp. Folarisationsebenen) beider 



Polarisationffliistnimente. 287 

können daher rechtwinklig gekreuzt oder parallel gestellt werden. Im ersten Fall 
ist das Sehfeld dunkel, im letzteren hell (vergl. (233)). 

282» Polarisationgingtmraeiit für paralleles Liebt* Soll das Instrument 
fflr Beohachtang im parallelen Licht eingerichtet werden, so werden (Fig. 331, rechts) die 
Linsen n ans der unteren Bohre herausgenommen und die ohere Bohre b wird er- 
setzt durch eine andere r, welcher die Linsen o und i fehlen. Der analysierende 
Nicol q wird auch auf diese Bdhre aufgesetzt, und die Beleuchtung geschieht wieder 
mittels des Spiegels 8, Durch die Drehung und Verschiebung der Bohren können 
alle erforderlichen gegenseitigen Stellungen der einzelnen Teile, namentlich der 
Nicols gegeneinander, leicht hergestellt werden. Eingeritzte Marken erleichtem das 
Auffinden dieser Stellungen, und mit Hilfe yon Klemmringen, von denen einer bei 
f* abgebildet ist, können die einzelnen Teile des Instruments in der erforderlichen 
Lage gegeneinander festgestellt werden. Auch mit Erhitzungsyorrichtungen yer- 
schiedener Art werden die Polarisationsinstrumente für paralleles und konvergentes 
Licht nicht selten ausgestattet, damit man auch bei höherer Temperatur die optischen 
Eigenschaften der Mineralien zu untersuchen im stände ist. (Liebisch, yergl. (16) 
Beuschf Pogg. Ann. 92 und Ber. NaturL-Vers. Karlsruhe 1868; Bartin, Ann. chim. 
phys. in. s6r, Bd. 69 pag. 78 j 7. v. Lang, Carls Bepertorium Bd. VII; Groth, 
Pogg. Ann. 144, 1871, pag. 37 ; Becke, Tschermak, Min. Mitt. Bd. II, 1880, pag. 430, 
femer (230), sowie Brezina, Des Cloizeaux, Groth, Leiß, Liebisch, Binne (3) B.) 

2S3. Wirknng des Folarisationsinstniments. Fällt gewöhn- 
liches Licht anf den Spiegel S des Polarisationsinstraments f&r ianver- 
gentes Lieht (Fig. 331, links), so gelangen die Strahlen zunächst von S auf 
die Linse e, von welcher sie nach ihrem Brennpunkt in der Mitte des 
polarisierenden Nicols p konzentriert werden. Nach Durchstrahlung 
dieses Nicols fallen sie divergierend auf die mit e ganz gleiche 
Linse ^, deren Brennpunkt mit dem der Linse e in der Mitte des 
Nicols p zusammenfällt und von welcher aus sie als ein mit der 
Achse des Instruments paralleles Strahlenbündel auf das Linsen- 
system n gelangen. Hier werden sie sehr stark nach oben konvergent 
gemacht, so daß sie aus der obersten, kleinen Linse n als ein sehr 
stumpfer Kegel austreten, dessen Spitze unmittelbar über dieser Linse 
liegt und eventueU in eine auf die Linse (resp. den Krystallträger) 
gelegte Erystallplatte fällt. In diese tritt das Licht an der Unter- 
seite konvergierend ein und aus ihr an der Oberseite unter demselben 
Winkel divergierend aus, so daß es in einem ebenso stumpfen Kegel, 
als welcher es die Linsen n verlassen hatte, nun auf die Linsen o 
fällt Von diesen werden die Strahlen wieder der Achse des Instru- 
ments parallel gemacht und fallen so auf die Linse t, welche die 
Strahlen wieder konvergierend durch den analysierenden Nicol q 
und dann ins Auge sendet. Bei den meisten Beobachtungen sind 
die Nicols gekreuzt, d. h. ihre Schwingungsebenen machen 90^ 
miteinander, und dies wird im folgenden als Normalstellung an- 
genommen. Die Nicols erhalten dabei eine ganz bestimmte Stellung 
im Instrument, und die Lage ihrer Schwingungsrichtungen wird 



288 PoiarisationsiiiBtrameBte. 

durch die beiden Krenzfäden kenntlich nnd unmittelbar sichtbar ge- 
macht. Bei dieser Anordnung ist das Sehfeld dunkel, denn die von 
dem Nicol jp kommenden Strahlen können weder ganz noch zum Teil 
durch den oberen Nicol q hindurch gehen und in das Auge gelangen. 
Sind beide Nicols parallel, so ist das Sehfeld hell, da nun die von p 
kommenden Schwingungen ungehindert durch q hindurch gehen können. 
Bei einer Kreuzung der Schwingungsebenen unter irgend einem Winkel 
findet eine teilweise Aufhellung statt. Bei einer vollen Drehung des 
oberen Nicols um 360^ erhält man also abwechselnd je zweimal völlige 
Aufhellung und Verdunklung des Sehfelds mit ganz allmählichen 
Übergängen. Man beobachtet im konvergenten polarisierten Licht 
hauptsächlich Krystallplatten senkrecht zu den optischen Achsen und 
Mittellinien und erhält dabei die Interferenzerscheinungen, welche in 
(246), (247), (250) etc. beschrieben werden, mittels deren die Lage der 
optischen Achsen im Erystall, der Charakter der Doppelbrechung, die 
Größe des Achsenwinkels etc. bestimmt wird. 

In dem Folarisationsinstrument für paralleles Licht (Fig. 331, rechts) 
gehen die von S kommenden Strahlen wie vorhin durch e, p und & hin- 
durch, fallen aber dann, da die Linsen n fehlen, parallel auf die auf dem 
Erystallträger y liegende Krystallplatte, senkrecht zu deren Oberfläche, 
und gelangen als paralleles Bündel durch den Nicol q ins Auge. Auch 
hier ist das Sehfeld ganz ebenso wie vorhin bei gekreuzten Nicols 
dunkel etc. Das dunkle Sehfeld wird aber aufgehellt, wenn man eine 
anisotrope Krystallplatte so zwischen beide Nicols auf den Erystall- 
träger bringt, daß ihre Schwingungsrichtungen nicht mit denen der 
beiden Nicols zusammenfallen. Fallen die genannten Ebenen zu- 
sammen, so geht das von p kommende polarisierte Licht ungehindert 
durch den Krystall, wie wenn er gar nicht vorhanden wäre. Findet 
diese Eoincidenz nicht statt, so wird die von unten kommende Licht- 
welle von dem Krystall in zwei nach seinen beiden Schwingungs- 
richtungen schwingende Wellen zerlegt (212), welche infolge der 
verschiedenen Elastizität nach diesen beiden Richtungen den Krystall 
mit verschiedener Geschwindigkeit durcheilen und an seiner oberen 
Grenzfläche infolgedessen im allgemeinen mit einem Gangunterschied 
ankommen und aus dem Krystall austreten. Sie interferieren dabei, 
nachdem ihre Schwingungen nach dem Parallelogramm der Kräfte auf 
die Schwingungsebene des oberen Nicols reduziert sind, und die Folge 
davon ist eine Aufhellung und auch eine Färbung des Sehfelds im 
Bereich des Plättchens, letztere aber nur, wenn die Krystallplatte 
nicht zu dick ist 

Da die im allgemeinen durch eine anisotrope Krystallplatte her- 
vorgebradite Aufhellung des Sehfelds einer vollkommenen Verdunklung 
Platz macht, wenn die Schwingungsrichtungen der Platte mit denen 



Anslöschungsschiefe. 289 

der beiden Nicols zusammeDfallen und bei einer Drehung der Erystall- 
platte auf dem drehbaren Objekttisch l für den Fall dieser Koincidenz 
eine vollkommene Auslöschung des vorher mehr oder weniger hellen 
Sehfelds stattfindet, so nennt man die SchwingungsrichtuDgen der 
Platte auch ihre Auslöschungsrichtwngen. Man erkennt diese Rich- 
tungen der größten und kleinsten Elastizität in jeder Erystallplatte 
eben daran, daß sie bei völliger Auslöschung des Sehfelds mit den 
aufeinander senkrechten Schwingungsrichtungen der Nicols, also mit 
den beiden Kreuzfäden des Instruments zusammenfallen, was die Be- 
stimmung ihrer Lage gegen eine in der Fläche des Flättchens liegende 
Kante (die sog. Auslöschunysschiefe in Bezug auf diese Kante) gestattet. 
Dies ist eine Hauptaufgabe des Polarisationsinstruments mit paral- 
lelem Licht (234), das allerdings zu diesem Zweck auch besonders 
eingerichtet wird (Stauroskop (235)). Sodann beobachtet man aber in 
demselben auch überhaupt, ob eine Substanz isotrop ist oder nicht 
(237), ob sie einheitlich gebaut oder aus mehreren Individuen zu- 
sammengesetzt ist (256), man beobachtet die Cirkularpolarisation 
(247) etc. 

234. AusloschnngsscUefe. Man versteht unter der Auslöschungs- 
schiefe einer Krystallplatte in Beziehung auf eine in der Platte ge- 
legene Kantenrichtung den spitzen Winkel, welchen eine Auslöschungs- 
richtung der Platte mit dieser Kante bildet. Ist dieser Winkel = 0^ 
also die Auslöschungsschiefe gleich 0^, so ist die Schwingungsrichtung 
der betreffenden Kante parallel und die Auslöschung zu dieser Kante 
ist gerade. Ist der Winkel nicht = 0®, dann ist die Auslöschung 
schief. Machen beide Schwingungsrichtungen gleiche Winkel mit einer 
Kante, oder zwei Kanten gleiche Winkel zu einer Auslöschungsrichtung, 
oder macht je eine Schwingungsrichtung in den zwei Individuen eines 
Zwillings gleiche Winkel mit der ZwiUingsgrenze, dann spricht man 
von symmetrischer Auslöschung. Derartige Beobachtungen sind nicht 
selten zur Bestimmung und Kontrolle des Krystallsystems wichtig. 
Sie werden nach dem Instrument (235) stauroskopische genannt. 

Hat man das Plättchen AB CD (Fig. 332), mit den beiden Auslöschungs- 
richtungen AC und BD, so ist DJ5^= a die Auslöschungsschiefe von BD 
in Bezug auf die Kante AB. Für -4(7 ist die Schiefe in Bezug auf dieselbe 
Kante = GAB = 90^ — a ; es ist also nur die Bestimmung des Winkels a 
für eine der Auslöschungsrichtungen nötig, der Winkel für die andere 
folgt dann von selbst, und ebenso die Auslöschungsschiefen für andere 
Kanten in demselben Plättchen, wenn man die Neigungen aller dieser 
Kanten gegeneinander aus der Krystallform kennt. Die Bestimmung 
von c geschieht, indem man das Plättchen so auf den Krystallträger 
des mit einem Teilkreis versehenen Objekttisches l (Fig. 331) legt, 

Bauer, Mineralogie. 1^ 




290 PolariBationsinstromente. 

daß die betreffende Kante AB mit der Schwingangsebene B^B^ des 
einen Nicols, beliebig welches, also mit dem einen der beiden Erenz- 
fäden z. B. B^D^ zusammenfällt oder mit ihm parallel ist (Fig. 332), 

so daß also AB \\ B^B^. Dann macht die be- 
treffende Auslöschungsrichtang BB mit dieser 
Schwingungsebene B^ D^ des Nicols offenbar den 
««•• gesQchteii Winkel BB^ = a. Das Sehfeld ist 
jetzt hell, wird aber dunkel, wenn der Krystall 
mit dem Objekttisch so von B in der Richtung 
nach -Bi gedreht wird, bis B auf -B^ fällt. 
T^. «o« J^*2t fällt die Auslöschungsrichtung BD der 

*' Krystallplatte mit der Schwingungsrichtung 

B^Dj^ des Nicols zusammen, und man erkennt diese Koinzidenz an 
der völligen Verdunklung des Sehfeldea Der Winkel a, um den 
man den Krystall aus der Anfangsstellung BD bis zur Verdunklung 
des Sehfelds hat drehen müssen, kann an dem Teilkreis des Objekt- 
tisches abgelesen werden. Findet gerade Auslöschung zur Kante 
AB statt, dann ist der Krystall schon bei der ersten Stellung voll- 
kommen verdunkelt. 

Eme Methode, durch welche mit Hilfe des in Fig. 331 (rechts) dargestellten 
Inatnunents die Aaslöschungsschiefe praktisch gemessen wird, soll im Prinzip ange- 
deutet werden. Man ersetzt den Erystallträger k (Fig. 331, links) durch einen an- 
deren y Ton quadratischer Form (rechts oheu), der in den Objekttisch unbeweglich 
eingelassen werden kann. Eine auf ihm befestigte geradlinige Schiene verlftuft, 
etwas über die obere Fläche von y hervorragend, in der Richtung 90^—270® der 
Teilung des Tisches nahe am Centnun vorbei. Zuweilen ist es zweckmäßig, den 
Erystallträger y aus undurchsichtigem Material herzustellen und das Licht nur 
durch eine kleine centrale Öffnung hindurchgehen zu lasseu. Die Krystallplatte 
wird in centraler Lage so auf den Träger gelegt, daß die betreffende Kante an die 
Schiene anstößt, und wird mit einer Feder bei / an diese Schiene angedrttckt. Das 
Polarisationsinstrument ist so eingerichtet, daß die Schwingungsebene des einen 
Nicols durch den Nullpunkt des feststehenden Nonius geht. Setzt man dann den 
Objekttisch mit der Krystallplatte so auf den Noniuskreis, daß der Nullpunkt der 
Teilung mit dem des Nonius koinzidiert (Fig. 331, rechts oben), so fällt die 
Kante AB (Fig. 332), zu welcher die Auslöschungsschiefe gefunden werden soll, in 
die Richtung ^ A der Schwingungsebene des zweiten Nicols, die nun mit der Rich- 
tung 90^— 270^ welche die der Schiene ist, koinzidiert. Dreht man jetzt den Krystall 
bis zum Eintritt der völligen Auslöschung, so kann man den dazu nötigen Winkel «, 
die gesuchte Auslöschungsschiefe, unmittelbar am Teilkreis ablesen. Die Listrumente, 
mit denen die Auslöschnngsschiefen bestimmt werden, sind das Stauroskop (235) 
und vor allem das Mikroskop mit Polarisation (236). 

285. Staaroskop. Die Messung der Anslöschungsschiefe ist mit 
dem gewöhnlichen Folarisationsinstrnment ungenau, weil das durch 
Kreuzung der Nicols erzeugte dunkle Sehfeld infolge des ganz all- 
mählichen Übergangs von Hell in Dunkel wenig empfindlich ist, so 
daß man die Krystallplatte, wenn ihre Schwingungsrichtungen mit 



Stanroskop. 291 

denen der gekreuzten Nicols zusammenfallen, um einen gewissen 
Winkel nach rechts oder links drehen kann, ohne daß das Auge eine 
deutliche Veränderung (Aufhellung) des Sehfelds wahrnimmt. Um 
diesem Übelstand abzuhelfen, hat man das Stauroskop konstruiert, 
dessen wesentlicher Unterschied von einem gewöhnlichen Polarisations- 
instrument fär paralleles Licht darin besteht, daß in dasselbe noch 
ein Stück eingeschaltet ist, durch welches sein Sehfeld für solche 
Messungen empfindlicher gemacht wird, d. h. so, daß in demselben 
sofort eine starke, leicht bemerkbare Veränderung ohne allmähliche 
Übergänge eintritt, wenn die aufeinander senkrechten Schwingungs- 
richtungen beider Nicols und die der Platte einen auch nur ganz ge- 
ringen Winkel miteinander machen. 

Man benutzt zn diesem Zweck gegenwärtig vielfach die ans zwei planparaUei 
nad gleich schief gegen die Achsen geschliffenen Kalkspatstttcken bestehende Doppel- 
platte Yon Calderany in der die beiden EalkspatstUcke nach einer durch die Achse 
des Instruments gehenden, das Sehfeld halbierenden Diametralebene symmetrisch 
miteinander verbunden sind. Diese Platte gibt bei gekreuzten Nicols ein gleich- 
mäßig graues Sehfeld, wenn die Trennungsfläche der beiden Stücke der Doppelplatte 
dem Hauptschnitt eines Nicols parallel ist, vorausgesetzt, daß kein anisotroper 
ErystaU eingelegt ist oder daß die Schwingungsrichtungen des Krystalls mit denen 
des Instruments zusammenfaUen. Machen diese dagegen einen auch nur ganz 
kleinen Winkel miteinander, so wird das Sehfeld in der Weise geändert, daß die 
beiden Hälften desselben rechts und links von dem durch jene Trennungsfläche be- 
stimmten Durchmesser die eine heller, die andere dunkler werden als vorhin (sog. 
Halbschattenapparat), also eine große Verschiedenheit zeigen, welche bei der Drehung 
der ErystaUplatte erst bei der genauen Koinzidenz jener Schwingungsrichtungen 
wieder voUständig verschwindet. Diese Koinzidenz erkennt man also dann aus der 
vOUig gleichmäßigen Färbung des Sehfelds. Dabei ist die Unsicherheit der £in- 
steUung sehr viel geringer, als bei dem einfachen dunkeln Sehfeld des Polarisations- 
instruments. Bei der Beobachtung muß man aber hierbei auf das Okular des In- 
struments (Fig. 331, rechts) eine Linse a aufsetzen, welche die bei m beflndliche 
Doppelplatte, die mittels einer über das untere Ende der Röhre z übergeschobenen 
Messinghülse d befestigt ist, sowie den unmittelbar unter m befindlichen Krystall 
scharf zu sehen gestattet. Die Messinghülse 8 trägt bei a und ß einen Diaphragma- 
apparat. 

Man hat außer dieser Calderonschen Doppelplatte das Sehfeld auch durch andere 
Mittel empfindlicher gemacht. Der Erfinder des Stauroskops, van Kobeü, hat eine 
senkrecht zur Achse geschliffene Kalkspatplatte eingeschaltet, welche die in (246) be- 
schriebene Interferenzfigur gibt. Brezina hat eine, eine ähnliche Figur gebende 
Kalkspatdoppelplatte konstruiert. Beide Figuren bleiben nur dann ganz ungestört, 
wenn die Schwingungsrichtungen einer anisotropen Krystallplatte genau mit denen 
der gekreuzten Nicols zusammenfallen resp. wenn das untersuchte Mineral isotrop 
ist. Auch sind sog. Zvnllingsnieola statt des einen gewöhnlichen Nicols p des In- 
struments angewendet worden ; femer eine 3,76 mm dicke Quarzplatte senkrecht zur 
Achse oder die sog. Bertrandsche Quarz-Doppdplatte (247) und anderes. Auch zur 
Verbesserung und zur Korrektur der Einstellung der Kante in der Kichtung der 
Schwingungsebene des einen Nicols sind besondere Vorrichtungen getroffen worden 
(vergl. auch (237)). 

(Vergl. V. Kobeüf Gelehrte Anzeigen Münch. Ak. 1866, 146 und Pogg. Ann. 

19* 



292 Mikroskop mit Polarisation. 

Bd. 40, 41, 42; Grailich, kryst-opt. Untersuchungen (vergl. (3)); Brezina, Pogg. 
Ann. Bd. 128 und 130; Oroth, Pogg. Ann. 144; CaMeron^ Zeitschr. Eryst. IT; 
LaspeyreSf Zeitschr. Kryst. VI. VIII., Zeitschr. Instmm.-Kunde, 1882.) 

236. Hikroskop mit Polarisation. Zar Beobacbtang der Erystalle 
im polarisierten Licht, besonders von sehr kleinen, z. B. in Mineral- 
gemengen, Gesteinen etc., werden vielfach gewöhnliche Mikroskope 
angewendet Diese müssen einen drehbaren und in Grade geteilten 
Objekttisch haben; über und unter diesem wird je ein Nicol in den 
Gang der Lichtstrahlen eingeschaltet und die beiden Ereuzfäden gehen 
den Schwingungsrichtungen der beiden gekreuzten Nicols parallel. Die 
Mineralien werden, wenn nötig, in papierdünnen Lamellen (Dttnn- 
schliflfen) untersucht, da oft dickere Schichten nicht durchsichtig genug 
sind. Bei der gewöhnlichen Anordnung der Mikroskope findet die 
Beobachtung im parallelen Licht statt, und man kann dabei be- 
obachten, ob ein Mineral isotrop ist oder nicht, wobei man oft zweck- 
mäßig durch Einschaltung eines Gipsplättchens etc. das Sehfeld 
empfindlicher macht (235). Man kann die Auslöschungsschiefen be- 
stimmen, indem man die betreffende Kante auf einen Ereuzfäden ein- 
stellt und SQdann den Erystall bis zur Verdunklung herumdreht; 
dann läuft eine Auslöschungsrichtung demselben Ereuzfäden parallel. 
Der Winkel kann an dem Objekttisch abgelesen werden. Ist der 
Winkel, um den man den Erystall von einer Stellung zur anderen 
drehen muß, = a, so ist auch die Auslöschungsschiefe zu der be- 
treflfenden Eante = a. War die Platte schon bei der ersten Stellung 
vollkommen verdunkelt, also gar keine Drehung nötig, somit a == 0^, 
dann ist die AuslöschuDg zu jener Eante gerade. Dabei wird häufig das 
Mikroskop durch Beifügung einer Bertrandschen Quarz-Doppelplatte 
(235) etc. als Stauroskop (Mikrostauroskop) eingerichtet. Man beobachtet 
im Mikroskop, ob das Mineral homogen ist oder fremde Einschlüsse ent- 
hält, die sich im polarisierten Licht besonders scharf erkennen lassen ; 
beobachtet, ob eine Substanz einheitlich gebaut oder aus einzelnen 
verschieden orientierten Individuen zusammengesetzt ist (256) etc. Auch 
Erystallwinkel (Eantenwinkel) können mit zweckmäßig eingerichteten 
Mikroskopen gemessen werden, sowie Brechungskoefflzienten (211, 
220, 229); ebenso kann man die Verhältnisse des Pleochroismus unter- 
suchen (262). Entfernt man das Okular, so kann man das Mikroskop 
in ein Polarisationsinstrument für konvergentes Licht verwandeln und 
wie in einem solchen die Interferenzfiguren (246, 250) untersuchen. 
Dabei muß dem unteren Nicol eine Linse (Eondensorlinse) aufgesetzt 
werden, damit das in den Erystall eintretende Licht konvergent genug 
wird, auch ist die Anwendung eines starken Objektivs erforderlich. 
Die so erhaltenen InterferenzbUder sind klein aber sehr scharf. Will 
man sie größer haben, wobei sie jedoch von ihrer Schärfe verlieren. 



Beobachtnng im Polarisationsinstrament. Isotrope Miiieralien. 293 

dann läßt man das Okular sitzen und schiebt über dem Objektiv eine 
vergrößernde Linse (Bertrandsche Linse) ein. Auch solche Mikroskope 
erhalten vielfach Erhitzungsvorrichtungen zur Erwärmung der zu 
beobachtenden Objekte und zur Beobachtung der optischen Eigen- 
schaften bei höherer Temperatur. 

(Vergl. die Werke von Kosenbusch, Zirkel und von Fouqu6 nnd Michel Lövy (3); 
nome Bertrand, Bull. soc. min. France I. 1878, m. 1880, pagf. 98; C, Klein, Nachr. 
Göttg. Ges. Wissensch. 1878, pajr. 461 und Sitzungsher. Berlin. Akad. 1893, pag. 1; 
17. Lasaulx, N. Jahrh. Min. 1878, pag. 377 und ö09j endlich Rosenbuach ibid. 1876; 
Rinne, Das Mikroskop im chemischen Laboratorium 1900; Weinschenk, Anleitung 
zum Gehrauch des Polarisationsmikroskops 1901.) 

Im folgenden werden wir nun die verschiedenen Erscheinungen, die die iso- 
tropen und anisotropen Mineralien im Polarisatiousinstrument darbieten, speziell und 
eingehend zu betrachten haben. 



Yerhalten isotroper und anisotroper Korper im Folarisations- 

instmineiit. 

(Des Cloizeaux, Memoire sur Temploi du microscope polarisant. Paris 1864. 
Aus Ann. des mines 6. ser. Bd. 6: deutsch; Pogg. Ann. Bd. 126, 1865, pag. 387.) 

Isotrope Mineralien. 

Amorphe Substanzen und reguläre Erystalle ohne Unterschied der Klassen. 
Beguläre KrjstaUe lassen sich auf optischem Wege allein nicht von amorphen Mine- 
rallen unterscheiden. Eventuell können die ersteren an der regelmäßigen Form oder 
an Blätterbrüchen erkannt werden, wenn sie im Polarisationsinstrument resp. Mikroskop 
als isotrop nachgewiesen sind. 

237. Isotrope Mineralien. Bringt man ein isotropes Mineral 
in das Polarisationsinstrument (für paralleles oder auch für konver- 
gentes Licht), so wird dadurch das Sehfeld im Bereich des Krystalls 
gar nicht verändert. Dasselbige bleibt hell bei parallelen, dunkel bei 
gekreuzten Nicols, wenn das Mineral mit dem Objektträger um 360^ 
gedreht wird. Dies gilt für jede Richtung, in der man durch das Mineral 
hindurchsieht, sie mag sein, welche sie will. Diese Eigenschaft zeigt, daß 

• « 

in isotropen Substanzen die Beschaffenheit de^ Äthers nach allen 
Richtungen dieselbe ist. Auch ist sie für isotrope Substanzen so 
charakteristisch, daß sie erlaubt, isotrope Mineralien von anisotropen 
zu unterscheiden, was auf anderem Wege häufig unmöglich ist; denn 
anisotrope Substanzen verändern das Sehfeld des Polarisationsinstru- 
ments (233), wenn sie nicht in Plättchen senkrecht zu einer optischen 
Achse angewendet werden. Hierüber wird das Nähere unten (238 flf.) 
mitgeteilt werden. 

Sehr schwache Doppelhrechnng wird, da sie nur schwache Aufhellung des Seh- 
felds hervorhringt, leicht tibersehen, und sehr schwach doppeltbrechende Körper 
werden daher leicht für isotrop gehalten. Man macht das Polarisationsinstrument 




294 Beobachtung im Polarisationsiiiatrainent. 

empfindlicher, indem man eine sehr dünne Gipsplatte so in das Instrument bringt, 
daß ihre Hauptschnitte 45^ mit den Schwingungsebenen der Nicols machen. Das 
Sehfeld wird dann stark gefärbt und ein auch nur schwach doppeltbrechender 
Körper ändert die Farbe sehr deutlich, während auch das geförbte Sehfeld von 
einem wirklich und nicht bloß scheinbar isotropen Körper nicht verändert wird. Am 
besten ist ein Gipsplättchen, welches im Polarisationsinstrument das Bot 1. Ordnung 
annimmt. Auch eine Quarzplatte senkrecht zur Achse Ton 3,75 mm Dicke gibt ein 
sehr empfindliches violettes Sehfeld (vergl. (235) und 239)). 

Anisotr(^€ MinercAien, 
Alle Krystalle mit Ausnahme der regulären. 

238. ErschelniiBgeii im Folarisationsinstrnment für paralleles 
Licht. Die Erscheinungen, welche anisotrope Substanzen im Polari- 
sationsinstrument für paralleles Licht zeigen, sind ftLr einachsige und 
zweiachsige Krystalle genau dieselben, wenn die Platten nicht senk- 
recht zu der (oder einer) optischen Achse gerichtet sind. Mit Aus- 
nahme des letzteren Falles können sie daher hier einer gemeinsamen 
Betrachtung unterzogen werden. Sie sind von sehr erheblicher Be- 
deutung, da auf ihnen die Möglichkeit der sicheren Unterscheidung 
isotroper und anisotroper Substanzen (237) und manche andere wich- 
tige Beobachtung beruht, die wir später kennen zu lernen haben, 
während hier zunächst nur von diesen Erscheinungen an sich die 
Eede sein wird. Sie bestehen in einer charakteristischen Verände- 
rung des dunklen Sehfelds im Polarisationsinstrument zwischen ge- 
kreuzten Nicols im Bereich der Krystallplatte, wie schon oben (233) 
angedeutet ist und nun eingehender dargestellt werden soll. 

Im konvergenten Licht sind die Erscheinungen in einachsigen und zweiachsigen 
Erystallen nicht mehr dieselben und werden daher unten getrennt betrachtet werden. 

Bringt man eine Platte eines anisotropen (doppeltbrechenden) 
einachsigen oder zweiachsigen Krystalls, die nicht senkrecht zu der 
(oder einer) optischen Achse ist, in das Polarisationsinstrument für 
paralleles Licht mit gekreuzten Nicols, so ist sie in dem dunkeln 
Sehfeld völlig dunkel, sie ist, wie man zu sagen pflegt, ausgelöscht, 
wenn ihre beiden Auslöschungsrichtungen den Schwingungsebenen der 
beiden Nicols, also den beiden in diesen Richtungen gespannten Kreuz- 
fäden parallel sind. Dies gibt uns ein Mittel, die Lage der Schwin- 
gungsrichtungen in einer solchen Krystallplatte zu bestimmen. Es 
sind die beiden Richtungen, in denen die Kreuzf&den bei der Dunkel- 
stellung über die Platte hingehen. Sie können auf ihr in irgend einer 
Weise markiert werden ; auch läßt sich deren Lage genauer bestimmen, 
indem man mittels des Stauroskops ihre Neigung zur krystallogra- 
phischen Begrenzung oder zu Blätterbrüchen (Spaltungsrissen) mißt 
(234). 

Im Gegensatz zu isotropen (einfachbrechenden) Substanzen bleibt 



Anisotrope Mineralien im parallelen Licht. Interferenzfarben. 296 

eine solche anisotrope Platte aber nur in der oben bezeichneten Lage 
dnnkel. Dreht man sie nun aus dieser Dunkelstellung mit dem Ob- 
jekttisch um 360^, so findet man, daß auch bei Azimuten von 90^, 
180^ 270» und 360« (der ursprünglichen Lage) das Sehfeld dunkel 
ist; bei allen diesen Stellungen fallen die Auslöschungsrichtungen der 
Platte mit den Schwingungsrichtungen des Instruments zusammen 
(Parallelstellung, auch Kreuz- (-{-) Stellung oder Normalstellung der 
Krystallplatte). In sämtlichen zwischenliegenden Azimuten ist das 
Sehfeld dagegen im Bereich der Platte mehr oder weniger aufgehellt, 
am stärksten bei den Azimuten von 45«, 135«, 225« und 315«, also bei 
denen, die zwischen zwei solchen yollkommener Verdunklung genau 
in der Mitte liegen, so daß die Auslöschungsrichtungen des Plättchens 
Winkel von 45« mit den Schwingungsrichtungen des Instruments ein- 
schließen (Diagonalstellung oder 45« -Stellung oder X'^^t^l^^^ST der 
Krystallplatte). Dreht man letztere von diesen Stellungen aus nach 
beiden Seiten, so findet allmähliche Verdunklung statt und bei 45« 
tritt völlige Auslöschung ein, worauf dann wieder eine allmähliche 
Aufhellung bis zu abermals 45« zu beobachten ist. Bei einer voll- 
kommenen Kreisdrehung der Platte um 360« zwischen gekreuzten 
Nicols folgen sich also abwechselnd je vier allmählich ineinander fiber- 
gehende vollständige Aufhellungen und Verdanklungen in Abständen 
von je 45«. Diese Erscheinungen sind sichere Merkmale der Doppel- 
brechung, eine einfachbrechende Platte würde ja bei der Kreisdrehung 
um 360« ganz unverändert dunkel bleiben (237). 

Hier ist die Dispersion der Elastizitätsachsen zu beachten (227). Eine Krystall- 
platte kann nur dann yollkommen dnnkel werden, wenn ihre Schwingnngsrichtangen 
fttr alle Farben dieselbe Lage, also keine Dispersion haben. Ist Dispersion yor- 
handen, dann ist die Platte nur für eine bestimmte Farbe ausgelöscht, für die anderen 
nnr nahezu, nicht ganz. Sie bleibt also im weißen Licht, allerdings im allgemeinen 
nnr sehr wenig, heil nnd zeigt jedenfalls keine bestimmte, rasch eintretende völlige 
Yerdnnkelifiig. Manche Erystalle besitzen indessen doch eine so starke Dispersion, 
daß die Helligkeit zwischen gekreuzten Nicols im weifien Licht bei der Normal- 
stellung recht merklich ist. Dies kann natürlich nur bei monoklinen und triklinen 
Krystallen yorkommen. 

289. Interferenzfarben. Nnr Aufhellung und Verdunklung des 
Krystalls findet statt, wenn man das Instrument mit homogenem Licht 
beleuchtet (211, 1). Tritt jedoch weißes Licht ein, so wird das auf- 
gehellte Plättchen, wenn es nicht zu dick ist, auch, unabhängig von 
seiner Körperfarbe, gefärbt Aufhellung sowohl wie Färbung sind 
Folge der Interferenz der durch die Doppelbrechung entstehenden 
Lichtstrahlen (233); diese Farben werden daher die Interferenzfarben 
oder auch die Polarisaiionsfarben der Krystalle genannt. Es sind die- 
selben Farben, die auch in sehr dünnen Schichten isotroper Substanzen 
im gewöhnlichen Licht, z. B. an Seifenblasen, zu beobachten sind und 



296 Beobachtung im Polarisationsinstroment. 

die danach die Farben dünner PläUchen (oder auch die Newtonianischen 
Farben) heißen. Am lebhaftesten ist die Färbung in der Diagonal- 
stellung. Die Art der Färbung (die Farbe) hängt allein ab von dem 
mehr oder weniger großen Gangunterschied, den die beiden den 
Krystall in derselben Richtung, aber mit verschiedener Geschwindig- 
keit durchziehenden Lichtwellen bei ihrem Austritt aus demselben 
erlangt haben. Ist der Gangunterschied klein, so entstehen blasse graue 
und gelbe Farben ; bei größeren Gangunterschieden tritt ein lebhaftes 
Rot, Violett, Blau, Grün und Gelb auf. Dies wiederholt sich bei all- 
mählich weiter wachsenden Gangunterschieden, wobei die Farben 
aber immer blasser werden, bis sie schließlich einem einheitlichen 
Weiß Platz machen. Die Interferenzfarben bilden bei stetig fort- 
schreitender Zunahme der Gangunterschiede eine fortlaufende Reihe 
mit ganz allmählichen Übergängen, die bei allen Substanzen (wenigstens 
soweit sie farblos sind), genau in derselben Weise wiederkehrt Um 
die einzelnen Farben genauer bezeichnen zu können, hat man diese 
ganze Reihe nach dem mehrfach wiederholten Auftreten von Rot in 
eine Anzahl von Ordnungen eingeteilt, die von der ersten, niedrigsten 
an, immer größeren Gangunterschieden entsprechen. Die 1. Ordnung, 
die Farben der kleinsten Gangunterschiede umfassend, geht bis hinter 
das erste Rot, das Rot 1. Ordnung; die 2. Ordnung geht bis hinter 
das zweite Rot (Rot 2. Ordnung) etc. bis zum Weiß, das bei den 
größten Gangunterschieden auftritt und das als das Weiß höherer 
Ordnung bezeichnet wird. Innerhalb jeder einzelnen Ordnung findet 
bei dieser Abgrenzung keine Wiederholung der Farben statt Am 
intensivsten und leuchtendsten sind die Farben der 2. Ordnung und 
die daran sich anschließenden Teile der 1. und 3. Von hier an werden 
sie nach beiden Richtungen hin blasser und matter, bis sie in der 

1. Ordnung in völliger Dunkelheit (Gangunterschied = 0), nach den 
höheren Ordnungen hin im Weiß endigen. Nach der ersten Richtung 
hin fallen^ nach der anderen steigen die Farben. 

Die Gangunterschiede der einen anisotropen Krystall in derselben 
Richtung durchziehenden Lichtwellen und damit die Interferenzfarben 
sind abhängig von der Dicke und von der speziellen Doppelbrechung 
der Platte. Je dicker die Platte ist, desto größer muß cet. par. der 
Gangunterschied der austretenden Lichtwellen werden, desto höher 
somit die Interferenzfarbe. So zeigt ein Spaltungsplättchen von Gips bei 
einer Dicke von 0,044 resp. 0,116 und 0,178 mm das Rot der 1. resp. der 

2. und der 3. Ordnung etc. Bei gleicher Dicke ist die Farbe überall 
dieselbe über die ganze Platte hinweg; bei verschiedener Dicke der 
Platte wechselt deren Farbe mit dieser und zeigt einen oftmals recht 
bunten Anblick. Danach ist es auch leicht, die Interferenzfarben in 
kontinuierlicher Reihenfolge von der niedrigsten bis zur höchsten in 



Anisotrope Mineralien im parallelen Licht. Interferenzfarben. 297 

ilirem allmählichen Wechsel sichtbar zu machen, indem man nicht 
eine planparallele Platte, sondern eine keilförmig geschliffene im 
Polarisationsinstrument betrachtet, deren Dicke von an der Schneide 
allmählich wächst. Mit der Dicke nehmen die Gangunterschiede ganz 
stetig zu und demgemäß wechseln die Polarisationsfarben, die sich 
in geradlinigen isochromatischen Streifen parallel mit der Schneide, 
entsprechend Streifen gleicher Dicke, über die keilförmige Platte hin- 
ziehen. An der Schneide treten die niedrigsten, nach der entgegen- 
gesetzten Seite hin allmählich immer höhere Ordnungen, überhaupt 
höhere Farben auf. Je schärfer der Keil, je geringer und allmählicher 
dessen Dickenzunahme, desto langsamer die Farbenänderung, desto 
breiter die Streifen gleicher Färbung und umgekehrt. Wir werden 
darauf unten noch einmal zurückkommen und die Erscheinungen im 
Keil eingehend betrachten (240). (Eine sehr gute Abbildung der drei 
ersten Ordnungen der Polarisationsfarben siehe: Rosenbusch, Mikro- 
skopische Physiographie der Mineralien, 2. u. 3. Aufl. Tafel 1.) 

Betrachtet man gleich dicke Platten von Krystallen verschiedener 
Substanzen oder solche von verschiedener Orientierung in demselben 
Krystall, so sind ihre Farben im allgemeinen verschieden, weil die 
spezielle Doppelbrechung dieser Platten, d. h. der Unterschied der 
Elastizität in den beiden in ihr liegenden Schwingungsrichtungen, 
verschieden ist. Je größer dieser Elastizitätsunterschied ist, je größer 
also auch die GeschwindigkeitsdifiFerenz der beiden, den Krystall durch- 
ziehenden Lichtwellen ist, desto beträchtlicher muß der Gangunter- 
schied, desto höher die Interferenzfarbe sein. Der Unterschied der 
Ätherelastizität in der Krystallplatte ist aber seinerseits wieder ab- 
hängig einmal von der Größe der Doppelbrechung in dem Krystall 
überhaupt, d. h. von der Größe der Elastizität in der Richtung der 
Hauptachse und senkrecht dazu resp. in der Richtung der größten 
und der kleinsten Elastizitätsachse, oder was dasselbe ist, von den 
Hauptbrechungskoefflzienten. Er ist aber auch in demselben Krystall 
von der Lage der Platte, von ihrer Neigung in einachsigen Krystallen 
gegen die Hauptachse, in zweiachsigen gegen die Elastizitätsachsen ab- 
hängig. Ist die Platte parallel der Hauptachse oder parallel den Elastizi- 
tätsachsen OX und OZ (221), dann ist die Elastizitätsdifferenz und 
damit die spezielle Doppelbrechung der Platte die größte in dem 
Krystall überhaupt mögliche und die Interferenzfarbe die höchste, die 
bei der betreffenden Dicke an dem Krystall überhaupt vorkommen 
kann. Je größer dessen Doppelbrechung überhaupt ist, je größer die 
Differenz des kleinsten und des größten (resp. der beiden) Haupt- 
brechungskoeffizienten, desto höher die Farbe. Ist die Platte gegen 
die Achse resp. die beiden genannten Elastizitätsachsen geneigt, so 
wird ihre spezielle Doppelbrechung kleiner ; die Farbe wird bei gleich- 



298 Beobachtnng im Polarisationsinstniment. 

bleibender Dicke uiedriger und zwar um so mehr, je großer der 
Winkel wird, den die Platte mit der einen resp. einer der beiden 
optischen Achsen macht. Der Grenzfall tritt ein, wenn sie auf einer 
optischen Achse senkrecht ist. Dann ist überhaupt kein Elastizitäts- 
unterschied mehr in der Fläche der Platte, diese bleibt dunkel (bei 
einachsigen Krystallen) oder zeigt wenigstens (bei zweiachsigen) beim 
Drehen keine Helligkeitsunterschiede mehr. 

Die Interferenzfarben sind neben der abwechselnden Aufhellung 
und Verdunkelung mit die sichersten Beweise für die Doppelbrechung. 
Wo man im Folarisationsinstrument derartiges beobachtet, hat man 
es gewiß mit einer anisotropen Substanz zu tun. Wenn die Doppel- 
brechung sehr schwach ist, dann ist die Aufhellung oft so gering und 
die Farbe so nieder (grau), daß sie zweifelhaft bleiben und der KrystaU 
isotrop erscheinen kann. Die Hilfsmittel zur Erkennung sehr geringer 
Spuren von Doppelbrechung sind schon oben (237) angegeben. In- 
dessen darf man, wenn eine Platte auch keine Spur von Doppel- 
brechung durch Aufhellung und Verdunklung und durch Polarisations- 
farben zeigt, noch nicht schließen, daß der Krystall überhaupt isotrop 
sei. Die Platte kann ja zufällig genau senkrecht zu der optischen 
Achse getroflfen sein. Um ganz sicher zu gehen, ist es dann geboten, 
aus demselben Krystall in anderer Richtung noch eine zweite Platte 
zu schleifen. Erst wenn beide Platten vollkommen dunkel bleiben etc. 
kann man auf Isotropie der betreffenden Substanz mit Sicherheit 
schließen. 

Die Stärke der Aufhellung einer Platte und die Höhe der Inter- 
ferenzfarben sind bis zu einem gewissen Grade ein Maß der Doppel- 
brechung des betreffenden Krystalls oder können es wenigstens unter 
Umständen sein. Wenn dünne Plättchen schon Farben höherer Ord- 
nung zeigen, ist die Substanz sicher stark doppeltbrechend; ihre 
Hauptbrechungskoefflzienten sind sehr verschieden. Es ist aber nicht 
gestattet, den umgekehrten Schluß zu machen. Wenn eine Platte 
niedrige Polarisationsfarben zeigt, so kann dies ja wohl daher rühren, 
daß die betreffende Substanz überhaupt schwach doppeltbrechend ist, 
ebensogut aber auch daher, daß die Platte nahezu normal zu einer 
optischen Achse getroffen ist. Niedrige Polarisationsfarben sind somit 
nicht charakteristisch für die Substanz der Platte, nur hohe. Nur 
wenn Platten in allen Richtungen aus dem Krystall herausgeschnitten 
niedrige Polarisationsfarben zeigen, ist die Substanz überhaupt schwach 
doppeltbrechend. 

V^ichtig sind Beobachtungen dieser Art für die Untersachnug yon Mineralien 
in Gesteinsdünnschliffen. Die Dicke ist Mer sehr gering, ca. 0,025—0,04 mm und 
überall ziemlich dieselbe an einem Schliff, so daß also bei der Yergleichung der 
Interferenzfarben nnr die Doppelbrechung der einzelnen ErystaUdurchschnitte zu 
berücksichtigen ist. Findet man bei einem Mineral auch nur in einem Durchschnitt 



Anisotrope Mineralien im parallelen Licht. Qaarzkeil. 299 

hohe Interferenzfarben, so ist es sicher stark doppeltbrechend. Sind die Farben bei 
allen Schnitten eines anderen Minerals ausnahmslos niedrig, dann ist dieses schwach 
doppeltbrechend, denn sonst hätte sicher das eine oder andere Korn höhere Farben 
hervorgebracht etc. 

Es sei noch bemerkt, daß bei paralleler Stellung der Nicols alle die oben be- 
trachteten Erscheinungen gerade entgegengesetzt werden. Wo Dunkelheit war, ist 
dann Helligkeit und jede Farbe ist in ihre Eomplementärfarbe verkehrt. 

Platten senkrecht zu der Achse einachsiger Krystalle oder zu 
einer der beiden optischen Achsen zweiachsiger haben das gemeinsam, 
daß sie ihre Erscheinungsweise im Polarisationsinstrument beim Drehen 
nicht ändern, sie zeigen aber den Untei^schied, daß sie im ersteren 
Fall stets dunkel, im letzteren stets hell bleiben, wovon unten bei 
der speziellen Betrachtung der ein- und zweiachsigen Krystalle noch 
weiter die Eede sein wird. 

Ist die Platte nicht genau, aber nahezu senkrecht zu der (einer) Achse, so 
ändert sie sich beim Drehen etwas, aber wenig und die maximalen Dunkelheiten und 
Helligkeiten gehen ganz allmählich ineinander über. Je weiter sich die Platte von 
dieser Richtung entfernt, desto erheblicher und schärfer werden die Helligkeitsunter- 
schiede. Diese erhalten ihren größten Wert, wenn die Platte der Achse, resp. einer 
Achsenebene (namentlich der Achsenebene XOZ 0^1)) parallel ist. 

240. QuarzkeU. Der Grad der Aufhellung einer Erystallplatte 
im homogenen Licht in der Diagonalstellung ist, wie wir gesehen 
haben, auch von der Dicke abhängig. Am stärksten wird eine solche 
Platte aufgehellt, wenn diese Dicke so ist, daß die geschwindere der 
beiden in ihr sich bewegenden Wellen beim Austritt aus der Platte 
der langsameren um eine halbe Wellenlänge des angewendeten Lichts 
in der Luft (^A) oder um ein ungerades Vielfaches einer solchen 

(fA, |X, ... — w— ^) verausgeeilt ist. Dagegen findet eine Auf- 
hellung auch bei der Diagonalstellnng überhaupt nicht mehr statt, 
wenn die Platte eine solche Dicke hat, daß der Gangunterschied genau 
eine ganze Wellenlänge (l) oder ein ganzes Vielfaches derselben 
(2 X, 3 X . . . nX) beträgt. In diesem Fall bleibt die Platte bei einer 
Umdrehung um 360® zwischen gekreuzten Nicols bei der Beleuchtung 
mit der betreffenden Lichtsorte stets dunkel. Bei Anwendung einer 
anderen Lichtsorte (einem anderen Wert für l) würde wie gewöhnlich 
abwechselnde Aufhellung und Verdunklung stattfinden. Für bleibende 
Dunkelheit müßte jetzt die Dicke eine etwas andere sein. 

Hierauf beruhen die Erscheinungen, die eine keilförmig ge- 
schliffene Erystallplatte, zunächst im homogenen Licht, zwischen ge- 
kreuzten Nicols darbietet Hat man z. B. einen Quarzkeil, dessen 
eine Fläche der Achse parallel ist und dessen andere Fläche einen 
sehr kleinen Winkel mit dieser macht, so zeigt sich im Polarisations- 
'nstrument, wenn die Achse einen Winkel von 45® mit den Schwin- 



300 Beobachtung im Polarisationsinstrament. 

gungsrichtungen beider Nicols einschließt (Diagonalstellung), ein System 
von Streifen, die abwechselnd hell (von der Farbe des angewendeten 
Lichts) und dunkel parallel mit der Schneide des Keils über diesen in 
gerader Linie und in gleicher Entfernung voneinander hinziehen. Die 

dunkeln Streifen entsprechen Dicken, bei denen der Gangunterschied nX, 

2fi 1 

die zwischenliegenden hellsten Dicken, bei denen dieser — ^ — X beträgt. 

In der Normalstellung ist jedesmal der ganze Keil dunkel, in der 
Diagonalstellung sind die hellen Streifen am intensivsten, und beides 
wechselt bei einer Drehung um 360® viermal ab. Eine planparallele 
Platte erscheint in allen Lagen über ihre ganze Oberfläche wie eine 
gleich dicke Stelle des Keils. 

Die Streifen sind aber, wie nach dem Obigen ohne weiteres klar 
ist, nicht für alle Lichtarten gleich weit voneinander entfernt. Für 
Licht mit größerer Wellenlänge, also z. B. für rotes, sind sie weiter 
voneinander entfernt, als für solches mit kleinerer Wellenlänge, also 
z. B. für blaues. Dies kann man schon sehen, wenn man den Keil 
erst durch ein rotes, dann durch ein dunkelblaues Glas betrachtet. 
Im ersten Fall liegen die Streifen merklich weiter auseinander, als 
im zweiten, und an mancher Stelle liegt ein heller Streifen füi* rot 
da, wo ein dunkler für blau sich befindet und umgekehrt. Daher 
müssen auch die im roten Licht dunkel bleibenden Platten jeweilig 
etwas dicker sein, als im blauen. 

Dieses Verhalten gibt uns die Erklärung für die Farbenerschei- 
nungen, die man an einem Keil im weißen Licht sieht und für die 
Interferenzfarben von Krystallplatten im weißen Licht überhaupt. Im 
weißen Licht verschwinden die dunkeln Streifen, alle sind hell, aber 
von verschiedener Färbung, in ihrer Aufeinanderfolge entsprechend 
der Reihe der newtonianischen Farben nach ihren verschiedenen Ord- 
nungen, wie wir dies schon oben (239) gesehen haben. Dies rührt 
daher, daß an Stellen, wo eine Lichtsorte ausgelöscht ist, also für sich 
einen dunkeln Streifen geben würde, andere Lichtsorten nicht aus- 
gelöscht sind, also einen mehr oder weniger hellen Streifen erzeugen. 
Die Farbe dieses Streifens ist eine Mischung aller der Teile des 
weißen Lichts, die an dieser Stelle (bei dieser Dicke) nicht ausgelöscht 
sind und hier demnach zur Geltung kommen. Wird z. B. blau aus- 
gelöscht, so wird ein Streifen entstehen, der sich dem komplementären 
Gelb nähert, da außer blau alle anderen Lichtsorten mehr oder weniger 
intensiv mrken etc. Diese Mischfarben sind auch hier die newtoniani- 
schen Farben dünner Plättchen und jede planparallele Platte hat überall 
im weißen Licht dieselbe Farbe, wie die gleich dicke Stelle des Keils. 

Solche Keile sind nicht unwichtige Instrumente, die wir zu gewissen Unter- 
suchungen (Ermittlung des Charakters der Doppelbrechung, genaue Bestimmung 



Kompensation. Bestimmnng der Interferenzfarben. 301 

Ton Interferenzfarben, Unterscheidung der Richtungen der größten und kleinsten 
Elastizität auf einer Platte) vielfach benutzen werden. Sie werden meist in der 
oben angegebenen Weise aus Quarz hergestellt und zwar gewöhnlich so, daO die 
Bichtung der Achse auf der Schneide senkrecht steht. In der Achsenrichtung ist 
der Keil stets stark verlängert. Diese Längsrichtung ist dann die Richtung der 
kleinsten Elastizität in dem Keil; letztere kann man daran auf den ersten Blick 
erkennen. Zum Schutz der Schneide wird der Keil auf eine etwas größere Glasplatte 
aufgeklebt. 

241. Eompensatioii. Zwei anisotrope Krystallplatten kann 
man mit parallelen Auslöschnngsrichtungen in zweifacher Weise 
übereinander legen. Entweder fallen die gleichartigen Richtungen 
aufeinander oder die ungleichartigen, m. a. W.: entweder sind die 
Richtungen der größten Elastizität und ebenso die der kleinsten 
in beiden Platten parallel; oder die Richtung der größten Elastizität 
der einen Platte fällt in die der kleinsten der anderen und umgekehrt 
(parallele und gekreuzte Lage der Platten). Im Polarisationsinstru- 
ment summieren sich bei der ersten Lage die Gangunterschiede beider 
Platten und sie zeigt eine Farbe, die einer Krystallplatte zukommt, 
in der für sich allein ein Gangunterschied entsteht, wie in den beiden 
zusammen (Additionsstellung beider Platten). Hat man z. B. zwei 
Platten derselben Substanz mit gleicher krystallographischer Orien- 
tierung, also etwa zwei Spaltungsplättchen von Gips, so wirken sie 
beide zusammen wie eine Gipsplatte von der Summe der Dicken, so- 
mit, wenn sie beide gleich dick sind, von der doppelten Dicke. Bei 
der zweiten gekreuzten Lage der Platte ist ihr Gesamtgangunterschied 
gleich der Differenz der Gangunterschiede beider und die Farbe ent- 
spricht der einer Platte, in welcher der Gangunterschied diese geringere 
Größe hat (Subtraktionsstellung beider Platten). Die zwei Spaltungs- 
plättchen von Gips wirken bei der Kreuzung wie ein einziges mit 
der DiflFerenz der Dicken beider und wenn sie beide gleich dick sind, 
hebt sich ihre Wirkung vollkommen auf; das Plättchenpaar bleibt 
bei einer vollkommenen Kreisdrehung jederzeit vollkommen dunkel, 
wie wenn die Substanz isotrop wäre. Diese Erscheinung wird als die 
der Kompensation bezeichnet. Sie kann benützt werden: 1. zur ge- 
nauen Bestimmung der Interferenzfarben und ihrer Zugehörigkeit zu 
der oder jener Ordnung, was zur Beurteilung der Stärke der Doppel- 
brechung u. U. von Wichtigkeit sein kann ; 2. zur Unterscheidung der 
beiden in der Platte liegenden Schwingungsrichtungen (Bestimmung 
des Charakters der Doppelbrechung). Erscheinungen der Kompensation 
waren es auch, die wir oben zur Erkennung sehr schwacher Grade 
von Doppelbrechung benützt haben (237). 

242. Bestimmung der Interferenzfarben. Wenn eine Krystall- 
platte im Polarisationsinstrument z. B. Rot zeigt, so kann dies ver- 



302 Beobachtung im Polarisationsinstrnment. 

schiedenen Ordnungen angehören. Um zu entscheiden welcher, gibt 
man der Platte genau die 45**-Stellung, in der die Farbe in höchster 
Intensität erscheint. Dann schiebt man dicht unter dem oberen Nicol, 
ebenfalls unter 45^ ganz allmählich den Quarzkeil ein, so daß auch 
seine Farben im höchsten Glanz erscheinen. Es seien nun Keil und 
Platte gekreuzt Dann subtrahieren sich die Wirkungen beider; die 
Farben des Keils werden niedriger und an einer gewissen Stelle, bei 
einer gewissen Dicke des Keils, werden sich beider Wirkungen gerade 
aufheben. Hier muß statt eines farbigen ein schwarzer Streifen ent- 
stehen und, wenn man nun die zu untersuchende Platte entfernt, sieht 
man unmittelbar, an welcher Stelle des Keils dieser auftrat, wo also 
die Wirkung der Platte und des Keils sich gegenseitig aufhoben. Die 
Interferenzfarbe an dieser Stelle des Keils ist diejenige der Platte. 
Trat beim ersten Einschieben des Keils nirgends ein schwarzer 
Streifen auf und wurden die Farben gleichzeitig höher statt niedriger, 
dann lagen Platte und Keil mit gleichartigen Schwingungsrichtungen 
übereinander. Der Keil muß dann unter 90^ zur 1. Stellung noch 
einmal eingeschoben werden, damit Kreuzung mit der Platte entsteht, 
die zur Bestimmung der Fai*be notwendig ist. 

243. Unterscheidung der beiden Schwingungsrichtungen in 
der Platte. Nach dem Bisherigen können wir die Lage der beiden 
Schwingungsrichtungen in einer Platte leicht ermitteln (238). Sie 
sind durch die beiden Kreuzfäden bei der Dunkelstellung gegeben 
und lassen sich ohne Schwierigkeit auf der Platte markieren. Es 
handelt sich nun aber darum, zu erfahren, welcher von diesen beiden 
Richtungen die größte und welcher die kleinste Elastizität entspricht 
Hierzu kann man sich in ganz gleicher Weise des Keils bedienen, 
wie oben (242). Werden die Farben des Keils bei der Überdeckung 
der Platte erniedrigt und tritt statt eines farbigen irgendwo ein 
schwarzer Streifen auf, dann sind beide gekreuzt und die auf dem 
Keil bezeichnete Richtung der kleinsten Elastizität (dessen Längs- 
richtung) ist die Richtung der größten Elastizität in der Platte. 
Findet ein Steigen der Farben statt (was aber weniger charakte- 
ristisch ist), so bezeichnet die Richtung der kleinsten Elastizität des 
Keils auch die in der Krystallplatte. Der Kontrolle wegen pflegt 
man den Keil stets in beiden Richtungen einzuschieben. 

Statt des Keils läßt sich zn demselben Zwecke anch oft eine überall gleich 
dicke Platte eines anisotropen Erystalls verwenden, die eine empfindliche Interferenz- 
farbe gpibt und anf der die Bichtnng der kleinsten Elastizität verzeichnet ist, z. B. 
ein Gipsplättchen mit Rot 1. Ordnung etc. Sinkt die Farbe beim Einschieben 
über die zn untersuchende Platte, d. h. wird sie niedriger, geht sie also z. B. aus 
Bot 1. Ordnung in gelb oder grau über, dann sind beide gekreuzt etc. Der Keil 
wird aber im allgemeinen vorgezogen, da bei ihm das besonders charakteristische 



Eiiiachsige Krystalle im parallelen Licht. 



303 



Keuzeichen des schwarzen Streifens anftritt. {Klocke, N. Jahrb. f. Min. etc. 1886, 
1. Bd., pag. 54; C. Klein, Nachr. Götting. Qea, Wissensch. 1884, pag. 421.) 

Gipsplättchen mit dem Bot 1. Ordnung, anf dem die Richtnng der kleinsten 
Elastizität bezeichnet ist, werden den Polarisationsinstmmenten gewöhnlich beige- 
geben. Zar Kontrolle dieser letzteren Richtnng kann man folgende Erscheinung 
benutzen: Stellt man ein solches Gipsplättchen zwischen den gekreuzten Nicols auf 
rot und dreht es dann um die beiden Ausl5schungsrichtungen, so daß man nun 
nicht mehr senkrecht hindurch sieht, dann geht die rote Farbe das eine Mal in blau, 
das andere Mal in gelb über. Bei dem Übergang in blau hat man um die Richtung 
der kleinsten Elastizität gedreht. 



Einachsige Krystalle. 

Krystalle des quadratischen und hexagonalen Systems. Beide Gruppen yerhaltea 
sich im Polarisationsinstrament ganz gleich und kOnnen auf optischem Wege nicht 
unterschieden werden. Hexagonale Krystalle zeigen manchmal dreiseitige und sechs- 
seitige, quadratische Tier- oder achtseitige umrisse und Durchschnitte (Spaltrisse). 

244. Im parallelen Licht. Eine Platte eines einachsigen 
Krystalls senkrecht zur optischen Achse bleibt bei einer voUen Um- 
drehung zwischen gekreuzten Nicols und für alle Farben dunkel, da 
durch sie das Licht in einer Eichtung hindurchgeht, in der sich nur 
eine einzige Welle und nur ein Strahl fortpflanzen kann. Sie verhält 
sich genau wie eine Platte aus einem isotropen Körper; der Unter- 
schied ist nur der, daß alle aus einem solchen herausgeschnittenen 
Platten, sie mögen gerichtet sein, wie sie wollen, dieses Verhalten 
zeigen (237), während dies bei einachsigen Erystallen nur in 
Platten senkrecht zur Achse der Fall ist. In allen Platten von 
anderer Richtung treten die in (238 ff.) betrachteten Erscheinungen 
auf. Bleibt von einem Erystall, der nach seiner Form für quadratisch 
oder hexagonal gehalten wird, eine Platte senkrecht zur vermeintlichen 
Achse im Polarisationsinstrument nicht dunkel, dann ist der Erystall 
nur scheinbar hexagonal oder quadratisch und ist tatsächlich einem 
anderen System zuzuweisen, 

245. Im Stanroskop. In einer Platte eines einachsigen Krystalls 
sind die beiden Schwingungsrichtungen stets senkrecht und parallel 
zu dem Hauptschnitt, in dem der einfallende Lichtstrahl liegt (215). 
Dem entsprechend beobachtet man an einachsigen Erystallen im Stan- 
roskop stets die folgenden Erscheinungen: 
Auf Prismenflächen (quadratischen und 
hexagonalen) ist eine Auslöschungsrich- 
tung stets parallel, die andere senkrecht 
zur Prismenkante (Fig. 333, wo die Pfeile 
die Auslöschungsrichtungen angeben, Fig. 333. Fig. 334. 
letzteres auch bei den nachfolgenden Figuren). Auf Oktaeder- 





304 Einachsige Krystalle im PolariBationsinstniment. 

und Dihexaederflächen ist eine AnslGschnngsrichtung senkrecht, die 
andere parallel der Seitenkante; auf Ehomboederflächen sind sie 
beiden Diagonalen parallel (Fig. 334), und zwar alles dies für jede 
Farbe und Temperatur. TriflFt eines dieser Merkmale nicht zu, so 
ist der Krystall nicht hexagonal resp. quadratisch, wenn er auch 
äußerlich noch so sehr danach aussieht. So gibt es im monoklinen 
System rhomboederähnliche Körper (rhombische Prismen mit Schief- 
endfläche), welche aber die in Fig. 338 dargestellten Auslöschungs- 
verhältnisse zeigen (249, b) und sich dadurch von wirklichen Rhombo- 
edem meist leicht und sicher unterscheiden lassen. 

246. Im konvergenten Licht. Eine Platte senkrecht zur Achse, 
welche im parallelen Licht von einer isotropen Platte nicht zu unter- 
scheiden ist (244), läßt sich im , konvergenten Licht leicht erkennen, 
da sie durch die Interferenz der den Krystall durchschreitenden 
ordentlichen und außerordentlichen Wellen eine sog. Interferenzfigur 
von folgender Form gibt : bei gekreuzten Nicols wird das Sehfeld von 
zwei in der Richtung der Polarisationsebenen des oberen und unteren 
Nicols verlaufenden und sich im Mittelpunkt rechtwinklig schneidenden 
schwarzen Balken durchzogen. Der Mittelpunkt ist umgeben von einem 
System von abwechselnd hellen und dunkeln, nach außen hin immer 
matter werdenden Kreisen. Erstere sind bei homogenem Licht alle 
gleich weit voneinander entfernt und gleich gefärbt. Bei weißem 
Licht sind sie von außen nach innen von verschiedener Färbung, aber 
in jedem Kreis auf dem ganzen Umfang gleich (isochromatische Kreise). 
Die Farben dieser Kreise stimmen nach Art und Aufeinanderfolge 
mit denen des Keils überein (240) und zwar liegen die niedrigen Ord- 
nungen am nächsten beim Centrum. Sie blassen nach außen hin 
immer mehr ab, bis auch hier das Weiß der höheren Ordnung ein- 
tritt. Diese Erscheinung unterscheidet einachsige Krystalle von 
allen anderen. 

Die Durchmesser der Ringe sind in derselben Platte größer für 
rotes, als für violettes Licht; sie sind um so enger, je dicker die 
Platten, gleiche Substanz und Farbe vorausgesetzt. Gleich dicke 
Platten verschiedener Substanzen geben um so engere Ringe, je stärker 
doppeltbrechend sie sind, je größer also der Unterschied der Brechungs- 
koeffizienten ü) und €. Dies gibt uns ein Mittel, die Stärke der 
Doppelbrechung annähernd zu beurteilen. Gibt eine dicke Platte 
weite Ringe, so ist sie nur wenig doppeltbrechend. Beobachtet man 
in einer dünnen Platte enge Ringe, so muß die Doppelbrechung 
stark sein. 

Eine Drehung der Platte um die Achse und eine Verschiebung 
der Platte läßt diese Interferenzfigur völlig ungeändert. 



Interferenzfigur. Cirkularpolarisation. 305 

Bei parallelen Nicols wird alles bisher Helle dunkel, und umgekehrt; alle 
Farben werden in ihre Komplementärfarben verwandelt. 

(Abbildungen von Interferenzerscheinungen, auch von zweiachsigen Erystallen: 
Hatiswaldt, Interferenzerscheinungen an doppeltbrechenden Erystallplatten im kon- 
Tergenten polarisierten Licht, photographisch aufgenommen. Magdeburg 1902. Mit 
einen* Vorwort von Th. Liebisch.) 

247. Cirkularpolarisation. Einige einachsige Krystalle (von 
Mineralien Quarz und Zinnober) haben die Eigenschaft, daß sich 
längs ihrer Achse zwei nicht geradlinig, sondern in Kreislinien in 
entgegengesetzter Richtung schwingende (cirkular polarisierte) Wellen 
mit verschiedener Geschwindigkeit, aber gleicher Intensität vorwäiis 
bewegen, wenn eine geradlinig polarisierte Welle auf die Unterseite 
der Platte fällt. Diese beiden Wellen interferieren beim Austritt aus 
der oberen Fläche der Platte und erzeugen wieder eine geradlinig 
polarisierte Welle, deren Polarisationsebene aber einen gevriissen 
Winkel gegen die der einfallenden geradlinig polarisierten Welle 
macht, so daß im Krystall gewissermaßen die Schwingungsebene des 
durch den unteren Nicol polarisierten Lichts um jenen Winkel ent- 
weder nach rechts oder nach links gedreht erscheint. Diese Er- 
scheinung heißt die Cirkularpolarisation der einachsigen Erystalle. 
Man unterscheidet dabei in dem eben angegebenen Sinne rechts- und 
linksdrehende Krystalle. In anderen Richtungen als in der der Achse 
findet keine Cirkularpolarisation statt. 

Solche cirkularpolarisierende Krystalle zeigen daher in Platten 
senkrecht zur Achse im Polarisationsinstrument Erscheinungen, welche 
von den an anderen einachsigen Krystallen beobachteten zum Teil 
abweichen. Eine solche Platte erscheint in homogenem Licht und bei 
gekreuzten Nicols im Polarisationsinstrument für paralleles Licht nicht 
dunkel, sondern man muß erst den oberen Nicol nach rechts (rechts- 
drehende Krystalle), resp. nach links (linksdrehende Krystalle) drehen, 
ehe das Sehfeld dunkel wird, und zwar gerade um den Winkel, um 
welchen die Polarisationsebene gedreht erscheint. Dieser Winkel ist 
bei Quarzplatten bei gleicher Dicke kleiner für rotes als für violettes 
Licht und ist für dasselbe Licht der Dicke der Platte proportional, 
also bei einer Platte von 2 mm Dicke noch einmal so groß, als bei 
einer solchen von 1 mm. Die Drehung (nach rechts oder links ganz 
gleich) beträgt bei einer Quarzplatte von 1 mm Dicke 15®, 3 für rotes, 
21®, 67 für gelbes, 42^ 20 für violettes Licht. Eine Quarzplatte von 
3,75 mm Dicke dreht die untere Polarisationsebene für mittleres (gelb- 
grünes) Licht um 90®, sie zeigt also für solches Licht bei parallelen 
Nicols ein dunkles Sehfeld. 

Im weißen Licht ist das Sehfeld bei jedem Winkel der beiden 
Nicols gegeneinander gefärbt, aber je nach der Größe des Winkels 

Baner, Mineralogie. 20 



306 Einachsige Erystalle im PdarisationBinfltniment. 

beider Polarisationsebenen ist die Farbe verschieden und bei der 
Drehung eines, etwa des oberen, Nicols ändert sich dieselbe, denn bei 
jedem solchen Winkel ist eine andere Farbe ausgelöscht und die 
Platte ist getärbt durch eine Mischung der jeweilig nicht ausge- 
löschten Teile des weißen Lichts. Ist das Sehfeld bei senkrecht ge- 
kreuzten Nicols z. B. gelb, so wird es bei rechten Krystallen bei der 
Drehung des oberen Nicols nach rechts im Sinne der Uhrzeiger der 
Beihe nach grftn, blau etc., kurz, die Farben folgen sich in der Ord- 
nung der Spektralfarben, obgleich es keine einfachen Spektralfarben, 
sondern (auch hier wieder die kompliziert gemischten Farben dfinner 
Plättchen sind. In linken Krystallen folgen sich beim Drehen des 
oberen Nicols von rechts nach links die Farben in derselben Ordnung; 
man kann daran rechte und linke Krystalle leicht unterscheiden. 
Wenn an den Quarzkrystallen Rhomben- oder Trapezflächen auftreten, 
kann man schon äußerlich erkennen, nach welcher Richtung die 
Drehung der Polarisationsebene erfolgt Liegen diese Flächen rechts 
resp. links, dann wird auch die Polarisationsebene nach rechts resp. 
links gedreht (129). 

Bei parallelen Nicols zeigt die Qnarzplatte von 3,75 mm Dicke im weißen Licht 
eine eigentümliche rötlich violette Farhe, die sog. „teinte de passage" oder ,,teinte 
Benaihle". Diese ändert sich schon bei einer ganz geringen Drehung eines Nioolii 
«ehr merklich in rot oder blan, ebenso wenn noch ein doppeltbrechender Erystail 
eingeschaltet wird, dessen Schwingnngsrichtnngen einen wenn auch nur ^nz ge- 
ringen Winkel mit den Schwingongsebenen der beiden Nicols machen, selbst wenn 
seine Doppelbrechung sehr unbedeutend ist Daher wird eine solche Quarzplatte dazu 
benützt, um das Sehfeld des Polarisationsinstruments empfindlicher zu machen, um 
geringe Spuren von Doppelbrechung zu entdecken (237) und im Stauroskop (235). 
Bei gekreuzten Nicols ist eine solche Platte gelb. 

Aus vier gleich dicken Quarztafeln senkrecht zur Achse, am besten mit der 
„teinte sensible*^, besteht auch die Bertrandsche DoppetplattCf die wir schon oben be- 
nutzt haben, um das Sehfeld des Stauroskops so empfindlich wie möglich zu machen 
(235). Die Doppelplatte wird im Okular nahe unter dem oberen Nicol eingesetzt. 
Jede der vier Quarztafeln nimmt genau einen Quadranten des Sehfelds ein und zwar 
sind die abwechselnden rechts und links drehend. Die Quadrantengrenzen gehen 
den Schwingungsrichtungen der gekreuzten Nicols parallel und ersetzen das Faden- 
kreuz. Bei parallelen, sowie bei gekreuzten Nicols sind aUe vier Quarze ganz gleich 
gefärbt. Bringt man in das Polarisationsinstrument einen doppeltbrechenden Erjstall, 
dessen Schwingungsrichtungen mit denen der beiden Nicols koinzidieren , so 
bleiben die vier Quadranten gleich, wie sie vorher waren. Hat aber die Platte eine 
andere Lage, so ändern sich die Farben der aneinanderstoßenden Quadranten und 
zwar, ihrer verschieden en Drehung wegen, in entgegengesetztem Sinne: im einen 
gegen rot, im anderen gegen blau hin. So entstehen sehr starke Farbenkontraste, 
die erst dann vollständig wieder verschwinden, wenn die Koinzidenz der Schwingungs- 
richtnngen durch Drehen der Platte auf dem Objekttisch vollkommen genau herge- 
stellt ist. Da die verschieden gefärbten Felder unmittelbar aneinander grenzen, so 
erlaubt der Kontrast die Erkennung der geringsten Differenzen und daher eine be- 
sonders genaue und scharfe Einstellung des Krystalls auf die Stellung, wo seine 
Schwingungsebenen mit denen der Nicols zusammenfallen. 



OirknlarpolariBation. Charakter der Doppelbrechung. 307 

Im konverg^enten Licht entsteht bei cirknlarpolarisierenden 
Krystallen in Platten senkrecht zur Achse eine ähnliche Interferenz- 
figur, wie bei anderen einachsigen Erystallen, aber die Balken des 
schwarzen Kreozes setzen sich nicht durch das Mittelfeld fort^ sondern 
dieses ist hell und gefiLrbt^ und zwar zeigt es die Farbe, weldie die 
Platte auch im parallelen Licht zeigen würde. Beim Drehen des 
oberen Nicols verändert sich diese Farbe wie im parallelen Licht. 

Legt man eine Platte eines rechts- und eine solche eines links- 
drehenden Quarzes aufeinander, so entstehen eigentümliche spiral- 
förmige Figuren (Airysche Spiralen), welche nach entgegengesetzten 
Seiten gebogen sind, je nachdem der rechte oder der linke Quarz 
oben liegt. Auch scheinbar einfache QuarzkrystaUe zeigen zuweilen 
diese Erscheinung, welche dann beweist, daß man es mit Verwach- 
sungen eines rechten und eines linken Erjnstalls mit parallelen Erystall- 
achsen zu tun hat (166). 

Die Cirkularpolarisation steht mit gewissen krystallograpbischen 
Erscheinungen der genannten Mineralien in engster Beziehung: die 
selben sind trapezoedrisch-tetartoedrisch, was namentlich der Qaarz 
deutlich zeigt. Die rechtsdrehenden Krystalle sind durch rechts-, 
die linksdrehenden durch linksliegende Bhomben- und Trapezflächen 
ausgezeichnet (129). Allgemein findet man Cirkularpolarisation häufig 
bei enantiomorphen Körpern (66) und zwar nur bei solchen. Aber 
es gibt allerdings auch enantiomorphe Krystalle ohne Cirkularpolari- 
sation. 

248. Charakter der Doppelbrechung. Dieser ist im allgemeinen 
für sämtliche Krystalle einer und derselben Substanz der nämliche ; ent- 
weder sind sie alle +, oder alle — (vergL (217)). Die Kenntnis desselben 
ist daher wichtig und zar Bestimmung des Minerals unter Umständen 
von Bedeutung. Kennt man die Hauptbrechungskoeffizienten u und «, 
so ist auch der Charakter der Doppelbrechung gegeben, er ist -|-, 
wenn co <; c, — im entgegengesetzten Fall (220). Man hat aber auch 
Methoden, ihn ohne Kenntnis von cü und e festzustellen und diese 
werden bei der Untersuchung der Mineralien sehr häufig angewendet. 
Die wichtigsten derselben sind die folgenden : 

1. Pla^ II der Achse. Der zu untersuchende Krystall ist in dieser 
Richtung geschliffen oder von zwei gegenüberliegenden natürlichen 
Prismenflächen begrenzt; jedenfalls muB die Bichtung der Achse be- 
kannt sein. Man bestimmt im parallelen Licht mittels eines Keils 
oder eines Gipsplättchens mit Rot 1. Ordnung etc. die Richtung der 
kleinsten Elastizität (243). Fällt diese mit der Achse des Krystalls 
zusammen, so ist dieser -f-, steht sie auf der Achse senkrecht, so ist 
er — (215). 

20* 



308 Einachsige Erystalle. Charakter der Doppelbrechung. 

2. Platte J_ gur Achse. Der Krystall ist in dieser Bichtang ge- 
schliffen oder von den beiden Flächen der Basis begrenzt Die Be- 
Stimmung findet im hmvergewten Licht statt, in welchem die Platte die 
Interferenzfigur mit ihren isochromatischen Kreisen und dem schwarzen 
Kreuz zeigt (246). Der Charakter der Doppelbrechung wird am besten er- 
kannt aus den Veränderungen, welche diese Figur erleidet, wenn über 
der zu untersuchenden Platte noch eine Viertelundulationsglimmer- 
platte (222) unter dem oberen Nicol eingeschaltet wird, etwa indem 
man diese in den Schlitz Z (Fig. 331) links einschiebt. Die |A-Platte 
muß diagonal orientiert sein, so da£ die Richtung der kleinsten 
Elastizität in derselben (zusammenfallend im Glimmer mit der Ebene 
der optischen Achsen und auf der Platte gewöhnlich daran kenntlich, 
daß sie deren längeren Seite parallel geht) einen Winkel von 45® mit 
den Schwingungsrichtungen der beiden Nicols macht Dann wird durch 
sie jene Interferenzfigur derart umgestaltet, daß die durch die beiden 
Schwingungsrichtungen der Nicols (das Fadenkreuz) gebildeten Qua- 
dranten der isochromatischen Kreise sich abwechselnd erweitern und 
verengern. Gleichzeitig bleiben von dem schwarzen Kreuz nur zwei 
schwarze Punkte übrig, die in den erweiterten Quadranten liegen 
und deren Verbindungslinie den Winkel dieser Quadranten halbiert 
Dies ist in zweierlei Weise möglich. Entweder kann die Verbindungs- 
linie der schwarzen Punkte oder die Halbierungslinie der Quadranten 
mit den erweiterten Eingen der Ebene der optischen Achsen in der 
^i-Glimm erplatte parallel sein, oder sie kann auf dieser Richtung 
senkrecht stehen. Im ersten Fall ist der zu untersuchende Krystall 
negativ, im anderen Fall ist er positiv. 

{Dove, Pogg. Ann. 40, 1837, pag. 457 und Farbenlehre 1853, pag. 242; Bertin, 
Ann. chim. phys. 4. ser. Bd. 13, 1868; C. KUin, Sitznngsber. Berlin. Akad. 1893, 
pag. 221 ; Rosenbusch, Physiographie 1, 1892, 3. Aufl. pag. 187 ; Wadsworth, American 
Geologist. 21, 1898, pag. 170.) 

Eine neuerzeit eingeführte, in manchen Fällen bequeme Methode 
bedient sich eines Gipsplättchens mit dem Eot 1. Ordnung. Auch dies 
schiebt man über der zu untersuchenden Krystallplatte im Polari- 
sationsinstrument für konvergentes Licht so ein, daß seine (durch 
ein Zeichen, einen Pfeil oder sonst, kenntlich gemachte) Richtung 
der kleinsten Elastizität unter 45® gegen die Nicolhauptschnitte ge- 
neigt ist. Dann wird die Interferenzfigur derart geändert, daß zwei 
gegenüberliegende Quadranten, wie sie durch das Fadenkreuz resp. 
die beiden nun roten Balken der Interferenzflgur angegeben werden, 
in der Mitte blau (resp. grün), die beiden zwischenliegenden, ebenfalls 
in der Mitte, gelb gefärbt sind. Wenn die ersten Ringe zu sehen 
sind, so wechseln diese quadrantenweise, so daß sie um die blauen 
(resp. grünen) Quadranten farbig, um die gelben schwarz erscheinen. 
Der zu untersuchende Krystall ist +, wenn die Richtung der kleinsten 



Zweiachsige Erystalle. Im parallelen Licht nnd ini Stanroskop. 309 

Elastizität in dem Qipsplättchen die blauen Quadranten resp. die 
farbigen Einge, er ist — , wenn sie die gelben Quadranten resp. die 
schwarzen Ringe halbiert. 

{RinnCj Centralhl. f. Min. etc. 1901, pag. 653.) 

Manche Mineralien von sehr geringer Doppelbrechnng, bei denen also t» und e 
sehr wenig verschieden sind, zeigen an einzelnen Krystallen -|-) ui anderen — Doppel- 
hrechnng, ja anf einer und derselben Platte kann das Vorzeichen der Doppelbrechung 
wechseln, namentlich anch für yerschiedene Farben. Beispiele : Apophyllit, Pennin etc. 



Zweiaehsige Krystalle. 

m 

Erystalle des rhombischen, monoklinen und triklinen Systems. AUe zu einem 
und demselben System gehörigen Erystalle verhalten sich im wesentlichen optisch 
gleich, aber abweichend von den Ery stallen der anderen Systeme, so daß man die 
drei hierhergehörigen Erystallsysteme auf optischem Wege voneinander unter- 
scheiden kann. 

249. Im parallelen Lieht und im Stanroskop. Eine Platte 
senkrecht zu einer optischen Achse bleibt nicht wie bei einem ein- 
achsigen Krystall dunkel, sondern hell^ verändert sich aber bei einer 
vollen Kreisdrehung des Präparats ebenfalls nicht. 

Dies ist die Folge der am Schluß von (224) angedeuteten Erscheinung, daß 
einer in der Richtung dieser Achse sich fortpflanzenden Welle heim Austritt aus 
der Platte unendlich viele Strahlen entsprechen, die auf dem Mantel eines Ereiscylinders 
liegen und von denen jeder eine andere Schwingungsrichtung hesitzt. Von diesen 
Strahlen werden nur diejenigen ausgelöscht, die senkrecht zum oheren Nicol schwingen. 
Die anderen gehen ganz oder teilweise hindurch und lassen die Platte hell erscheinen. 
(Kalkowsky, Zeitschr. f. Eryst. Bd. 9, 1884, pag. 486.) 

Platten parallel oder schief zu einer oder beiden optischen Achsen 
verhalten sich, wie es (238) auseinandergesetzt ist. Am bequemsten 
beobachtet man derartige Erscheinungen an Spaltungslamellen von 
Gips oder auch von Glimmer, die ohne jede Schwierigkeit durch 
Spalten mit dem Messer in jeder beliebigen Dicke hergestellt 
werden können. Das dort Angeführte gilt in voller Allgemeinheit 
für alle zweiachsigen Erystalle ohne Ausnahme. Die einzelnen 
Krystallsysteme unterscheiden sich aber voneinander durch die Lage 
der Auslöschungsrichtungen gegen die krystallographische Begrenzung 
der Krystalle. Diese Lage entspricht auch hier wieder durchaus der 
Symmetrie der Krystalle (227): 

a. An rhombischen Krystallen sind die Auslöschungsrichtungen 
auf Pinakoidflächen stets den der Fläche parallelen Krystallachsen 
parallel, und zwar gleichzeitig für alle Farben. Auf den Flächen 
eines oblongen Prismas mit der Basis (Fig. 335) gehen also die Aus- 
löschungsrichtungen für alle Farben mit den Kanten parallel. TriflPt 
dies bei der Beobachtung im Stanroskop nicht zu, so ist der Krystall 



310 



Zweiachsige Krystalle im Polarisationfliiistramait. 



nicht rhombisch. Auf den Flächen der rhombischen Prismen (nebst 
Domen) stehen die Anslöschongsrichtnngen zu den Prismenkanten 
senkrecht and sind mit diesen parallel, ebenfalls für alle Farben 
(Fig. 336). Ist dies nicht der Fall, ergibt das Stauroskop auf Flächen 
eines rhombischen Prismas die Aaslöschung schief zu den Kanten, so 
kann das Prisma nicht einem rhombischen, es kann z. B. einem monoklinen 
Krystall angehören (Fig. 338). Auf der Basis eines rhombischen 
Prismas sind die Auslöschungsrichtungen f&r alle Farben den beiden 
Diagonalen parallel (Fig. 336). 

b. In monoMifien Krystallen findet auf Platten parallel der 
Symmetrieachse b Auslöschung statt, wenn diese Achse der Schwin- 
gungsebene des einen Nicols parallel ist, und zwar fftr alle Farben 
ohne Ausnahme. Auf Platten senkrecht zur Symmetrieachse 6, dem- 
nach parallel mit der Symmetrieebene, also auf dem Klinopinakoid 
odSoo (010) haben die Auslöschungsrichtungen keine bestimmte gesetz- 
mäßige Lage gegen die krystaUographische Begrenzung und sind dem- 







Fig. a35. 



Fig. 336. 



Fig. 337. 



Fig. 338. 



nach auch für verschiedene Farben etwas verschieden, d. h. um einen 
kleinen Winkel gegeneinander geneigt. Dasselbe ist auch auf allen 
Prismenflächen der Fall. Auf einem oblongen Prisma mit schiefer 
Endfläche sind demgemäfi beispielsweise die Auslöschungsverhältnisse 
die folgenden (Fig. 337): Auf der Basis 0P(001) und auf der Quer- 
fläche ooPoo (100) ist eine der Auslöschungsrichtungen parallel mit der 
Kante beider Flächen, die mit der Symmetrieachse b parallel ist, und 
die beiden anderen sind senkrecht zu dieser Kante und liegen in 
der Symmetrieebene, alles für sämtliche Farben. Auf dem Klino- 
pinakoid ooPoo(010) liegen die beiden Auslöschungsrichtungen schief 
zu den Kanten in dieser Fläche, und zwar für rotes Licht etwas 
anders, als für violettes, in rr und in w; die Neigung gegen diese 
Kanten (Auslöschungsschiefe) muB mit dem Stauroskop ermittelt 
werden. Auf den Flächen der rhombischen Prismen der monoklinen 
Krystalle liegen die Auslöschungsrichtungen schief zu der Kante, für 
die verschiedenen Farben verschieden, aber auf den beiden rechts 
und links von der Symmetrieebene liegenden Prismenflächen voll- 
kommen symmetrisch (Fig. 338). Auf der Basis gehen die Aus- 



Im konyergenten Licht. Interferenzkorren. 



311 



löschungsrichtangen den beiden Diagonalen für alle Farben parallel 
(Fig. 338) (vergl. das Rhomboeder (Fig. 334 und (245)). 

c. In triklinen Erystallen liegen die Anslöschnngsrichtungen auf 
allen Flächen schief zu den Kanten, ungleich schief für die ver- 
schiedenen Farben und ohne jede Symmetrie. Hier müssen alle Be- 
stimmungen von Auslöschungsrichtungen mittels des Stauroskops aus- 
geführt werden, da irgend eine theoretische Beziehung zur natür- 
lichen Begrenzung der Erystalle hier nicht mehr vorhanden ist. 

250. Im konvergenten Licht. Eine Platte senkrecht zu einer 
optischen Achse gibt eine Interferenzflgur, welche der von einachsigen 
Krystallen ähnlich ist. Die chromatischen Ringe sind aber hier nicht 
Kreise, sondern ellipsen ähnliche Figuren, und das schwarze Kreuz ist 
auf einen schwarzen Balken reduziert. 

Viel wichtiger sind die Interferenzfiguren von senkrecht gur 1. Mittel- 
linie geschliflFenen Platten. Es entstehen hier bei homogener Beleuchtung 
abwechselnd helle und dunkle Lemniskaten (Fig. 339, 340), in deren Polen 
(oder Augpunkten) 0^ und 0^ die optischen Achsen und in deren Mitte 





Pig. 339. 



Fig. 340. 



C die Mittellinie die Ebene der Platte treffen, so daß die Linie 0^0^ 
die Spur der Ebene der optischen Achsen auf der Platte darstellt 
und deren Richtung angibt Für jede Farbe sind die Lemniskaten 
symmetrisch zu 0^ 0, und zu der im Centrum C darauf Senkrechten 
(in Fig. 339 P^P^. Bei einer Drehung der Krystallplatte ändern 
sich diese Figuren nicht, sie nehmen nur jeweilig andere Stellungen 
zum Fadenkreuz P^P^ ein. Die Entfernung 0^0^ ist von der Dieke der 
Platte etc. ganz unabhängig; sie ist nur bestimmt durch den Winkel 
der optischen Achsen. Je größer dieser ist, was von einer Substanz 
zur anderen wechselt, desto größer ist die Entfernung 0^0^ und um- 
gekehrt Wie der Achsenwinkel, so ändert sich auch die letztere 
etwas mit der Farbe (226. 226). Je nachdem ^>t; oder ^<v ist, 
ist 0^0, für rotes oder für violettes Licht größer. An Krystallen 
mit starker Dispersion der optischen Achsen kann man dies unmittel- 
bar sehen, wenn man die Interferenzflgur nacheinander durch ein 
rotes und ein violettes (blaues) Glas betrachtet (z. B. beim Titanit). 



312 Zweiachsige Krystalle im Polarisationsinstrnment. 

Auch sonst zeigen die Lemniskaten auf derselben Platte für ver- 
schiedene Farben kleine Verschiedenheiten in der Form und im 
allgemeinen auch in der Lage; sie sind für rotes Licht etwas weiter, 
als für blaues. 

Neben den Lemniskaten ist aber in dieser Interferenzflgur stets 
noch etwas weiteres vorhanden. Ist zunächst die Platte so in das 
Polarisationsinstrument gelegt, daß die Achsenebene O^^O^ mit der 
Polarisationsebene des einen Nicols (dem einen Kreuzfaden), z. B. P^P^ 
zusammenfällt (Fig. 339) und auf dem anderen Kreuzfaden P2P2 senk- 
recht steht (0 **- Stellung, Parallel- oder Normalstellung, -|- -Stellung), 
dann sind die Lemniskaten von einem schwarzen Kreuz durchzogen, 
dessen beide Balken sich in der Mitte C in den Eichtungen P^P^ und 
P2P2 durchschneiden. Dreht man nun die Platte auf dem Objekt- 
tisch, also um C, so öffnet sich das Kreuz, und wenn die Achsenebene 
0^0^ mit den beiden Polarisationsebenen des Instruments Winkel von 
45^ einschließt (45^-Stellung oder Diagonalstellung, X- Stellung), dann 
hat sich das Kreuz allmählich in eine schwarze Hyperbel verwandelt 
(Fig. 340), deren Scheitelpunkte in den Lemniskatenpolen 0^ und 0, 
liegen und zu der P^Pi und P^P^ die Asymptoten sind. Bei dieser 
Stellung wird die Lage der optischen Achsen somit genau durch die 
beiden Scheitelpunkte der Hyperbel angegeben. Bei einer Drehung 
der Platte um 360 ^ hat man bei vier um je 90 ® voneinander ent- 
fernten Stellungen das schwarze Kreuz, bei vier zwischenliegenden, 
die mit den ersteren Winkel von 45^ einschließen, die Hyperbel, 
jedesmal mit ganz allmählichem Übergang. 

Im weißen Licht sind alle Lemniskaten farbig, keine ist mehr 
schwarz. Es sind dieselben Farben, die auch im Quarzkeil und in 
der Interferenzfigur der einachsigen Krystalle auftreten, jedoch in 
anderer Anordnung. Die Verteilung derselben ist das Resultat der 
Übereinanderlagerung und des Zusammenwirkens der Interferenzkurven 
für die verschiedenen einzelnen Farben auf derselben Platte. Sie ist 
im allgemeinen nicht mehr symmetrisch nach 0^0^ oder P^P^ und PgPj, 
wie im homogenen Licht, sondern sie richtet sich genau nach der Sym- 
metrie des Krystalls, so daß eine krystallographische Symmetrieebene, 
welche über die zur Mittellinie senkrechte Platte hinzieht, auch eine 
Symmetrierichtung für die Verteilung der Interferenzfarben auf dieser 
Platte bildet. Auf beiden Seiten derselben kehren die gleichen Farben 
in übereinstimmender Weise wieder. Hierin zeigen sich demnach eben- 
falls charakteristische Unterschiede bei den Krystallen der zwei- 
achsigen Krystallsysteme, die daran, wie wir unten (251) sehen 
werden, erkannt werden können. Diese Farbenverteilung ist eine 
Folge der Dispersion der Elastizitätsachsen, speziell der Mittellinien, 
und der optischen Achsen (226, 227). 



Interferenzknryen. Dispersion der optischen Achsen. 313 

In jeder einzelnen Substanz sind die Ringe der Lemniskaten nm so eng^er, je 
dicker die Platte, im weißen sowohl wie im homogenen Licht. Bei gleicher Dicke 
von Platten yerschiedener Substanzen sind die Ringe nm so enger, je st<ärker die 
Doppelbrechung. Dies gibt ein Mittel an die Hand, um auch bei zweiachsigen 
Krystallen die Stärke der Doppelbrechung annähernd in derselben Weise zu benr- 
teilen, wie wir es oben bei den einachsigen kennen gelernt haben (246). Nur wenn 
die Kurven sehr eng gedrängt sind, treten die getrennten Ringe um Oi und 0, auf. 
Werden sie weiter, so verschwinden zuerst diese, dann die oo- förmigen und man 
hat nur Farbenstreifen, die bei P« eine Einschnürung zeigen, wie die äußerste Kurve 
in Fig. 339 und 340. Ist die Dicke resp. die Doppelbrechung noch geringer, dann 
hat man nur noch Ringe von ellipsenähnlicher (Gestalt ohne jene Einschnürung. 
Gleichzeitig mit dem Weiterwerden der Kurven nimmt auch ihre Zahl immer mehr 
ab und schließlich ist das ganze Sehfeld ziemlich gleichmäßig gefärbt. Man sieht gar 
keine bestimmt abgegränzten Lemniskaten mehr und es erscheint nur noch das 
schwarze Kreuz, das sich beim Drehen in die Hyperbel verwandelt und umgekehrt, 
beide zusammen den charakteristischsten Teil der Interferenzfignr zweiachsiger 
Krystalle bildend. 

Infolge der Dispersion der optischen Achsen sind die Hyperbeln im 
weißen Licht auch nicht mehr ganz schwarz, sondern mit roten und 
blauen Säumen versehen. Ist der innere Saum rot und der äußere 
blau, so ist q^v, ist dagegen der äußere Saum rot, der innere blau, 
so ist ß<i; (226). 

Ist nämlich in Fig. 341 RR die schwarze Hyperbel für rotes (ausgezogen), VV 
für violettes (oder blaues) Licht (gestrichelt), so ist in dieser Figur das Verhältoig 
(> > V dargestellt. Wendet man gleichzeitig rotes und violettes ^^^ 

(oder auch weißes) Licht an, so ist auf beiden Seiten von c \\}^ 
zwischen den inneren Linien R luid V jedenfalls Dunkelheit, denn 
hier liegt sowohl ein Teil der dunkeln Hyperbel für rotes, als 
auch fttr blaues Licht. Nach innen geht nur noch die Hyperbel 
f&r Violett bis r, hier ist also Violett (Blau) ausgelöscht, also 
muß hier ein roter Saum entstehen. Nach außen geht nur p- ^^ ' 

die Hyperbel fttr Rot noch bis b. Hier ist also Rot im Mini- 
mum, somit muß hier ein blauer Saum entstehen ; denn jenseits der äußeren Linie V 
ist Violett (Blau) ungeschwächt, wie Rot jenseits der inneren Linie R. Bei sehr 
starker Dispersion der optischen Achsen (z. B. beim Titanit) fallen die schwarzen 
Hyperbeln fttr Rot und Blau gar nicht mehr oder kaum übereinander. Die Folge ist, 
daß im weißen Licht die Hyperbel gar keine schwarze Mitte mehr hat, sondern 
durchweg gefärbt ist, der rote Rand schließt sich unmittelbar an den blauen an. 
Ist der Achaenwinkel zu groß, so faUeu die Augpnnkte der Lemniskaten mit der 
Hyperbel über das Sehfeld des Instruments hinaus. 

Auch auf Platten senkrecht zur 2. Mittellinie entstehen solche Interferenzfiguren. 
An einer solchen ist aber selbstverständlich (» < v, wenn an der 1. Mittellinie (> > v 
ist und umgekehrt. Diese Interferenzfiguren um die 2. Mittellinie sind aber meist 
nicht ohne weiteres sichtbar, da infolge zu schiefen Auffallens der in der Richtung der 
Achsen verlaufenden Strahlen auf die Plattenfläche Totalreflexion eintritt. Die 
ErystaUplatte muß dann zur Beobachtung in eine stark lichtbrechende Flüssigkeit 
eingetaucht werden (vergl. 252), was übrigens auch bei Platten senkrecht zur ersten 
Mittellinie notwendig oder erwünscht sein kann, wenn der Achsen winkel zu groß ist. 

Ähnliche Erscheinungen als die eben beschriebenen erblickt man in manchen 
Krystallen beim Hindurchsehen mit bloßem Auge in bestimmten Richtungen, ohne 




314 



Zweiachsige Erystalle im Polarisationsinstrnment. 



Anwendung eines Polarisationsinstrnments. Man nennt solche Erystalle idiocydophan. 
{Bertin, Ztschr. Kryst. Bd. III, 1879, 449.) Hierher gehören gewisse (nicht alle) 
Krystalle von Aragonit, Epidot etc. 

(Abhüdungen siehe Hanswaldt (246)). 

251. Interferenzflguren bei den einzelnen Erystallsystenien. 

Für die einzelnen Krystallsysteme gilt nun bezüglich der Interferenz- 
figuren im weißen Licht und der Symmetrie der Farbenverteilung in 
denselben unter Berücksichtigung der in (227) auseinandergesetzten 
Verhältnisse der Dispersion das Folgende. 

1. Rhombische Krystalle. In rhombischen Krystallen ist die 1. Mittel- 
linie einer dei* drei Krystallachsen parallel. Die zu dieser senkrechte 
Platte, auf der man die Interferenzfigur beobachtet, ist somit für alle 
Farben stets ganz gleich gerichtet und wird von den beiden Flächen 
des einen der drei Pinakoide begrenzt. In ihr liegen die beiden an- 
deren Elastizitätsachsen, die nicht 1. Mittellinie sind, 8E und S^E^ 
{Fig. 342 — ^344), in der Richtung der beiden anderen Krystallachsen 






P 5(100) E 

Fig! 344. 



Fig. 342. Fig. 343. 

(Symmetrieebenen) und zwar 
ebenfalls wieder für alle Farben 
gleich. Zu SE und S^E"^ sind 
alle Interferenzkurven, R für 
rotes und F für violettes Licht 
und alle zwischenliegenden für 
intermediäre Lichtsorteu sym- 
metrisch (Fig. 344) und für alle Lichtsorten ist auch das Centrum G 
(Fig. 339) konstant dasselbe, die Lemniskaten sind aber in dem in Fig. 344 
vorliegenden Beispiel, wo ^ > v, für Rot etwas länger, als für Violett 
Notwendig müssen daher auch die Interferenzkurven für weißes Licht 
in Bezug auf die Farbenverteilung symmetrisch sein nach SE und 
8^E^ und ihr gemeinsames Centrum muß wieder in C liegen, wie für 
die einzelnen Farben, alles für die Normalstellung (Fig. 342), sowohl 
als für die Diagonalstellung (Fig. 343), (wo beidemale gleiche Schraf- 
fierung die gleiche Farbe andeuten soll). Diese nach zwei aufeinander 
senkrechten Richtungen symmetrische Verteilung der Farben der 
Interferenzfigur im weißen Licht auf einer Platte senkrecht zur 



InterferenzÖgiireii bei den nncelnen Erjst&Ufljstemen. 315 

1. Mittallinie ist chara^eristisch fUr rhombische Krystalle. Findet sie 
Bicbt statt, ist nicht ein Ang:e der Lemniskateu genau ebenso geßlrbt 
wie das andere und jedes einzelne vom ebenso wie hinten, dann ist 
der Krystall gewiß nicht rhombisch. 

Bei EiyBtalleii, bei denen die Ebene der optischen Achsen fOr Hot senkrecht ist 
aaf 4er fflr Violett, entstehen noch 8E nnd S'E^ symmetriMshe Inteiferenzflgnren von 
besonderer Form, an deoen sich diese st»TkB Dispersion der optischen Achsen er- 
kennen I&Üt (e. B. beim Brookit (226)). Ähnliches kann natHrlicb anch bei mono- 
klinen nnd trUdinen Erjstallen vorkommen. 

2. Monokline Krystalle. Bei monoklinen KrystalUn sind die zur 
1. Mittellinie normalen Platten, auf welchen man die Interferenzfiguren 
. beobachtet, entweder parallel oder senkrecht zur Symmetrieebene 
(senkrecht oder parallel zur Symmetrieachse). 

a) Bei Krystallen mit geneigter Dispersion, wo die optischen Achsen, 
also auch die Mittellinien, in der Symmetrieebene liegen ({227), Fig. 328), 
muß die Platte senkrecht zur Symmetrieebene sein. Sie ist aber nicht 
ffir alle Farben genau senkrecht zur 1. Mittellinie, da diese für die ver- 
schiedenen Farben eine etwas verschiedene Lage OZr und OZ, hat. 
Von den Interferenzlemniskaten liegen die beiden Pole Oi und 0, 
(Fig. 339, 340) in der Symmetrieebene des Krystalls, welche in der 
Richtung SE (Fig. 345—347) verläuft R (Fig. 345) sind die Lemnis- 




Pig. 345. Fig. 346. K?- B47. 

katen far rotes, V für violettes Licht; Zr und Z, sind die Punkte, 
wo die zugehörigen Mittellinien die Flftche dei- Platte treffen. Die 
Lemniskaten für die verschiedenen Farben sind längs der Symmetrie- 
ebene SE etwas gegeneinander verschoben, aber SE bleibt Symme- 
trieebene fär die Gresamtheit alier, dagegen ist diese Gresamtheit nun 
nicht mehr symmetrisch zu der anf SE senkrechten Richtung, wie es 
die Lemniakate för jede einzelne Farbe ist. In der Interferenzflgur 
ffir weißes Licht liegen somit die beiden Pole ebenfalls in der Sym- 
metrieebene. Sie wird von dieser längs SE in zwei gleiche Teile 
geteilt, wahrend Symmetrie nach einer auf SE senkrechten Richtung, 



316 



Zweiachsige Erystalle im Polarisationsinstrnment 



wie im rhombischen System, entsprechend den krystallographischen 
Symmetrieverhältnissen nicht mehr existiert. Jedes Lemniskatenauge 
ist rechts gefärbt wie links, aber das eine ist vom anderen verschieden 
(Fig. 346, 347). Diese Farbenverteilung in der Interferenzflgur im 
weißen Licht ist charakteristisch fär die geneigte Dispersion. Wo 
sie auftritt, weiß man, daß der Krystall monoklin ist und daß seine 
optischen Achsen in der Symmetrieebene liegen. 

b) Bei der horiaontdlen Dispersion ((227), Fig. 329), bei der die Ebene 
der optischen Achsen senkrecht zur Symmetrieebene ist und die I.Mittel- 
linie in dieser liegt, muß die Krystallplatte gleichfalls senkrecht zur 
Symmetrieebene sein. Auch in diesem Fall kann sie wegen der Dis- 
persion der Mittellinien nur fiir eine bestimmte Farbe auf der 1. Mittel- 
linie genau senkrecht st^.hen; für alle anderen Farben ist dies nur 
annähernd der Fall. 8E (Fig. 348) ist die Richtung der Symmetrie- 
ebene des Krystalls ; dann tritt für jede Farbe in gleicher Entfernung 
rechts und links von ihr je eine Achse aus, so daß die Verbindungs- 
linie der Lemniskatenpole auf SE senkrecht steht. B sind die Lemnis- 



8 
8 



oP(ooi) 


s 




^l- 


fefa 


mP«QieB 



ü?(uun K 
Fig. 348. 



s 
% 





Fig. 360. 



katen für rotes, V die für violettes Licht. Beide sind in der an- 
gegebenen Weise gegen 8E gelegen, aber in dieser Richtung etwas 
gegeneinander verschoben, so daß Zr und Z„ die den beiden Mittel- 
linien für Rot uud Violett entsprechenden Punkte sind. Im weißen 
Licht wird dann eine Interferenzfigur entstehen, wie sie in Fig. 349 
und 350 dargestellt ist. Die beiden Augen liegen rechts und links 
in gleicher Entfernung von SE und sind einander gleich, aber vorn 
gegen E ist die Färbung anders, als hinten gegen S. Dies ist der 
Charakter der Interferenzfiguren für die horizontale Dispersion. Wenn 
eine Krystallplatte eine solche Farbenverteilung zeigt, dann ist die 
Substanz monoklin; die Achsenebene ist senkrecht zur Symmetrie- 
ebene und die Mittellinie liegt in dieser. 

c) Bei der gehreuzten Dispersion ((227), Fig. 330), wo die optische 
Achsenebene, ebenso aber auch die 1. Mittellinie senkrecht zur Symme- 
trieebene ist, hat die Mittellinie für alle Farben dieselbe Lage parallel 
zur Symmetrieachse. Die Platte, auf der man die Interferenzkurven 
beobachtet, muß also der Symmetrieebene (dem Klinopinakoid) parallel 
gehen; sie ist hier für alle Farben zur 1. Mittellinie streng normal 



Interferenzfigaren bei den einzelnen Erystallsytemen. Größe des Achsen winkeis. 317 



Die Interferenzkurven für Eot liegen in R (Fig. 351), die fftr "Violett, 
um einen kleinen Winkel dagegen verdreht, in F. Die diesen beiden 
nnd allen anderen Farben gemeinsame 1. Mittellinie projiziert sich in 
Z, dem gemeinsamen Mittelpunkt aller dieser Lemniskaten, in dem 
sich bei der Normalstellnng die beiden schwarzen Balken schneiden. 
Z ist also auch der Mittelpunkt der Interferenzflgur für weißes Licht, 
die sich hier aber nicht mehr durch eine Linie symmetrisch teilen 





Fig. 351. 



Kg. 352. 



Fig. 863. 



läßt, ebensowenig wie das Elinopinakoid, auf dem sie liegt. Es ist 
nur noch ein Symmetriecentrum bei Z vorhanden und die Farben sind 
so verteilt, daß jeder durch Z gehende Durchmesser an beiden Enden, 
überhaupt an allen gleich weit von Z entfernten Punkten, gleich ge- 
färbt erscheint (antimetrische Farbenverteilung, Fig. 352 und 353). 
Dies ist das charakteristische Merkmal der gekreuzten Dispersion. 
Zeigt eine Erystallplatte diese Farbenverteilung, dann ist die Substanz 
monoklin, die optischen Achsen haben die erwähnte Lage und die 
Platte entspricht dem Klinopinakoid. 

3. Trikline Erystalle, Bei ^nÄ^iw^nZrys^aZten ist die Farben verteilung 
ganz unregelmäßig, aber insofern charakteristisch, als hier das eine 
Auge der Lemniskaten die eine, das andere eine zweite Art von 
Dispersion zeigen kann, wie sie bei monoklinen Krystallen, hier aber 
stets für beide Augen gleich, beobachtet werden. 

Ausdrücklich sei zum Schlnß noch einmal hervorgehoben, daß in Beziehung 
anf die Interferenzfignren sich aUe Erystalle eines Systems in der angegebenen Weise 
gleich verhalten ohne Eücksicht anf die Zugehörigkeit zu der vollflächigen oder zu 
einer hemiedrischen Klasse. Die Symmetrie der ^terferenzfiguren wird aber jeder- 
zeit durch die voUflächige Symmetrie des betreffenden Systems bestimmt. 

252. Große des Aehsenwinkels. Da in dem Interferenzbild 
zweiachsiger Krystalle bei der 45^-Stellung die Scheitel der Hyperbel 
die Orte angeben, wo die optischen Achsen eine zur Mittellinie senk- 
rechte Erystallplatte verlassen, so kann man eine solche auch zur 
Bestimmung des Winkels der optischen Achsen benützen. Man be- 
festigt die Platte so an einem Teilkreis, daß dieser der Ebene der 
optischen Achsen parallel ist, und läßt die Platte um eine zu letzterer 




318 Zweiachsige Erystalle im Polarisationsinstrament. 

senkrechten, also der optischen Normale parallelen Achse sich drehen, 
welche durch den Mittelpunkt des Teilkreises geht. Alsdann stellt 
man erst den einen Scheitel der Hyperbel anf das Fadenkreuz eines 
zum l^eilkreis parallelen und senkrecht auf die Drehachse gerichteten 
Fernrohrs ein, dreht den Erystall um jene Achse, bis der zweite 
Scheitel mit dem Fadenkreuz koinzidiert, und liest den Winkel, um 
den man drehen mußte, am Teilkreis ab. Dies ist dann der schewibcsire 
Winkel der optischen Achsen in Luft, der = 2 JS ist, wenn E den 
Winkel einer optischen Achse mit der ersten Mittellinie bezeichnet. 
Der wahre oder innere Achsenwinkel kann daraus leicht berechnet 
werden, wenn der mittlere Brechungskoeffizient des Erystalls be- 
kannt ist. 

Wenn man einen Hyperbelscheitel auf das Fadenkreuz einstellt, 
so visiert man nämlich nicht in der Richtung o^m^ und o^nty der 
optischen Achsen (Fig. 354, die einen Schnitt durch die Platte 
^ parallel mit der Ebene der optischen Achsen darstellt), 

^ ^ sondern in den Eichtungen o^o^ und o^d^^ in denen die 
längs der optischen Achsen m^o^ und m^o^ den Erystall 
durchziehenden Strahlen diesen infolge der Brechung an 
«. «. . der Austrittsfläche o. o* der Platte verlassen. Man mißt 

^ ■ ' somit nicht den wahren Achsen winkel o^ m^ o ^ = 2 F«, son- 

dern den scheinbaren o^Ko^ = 2E. Da die Wellen in der Richtung der 

Achsen mo^ und mo^ sich mit der mittleren Geschwindigkeit b=-3^ im 

ß 
KrystaU bewegen (224), ihnen also der mittlere Brechungskoefflzient ß zu- 

kommt, so ist : ~ ^t» «^ ä od^ :stnfn.o^P= . Es ist aber 

No^o^ der halbe scheinbare Achsenwinkel E, m^o^P der halbe wahre 
Achsenwinkel F«, d. h. der Winkel, den eine optische Achse im 
Innern des Krystalls mit der 1. Mittellinie macht. Man erhält somit 
den letzteren aus dem gemessenen scheinbaren nach der Formel: 

sin Va = —3 — . Bei +Krystallen ist: F« = v, bei — Krystallen: 

Va = 90« — v (vergl. 225). 

Je größer der spitze Achsenwinkel 2Va ist, desto größer ist aach der Einfalls- 
winkel, nnter welchem eine in der Bichtung einer Achse WiO* sich bewegende Welle 
die Fläche o^Oi des Plättchens trifft. Bei manchen Mineralien nnd namentlich in der 
Tnterferenzfigur nm die 2. Mittellinie ist dieser Winkel oft so groß (225), daß totale Be- 
flexion eintritt. Die Strahlen parallel den optischen Achsen können dann den Krystall 
nicht verlassen, sondern werden nach innen earilckgeworfen. Unter solchen Um- 
ständen kommt das Interferenzbild nicht zu Stande, und der Achsenwinkel kann 
nicht gemessen werden. In diesem Fall taucht man das Krystallplättchen in eine 
Flüssigkeit, etwa in Ol, Monobromnaphtalin, Methyleigodid etc., in welche die 
Strahlen nun austreten, so daß jetzt das Interferenzbild entstehen kann. Beim Aus- 
tritt des Lichts in Öl etc. findet keine so starke Brechung statt, wie in Luft; der 



OrOße und Hessimg des ÄchsenwinkeU. 319 

Bcheinbare Winkel der optischeD Achsen in Öl iHa ist tilso kleiner als 2E. Ist n 

der Brechnnffakoeffizient des Öls, so ist: ~. — ir- = '^ °<^Br: «in Va=— sin Sa; 

sm IIa ß p 

auch hat man : sin £ — n sin Sa. 

Hat man eine Platte sentrecht <nr 2. Hittellinie, so sieht msji auf ihr, aller- 
dinge der QrSQe des stumpfen Achsenwinkels 2Vo wegen meist nur im Ol, ebenfalls 
ein Interferenilnld nnd kann den dem Winkel 2Fo entsprechenden Bcheinbaran 
Winkel in Öl 2Ho meuen und daraus jenen wahren stumpfen Achsenwinkel 2Fo 
berechnen, welcher das Supplement Ton 8 Fa ist, so äaä: fo ^ 90' — Va. Man hat 

io diesem Fall : — — 5^= -ji *1^' «« Vo=^ -^ sin Ho. Ferner ist, wenn 2Eo der 
scheinbare Acheenwinkd in Luft an der sweiten Hittallinie ist : »in Eo = ß n'n Vo. 

Da nnn ain Vo = cos Ya, so hat man nach der obigen Formel : (0 Fa = . —f^. 
' " nn So 

Han erhtUt also ohne Kenntnis von ^den spitzen wahren Achsenwinkel Ya, wenn mau die 
scheinbaren Achsenwinkel Ho nnd Sa in Öl an der 1. nnd an der 2. Hittellinie mlOt, 
woen Bwei planparallele Platten senkrecht m je einer der beiden Hittellinien nStig sind. 
Solche Beobachtungen ergeben aber anch den Wert von ß\ denn es ist; «in Ya^^ 

— - — , also: ß=^—. — -p , wobei man E direkt beobachten und Ya ans dem obigen 
Anfdrocke fflr tg Ya berechnen kann. Aber auch der Wert für n ergibt sich ans 
diesen Winkeln. Es ist nach obiger Formel; » =^ . -^-; man hat also den Achsen- 
winkel auf einer Platte erst in der Lnft, 2E, sodanit in öl, iSa, jedesmal an iet 
1. HittelUnie xa messen. 



Fig. 'Abb. 

353. Hewang des Aohsenwlnkels. Die Uessnng des scheinbaren Achsen- 

winkele bewerkstelligt man anf folgende Weise: Hau bringt die beiden RShren f 

nnd r des PolaiisationBinstraments fllr konvergentes Licht (Fig. 331) in die beiden 

HSlsen A und A' (Fig. 366), so daß die Achse der einen genau in die der anderen 



320 Zweiachsige Krystalle im Polarisationsinstniinent. 

fällt und daß diese Achsen dem horizontalen Teilkreis K parallel nnd in der Bich- 
tnng eines Durchmessers desselben gehen. Der Teilkreis ist centrisch durchbohrt 
durch den Konus B^ an welchem sich rechts der Arm D mit dem Nonius befindet, 
welchen man mittels des Knopfes rechts von D herumdrehen, auch am Teilkreis fest- 
klemmen kann. Der Konus B ist wieder centrisch durchbohrt durch den hohlen 
Konus E^ den man mittels der Schraube e an £ festklemmen kann, und welcher 
unten die Scheibe F trägt, in der sich die kleinere Scheibe f horizontal hin und her 
schieben läßt. Durch f geht die Achse G^ welche sich in f auf und ab schieben und 
drehen und mittels der Schraube y festklemmen läßt. G trägt unten die Kugel- 
schale J?, in welcher sich eine kleinere Kugelschale verschieben läßt. An dieser 
letzteren ist eine federnde Zange befestigt, welche die Krjstallplatte p so faßt, daß 
ihre Flächen der Achse G parallel sind. Die zur Mittellinie senkrechte Platte p muß 
nun so in den Apparat gebracht werden, daß sie vertikal und die Ebene der op- 
tischen Achsen horizontal ist. Dies wird mit der als Justiervorrichtung dienenden 
Kugelschale ü bewerkstelligt; der Krystall ist dann um seine zur Achsenebene senk- 
rechte optische Normale drehbar, und die Achsenebene bleibt bei der Drehung hori- 
zontal. Sodann muß die Platte p in den Mittelpunkt des Teilkreises K gerückt werden, 
wad mittels der als Centriervorrichtung dienenden Scheiben F und f geschieht. Sind 
nun die Nicols in w und f so gekreuzt, daß die Schwingongsebene eines jeden mit 
dem Horizont 45® macht, dann erhält mau in der Krjstallplatte horizontal liegende 
Lemniskaten mit der Hyperbel. Man kann jetzt den ersten Hyperbelast auf den 
Vertikalfaden des Okulars einstellen, sodann den Krystall mit dem Arm D solange 
drehen, bis der zweite Hyperbelast von dem Vertikalfaden berührt wird, und 
dann den Winkel ablesen; derselbe ist gleich dem gesuchten scheinbaren Achsen- 
winkel 2E. Dabei ist die Beleuchtungsröhre f mit dem polarisierenden Nicol nach 
dem hellen Himmel gekehrt, oder mit weißem oder homogenem Licht erleuchtet. 
Die Linsen o und n werden der Platte zur Erzielung eines großen Sehfelds möglichst 
genähert. Bei Winkelmessungen in Öl wird der Krystall in einem Trog M gedreht, 
der von zwei parallelen und planparallelen Glasplatten begrenzt ist und der das Ol 
enthält. Ein derartiges Instrument wird ein Achsenwinkelapparat genannt. 

Über eine andere Art der Messung der optischen Achsenwinkel durch Ver- 
gleichung mit einem bekannten Acbsenwinkel mittels eines Mikrometers, vergL 
Schwarzmann, N. Jahrb. 1896, I, pag. 62 und MaUard ibid. 1884, I, 316. 

254. Charakter der Doppelbrechung. Die Bestimmung des 
Charakters der Doppelbrechung bei zweiachsigen Krystallen hat nicht 
dieselbe theoretische Bedeutung wie bei einachsigen, bei denen da- 
durch unmittelbar festgestellt wird, ob der ordentliche oder außer- 
ordentliche Brechungskoefflzient den größeren Wert hat. Doch ist dies 
auch hier ein praktisch nicht unwichtiges Merkmal und man pflegt 
daher diese Bestimmung häufig vorzunehmen. Es handelt sich darum, 
zu entscheiden, ob die den spitzen Achsenwinkel halbierende Elastizi- 
tätsachse die Achse der größten (negativ) oder kleinsten (positiv) 
Elastizität ist (Fig. 326 und 327). 

Diese Untersuchung geschieht direkt und ohne Kenntnis der 
Brechungsindices ganz analog, wie bei einachsigen Krystallen (248) und 
zwar am bequemsten an einer Platte senkrecht zur ersten Mittellinie. 
Sie kann im parallelen und im konvergenten Licht ausgeführt werden. 

a) Im parallelen Licht Auf der Platte muß die Eichtung der 



Charakter der Doppelbrechong. 321 

Ebene der optischen Achsen etwa durch vorherige Beobachtung der 
Platte im konvei^enten Lichte bekannt sein. Senki^echt zu dieser 
liegt in der Platte jederzeit die Sichtung der mittleren Elastizität 
Bei + Krystallen ist die Richtung der Achsenebene in der Platte die 
der größten Elastizität im Erystall, also auch spezieU in der Platte 
selbst; namentlich ist die Elastizität in dieser Richtung größer, als 
senkrecht zur Achsenebene. Bei — Krystallen ist dies umgekehrt 
(225, Fig. 326, 327). Man hat also in einer solchen Platte mittes des 
Keils (oder eines Gipsplättchens etc.) die stets der Achsenebene parallele 
oder auf ihr senkrechte Richtung der kleinsten Elastizität aufzusuchen 
(248, 1). Fällt diese in die Achsenebene, dann ist der Krystall — , ist 
sie senkrecht dazu, dann ist er -f-. 

Ist die Platte der Achsenebene parallel, wie z. B. bei Spaltungsplättchen von 
GipS| auf ihr aber die Richtimg der 1. Mittellinie irgendwie bekannt, dann kann der 
Charakter der Doppelbrechung des Krystalls in ganz entsprechender Weise nach der- 
selben Methode bestimmt werden. 

b) Im konvergenten lAcht. Man kann, ähnlich wie bei den ein- 
achsigen Krystallen, in Platten senkrecht zur 1. Mittellinie die Viertel- 
undiUaiiansglimmerplatte benützen, besonders wenn der Achsenwinkel 
nicht zu groß ist. Die Krystallplatte wird in der Normalstellung in 
das Polarisationsinstrument gebracht, so daß die Achsenebene einer der 
beiden gekreuzten Polarisationsebenen desselben parallel ist, daß also 
die Lemniskaten mit dem schwarzen Kreuz entstehen. Man führt dann 
die i ArPlatte so ein, daß ihre Achsenebene 45^ mit den Polarisations- 
ebenen des Instruments macht Dann verengern sich in zwei gegen- 
fiberliegenden von den vier durch das Fadenkreuz gebildeten Qua- 
dranten die Ringe; in den beiden anderen erweitern sie sich und es 
entstehen in den letzteren aus dem schwarzen Kreuz zwei schwarze 
Punkte. Der Krystall ist nun positiv resp. negativ, je nachdem die 
Halbierungslinie der Quadranten mit den erweiterten Ringen oder, 
was dasselbe ist, die Verbindungslinie der beiden schwarzen Punkte 
senkrecht oder parallel zur Richtung der Ebene der optischen Achsen 
in der ^X-Platte ist. 

Auch des Quarekeüs kann man sich zu diesem Zwecke bedienen. 
Man bringt die zu untersuchende Platte in der Diagonalstellung 
in das Polarisationsinstrument ffir konvergentes Licht, so daß die 
Hyperbel entsteht, und schiebt dann den Keil zwischen der Platte 
und dem oberen Nicol so ein, daß das eine Mal seine Längsrichtung, 
d. h. seine Achse der kleinsten Elastizität parallel, das andere Mal 
senkrecht zur Achsenebene des Krystalls ist Bei einer von diesen 
beiden Lagen des Keils erweitern sich die inneren Ringe der Lemnis- 
katen um die Pole herum. Geschieht dies, wenn der Keil mit seiner 
Längsrichtung (d. h. die Richtung der kleinsten Elastizität im Keil) 

Bauer, Mineralogie. ^^ 



322 Zweiachsige Erystalle. Charakter der Doppelbrechung. 

parallel der Achsenebene eingeschoben wurde, so ist der Krystall 
positiv; war die Längsrichtung des Keils senkrecht zur Achsenebene, 
so ist der Krystall negativ. Nicht zu dünne Quarzplatten senkrecht 
zur Achse kann man gleichfalls anwenden. Man bringt sie unter den 
oberen Nicol und dreht sie etwas um eine horizontale Achse, welche 
parallel, sodann um eine solche, welche senkrecht zur Richtung der 
Achsenebene des Krystalls liegt. In einem dieser beiden Fälle er- 
weitern sich die Binge der Interferenzfiguren und laufen nach der 
Mitte hin zusammen. Der Krystall ist +> wenn jene Achse senk- 
recht zur Ebene der optischen Achsen des Krystalls ist, — , wenn die 
Achse mit derselben parallel läuft. Auch hierbei muß die Krystall- 
platte in der 45®-Stellung sein. Man wird die Quarzplatte der Sicher- 
heit wegen stets um beide Richtungen drehen. 

(Literatur über die Bestimmimg des Charakters der Doppelbrechung wie bei 
den einachsigen KrystaUen (248).) 

Wie bei den einachsigen, so kann auch bei den zweiachsigen 
Krystallen im konvergenten Licht ein Gipspläächen mit Eot L Ord- 
nung benützt werden, wenn die optischen Achsen der zu untersuchenden 
Platte noch im Sehfeld austreten. Die Erscheinungen sind dieselben 
wie dort (248), wenn die Platte in Normalstellung sich befindet. Je 
zwei gegenüberliegende Quadranten sind an den optischen Achsen 
gelb, die beiden anderen blau resp. grün und ebenso sind die ersten 
hier natürlich nicht mehr kreisförmigen Binge in vier Teile geteilt, 
schwarz um die gelben, farbig um die blauen Quadranten. Der Unter- 
schied kann wie bei den einachsigen Krystallen ausgesprochen werden : 
die Platte ist -f-« wenn die Richtung der kleinsten Elastizität im Gips 
die blauen Quadranten resp. die mit den farbigen Teilen der ersten 
Einge halbiert, während in den — Platten die gelben Quadranten 
resp. die mit den schwarzen Teilen der ersten Binge durch jene 
Bichtung halbiert werden. 

{Rinne, Centralbl. f. Min. etc. 1901, 653.) 

Der Keil und die Qnarzplatten erfordern zn einer sicheren Entscheidung eine 
Anzahl deutlich unterscheidbarer Einge um die Achsen, die am besten beide im Seh- 
feld austreten; bei der Anwendung der Gipsplatte sind Hinge nicht unbedingt er- 
forderlich, da die Farbe der Quadranten allein schon genügt. 

Ist die Platte senkrecht zur zweiten Mittellinie geschliffen, so wird man für 
die beiden Arten der Erystalle die umgekehrten Merkmale erhalten, da hier bei posi- 
tiven Krystallen die den stumpfen Achsenwinkel halbierende Elastizitätsachse die 
Achse der größten Elastizität ist (Fig. 327). Man sagt daher auch z. B. bei einem 
nach der obigen Definition (225) positiven Krystall, die seinen spitzen Achsen winkel 
halbierende (erste) Mittellinie sei -j-i ^^^ ^^^^ stumpfen Achsenwinkel halbierende 
(zweite) Mittellinie sei — und umgekehrt bei negativen Krystallen. 



255. Einfluß der Temperatur auf die optischen Eigenschaften. Die 

Temperatur ist, wie mehrfach schon erwähnt wurde, von großem Einfluß auf die 



Einfluß der Temperatur auf die optischen Eigenschaften der Krystalle. 323 

optischen Eigenschaften der Mineralien, aber nnr anf diejenigen, welche nicht mit 
den krystallographischen Symmetrie verh&itnissen gesetzmäßig zusammenhängen. 
Isotrope Mineralien bleiben bei jeder Temperatur isotrop, einachsige resp. zweiachsige 
bleiben ein- resp. zweiachsig (yergl. übrigens weiter unten). Die optische Achse 
bleibt bei ersteren bei jeder Temperatur der Hauptachse parallel, die Elastizitäts- 
achsen stets den Krystallachsen bei rhombischen Krjstallen, eine Elastizitätsachse 
stets der Symmetrieachse im monoklinen System. Alles andere ist von der Tempe- 
ratur abhängig: die Brechungskoeffizienten isotroper Mineralien, die Lage der zwei 
Elastizitätsachsen in der Symmetrieebene monokliner Elrystalle, die Lage aller drei 
Elastizitätsachsen in triklinen Erystallen, die Größe der Elastizitätsachsen (Haupt- 
brechungskoeffizienten) anisotroper Krystalle und damit die Größe der Winkel der 
optischen Achsen, die Stärke der Cirkularpolarisation (Drehungsvermögen) ; und zwar 
ändert sich dabei das Gleiche stets in gleicher Weise, z. B. die für alle Schwingungs- 
richtungen gleichen Brechungskoeffizienten isotroper Substanzen, das Un^eiche, also 
z. B. die drei Hauptbrechungskoeffizienten a, ß, y eines zweiachsigen Krystalls un- 
gleich. Dem entsprechend ändert sich dann auch die Interferenzfigur. Die Angabe 
der Temperatur, bei welcher solche Untersuchungen ausgeführt worden sind, ist 
daher notwendig. 

Vielfach lassen sich diese Änderungen nur mittels genauer Messungen kon- 
statieren, zuweilen können sie unmittelbar sichtbar gemacht werden, wenn sie näm- 
lich nicht, wie gewöhnlich, sehr klein, sondern von erheblicher Größe sind. Hat man 
z. B. eine senkrecht zur Mittellinie der in der Symmetrieebene liegenden optischen 
Achsen geschliffene Platte des monoklinen Gij^ses, so sieht man im Polarisations- 
instrument die Erscheinungen der geneigten Dispersion (227) sehr deutlich. Erwärmt 
man nun, so bewegen sich beide Augen der Lemniskate gegen die Mitte des Seh- 
felds aber, ihrer Verschiedenheit entsprechend, mit yerschiedener Geschwindigkeit. Der 
Achsenwinkel wird immer kleiner. Bei einer gewissen Temperatur fallen beide Augen 
zusammen der Achsen winkel ist = 0®, aber nicht gleichzeitig für alle Farben, was 
diesen Zustand von dem Verhalten einachsiger Krystalle wesentlich unterscheidet. 
Während für mittlere Strahlen die optischen Achsen zusammenfallen, ist ihre Ebene 
für das eine Ende des Spektrums noch der Symmetrieebene parallel, für das andere Ende 
desselben ist sie zil dieser senkrecht. Steigt die Temperatur noch höher, so ist schließ- 
lich die Ebene der optischen Achsen für alle Farben zur Symmetrieebene senkrecht 
und die Dispersion ist nicht mehr geneigt, sondern horizontal ; nun wird der Achsen- 
winkel für steigende Temperaturen immer größer. Bei Verminderung der Temperatur 
geht die ganze Erscheinung rückwärts vor sich. Außer anderen Mineralien, z. B. 
Glauberit, zeigt auch noch der Orthoklas diese Änderung der Lage der Achsenebene 
bei steigender Temperatur; hier bleibt aber bei genügender Erhitzung die neue Lage 
der Achsen sehr häufig bestehen, die Erscheinung geht nicht wieder rückwärts vor 
sich. Eine eigentümliche Änderung erleiden manche Mineralien beim Erhitzen, in- 
dem sie, anfänglich anisotrop, bei einer gewissen Temperatur isotrop werden, um 
nachher beim Erkalten wieder den früheren Zustand anzunehmen, so Tridymit, Leudt, 
Boracit. Dies hängt aber mit einer molekularen Umlagerung und dem dadurch be- 
dingten Übergang in ein anderes Krystallsystem zusammen (vergl. (267) ). Daß die Er- 
wärmung in der Tat im stände ist, weitgehende molekulare Umlagerungen in den 
Krystallen hervorzubringen, sieht man daran, daß dadurch in einheitlich gebauten 
Individuen mancher Mineralien Zwillingslamellen sich bilden oder auch wohl vor- 
handene Lamellen verschwinden (z. B. beim Kalkspat, Anhydrit, Leadhillit). 

(W. Klein, Zeitschr. Kryst. Bd. IX, 1884, pag. 38; C. Klein, Nachrichten Gott. 
Ges. Wissensch. 1884, pag. 129 (Leucit); Mallard, Bull. soc. min. France. Bd. V 
(Heulandit) etc.; Des Gloizeaux, Nouvelles recherches etc., M^moires des savants 
6trangers etc. 18, 1867, pag. 611.) 

21* 



324 Zwillinge im PolariBationsinstrument. 

256. Zwillinge. Der Bau der Zwillingskrystalle läßt sich mit 
Hilfe des polarisierten Lichts sehr gut untersuchen. Eine Platte 
eines Zwillings wird bei paralleler Beleuchtung nicht wie eine plan- 
parallele Platte eines Individuums für die ganze Fläche gleichzeitig 
hell und dunkel, sondern, wenn das eine Individuum dunkel ist, ist 
das andere daneben liegende wegen der verschiedenen Orientierung 
seiner Schwingungsebenen gegen die Polarisationsebenen der beiden 
Nicols mehr oder weniger hell. Diese Unterschiede treten noch deut- 
licher hervor, wenn man gleichzeitig in den Apparat ein dfinnes Gips- 
plättchen oder eine Quarzplatte senkrecht zur Achse einschaltet (235, 
237). Im Bereich des einen Zwillingsindividuums ist dann die Färbung 
eine andere, als im Bereich des anderen. Die scharfe Grenze zwischen 
den beiden verschieden gefärbten Feldern gibt den Verlauf der 
Zwillingsgrenze an, der bald geradlinig, bald unregelmäßig ist Sehr 
gut zeigen diese Erscheinung die aus sehr vielen Zwillingsindividuen 
lamellenförmig verwachsenen triklinen Feldspate (Plagioklase). Ist 
^^,^7^.^ die Fläche des Plättchens senkrecht zur Zwillingsfläche, 
so sind die (durch Pfeile bezeichneten) Schwingungsrich- 
tungen beider Individuen zur Zwillingsfläche symmetrisch 

F'^^JSfi ^^^^' ^^^^ ^^^ ^^^ durch Messung im Stauroskop leicht 
*^' konstatieren kann. 

Im bisherigen sind die beiden Individuen nebeneinander liegend, 
also ihre Verwachsungsfläche genau oder nahezu auf der Begrenzungs- 
ebene des Plättchens senkrecht angenommen worden. Sind die Indi- 
viduen aber nach einer Ebene verwachsen, welche nahezu oder genau 
der Begrenzungsebene des Plättchens parallel ist, so daß also die 
hindurchgehenden Lichtstrahlen beide Individuen passieren müssen, 
so ist bei keinem Azimut im parallelen Licht vollständige Dunkelheit 
vorhanden, wie das z. B. manche Glimmerzwillinge zeigen. 

Im konvergenten Licht sieht man, wenn die Fläche der Platte 
zu den Mittellinien der (zweiachsigen) Individuen senkrecht ist, die 
Interferenzflguren verschieden gerichtet : entweder nebeneinander, wie 
bei dem Aragonitzwilling (Fig. 356), oder auch wohl, wenn die Indi- 
viduen sich stellenweise oder ganz überlagern, sich durchkreuzend, 
wie z. B. bei den oben erwähnten Aragonit- und Glimmerzwillingen, 
bei den Weißbleierzzwillingen etc. 

Durch derartige Beobachtungen werden manche 
scheinbar einem gewissen Krystallsystem angehörige 
(mimetische) Krystalle, z. B. die scheinbar hexagonalen, 
dihexaederähnlichen des Alstonit, als aus rhombischen Indi- 
viduen verwachsene Zwillinge ( Viellinge) erkannt (Fig. 357). 
^' Im parallelen Licht gibt die parallel der Basis ge- 

schliffene Platte 12 verschieden helle Felder, von welchen immer zwei 




Optische Anomalien. 325 

durch je zwei Felder getrennte Abschnitte sich optisch gleich ver- 
halten, also zu einem Individuum gehören. Es ist somit eine Ver- 
wachsung von drei Individuen, welche alle, über den Mittelpunkt 
hinaus sich fortsetzend, sich durchkreuzen. 

Vollkommen bunte Farbenverteilnng zeigen im polarisierten Licht dttnne Plfttt- 
dien kOmiger Aggregate, bei denen aber, der unregelmäßigen Verwachsung der 
Körner entsprechendi keine Symmetrie der Auslöschuugsiichtungen gegen die Grenzen 
zu beobachten ist. Dies ist namentlich wichtig bei der Beurteilung der Natur von 
scheinbar einheitlich gebauten dichten Aggregaten, die unter dem Mikroskop mit 
PolarisationsYorrichtung in dünnen Plättchen ein höchst kompliziertes buntes Bild 
geben (Aggregatpolarisation) , während ein wirklich einheitlich gebautes Mineral, wie 
z. B. ein Gipspl&ttchen, überall bei gleicher Dicke ganz gleichmäßig geförbt ist 

257. Optisehe Anomalieii. ^ele Erystalle verhalten sich optisch 
anders, als nach der Symmetrie ihrer Form zu erwarten wäre. Regu- 
läre Krystalle sind doppeltbrechend, quadratische und hexagonale, 
optisch zweiachsig, und optisch zweiachsige besitzen von den normalen 
abweichende Hauptschwingungsrichtungen. Derartige Krystalle werden 
als optiscfi anamal bezeichnet. Daß anomale Erscheinungen dabei vor- 
liegen, erkennt man u. a. häufig daran, daß sie nicht an allen, sondern 
nur an einigen Exemplaren des betreffenden Minerals auftreten, 
während an den übrigen die optischen Verhältnisse ganz im Einklang 
mit der Krystallform stehen, und daß sogar auf einer und derselben 
Erystallplatte die Erscheinungen wechseln können. Naturgemäß lassen 
sich Abweichungen von dem normalen Verhalten um so leichter er- 
kennen, je höher symmetrisch die Form der Krystalle ist. Darum 
sind optische Anomalien von regulären, quadratischen und hexagonalen 
Krystallen bekannter als von den ihrer Symmetrie nach zweiachsigen 
Krystallen. Im allgemeinen verhalten sich optisch anomale Krystalle 
im paraUelen polarisierten Licht so wie Zwillingskrystalle ; sie er- 
scheinen wie diese aus optisch verschieden orientierten Teilen auf- 
gebaut und zerfallen daher im polarisierten Licht in ebensoviel ge- 
trennte Felder. Im einzelnen unterscheiden sie sich aber doch wesent- 
lich von Zwillingen und weichen auch untereinander ab und nur 
diejenigen verhalten sich im großen und ganzen ähnlich, deren Ano- 
malie durch die gleiche Ursache hervorgerufen wird. Nach den hier- 
über vorliegenden Untersuchungen werden optische Anomalien hervor- 
gerufen durch Dimorphie der Substanz, durch isomorphe Beimischung, 
durch mechanische Kräfte. Erscheinungen, welche mit denen anomaler 
Krystalle sehr viel Ähnlichkeit haben, aber ihrer Natur nach in das 
Gebiet der Zwillingsverwachsungen gehören, werden durch Überlage- 
rung von Lamellen hervorgerufen. 

a) Optische Anomciien dwrch Dimorphie der Substanz (282) treten 
bei enantiotropen Körpern auf; die eine Modifikation hat die Form 



326 Optische Anomalien. 

gebildet, eine andere, weniger symmetrische füllt sie jetzt aus, ihre 
Teilchen sind gegen die Form gesetzmäßig orientiert. Bei einer be- 
stimmten Temperatur geht die letztere Modifikation in die erstere 
Aber und Form und optische Eigenschaften stehen dann in Einklang. 
Das beste Beispiel hierfür ist Boracit; die Form ist regulär - tetra- 
edrisch, die Substanz ist doppeltbrechend und verhält sich so, als ob 
sie rhombisch wäre. Die erste Mittellinie ist senkrecht zur Richtung 
der Rhombendodekaederflächen, die optischen Achsen sind senkrecht zu 
den Würfelflächen, einerlei ob diese vorhanden sind oder nicht. Die 
verschieden orientierten Teilchen grenzen bald in breiteren Feldern, 
bald in schmalen Lamellen aneinander. Bei 265^ wird der Boracit 
plötzlich einfachbrechend, unterhalb dieser Temperatur sofort wieder 
doppeltbrechend. Wird genau jene Temperatur eingehalten, so können 
beide Modifikationen nebeneinander bestehen, oberhalb derselben ist 
nur die reguläre, unterhalb derselben nar die rhombische Modifikation 
beständig, innerhalb der regulären Form vollzieht sich ohne weitere 
Störung die molekulare Umwandlung. Zu dieser Gruppe gehört außer 
Boracit auch Leucit, Tridymit, Cristobalit und Katapleit. 

b) Optische Anomalien durch isomorphe Beimischimg (289) sind sehr 
verbreitet. Die Ei-scheinung ist die, daß die reinen Grundverbindungen 
sich optisch ganz gesetzmäßig verhalten, während eine Mischung der- 
selben anomal ist. So ist z. B. ein Krystall des dem regulären System 
angehörigen Bleinitrats unter normalen Verhältnissen vollkommen 
isotrop und ebenso ein Krystall des isomorphen Baryumnitrats. Ein 
ebenfalls regulärer Mischkrystall beider läßt aber stets optische Ano- 
malien erkennen. Bei diesen ist es charakteristisch, daß die optischen 
Eigenschaften von der äußeren Form weitgehend beeinflußt werden, 
derart, daß der Symmetrie jeder äußeren Fläche in der zum Bezirk 
dieser Fläche gehörenden Krystallsubstanz (der Anwachspyramide 
(179)) eine bestimmte optische Symmetrie entspricht. Ein solcher 
Krystall verhält sich so, als sei er aus einzelnen Pyramiden auf- 
gebaut, deren Basis die äußere Krystallfläche ist, und deren optisches 
Verhalten von der geometrischen Symmetrie dieser Fläche abhängt 
Hierdurch unterscheiden sich diese Krystalle ganz wesentlich von 
Zwillingsverwachsungen. Ein ideales reguläres Oktaeder z. B. eines 
Mischkrystalls von Blei- und Baryumnitrat verhält sich so, als ob es 
aus acht optisch einachsigen Anwachspyramiden bestände, deren Basis 
je eine Oktaederfläche ist, zu der die optische Achse senkrecht wäre. 
Tritt aber an demselben Krystall noch das Pentagondodekaeder auf, 
so verhält sich der Krystall in den hierzu gehörenden Anwachspyra- 
miden wie optisch zweiachsig, monoklin. So zeigen diese Krystalle 
durchgehends eine strenge Abhängigkeit des optischen Verhaltens von 
der äußeren Umgrenzung und dies geht so weit, daß auch das Auf- 



Optische Anomalien. 327 

treten von Vizinalflächen (z. B. bei Topazolith) sich im optischen Ver- 
halten verrät. Selbstverständlich üben nur solche Flächen einen Ein- 
fluß auf die optischen Eigenschaften aus, die bei dem Wachsen der 
Krystalle vorhanden waren, nicht solche, die, wie Ätzflächen, später 
entstanden sind. 

Quadratische und hexagonale Krystalle werden durch isomorphe 
Beimischung anomal zweiachsig, die optische Achse wird zur ersten 
Mittellinie und die Abhängigkeit der optischen Struktur von der 
äußeren Begrenzung gibt sich dadurch zu erkennen, daß in Platten 
parallel der Basis die Zahl der zweiachsigen Felder im allgemeinen 
der Zahl der Prismenflächen entspricht. 

Die eigentliche Ursache dieser Anomalien ist noch nicht sicher 
ermittelt. Man kann sich vorstellen, daß durch den Eintritt der fremden 
Moleküle der Erystallbau eine geringe Störung erleidet, die sich in 
dem optischen Verhalten zu erkennen gibt. Diese Störungen wären 
in den zu vorhandenen Erystallflächen gehörenden Anwachspyramiden 
wirksam und ändern die optischen Eigenschaften, entsprechend der 
Symmetrie der zugehörigen Fläche. 

Von Mineralien gehören hierher Granat, Vesuvian, Apophyllit, 
Chabasity Turmalin, Apatit, Pennin, Topas u. a. 

c) Anomalien durch mechanische Kräfte beruhen auf Spannungen, 
die auf irgend eine Weise im Innern des Krystalls zu stände kommen. 
Sie treten entweder um Einschlüsse herum auf und sind dann gegen 
die Umgebung nicht regelmäßig abgegrenzt (im Diamant) oder sie 
stehen mit Spalt- oder Gleit flächen in Verbindung und sind auf gerade 
Streifen beschränkt, die diesen Richtungen parallel gehen (Steinsalz, 
Zinkblende), oder sie sind unabhängig von solchen Beziehungen und 
dann ganz unregelmäßig im Erystall verteilt (Quarz, Brucit, Zirkon). 
In den beiden letzteren FäUen sind die Anomalien durch den 
Gebirgsdruck oder andere äußere mechanische Einwirkungen ent- 
standen, im ersten ist es der Fremdkörper, der die Störung bedingt 
Daß derartige Anomalien in der Tat durch Druck hervorgebracht 
werden können, läßt sich leicht experimentell nachweisen. Glas, ein- 
seitig gepreßt, wird doppeltbrechend, ebenso reguläre Krystalle wie 
Zinkblende, Steinsalz, Sylvin etc., der hexagonale und einachsige Quarz 
wird durch einen Druck senkrecht zur Achse zweiachsig und ähnlich 
sonst. War der Druck schwach, so wird nach dem Aufhören desselben 
der ursprüngliche normale Zustand wieder hergestellt; war er stark 
genug, so bleibt die Substanz vielfach dauernd anomal. Auch durch 
Erhitzen und rasches Abkühlen können innere Spannungen und damit 
optische Anomalien hervorgebracht werden. Rasch gekühltes Glas ist 
stark doppeltbrechend; ein Beispiel hierfür sind z. B. die sog. Glas- 
tränen. Ähnlich verhalten sich auch manche Krystalle, wie z. B. der 



328 Optische Anomalien. 

reguläre Flußspat und andere. Optische Anomalien der aus Schmelz- 
fluß erstarrten Mineralien in den vulkanischen Gesteinen sind wohl 
zum Teil auf diese Ursache zurückzufahren (vergl. Feldspat). 

d) Durch regelmäßige Überlagerung von dünnen Lamellen einer 
zweiachsigen Substanz kann diese an den Kreuzungen sich wie ein- 
achsig verhalten, um so vollkommener, je dünner die Lamellen sind 
und je häufiger sie sich überlagern. In den Glimmerkombinationen 
nach Nörremberg und Reusch wird Einachsigkeit dadurch erreicht, daß 
sich die zweiachsigen Plättchen abwechselnd in größerer Zahl unter 
je 90* überlagern. Wenn die abwechselnden Glimmerplättchen unter 
je 60* gegeneinander orientiert sind, zeigt die Kombination die Er- 
scheinungen der Cirkularpolarisation. 

Analoge Überlagerungen treten auch bei natürlichen Krystallen 
auf, und wenn diese, wie es meist der Fall ist, zugleich in ihrer 
Form höhere Symmetrie nachahmen, ist es oft schwer zu entscheiden, 
ob die höhere Symmetrie sekundär und durch Überlagerung von 
weniger symmetrischen Lamellen zu stände gekommen ist, oder ob 
die Krystalle tatsächlich so hoch symmetrisch und etwaige Ab- 
weichungen als optische Anomalien zu betrachten sind. E. MaUard 
hat im weitesten Umfang das erstere angenommen, so daß er eigent- 
liche optische Anomalien gar nicht anerkennt, vielmehr für alle diese 
Krystalle annimmt, daß es Grenzformen oder mimetische Bildungen 
seien, daß das am wenigsten symmetrische optische Verhalten einer 
Substanz ihrer wahren Symmetrie entspreche und die scheinbar höher 
symmetrischen Krystalle aus dünnen Lamellen nach Art der Glimmer- 
kombinationen aufgebaut seien. Der Granat wäre im Topazolith nach 
seiner Auffassung triklin ; anderer Granat, der wie monoklin, rhombisch, 
hexagonal oder regulär sich verhält, bestünde aus triklinen Lamellen, der 
optisch isotrope, in der Form reguläre Granat enthielte diese in der feinsten 
Verwachsung. Gegen diese Verallgemeinerung Mallards haben sich 
andere Forscher erklärt und von der Mehrzahl werden nur die zuerst 
hier angeführten drei Gruppen von optischen Anomalien als solche 
anerkannt. Immerhin gibt es Mineralien, deren optisches Verhalten in 
der Annahme von regelmäßiger Überlagerung dünner Lamellen eine 
befriedigende Erklärung findet, es sind dies besonders Prehnit z. T., 
Kalkuranglimmer und Mineralien aus der Glimmer- und Chloritgruppe. 

(Mallard, Explication des ph6nom^nes optiqnes anomanx, Paris 1877 ; R. Branns, 
Die optischen Anomalien der Krystalle, Leipzig 1891.) 

258. Glanz. Das an der Oberfläche eines Minerals ankommende 
Licht wird dort z. T. reflektiert und je nach der Beschaffenheit der 
Oberfläche vielfach verändert, z. T. dringt es ins Innere ein. Von 
diesem letzteren Teil wird aber wieder ein Teil im Innern reflektiert 



Glanz. 329 

nnd nach anßen geworfen, so daß es mit dem oberflächlich gespiegelten 
Licht ins Ange gelangt. Hier mft diese Mischung n. a. den Ein- 
drack des Glanzes hervor, dessen Charakter bei verschiedenen Mine- 
ralien je nach der Mischung jener beiden Lichtarten ein verschiedener 
ist Er ist ein sehr wichtiges Kennzeichen der Mineralien, und wird 
angegeben, indem man den Glanz des betreffenden Minerals mit dem 
Glanz bekannter Gegenstände vergleicht. Man pflegt mehrere Arten 
von Glanz zu untei*scheiden, die aber z. T. auf einzelne Flächen eines 
Erystalls beschränkt sind, während andere Flächen einen anderen 
Glanz zeigen. Es sind die folgenden: 

1. MetallgUmz. Der starke mit vollkommener Undurchsichtigkeit 
verbundene Glanz der Metalle. Alle Mineralien, welche ihn zeigen, 
heißen metallische (Gold, Bleiglanz, Schwefelkies), auf ihm beruht 
der Untei'schied zwischen metallisch und nicht metallisch. Den Über- 
gang zwischen beiden bildet der halbmetaUische Glanz (Pyrolusit^ 
Chromeisenstein). 

2. Glasglans. Bei den meisten nicht metallischen Mineralien, 
z. B. Quarz. Er ist verbunden mit mehr oder weniger vollkommener 
Durchsichtigkeit. Von ihm sind die anderen Abarten des nicht me- 
tallischen Glanzes im Grunde nur Unterabteilungen, welche durch ge- 
wisse Verhältnisse der Struktur oder andere physikalische Eigen- 
schaften der Substanz verursacht werden. 

3. Diamantglafuf. Starker Glanz beim Diamant und andere Mine- 
ralien, welche vollkommene Durchsichtigkeit, sowie starke Licht- 
brechung und Farbenzerstreuung zeigen (Diamant, Weißbleierz, Vitriol- 
blei). Wenn Färbung eintritt und die Durchsichtigkeit dadurch ab- 
nimmt, nähert sich der Diamantglanz dem metallischen (metallartiger 
Diamantglanz, z. B. Zinkblende). 

4. Perlmfdterglana. Auf Flächen, denen sehr deutliche Blätter- 
brüche parallel gehen, wenn schon eine gewisse Aufblätterung statt- 
gefunden hat. Blätterbrtiche lassen sich vielfach leicht an dem sehr 
charakteristischen Perlmutterglanz erkennen (Glimmer, Apophyllit). 

5. Seidenglanz (Atlasglanz). Fasrige Mineralien, z. B. Fasergips. 

6. Fettglanz (Harz-, Wachsglanz). Das Mineral sieht aus, wie 
mit einer Schicht fetten Öls überzogen (Eläolith), oder wie Harz oder 
Wachs (manche Opale). 

Zwischen diesen Arten des Glanzes gibt es alle möglichen 
Zwischenstufen, die nach dem Obigen leicht verständlich sind. 

Die Mineralien zeigen nicht nur verschiedene Arten, sondern 
auch verschiedene Qrade des Glanzes: 1. starkglänzend, natürliche 
ebene Flächen reflektieren völlig scharfe Bilder (Bergkrystall) ; 
2. glänzend, die Bilder sind verschwommen; 3. wenig glänzend, die 
Fläche reflektiert noch viel Licht, gibt aber keine Bilder mehr, meist 



330 PeUnzidität. 

bei körnigen Aggregaten, z. B. Marmor; 4. schimmernd, die Fläche 
zeigt nur noch einen schwachen Schein, dichte Aggregate, z. B. Jaspis ; 
5. matt, es \^ard fast kein Licht mehr reflektiert, erdige Substanzen 
(Ton, Tripel). 

Der natürliche Glanz kann dnrch künstliches Polieren der Art nnd dem Grade 
nach oft sehr stark verändert werden. Schleifen und Polleren der Edelsteine. 
Matte oder wenig glänzende Mineralien, welche beim Streichen mit einem runden 
harten Körper glänzend werden, heißen im Strich glänzend (z. B. Schieferton). 

259. Fellnzidltät. Wenn das Licht dickere oder dünnere Schichten 
der Mineralien durchstrahlt, so wird ein mehr oder weniger großer 
Teil desselben absorbiert, und nur der Rest tritt wieder aus dem 
Mineral heraus. Hierauf beruhen die Erscheinungen der Peütmdität 
und der Farben. 

Bei der PeUtmdität (Durchsichtigkeit, Durchscheinenheit) der 
Mineralien kommt es auf die Menge des durchgelassenen Lichtes an. 
Je nach dem größeren oder geringeren Bruchteil, welcher von dem 
ankommenden Licht durchgelassen resp. absorbiert wird, unterscheidet 
man yerschiedene Grade der Pelluzidität, welche allerdings in hohem 
Grade von der Dicke des untersuchten Stückes beeinflußt werden. 

1. Durchsichtig, Dicke Stücke lassen beinahe die ganze an-, 
kommende Lichtmenge durch. Man erblickt, durch dicke Schichten 
gesehen, die Gegenstände mit deutlichen Umrissen. Sind durchsichtige 
Mineralien farblos, so heißen sie wasserheU, 2. Halbdurchsichtig, Lassen 
durch dicke Schichten hindurch nur noch unbestimmt« Umrisse er- 
kennen. 3. Durchscheinend. Das ganze Stück läßt noch Licht durch, 
aber Umrisse sind gar nicht mehr zu bemerken. 4. Kantendurch- 
scheinend. Nur sehr dünne Schichten, so namentlich die dünnen Bänder 
an scharfkantigen Bruchstücken, lassen noch etwas Licht durch; der 
Rand ist deswegen beim Durchsehen heller, als die dickere nach innen 
zu gelegene Masse. 5. Undurchsichtig (opak). Lassen gar kein Licht 
mehr durch. 

Am wenigsten durchsichtig, d. h. so beschaffen, daß sie in sehr dünnen Lagen 
schon die ganze einfaUende Lichtbewegnng absorbieren, sind die MetaUe nnd die 
metaUischen Mineralien. Doch lassen sich sogar gewisse Metalle in so feinen 
Lamellen hersteUen, daß sie durchsichtig werden. So zeigen feine Goldhäntchen 
grüne, Silberhäntchen blaue Farbe. 

Es gibt Mineralien, z. B. Quarz, an deren yerschiedenen Varietäten alle die 
angeführten Grade der PeUuzidität beobachtet werden können. Dies ist z. T. die 
Folge der Struktur (feinkörnige und dichte Aggregate sind nie durchsichtig) oder 
Yon Einschlüssen oder Hohlräumen. An sich ist der Quarz yollkommen durchsichtig, 
wenn er in reinen einheitlichen Stücken yorliegt. Die Durchsichtigkeit geht nur 
durch die genannten äußeren Umstände verloren. Er wird dadurch frühe. 

Ganz anders als gegen gewöhnliches Licht verhalten sich die Mineralien viel- 
fach gegen Röntgenstrahlen. Manche undurchsichtige Mineralien lassen diese fast 
ungehindert hindurch (Graphit) ; umgekehrt sind im gewöhnlichen Licht durchsichtige 



Pellnzidität. Farbe. 331 

Sabstanzen für X-Strahlen nndnrchlässig (Quarz, Silikate etc.). Dies Verhalten 

bietet ein gntes Mittel, z. B. Diamant von Imitationen in Glas, Bergkrystall etc. 

za unterscheiden. (Dölter, N. Jahrb. f. Bfin. etc. 1896, II, pag. 87 and 1897, I, 
pag. 256.) 

260. Farbe. Die Farbe der Mineralien hängt von der Qualität 
des dnrchgelassenen Lichte ab, welche darauf beruht, daß von dem 
hindurchgegangenen oder an der Oberfläche etwas in das Mineral 
eingedrungenen und wieder aus dem Inneren heraus nach außen 
reflektierten, urspr&nglich weißen Licht nicht alle farbigen Teilstrahlen 
in gleichem Maße, sondern nur einzelne Strahlen von gewisser Brech- 
barkeit absorbiert werden. Die übrigen erzeugen dann im Auge eine 
von der Menge und Qualität des absorbierten Lichts abhängige Misch- 
farbe. Werden nicht einzelne farbige Strahlen vorzugsweise stark 
geschwächt, sondern erleiden sie alle ohne Bucksicht auf die Wellen- 
länge dieselbe Schwächung, so sind die betreffenden Mineralien farb- 
los, wenn die Absorption gering, grau, schließlich schwarz, wenn sie 
stärker oder fast vollständig ist. 

Die Farbe ist ein für die verschiedenen Mineralien in verschie- 
denem Grade wichtiges Kennzeichen. Manche Mineralien, vorzugsweise 
die sämtlichen metallischen, zeigen im reinen Zustande stets dieselbe 
Farbe: Gold ist stets gelb, Silber weiß. Magneteisen schwarz etc. Aber 
auch bei manchen nicht metallischen Mineralien kommt diese konstante 
Färbung vor : Kupfervitriol ist stets blau, Malachit grün, Bealgar rot 
Für sie ist die Farbe ein konstantes charakteristisches Merkmal. Es 
sind die farbigen oder idiochramatischen Mineralien. Bei solchen ist die 
Farbe eine wesentliche Eigenschaft der Substanz. Die anderen nicht 
metallischen Mineralien sind in ihrem reinsten Zustande farblos oder 
nur äußerst schwach gelblich oder granlich gefärbt, wie Quarz (als 
Bergkrystall), Flußspat etc.; sie erhalten aber häufig durch Bei- 
mischung fremder farbiger Körper eine Färbung. Die^e ist jedoch dann 
nicht immer für alle Stücke des Minerals die nämliche, sondern sie 
hängt von der färbenden Beimischung ab, so daß also verschiedene 
Stücke eines Minerals verschiedene Farben zeigen können. Quarz 
findet sich z. B. außer in farblosen Stücken auch rot, violett, gelb, 
braun etc. Derartige Mineralien heißen gefärbt oder aUochromatisch. 
Ihre Färbung ist wechselnd, also kein charakteristisches, sondern nur 
ein sehr unwesentliches, zufälliges Kennzeichen. Die sämtlichen bei 
einem gefärbten Mineral beobachteten Farben nennt man die Farben- 
reihe desselben. Sogar an einem und demselben Stück eines solchen 
Minerals kommen häufig verschiedene Farben vor, z. B. bei dem Achat, 
manchen Diopsidkrystallen, die am einen Ende grün, am anderen weiß 
sind, manchen Turmalinen, welche weiß und an einem Ende schwarz 
sind (Mohrenköpfe) etc. Es entstehen dadurch zuweilen Farbenzeich- 



332 Farbe. 

nuDgen, welche mit den selbstverständlichen Ausdrücken : gestreift, 
geflammt, geädert, gefleckt, wolkig etc. benannt werden. 

Die fremden farbigen Körper, die die Färbung von an sich farb- 
losen oder wenig gefärbten Mineralsubstanzen bewirken, heißen die 
Pigmente. Sie sind z. T. mit bloßem Auge oder noch besser unter 
dem Mikroskop als eingemengte Fremdkörper deutlich zu erkennen^ 
wie z. B. die Schüppchen von Eisenglanz, die den an sich farblosen 
Carnallit rot förben. In den meisten Fällen sind aber die Pigmente 
so fein verteilt, daß sie auch bei der stärksten Vergrößerung nicht 
als getrennte Partikel unterschieden werden können. Sie sind ge- 
wissermaßen in der farblosen Substanz des Minerals aufgelöst, wie 
bei den meisten farbigen Edelsteinen: Bubin, Sapphir, Amethyst etc. 
Eine derartige Färbung wird däut genannt. Sie beiniht bei zahl- 
reichen Mineralien, wie z. B. bei dem grünen Diopsid auf der iso- 
morphen Beimischung einer farbigen Verbindung. Li anderen Fällen 
sind es Substanzen von ganz anderer chemischer Beschaffenheit, die 
wohl in Form einer festen Lösung in dem Mineral enthalten sind, wie 
z. B. das braune Pigment des Rauchtopases etc. Ihre Menge ist meist 
eine minimale. Dies setzt eine ungemein große Färbekraft voraus, 
aber es ist auch der Grund, der bis jetzt vielfach eine genaue Er- 
mittlung der chemischen Natur dieser Pigmente verhindert hat. Viel- 
fach werden sie bei höherer Temperatur zerstört und die betreffenden 
Mineralien durch Glühen entfärbt, wie z. B. der Bauchtopas; andere 
werden sogar schon vom Licht verändert, die Mineralien bleichen am 
Licht aus, wie z. B. manche Topase. Daher wird von Vielen angenommen, 
daß es sich um Pigmente organischer Natur (Kohlenwasserstoffe etc.) 
handle. Andere sind aber der Ansicht, daß dies nicht der Fall sei, 
daß es durchaus unorganische, wenn auch z. T. leicht zerstörbare 
Verbindungen seien, die die dilute Färbung der Mineralien bewirken. 

(Weinschenk, Zeitschr. f. anorg. Chemie XII, 1896, pag. 376; Min. n. petr. 
MitÜgn. XIX, 1900, pag. 144; y. Eraatz-Eoschlau und Wöhler, ibid. XYIU, 1899, 
pag. d04 und 447 ; Eönigsberger, ibid. XIX, 1900, pag. 148.) 

Die metallischen Mineralien lassen an jedem einzelnen Stücke 
schon durch ihren metallischen Habitus erkennen, daß sie farbig sind, 
daß bei ihnen also die Farbe ein wichtiges Kennzeichen ist, während 
man bei nicht metallischen Mineralien an den einzelnen Stücken nicht 
unterscheiden kann, ob die Farbe wesentlich oder nur zufällig ist 
Es sind daher vorzugsweise die metallischen Farben für die Charakte- 
risierung der Mineralien von Bedeutung. Unter ihnen fehlt blau und 
grün. Die an den metallischen Mineralien beobachteten Farben sind: 
1. Bot (kupferrot : Kupfer). 2. Braun (tombakbraun : Magnetkies, wenn 
angelaufen). 3. Crdb (bronzegelb: Magnetkies auf frischem Bruch; 
speißgelb, etwas ins Graue: Schwefelkies; messinggelb, etwas ins 



Farbe. 333 

Grflne: Kupferkies; goldgelb: Gold). 4. Weiß (silberweiß, ins Gelbe: 
Silber; zinnweiß, ins Graue: Antimon). 5. Orau (stablgrau: Platin; 
bleigrau : Antimonglanz, Bleiglanz). 6. Schwäre (eisenschwarz : Magnet- 
eisen). 

Aach die nicht metaUischen Farben sind, obwohl sie keine so erhebliche Bedea- 
tong haben, klassifiziert worden, nnd zwar schon von dem Begründer der] wissenschaft- 
lichen Mineralogie, A. G. Werner^ der allen Farben eine große Wichtigkeit beilegte. 
(A. G. Werner, Von den äußerlichen Kennzeichen der Fossilien, Leipzig 1774.) Man 
nnterscheidet acht Hanptfarben, jede mit einer Anzahl von Nuancen. Die Nuance, 
welche eine bestimmte Farbe in höchster Beinheit darsteUt, heißt die Charakterfarhe^ 
sie ist in der folgenden Übersicht gesperrt gedruckt. 

1. Weiß (schneeweiß, rötlich-j gelblich-, grünlich-, bläulich-, graulichweiß). 

2. Orau (aschgrau, grünlich-, blaulich-, rötlich-, gelblich-, rauch-, schwarz- 
grau). 

3. Schwarz (sammetschwarz, graulich-, bräunlich- oder pech-, rötlich-, 
grünlich- oder raben-, blaulichschwarz). 

4. Blau (beriinerblau, schwärzlich-, lasur-, lavendel-, Tiol-, pflaumen-, 
smalte-, indigo-, himmelblau). 

5. Grün (smaragdgrün, span-, seladon-, berg-, lauch-, apfel-, pistacien-, 
schwärzlich-, oliyen-, gras-, spargel-, öl-, zeisiggrün). 

6. Qelh (citronengelb, schwefel-, stroh-, wachs-, honig-, ocker-, wein-, isabell-, 
erbsen-, pommeranzengelb). 

7. Bot (karminrot, morgen-, hyacinth-, ziegel-, Scharlach-, blut-, fleisch-, 
.Cochenille-, rosen-, karmoisin-, pfirsichblüt-, kolumbin-, kirsch-, bräunlichrot). 

8. Brown (kastanienbraun, rötlich-, nelken-, haar-, gelblich-, holz-, leder-, 
schwärzlichbraun). 

Jede Farbeunüauce ist bald hell, bald dunkel. Allgemein bekannte Ausdrücke 
wie licht, blaß, tief, hoch, gesättigt etc. beziehen sich hierauf. 

Die Farben werden, wie wir schon oben im Vorbeigehen gesehen haben, durch 
Glühen häufig stark verändert oder auch wohl ganz zerstört; so werden gelbe Topase 
rot, der braune Bauchtopas wird farblos etc. Manchmal ist die Änderung nur eine 
vorübergehende : der rote edle Spinell wird durch Glühen farblos und nimmt nachher 
seine ursprüngliche Farbe wieder an und ebenso verhält sich der rote Bubin, der 
aber beim Abkühlen eine grüne Zwischenstufe durchläuft. Auch schon an der Luft 
und am Licht ändern sich die Farben der Mineralien vielfach entweder durch die 
ganze Masse, oder nur an der Oberfläche, indem das Mineral eine mehr oder weniger 
tiefgehende chemische Umwandlung erleidet, z. B. wird der Eisenspat bei Luft- 
zutritt dunkler etc. An der Oberfläche ändert sich die bronzegelbe Farbe des 
Magnetkieses in tombakbraun, die weiße des Arsens in schwarz. Findet diese 
Farbenänderung nur an der Oberfläche statt, so nennt man sie das Anlaufen, die 
entstehenden Farben Anlauffarben, Sie sind entweder, wie in den beiden erwähnten 
Beispielen des Magnetkieses und des Arsens, auf der ganzen Fläche gleich, oder 
das Mineral läuft bunt an, z. B. Buntkupfererz, Wismuth etc. Dieses Buntanlaufen 
wird auch mit den Namen: regenbogenartig, pfauenschweifig, taubenhälsig etc. be- 
zeichnet. 

Um die Farben der Mineralien in ihren verachiedenen Nuancen genau und in 
unzweideutiger Weise angeben und vergleichen zu können, hat man statt der obigen 
etwas vagen Bezeichnungen vielfach die Vergleichung mit einer möglichst alle Farben- 
ntiancen umfassenden Farbenskala gewählt. Am häufigsten wird dazu die „inter- 
nationale Farbenskala von Radde** benutzt (H. Fischer, N. Jahrb. f. Min. etc. 1879, 
pag. 854). Am besten gelingt dabei die Bestimmung von trüben, undurchsichtigen. 



334 Strich. Pleochroismus. 

nicht metallischen Mineralien, da die Glieder der Skala mittels Deckfarhen hergestellt 
sind. Bei der Farhwirknng der Mineralien kommt aber auch der Glanz und die Durch- 
sichtigkeit in Betracht. Daher ist es oft kaum möglich, für metallische und voll- 
kommen durchsichtige Mineralien einen ganz entsprechenden Vertreter in der Skala 
zu finden. 

261. Strich. Von Wichtigkeit ist häufig die Farbe des feinen 
Pulvers, die von der ganzer Stücke meist mehr oder weniger verschieden 
ist. Bei farbigen Mineralien pflegt das Pulver ebenfalls charakte- 
ristisch gefärbt zu sein, während gefärbte meist weißes oder doch 
sehr helles Pulver geben. Man stellt das Pulver dar, indem man mit 
dem Mineral über eine rauhe weiße Porzellanplatte (sog. Biskuitplatte) 
streicht; die Farbe des Strichs ist dann die des hängengebliebenen 
Pulvers. Man spricht daher statt von der Farbe des Pulvers auch 
von der Farbe des Strichs oder kurz vom Strich. Der Strich der 
Mineralien ist meist eine hellere Nuance der Farbe, welche die Masse 
des Minerals hat; nicht selten zeigt er aber auch eine andere Färbung, 
als diese. So ist Eisenglanz schwarz, der Strich rot; Manganblende 
braun, der Strich grün; Schwefelkies gelb, der Strich schwarz etc. 

Der schwarze Strich, den viele opake Mineralien zunächst zeigen, kann bei 
einigen derselben noch farbig gemacht werden, wenn man das auf einer Biskuittafel 
hergestellte Pulver mit einer zweiten solchen noch weiter zerreibt. So wird z. B. 
der schwarze Strich des Schwefelkieses hellbraun mit einem Stich ins Violette etc. 
(Schroeder van der Kolk, Centralbl. f. Min. etc. 1901, 75 und 519.) 

262. Fleochrolsinns. Viele durchsichtige , doppeltbrechende 
Erystalle haben die Eigenschaft, daß sie beim Hindurchsehen nach 
verschiedenen Eichtungen nicht immer dieselbe, sondern verschiedene 
Farben zeigen. Der Grund liegt darin, daß die in verschiedenen 
Richtungen durch den Erystall hindurchgehenden Lichtstrahlen auch 
verschieden absorbiert werden, und zwar in verschiedenem Grade und 
namentlich auch in verschiedener Weise, d. h. das eine Mal dieser, das 
andere Mal jener Teil des angewandten weißen Lichts. Es bleibt 
dann jedesmal ein anderer Rest übrig, der die in der betreffenden 
Richtung erscheinende Farbe bildet. So zeigt z. B. der rhomboedrische 
Pennin senkrecht zur Basis, also in der Richtung der Achse grüne, 
senkrecht zur Achse rotbraune Farbe, und zwar ringsum genau die- 
selbe. Der rhombische Cordierit (Dichroit) gibt auf den drei Pina- 
koidflächen, also in der Richtung der drei krystallographischen Achsen 
gesehen, die Farben : dunkelblau, hellblau und gi'anUchgelb. In beiden 
Mineralien treten in zwischenliegenden Richtungen intermediäre Farben- 
töne auf, die sich je nach der Richtung bald der, bald jener der ge- 
nannten Farben nähern. Diese Erscheinung nennt man Pleochroismus 
(Dichroismus beim Pennin und den anderen einachsigen, Trichroismus 
beim Cordierit und den übrigen zweiachsigen Krystallen). Sie ist 



Pleochroismus. 335 

nicht immer so deutlich wie bei diesen beiden Mineralien; manchmal 
stehen sich die in verschiedenen Richtungen gesehenen Farbentöne 
sehr nahe, häufig beobachtet man nur geringe Helligkeitsdifferenzen 
und nicht selten sind die unterschiede so klein, daß sie kaum mehr 
wahrgenommen werden können, oder sich der Beobachtung ganz ent- 
ziehen. In allen Fällen gilt aber, wenn überhaupt Pleochroismus auf- 
tritt, das Gesetz, daß beim Hindurchsehen durch einen Erystall nach 
optisch gleichwertigen Richtungen, d. L nach Richtungen gleicher 
Elastizität des Äthers, stets gleiche, beim Hindurchsehen nach optisch 
ungleichwertigen Richtungen verechiedene Farben erscheinen, wobei 
aber die unterschiede eventuelL bis zur Unerkennbarkeit herunter- 
sinke